第五章無窮級數(shù)第一節(jié)常數(shù)項級數(shù)ppt課件

1、第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)的概念及基本性質常數(shù)項級數(shù)的概念及基本性質正項級數(shù)及其判斂法正項級數(shù)及其判斂法任意項級數(shù)任意項級數(shù)一一 常數(shù)項級數(shù)的概念及基本性質常數(shù)項級數(shù)的概念及基本性質1 常數(shù)項級數(shù)的概念常數(shù)項級數(shù)的概念 引例引例1. 用圓內接正多邊形面積逼近圓面積用圓內接正多邊形面積逼近圓面積.依次作圓內接正依次作圓內接正),2,1,0(23 nn邊形邊形, , 這個和逼近于圓的面積這個和逼近于圓的面積 A .0a1a 2a na 設設 a0 表表示示,時時 n即即 naaaaA210內接正三角形面積內接正三角形面積, ak 表示邊數(shù)表示邊數(shù)增加時增加的面積增加時增加的面積,

2、 則圓內接正則圓內接正邊邊形形面面積積為為n23 引例引例2.小球從小球從 1 米高處自由落下米高處自由落下, 每次跳起的高度減每次跳起的高度減少一半少一半, 問小球是否會在某時刻停止運動問小球是否會在某時刻停止運動? 說明道理說明道理.由自由落體運動方程由自由落體運動方程2g21ts 知知g2st 則小球運動的總時間為則小球運動的總時間為1tT 22t 32t g21 2122)2(1 設設 tk 表示第表示第 k 次小球落地的時間次小球落地的時間, 第第 k 次小球跳起的次小球跳起的高度為高度為112k 米，米， 因而因而12.2kktg 定義：定義： 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列,321nu

3、uuu將各項依將各項依,1 nnu即即 1nnu nuuuu321稱上式為無窮級數(shù)，稱上式為無窮級數(shù)， 其中第其中第 n 項項nu叫做級數(shù)的一般項叫做級數(shù)的一般項,級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和 nkknuS1稱為級數(shù)的部分和稱為級數(shù)的部分和.nuuuu 321次相加次相加, 簡記為簡記為,lim存存在在若若SSnn 收斂收斂 ,則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)并稱并稱 S 為級數(shù)的和為級數(shù)的和, 記作記作 1nnuS當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 稱差值稱差值 21nnnnuuSSr為級數(shù)的余項為級數(shù)的余項.,lim不存在不存在若若nnS 則稱無窮級數(shù)發(fā)散則稱無窮級數(shù)發(fā)散 .顯然顯然0lim nnr例例

4、1. 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù))0(20 aqaqaqaaqannn( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 假假設設,1 q12 nnqaqaqaaSqaqan 1時，時，當當1 q, 0lim nnq由由于于從而從而qaSnn 1lim因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 ,;1qa ,1時時當當 q,lim nnq由由于于從而從而,lim nnS則部分和則部分和因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 .其和為其和為2). 假假設設,1 q,1時時當當 qanSn 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ;,1時時當當 q aaaaan 1)1(因而因而 nSn 為奇數(shù)為奇數(shù)n

5、為偶數(shù)為偶數(shù)從而從而nnS lim綜合綜合 1)、2)可知可知,1 q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ;1 q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 .那那么么, 級數(shù)成為級數(shù)成為,a,0不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散.此時此時qaaqnn 10如果級數(shù)如果級數(shù) 11nn n131211是發(fā)散的。是發(fā)散的。解解例例2. 說明調和級數(shù)說明調和級數(shù): 11kk是收斂的，是收斂的，那么那么,limSSnn ,lim2SSnn , 0)(lim2 nnnSS但但nnSS 2nnnn 1211112 , 0)(lim2 nnnSS所以，所以， 級數(shù)級數(shù) 11kk是發(fā)散的是發(fā)散的例例3. 判別下列

6、級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性: .)1(1)2( ;1ln)1(11 nnnnnn解解: (1) 12ln nS nnln)1ln()2ln3(ln)1ln2(ln )1ln( n） n(所以級數(shù)所以級數(shù) (1) 發(fā)散發(fā)散 ;技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和23ln 34ln nn1ln (2) )1(1431321211 nnSn 211111 n） n(1所以級數(shù)所以級數(shù) (2) 收斂收斂, 其和為其和為 1 . 3121 4131 111nn技巧技巧:利用利用 “拆項相消拆項相消” 求求和和 .)1(1)2( 1 nnn 例例4. 判別級數(shù)判別級數(shù) 2211lnnn

