小學(xué)奧數(shù)：組合的基本應(yīng)用(一).專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

1、7-5-1.組合的基本應(yīng)用（一）7-5-1.組合的基本應(yīng)用（一）.題庫(kù)Of 7教師版page 5教學(xué)目標(biāo)1 .使學(xué)生正確理解組合的意義；正確區(qū)分排列、組合問(wèn)題；2 .了解組合數(shù)的意義，能根據(jù)具體的問(wèn)題，寫(xiě)出符合要求的組合；3 .掌握組合的計(jì)算公式以及組合數(shù)與排列數(shù)之間的關(guān)系；4 .會(huì)分析與數(shù)字有關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題，以及與其他專(zhuān)題的綜合運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力；通過(guò)本講的學(xué)習(xí)，對(duì)組合的一些計(jì)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，重點(diǎn)掌握組合的聯(lián)系和區(qū)別， 并掌握一些組合技巧，如排除法、插板法等.目itM蚱知識(shí)要點(diǎn)一、組合問(wèn)題日常生活中有很多“分組”問(wèn)題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組， 從全班同學(xué)中選

2、出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等.這種“分組”問(wèn)題，就是我們將要討論的組合問(wèn)題，這里， 我們將著重研究有多少種分組方法的問(wèn)題.一般地，從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)（m n）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序， 叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)組合.從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無(wú)關(guān).如果兩個(gè)組合中的元素完全相同， 那么不管元素的順序如何，都是相同的組合，只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合.從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素（m n）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)不同元素中取 出m個(gè)不同元素的組合數(shù).記作 Cnm .一般地，求從n個(gè)不同元素中取出的 m個(gè)元

3、素的排列數(shù)Pmn可分成以下兩步：第一步：從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素組成一組，共有 Cm種方法；第二步：將每一個(gè)組合中的 m個(gè)元素進(jìn)行全排列，共有 Pm種排法. m根據(jù)乘法原理，得到 Pnm Cm Pmm.因此，組合數(shù)Cnm至n （n 1 （n 2） L （n m 1Pm1m（m1（m2）L 3 2 1這個(gè)公式就是組合數(shù)公式.二、組合數(shù)的重要性質(zhì)一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：Cm Cnm（m n）這個(gè)公式的直觀意義是：Cm表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成一組的所有分組方法.Cnm表示從n個(gè)元素中取出（n m）個(gè)元素組成一組的所有分組方法.顯然，從 n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的分組方法恰是從 n

4、個(gè)元素中選m個(gè)元素剩下的（n m）個(gè)元素的分組 方法.例如，從5人中選3人開(kāi)會(huì)的方法和從 5人中選出2人不去開(kāi)會(huì)的方法是一樣多的，即八3-2C5 C5 .規(guī)定 C： 1 , C0 1 .例題精講模塊一、組合之計(jì)算問(wèn)題【例i】計(jì)算：c2,C64組合之基本運(yùn)用c, Ct【難度】解答C2P62C2P；P72用C：C5注意到上面的結(jié)果中,C62P64P： P75 P C4,155 4 3 2 1C72 C5 .2126271521【例2】計(jì)算:198 C200 ；98C100組合之基本運(yùn)用解答C56 C19080198200 198C200C20056 55C561002 c100C200噓IT200

5、19919900 ；c56C100 19900P6P1561P2P100pF56；100992 1564948 . 4948.計(jì)算：C；2；組合之基本運(yùn)用998C1000 ；c82.1星解答(1)C132998C100012 11C1000_ 2_ 2_P8C88CE998C10002P82201022011000 999. “4995002 18 756 28 28 .2 1499500-2C828 .模塊二、組合之體育比賽中的數(shù)學(xué)【例3】 某校舉行排球單循環(huán)賽，有 12個(gè)隊(duì)參加.問(wèn)：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答【解析】因?yàn)楸荣愂菃窝h(huán)制的，所以，12

6、個(gè)隊(duì)中的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，并且比賽的場(chǎng)次只與兩個(gè)隊(duì)的選取有關(guān)而與兩個(gè)隊(duì)選出的順序無(wú)關(guān).所以，這是一個(gè)在12個(gè)隊(duì)中取2個(gè)隊(duì)的組合問(wèn)題.由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行 C2 12！ 66（場(chǎng)）比賽.2 1【答案】C122 66【鞏固】 芳草地小學(xué)舉行足球單循環(huán)賽，有24個(gè)隊(duì)參加.問(wèn)：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答【解析】由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行 C24 %二3 276（場(chǎng)）比賽.2 1【答案】C24 276【例4】 六個(gè)人傳球，每?jī)扇酥g至多傳一次，那么最多共進(jìn)行 次傳球.【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級(jí)，初賽， 7題【

