概率論與隨機(jī)過(guò)程：第10章 10-2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

1、10.2平穩(wěn)過(guò)程的概念 一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程二、寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 在實(shí)際中在實(shí)際中, , 有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程, , 不僅它現(xiàn)在的狀態(tài)不僅它現(xiàn)在的狀態(tài), , 而且它過(guò)去的狀態(tài)而且它過(guò)去的狀態(tài), , 都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響. .如果過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化如果過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而變化, ,則稱(chēng)之為則稱(chēng)之為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程. 1 1定義定義：設(shè)X(t),tT是隨機(jī)過(guò)程,如果對(duì)于任意的常數(shù)h和任意正整數(shù)n,及任意的n維隨機(jī)向量(X(t1),X(t2),X(tn)和(X(t1+h),X

2、(t2+h),X(tn+h)具有相同的分布函數(shù)函數(shù),則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X(t),tT具有平穩(wěn)性,稱(chēng)此過(guò)程為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程 (或或狹義平穩(wěn)過(guò)程狹義平穩(wěn)過(guò)程). 其中其中t1tn和t1+h,tn+h T 一、一、(嚴(yán)嚴(yán))平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程的參數(shù)集T,一般為(- ,+),0,+, 0,1,2,0,1,2,以下如無(wú)特殊說(shuō)明，均認(rèn)為參數(shù)集T=(-,+). 當(dāng)定義在離散參數(shù)集上時(shí),稱(chēng)過(guò)程Xn為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。 說(shuō)明說(shuō)明 (1) (1) 將隨機(jī)過(guò)程劃分為平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程有重將隨機(jī)過(guò)程劃分為平穩(wěn)過(guò)程和非平穩(wěn)過(guò)程有重要的實(shí)際意義要的實(shí)際意義. . 過(guò)程若是平穩(wěn)的可使問(wèn)題的分析尤為簡(jiǎn)化過(guò)程若是平穩(wěn)的可使問(wèn)題的分析

3、尤為簡(jiǎn)化. .(2) (2) 平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì). .例例1 設(shè)設(shè)Xn,n0是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且XnU(0,1),n=1,2, 討論Xn,n0是否為嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列并求E(Xn)與E(Xn Xm),n、m=0,1,2,. 解：解：設(shè)設(shè)U(0,1)的分布函數(shù)為F(x),則對(duì)任意h及正整數(shù)k,任意nk 維隨機(jī)變量, knnnXXX,21的分布函數(shù)均為 kjjkxFxxxF121)(),(故Xn,n0是嚴(yán)平穩(wěn)時(shí)間序列。因?yàn)閄nU(0,1)，且相互獨(dú)立，mnXEXEmnXEmnn)()()(2 hnhnhnkXXX ,21)(mnXXEmnmn4141

4、121所以 E(Xn)=1/2，2 2嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的數(shù)字特征定理定理 如果X(t),tT是嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，且對(duì)任意的tT，EX2(t)+,則有(1) X(t)=EX(t)=常數(shù)=X ，tT；(2)EX(s)X(t)只依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無(wú)關(guān)。線都在水平直線平穩(wěn)過(guò)程的所有樣本曲) 1 (Xtx)(.,X平均偏離度為上下波動(dòng)的自相關(guān)函數(shù)若平穩(wěn)過(guò)程)()2(tX.)()(),(存在tXsXEtsRx的函數(shù)僅是那么平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)st.函數(shù)(即與時(shí)間間隔有關(guān)，與時(shí)間具體取值無(wú)關(guān)).進(jìn)而，Cx()=EX(t)-x xX(t+)-x x=Rx()-x x2只與有關(guān)； x x2

5、=Cx x(0)=Rx x(0)-x x2 為常數(shù).說(shuō)明證：(1)由Cauchy-Schwarze不等式 EX(t)2EX2(t)+,所以EX(t)存在。 在嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的定義中，令h=-t,由定義X(t)與X(0)同分布，所以EX(t)= E EX(0)為常數(shù)。一般記為X. (2) 由Cauchy-Schwarze不等式 EX(s)X(t)2 EX2(s)EX2(t)+, 所以EX(s)X(t)存在。在嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程的定義中，令h=-s, 由定義(X(s),X(t)與(X(0),X(t-s)同分布，即有EX(s)X(t)= EX(0)X(t-s) 即Rx(s,t)=Rx() 所以，Rx(s,t)只