7、的斂散性的斂散性 .解解: 211lnn 221lnnn nnnln2)1ln()1ln( 2211lnkSnkn 2ln21ln3ln 3ln22ln4ln ln2)1ln()1ln(nnn 5ln4ln23ln 2ln nnln)1ln( 2ln)1ln(1 n, 2lnlim nnS故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂 , 其和為其和為.2ln 2 無窮級數(shù)的基本性質無窮級數(shù)的基本性質 性質性質1 若級數(shù)若級數(shù)1nnu收斂于收斂于 S ,1 nnuS則各項則各項乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù)1nnuc也收斂也收斂 ,證證: 令令,1 nkknuS那么那么 nkknuc1 ,nSc nn li

8、mSc 這說明這說明 1nnuc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . nnSc lim說明說明: 級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變級數(shù)各項乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即即其和為其和為 c S .即即 11nnnncuuc性質性質2 設有兩個收斂級數(shù)設有兩個收斂級數(shù),1 nnuS 1nnv 則級數(shù)則級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為. S證證: 令令,1 nkknuS,1 nkknv 那那么么)(1knkknvu nnS )( nS 這說明級數(shù)這說明級數(shù))(1nnnvu 也收斂也收斂, 其和為其和為. S即即 111)(nnnnnnnvuvu說明說明:(2) 若兩級數(shù)中一個

9、收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 那那么么)(1nnnvu 必發(fā)散必發(fā)散 . 但若二級數(shù)都發(fā)散但若二級數(shù)都發(fā)散 ,)(1nnnvu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散.例如例如, ,)1(2nnu 取取,)1(12 nnv0 nnvu而而(1) 性質性質2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減表明收斂級數(shù)可逐項相加或減 .(用反證法可證用反證法可證)例例5判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和判別下列級數(shù)的斂散性，如果收斂，求其和 1)2)1(32()1(nnnn)232()2(1nnnn 解解（1） 因為因為 112)1(,32nnnnn均收斂，均收斂， 所以所以 1)2)1(32(nnnn收斂，收斂，

10、且且 1)2)1(32(nnnn 11)31(32nn 11)21(21nn311132 211121 32 （2）因為因為 132nnn收斂，收斂， 12nn發(fā)散，發(fā)散，)232(1nnnn 發(fā)散。發(fā)散。性質性質3. 在級數(shù)前面加上或去掉有限項在級數(shù)前面加上或去掉有限項, 不會影響級不會影響級數(shù)的斂散性數(shù)的斂散性.證證: 將級數(shù)將級數(shù)1nnu的前的前 k 項去掉項去掉, 1nnku的部分和為的部分和為 nllknu1 knkSS nknS 與與 ,時時由由于于 n數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 其和的關系為其和的關系為.kSS 類似可證前面加上有限項的情況類似可證前面

11、加上有限項的情況 .極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級所得新級數(shù)所得新級數(shù)性質性質4. 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)的和數(shù)的和.證證: 設收斂級數(shù)設收斂級數(shù),1 nnuS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()(54321uuuuu則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1( mm 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和序列序列 ),2,1( nSn的一個子序列的一個子序列,nnmmS limlim S 推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散.注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所

12、成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.,0)11()11( 但但 1111發(fā)散發(fā)散.因此必有因此必有例如，例如，用反證法可證用反證法可證例如例如例例6.判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性: 141141131131121121解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù) )()()(1411411311311211211111 nnan21n nna 2發(fā)散發(fā)散 ,從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 .nn121 設收斂級數(shù)設收斂級數(shù),1 nnuS則必有則必有.0lim nnu證證: 1 nnnSSu1limlimlim nnnnnnSSu0 SS可見可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級

13、數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 .性質性質5. 收斂級數(shù)的必要條件收斂級數(shù)的必要條件注意注意:0lim nnu并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件.例如例如, 調和級數(shù)調和級數(shù) nnn13121111雖然雖然，01limlim nunnn但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 .例例7.說明下列級數(shù)是發(fā)散的說明下列級數(shù)是發(fā)散的 192)1(nnn 11)2(nnnn 123)1()3(nnnn;!)4(1 nnnnne解解92 nnun（1）),(21 n所以原級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是發(fā)散的（2）nnnnu 1),( n所以原級數(shù)是發(fā)散的所以原級數(shù)是發(fā)散的（3）2622 nnun,