7、解析】本題是一道比賽場(chǎng)數(shù)計(jì)數(shù)問(wèn)題，“每?jī)蓚€(gè)人之間至多傳一次”，讓6個(gè)人最多次地傳球，則是5 + 4+3+2+1=15 （次）.但要看是否可以傳回去，在傳遞過(guò)程中兩 人是否重復(fù).15條線，代表傳球15次，根據(jù)一筆畫(huà)問(wèn)題，行不通，應(yīng)減少奇數(shù)點(diǎn) 的個(gè)數(shù)，共有6個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，應(yīng)該去掉兩條直線，也就是去掉4個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，還剩下2個(gè)奇數(shù)點(diǎn)，就可以傳遞回來(lái)了 .所以答案為5 + 4+3+2+1 2=13 （次）.13次【例5】一批象棋棋手進(jìn)行循環(huán)賽，每人都與其他所有的人賽一場(chǎng)，根據(jù)積分決出冠軍，循環(huán)賽共要進(jìn)行78場(chǎng)，那么共有多少人參加循環(huán)賽？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】 從若干人中選出2人

8、比賽，與選出的先后順序無(wú)關(guān)，這是一個(gè)組合問(wèn)題.依題意， 假設(shè)有n個(gè)人參加循環(huán)賽，應(yīng)該有C： n由178 ,所以2 1n （n 1 78 2 13 12 ,所以n 13,即一共有13人參加循環(huán)賽.【答案】n 13【例6】某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48 名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個(gè)小組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段： 由4個(gè)小組產(chǎn)生的4個(gè)第1名進(jìn)行2場(chǎng)半決賽和2場(chǎng)決賽，確定1至4名的名 次.問(wèn)：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】

9、第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)人每2人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽 C： 6-5 15場(chǎng)，2 1共8個(gè)小組，有15 8 120場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部 4人中每2人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽 C2 U 6場(chǎng)，共4個(gè)小組，有 2 16 4 24 場(chǎng)；第三階段賽2 2 4場(chǎng).根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程一共有 120 24 4 148場(chǎng)比賽.【答案】148【例7】 有8個(gè)隊(duì)參加比賽，采用如下圖所示的淘汰制方式.問(wèn)在比賽前抽簽時(shí)，可以得 到多少種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】（法1）先選4人，再考慮組合的方法.8選4有C84 70種組合，其中實(shí)質(zhì)不同的有一半，即70 2 35種；

10、對(duì)每一邊的4個(gè)人，共有實(shí)質(zhì)性不同的 C： 2 3種，所以，可以得到35 3 3 315種實(shí)質(zhì)不同的比賽安排表.（法2）先考慮所有情況，再考慮重復(fù)情況首先是 8! 8 7 6 5 4 3 2 1考慮到實(shí)質(zhì)相同：1、2; 3、4; 5、6; 7、8; 一、二；三、四； A、B, 以上7組均可交換，即每一種實(shí)際上重復(fù)計(jì)算了27次，答案為：81 27 315.【答案】315模塊三、組合之?dāng)?shù)字問(wèn)題【例8】從分別寫(xiě)有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題，問(wèn)： 有多少個(gè)不同的乘積？ 有多少個(gè)不同的乘法算式？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】 要考慮有多少個(gè)不

11、同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個(gè)乘積，所以，有多少個(gè)乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無(wú)關(guān)， 所以這 是一個(gè)組合問(wèn)題.2由組合數(shù)公式，共有c：與510（個(gè)）不同的乘積.P22 1 要考慮有多少個(gè)不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問(wèn)題.由排列數(shù)公式，共有 P2 5 4 20（種）不同的乘法算式.【答案】C52 10P52 20【鞏固】9、8、7、6、5、4、3、2、1、0這10個(gè)數(shù)字中劃去7個(gè)數(shù)字，一共有多少種方 法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答【解析】 相當(dāng)于在10個(gè)數(shù)字選出7個(gè) 劃去，一共有

12、10X9X8X7X6X5X4 + （7X6X5X4X3X2X 1） =10X 9X8+ （3X2X1）=120 種.【答案】120【鞏固】 從分別寫(xiě)有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張，做成一道兩個(gè) 一位數(shù)的加法題，有多少種不同的和？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】2星【題型】解答2【解析】C2與U 28（種）.P22 1【答案】C82 28【例9】 有紅、黃、藍(lán)、綠四種顏色的卡片各5張，且每種顏色的卡片上分別標(biāo)有1, 2,3, 4, 5,從這些卡片中取出 5張，要求1、2、3、4、5各一張，但四種顏色都 要有，求共有 種取法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵

13、詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第14題【解析】四種顏色都有，則有兩個(gè)數(shù)是同一種顏色即可，其它三個(gè)數(shù)字和三種顏色一一對(duì)應(yīng)。C2 c4 3! 240 種【答案】240種【例10】在1100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，通過(guò)前面剛剛學(xué)過(guò)的奇偶分析法，這兩個(gè)數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個(gè)數(shù)與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題.從50個(gè)偶數(shù)中取出2個(gè)，有c5 50 49 1225（種）取法；2 1從50個(gè)奇數(shù)中取出2個(gè)，也有C20 50 49 1225（種）取法.2 1根據(jù)加法原理，一共有 1225 1225