6、依賴于t-s,而與s,tT的具體取值無(wú)關(guān)。 即Rx(s,t)=EX(s)X(t)=Rx(0,t-s),令t-s=, 二、二、( (弱弱) )平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程1 1 定義定義 設(shè)X(t),tT是二階矩過(guò)程,如果 (1) EX(t)=x x(常數(shù))，tT； (2) 對(duì)任意的t,t+T, Rx x()=EX(t)X(t+)只依賴于。則稱(chēng)X(t),tT為寬平穩(wěn)過(guò)程,簡(jiǎn)稱(chēng)為平穩(wěn)過(guò)程. 特別地，當(dāng)T為離散參數(shù)集時(shí)，若隨機(jī)序列Xn(t)滿足E(Xn n2)0,討論其平穩(wěn)性. mnmnXXEmn02 故其均值函數(shù)X(n)=0為常數(shù),例3:隨機(jī)相位正弦波X(t)=acos(0t+) ，a, 0為常數(shù)，是在(0,

7、2)上服從均勻分布的隨機(jī)變量,則X(t)是平穩(wěn)過(guò)程，并求其自相關(guān)函數(shù). 其它0202/1)( f解: 因?yàn)镋Xn=0, 解: 已知的概率密度為 自相關(guān)函數(shù) RX(n,m)只與m-n有關(guān),所以它是平穩(wěn)時(shí)間序列。于是,X(t)的均值函數(shù)為 0)cos(2)cos()(2000dtataEtXEdttatXtXE)(cos)cos(2)()(0200220020022)2(coscos4dtda 02cos21a 與t無(wú)關(guān)，可見(jiàn)X(t)為平穩(wěn)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為 02cos21)(aRX 一般地，設(shè)s(t)是一周期為T(mén)函數(shù)，U(0,T)稱(chēng)X(t)=s(t+)為隨機(jī)相位周期過(guò)程，則其為平穩(wěn)過(guò)程。 ?)

8、,(:)Y(E.,)(2是否為平穩(wěn)過(guò)程問(wèn)是一個(gè)非零隨機(jī)變量設(shè)ttXYttYtX解解)(tXE ),(ttRX此時(shí)例例40YD則, 10)(YEYP則tYEYtE，若0YE0)(tXE則，若0YE非平穩(wěn)。有關(guān)，與則)()(tXttXE )()(tXtXE)(YttYE)(2YEtt，若02YE，若02YE非平穩(wěn)。則)(tX.矛盾是一個(gè)非零隨機(jī)變量與Y。不是平穩(wěn)過(guò)程),(ttX例例5考慮考慮隨機(jī)電報(bào)信號(hào)隨機(jī)電報(bào)信號(hào)， t)(txIoI , 2/1)()(ItXPItXP這里),(),(lttNltt內(nèi)變化的次數(shù)而正負(fù)號(hào)在區(qū)間由只信號(hào))(tXII 或取.的電流給出是隨機(jī)的, .),(服從泊松分布假設(shè)

9、lttN即事件),(klttNAk的概率為, 2, 1 , 0,e!)()(kklAPlkk.0的數(shù)學(xué)期望是單位時(shí)間內(nèi)變號(hào)次數(shù)其中.)( 的平穩(wěn)性試討論tX解解)()(),(tXEttX)()(tXtXE下求),()(內(nèi)變號(hào)偶數(shù)次在tttXP),()(內(nèi)變號(hào)奇數(shù)次在tttXP)()(, 02ItXtXP對(duì))()()(420APAPAP)()()()(2222ItXtXPIItXtXPI2),(0kkttNP02),(kkttNP02kkAP)()(2ItXtXP同理12),(0kkttNP012),(kkttNP,e)!2()(20kkk,e)!12()(120kkk, 02121II,0 t