14、31561212 nnun,31 級數(shù)是發(fā)散級數(shù)是發(fā)散（4） nnuu1nne)1(1 ),2,1(1 n11)1(! )1( nnnnennnne!,!nnnnneu 111)1()1( nnnne故故011 uuunn從而從而,0lim nnu這說明級數(shù)這說明級數(shù)(1) 發(fā)散發(fā)散.二二 正項級數(shù)及其判斂法正項級數(shù)及其判斂法假假設設,0 nu1nnu基本定理基本定理 1nnu收斂的充要條件是收斂的充要條件是 部分和部分和nS),2,1( n有界有界 .假設假設 1nnu收斂收斂 , ,收斂收斂則則nS,0 nu部分和數(shù)列部分和數(shù)列 nS nS有界有界, 故故 nS 1nnu從而從而又已知又已

15、知故有界故有界.則稱則稱為正項級數(shù)為正項級數(shù) .單調遞增單調遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂.證證: “ ”“ ”正項級數(shù)正項級數(shù)序列序列, Zn,nnvku 都有都有定理定理2 (比較審斂法比較審斂法)設設,1 nnu 1nnv且存在且存在, ZN對一切對一切,Nn 有有(1) 若級數(shù)若級數(shù) 1nnv則級數(shù)則級數(shù) 1nnu(2) 若級數(shù)若級數(shù) 1nnu則級數(shù)則級數(shù) 1nnv證證:設對一切設對一切和和令令nSn 則有則有收斂收斂 ,也收斂也收斂 ;發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 .分別表示級數(shù)分別表示級數(shù)nnvku 是兩個正項級數(shù)是兩個正項級數(shù), (常數(shù)常數(shù) k 0 ),因在級數(shù)前加、減有限項不改

16、變其斂散性因在級數(shù)前加、減有限項不改變其斂散性, 故不妨故不妨部分和部分和, 則有則有,1 nnu 1nnv(1) 若級數(shù)若級數(shù) 1nnv則有則有nn lim因此對一切因此對一切, Zn有有nS由定理由定理 1 可知可知, 1nnu則有則有(2) 若級數(shù)若級數(shù) 1nnu,lim nnS因而因而,lim nn 這說明級數(shù)這說明級數(shù) 1nnv也發(fā)散也發(fā)散 . k nSnk 也收斂也收斂 .發(fā)散發(fā)散, ,收斂收斂,級數(shù)級數(shù) ppppn14131211).0( p例例8. 8. 討論討論p-p-級數(shù)級數(shù)的收斂性的收斂性解解: 1) 假假設設, 1p因為對一切因為對一切, Zn而調和級數(shù)而調和級數(shù) 11

17、nn由比較審斂法可知由比較審斂法可知 p 級數(shù)級數(shù) 11npnn1 發(fā)散發(fā)散 .發(fā)散發(fā)散 ,pn1,1 p因為當因為當nxn 1,11ppxn 故故 nnppxnn1d11 nnpxx1d1 111)1(111ppnnp考慮級數(shù)考慮級數(shù) 1121)1(1ppnnn的部分和的部分和n 111)1(11ppnkkk n故級數(shù)故級數(shù)時時,1)1(11 pn 11111)1(113121211pppppnn12) 假假設設p 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 . 1121)1(1ppnnn收斂收斂 , 由比較審斂法知由比較審斂法知 發(fā)發(fā)散散時時當當收收斂斂時時當當級級數(shù)數(shù),1,111ppnpnp重要參考級數(shù)重要參考級

18、數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), p-, p-級數(shù)級數(shù), , 調和級數(shù)調和級數(shù). . 15tan)1(nn 1412)2(nnn 11041)3(nndxxx 104411)4(nndxx例例9. 9. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性 解解nn55tan (1) 而而 11nn 發(fā)散發(fā)散, 所以所以 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散(2)124 nn442nnn 231n 1231nn收斂，收斂， 所以所以 1412nnn收斂收斂.(3) ndxxx1041 ndxx1023132n 1231nn收斂，收斂， 所以所以 11041nndxxx收斂收斂.(4) ndxx04411 nxdx0122n