14、2450（種）不同的取法.【小結(jié)】在本題中，對(duì)兩個(gè)數(shù)的和限定了條件.不妨對(duì)這個(gè)條件進(jìn)行分類(lèi)，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加.這樣可以把問(wèn)題簡(jiǎn)化.【答案】2450【鞏固】 從19、20、93、94這76個(gè)數(shù)中，選取兩個(gè)不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選 法總數(shù)是多少？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】19、20、93、94中有38個(gè)奇數(shù)，38個(gè)偶數(shù)，從38個(gè)數(shù)中任取2個(gè)數(shù)的方法有：c38 38 37 703（種），所以選法總數(shù)有：703 2 1406（種）.2 1【答案】1406【例11】一個(gè)盒子裝有10個(gè)編號(hào)依次為1, 2, 3, L , 10的球，從中摸出6個(gè)球，使它 們

15、的編號(hào)之和為奇數(shù)，則不同的摸法種數(shù)是多少？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】10個(gè)編號(hào)中5奇5偶，要使6個(gè)球的編號(hào)之和為奇數(shù)，有以下三種情形：5奇1偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)只有 1種選擇，對(duì)偶數(shù)有 5種選擇.由乘法原理，有 1 5 5（種） 選擇；3奇3偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)有C3 5 4 310 （種）選擇，對(duì)偶數(shù)也有C35 4 310（種）3 2 13 2 1選擇.由乘法原理，有 10 10 100（種）選擇；1奇5偶，這時(shí)對(duì)奇數(shù)有5種選擇，對(duì)偶數(shù)只有1種選擇.由乘法原理，有5 1 5（種）選擇.由加法原理，不同的摸法有 5 100 5 110（種）.【答案】5100110【例12】用2

16、個(gè)1, 2個(gè)2, 2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？ 用2個(gè)0, 2個(gè)1, 2個(gè)2可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】先考慮在6個(gè)數(shù)位上選2個(gè)數(shù)位放1,這兩個(gè)1的順序無(wú)所謂，故是組合問(wèn)題，有C2 3 15（種）選法；再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)數(shù)位上選2個(gè)放2,有C： U 6（種） 2 12 1選法；剩下的2個(gè)數(shù)位放3,只有1種選法.由乘法原理，這樣的六位數(shù)有 15 6 1 90（個(gè)）.在前一問(wèn)的情況下組成的 90個(gè)六位數(shù)中，首位是1、2、3的各30個(gè).如果將3全部換成0, 這30個(gè)首位是0的數(shù)將不是六位數(shù)，所以可以組成互不相同的六位數(shù)90 30 60（

17、個(gè)）.【答案】60【例13】從1, 3, 5, 7, 9中任取三個(gè)數(shù)字，從 2,4,6, 8中任取兩個(gè)數(shù)字，組成沒(méi) 有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可以組成多少個(gè)數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】整個(gè)過(guò)程可以分三步完成：第一步，從 1, 3, 5, 7, 9中任取三個(gè)數(shù)字，這是一 個(gè)組合問(wèn)題，有C3種方法；第二步，從 2,4,6, 8中任取兩個(gè)數(shù)字，也是一個(gè) 組合問(wèn)題，有C：種方法；第三步，用取出的 5個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)， 有P55種方法.所以總的個(gè)數(shù)為：C3 C42 P55 7200 （個(gè)）.【答案】7200【例14】從0、0、1、2、3、4、5這七個(gè)數(shù)字中，任取

18、 3個(gè)組成三位數(shù)，共可組成多 少個(gè)不同的三位數(shù)？（這里每個(gè)數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）.【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】陳省身杯，五年級(jí)【解析】若三位數(shù)不含有0,有5 4 3 60 （個(gè)），若含有一個(gè)0,有5 4 2 40 （個(gè)）， 若含有兩個(gè)0,有5 （個(gè)），所以共有60 40 5 105 （個(gè)）.【答案】105【例15】用2個(gè)1 , 2個(gè)2, 2個(gè)3可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？用2個(gè)0, 2個(gè)1 ,2個(gè)2可以組成多少個(gè)互不相同的六位數(shù)？【考點(diǎn)】組合之基本運(yùn)用【難度】3星【題型】解答【解析】先考慮在6個(gè)數(shù)位上選2個(gè)數(shù)位放1,這兩個(gè)1的順序無(wú)所謂，故是組合問(wèn)題有C： 15種選法；再?gòu)氖Ｏ碌?4個(gè)數(shù)位上選2個(gè)放2,有C2 6種選法；剩下的 2 個(gè)數(shù)位放3,只有1種選法.由乘法原理，這樣的六位數(shù)有15 6 1 90個(gè).在前一問(wèn)的情況下組成的 90個(gè)六位數(shù)中，