10、t令令時(shí)時(shí)而而,e)()(22 ItXtXE有關(guān)有關(guān)只與只與 則自相關(guān)函數(shù)則自相關(guān)函數(shù): :.)(是一平穩(wěn)過(guò)程是一平穩(wěn)過(guò)程所以隨機(jī)電報(bào)信號(hào)所以隨機(jī)電報(bào)信號(hào)tX其圖形為其圖形為: :2I o)( XR 0012222)()()()(kkkkAPIAPItXtXE 所所以以.e!)(e2202 IkIkk結(jié)果與結(jié)果與t 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān),e)()(22ItXtXE )()(|)()(| )(|22 tXEtXEtXtXERX)0()0()0(XXXRRR R() 0 證: Rx(0)=EX2(t)03自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證： Rx(-)=EX(t)X(t-)= EX(t-)X(t)= Rx()

11、性質(zhì)2. Rx()為偶函數(shù)，即Rx(-)=Rx() 性質(zhì)3.|Rx()| Rx(0) 證：由柯西-施瓦茲不等式 性質(zhì)性質(zhì)1.Rx(0)0；性質(zhì)4. Rx()非負(fù)定性.即對(duì)任意n, 任意實(shí)數(shù)a1,a2,an,任意t1,t2,tnT有 0)(1, jinjijiXaattRjinjijijinjijiXaatXtXEaattR 1,1,)()()(證：證： jinjijiaatXtXE1,)()(0)(21 iniiatXE性質(zhì)5.若平穩(wěn)過(guò)程X(t)X(t+T),則稱(chēng)其為周期T的平穩(wěn)周期過(guò)程周期為T(mén)的平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是以T為周期的周期函數(shù)。證： Rx(T)=EX(t)X(tT)= EX(t）X

12、(t)= Rx()4 4平穩(wěn)相關(guān)與互相關(guān)函數(shù)平穩(wěn)相關(guān)與互相關(guān)函數(shù) （1 1）定義）定義: 設(shè)X(t),Y(t),tT為兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，如果它們的互相關(guān)函數(shù)RXY(t,t+)只是 的函數(shù),即RXY(t,t+)=EX(t)Y(t+)= RXY(),則稱(chēng)X(t),Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的，或稱(chēng)X(t)與Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)過(guò)程.并稱(chēng) RXY()=EX(t)Y(t+) 為X(t)與Y(t)的互相關(guān)函數(shù)。(2) (2) 互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì) )0()0(| )(| . 12YXXYRRR 性質(zhì)性質(zhì)22)()(| )(| tYtXERXY證：證：)0()0()()(22YXRRtYEtXE )()(.

13、 2 YXXYRR 性性質(zhì)質(zhì))()()()()()( YXXYRtXtYEtYtXER 證證：)0()0(21| )(| . 4YXXYRRR性質(zhì))0()0(. 3YXXYRR性質(zhì)例6: 如圖所示，將兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)，Y(t)同時(shí)輸入加法器中,加法器輸出隨機(jī)過(guò)程W(t)=X(t)+Y(t),若X(t)與Y(t)平穩(wěn)相關(guān)，則W(t)為平穩(wěn)過(guò)程 x(t)w(t)y(t)常數(shù)常數(shù)為為證：證： )()()(YXWtYEtXEt EW(t)W(t+)=EX(t)+Y(t)X(t+)+Y(t+) 可見(jiàn)W(t)的自相關(guān)函數(shù)Rw(t,t+)只依賴于,所以w(t)為平穩(wěn)過(guò)程.=EX(t)X(t+)+EX(t)Y(t+)+EY(t)X(t+)+EY(t)Y(t+) =Rx()+RXY()+RXY(-)+RY()例7: 設(shè)X(t)=Asin(t+)，Y(t)=Bsin(t+-),A,B, , 為常數(shù)，在(0,2)上服從均勻分布，求RXY()。 )()()( tYtXERXY)sin()sin( tBtAE dttAB 20)sin()sin(2 dtAB )22cos()cos(21220 )cos(22)cos(212 ABA