19、121nn 所以所以 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂收斂收斂例例10. 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性 2ln1)1(nnn 22ln1)2(nnn解解(1)當當)1, nnx時，時，xxnnln1ln1 nnln1 1ln1nndxnn 1ln1nndxxxnnlnln)1ln(ln 則級數(shù)則級數(shù) 2)lnln)1ln(lnnnn n 2lnln3lnln nnlnln)1ln(ln 2lnln)1ln(ln n)( n發(fā)散，發(fā)散，所以級數(shù)所以級數(shù) 2ln1nnn發(fā)散發(fā)散.(2), 1(nnx 時，時，)2(ln1ln122 nxxnn nn2ln1 nndxnn12ln1 nndxxx12

20、ln1nnln1)1ln(1 對于級數(shù)對于級數(shù), ln1)1ln(13 nnn由于由于 n 3ln12ln1 4ln13ln1 nnln1)1ln(1 nln12ln1 )(2ln1 n則收斂，則收斂， 所以級數(shù)所以級數(shù) 22ln1nnn收斂收斂.定理定理3. (比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式),1 nnu 1nnv,limlvunnn 則有則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ;(2) 當當 l = 0 ,1收斂時收斂時且且 nnv;1也收斂也收斂 nnu(3) 當當 l = ,1發(fā)發(fā)散散時時且且 nnv.1也發(fā)散也發(fā)散 nnu證證: 據(jù)極限定義據(jù)極限定義, 0 對對,

21、 ZN存存在在 lvunn)( l設兩正項級數(shù)設兩正項級數(shù)滿足滿足(1) 當當 0 l 時時,時時當當Nn nnnvluvl)()( , l 取取由定理由定理 2 可知可知與與 1nnu 1nnv同時收斂或同時發(fā)散同時收斂或同時發(fā)散 ;)(Nn ),()(Nnvlunn 利用利用(3) 當當l = 時時, ZN存在存在,時時當當Nn ,1 nnvu即即nnvu 由定理由定理2可知可知, 假假設設 1nnv發(fā)散發(fā)散 , ;1也也收收斂斂則則 nnu(1) 當當0 l 時時,(2) 當當l = 0時時,由定理由定理2 知知 1nnv收斂收斂 , 假設假設.1也也發(fā)發(fā)散散則則 nnu特別取特別取,1

22、pnnv 推論極限判別法）推論極限判別法） 設設 1nnu為正項級數(shù)，為正項級數(shù)，)(lim 或或lunnpn假如假如,0 , 1 lp則級數(shù)則級數(shù) 1nnu收斂；收斂；假如假如,0 , 1 lp則級數(shù)則級數(shù) 1nnu發(fā)散；發(fā)散；例例11 判別下列級數(shù)的斂散性判別下列級數(shù)的斂散性nn1sin)1(1 1412)2(nnn 12)21ln()3(nn 21)4(nnnn解解 (1) nlimnn1sinnnn1lim 1 1sinnn1根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知.1sin1發(fā)散發(fā)散 nn(2)12lim423 nnnn22 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限

23、形式知 1412nnn收斂收斂(3) nlim2n 211lnn )11ln(2n 21n221limnnn 1 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知 .11ln12收斂收斂 nn(4)nnnn1lim )1(limln1 nnnen1ln nne nnlnnnnnlnlim nnnlnlim 0 根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知.12收斂收斂 nnnn23n例例12 判別級數(shù)判別級數(shù))0(111 aann的斂散性的斂散性.解解當當10 a時時nna 11lim, 1 當當1 a時，時，nna 11lim21 當當10 a時時 111nna發(fā)散，發(fā)散，當當1

24、 a時，時，nnnaa 11lim, 1 11nna收斂收斂根據(jù)比較審斂法的極限形式知根據(jù)比較審斂法的極限形式知.112收斂收斂 nna nnnuu1lim由由定理定理4 . 比值審斂法比值審斂法 ( Dalembert 判別法判別法)設設 nu為正項級數(shù)為正項級數(shù), 且且,lim1 nnnuu那那么么(1) 當當1(2) 當當1證證: (1),1時時當當 11 nnuunnuu)(1 12)( nu 1)( NNnu , 1 使使取取收斂收斂 ,.收斂收斂 nu時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ;或或時時, 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 ., ZN知知存存在在,時時當當Nn k)( 由比較審斂法可知由比較審斂法

25、可知,1時時或或 , 0, NuZN必必存存在在, 11 nnuu,0lim Nnnuu因而因而所以級數(shù)發(fā)散所以級數(shù)發(fā)散.Nn 當當時時(2) 當當nnuu 11 nuNu 1lim1 nnnuu說明說明: : 當當時時, ,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. .例如例如, p , p 級數(shù)級數(shù):11 npnnnnuu1lim ppnnn1)1(1lim 1 但但,1 p級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ;,1 p級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 .從而從而注意注意 (1) 當當1 時比值審斂法失效時比值審斂法失效; ;,11發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)例例如如 nn,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn)1( 條件是充分的條件是充

26、分的,而非必要而非必要. (2),2)1(211收收斂斂級級數(shù)數(shù)例例如如 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不存在不存在nnnnnauu (3)在判別收斂時，在判別收斂時，求極限過程不可缺，求極限過程不可缺，而而11 nnuu發(fā)散發(fā)散 1nnu事實上事實上11 nnuunnuu 101 u0lim nnu 1!nnnn 110!nnn 12)12(1nnn例例13 13 判別下列級數(shù)的收斂性判別下列級數(shù)的收斂性: :(1)(2) (3)解解(1) nnuu1 nnnnnn!)1()!1(1nn)11(1 n

27、lim nlim nlime1 1 所以所以 1!nnnn收斂收斂.)3( nnuu1, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, , 改用比較審斂法改用比較審斂法211lim,(21) 24nnnn .)12(211收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nnn)22()12(2)12( nnnn nlim nlim(2) nnuu1nnnn10!10)!1(1 101 n)9(1 n所以所以發(fā)散發(fā)散 110!nnn lim n)0(11 xxnnn的斂散性的斂散性 .解解: nnnuu1lim nxn)1( 1 nxnx 根據(jù)定理根據(jù)定理4可知可知:,10時時當當 x級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ;,1時時當當 x級數(shù)發(fā)散級

28、數(shù)發(fā)散 ;.1發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù) nn,1時時當當 x例例14. 討論級數(shù)討論級數(shù)對任意給定的正數(shù)對任意給定的正數(shù) ,lim nnnu定理定理5. 根值審斂法根值審斂法 ( Cauchy判別法判別法)設設 1nnu為正為正,lim nnnu那那么么;,1)1(級數(shù)收斂級數(shù)收斂時時當當 .,1)2(級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散時時當當 證明提示證明提示: , ZN存存在在 nnu有有時時當當,Nn 即即nnnu)()( 分別利用上述不等式的左分別利用上述不等式的左,右部分右部分, 可推出結論正確可推出結論正確., )1( 1111項級數(shù)項級數(shù), 且且例例15. 證明級數(shù)證明級數(shù)11nnn收斂于收斂于S ,近似

29、代替和近似代替和 S 時所產生的誤差時所產生的誤差 . 解解: : nnnnnu1 n1 )(0 n由定理由定理5可知該級數(shù)收斂可知該級數(shù)收斂 . 令令,nnSSr 則所求誤差為則所求誤差為 21)2(1)1(10nnnnnr 21)1(1)1(1nnnn 1)1(1nnnnn)1(1 1111 n并估計以部分和并估計以部分和 Sn三三 任意項級數(shù)任意項級數(shù)則各項符號正負相間的級數(shù)則各項符號正負相間的級數(shù) nnuuuu1321)1(稱為交錯級數(shù)稱為交錯級數(shù) .定理定理6 . ( Leibnitz 判別法判別法 ) 若交錯級數(shù)滿足條件若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)則級數(shù); ),2,1()11 nuu

30、nn,0lim)2 nnunnnu 11)1(收斂收斂 , 且其和且其和 ,1uS 其余項滿足其余項滿足.1 nnur,2,1,0 nun設設1 交錯級數(shù)交錯級數(shù)證證: )()()(21243212nnnuuuuuuS )()()(1222543212 nnnuuuuuuuS1u 是單調遞增有界數(shù)列是單調遞增有界數(shù)列,nS212limuSSnn 又又)(limlim12212 nnnnnuSSnnS2lim 故級數(shù)收斂于故級數(shù)收斂于S, 且且,1uS :的余項的余項nS0nu2 nnSSr )(21 nnuu 21nnnuur1 nu故故S 例例16 16 判別級數(shù)判別級數(shù) 21)1()2(nnnn的收斂性的收斂性. . 11)1()1(nnn解解 (1)nun1 ,111 nun且且, 0li