高中數(shù)學--圓的方程知識點題型歸納

1、 第一講 圓的方程一、知識清單（一）圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)標準方程(xa)2(yb)2r2(r>0)圓心：(a，b)，半徑：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F>0)圓心：，半徑：1、圓的標準方程與一般方程的互化（1）將圓的標準方程 (xa)2(yb)2r2 展開并整理得x2y22ax2bya2b2r20，取D2a，E2b，F(xiàn)a2b2r2，得x2y2DxEyF0.（2）將圓的一般方程x2y2DxEyF0通過配方后得到的方程為：(x)2(y)2當D2E24F>0時，該方程表示以(，)為圓心，為半徑的圓；當D2E24F0時，方程只有

2、實數(shù)解x，y，即只表示一個點(，)；當D2E24F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形2、圓的一般方程的特征是：x2和y2項的系數(shù) 都為1 ，沒有 xy 的二次項.3、圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了（二）點與圓的位置關系點M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關系：（1）若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2>r2.（2）若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.（3）若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2<r2.（三）溫馨提示1、方程Ax2BxyCy2DxEy

3、F0表示圓的條件是：（1）B0； （2）AC0； （3）D2E24AF0.2、求圓的方程時，要注意應用圓的幾何性質簡化運算（1）圓心在過切點且與切線垂直的直線上（2）圓心在任一弦的中垂線上（3）兩圓內(nèi)切或外切時，切點與兩圓圓心三點共線3、中點坐標公式：已知平面直角坐標系中的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，點M(x，y)是線段AB的中點，則x ，y .二、典例歸納考點一：有關圓的標準方程的求法【例1】 圓的圓心是 ，半徑是 .【例2】 點(1,1)在圓(xa)2(ya)24內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是()A(1,1) B(0,1)C(，1)(1，) D(1，)【例3】 圓心在y軸上，半徑為1

4、，且過點(1,2)的圓的方程為()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21【例4】 圓(x2)2y25關于原點P(0,0)對稱的圓的方程為()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25 Dx2(y2)25【變式1】已知圓的方程為，則圓心坐標為 【變式2】已知圓C與圓關于直線 對稱，則圓C的方程為 【變式3】 若圓C的半徑為1，圓心在第一象限，且與直線4x3y0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A(x3)221 B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21 D.2(y1)21【變式4】已知的頂點坐標分別是，求外接圓的方程.方法總結

5、：1利用待定系數(shù)法求圓的方程關鍵是建立關于a，b，r的方程組2利用圓的幾何性質求方程可直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想的運用考點二、有關圓的一般方程的求法【例1】 若方程x2y24mx2y5m0表示圓，則的取值范圍是()A .m1 Bm或m1 Cm Dm1【例2】 將圓x2y22x4y10平分的直線是()Axy10 Bxy30 Cxy10 Dxy30【例3】 圓x22xy230的圓心到直線xy30的距離為_【變式1】 已知點是圓上任意一點，P點關于直線的對稱點也在圓C上，則實數(shù)= 【變式2】 已知一個圓經(jīng)過點、，且圓心在上，求圓的方程.【變式3】 平面直角坐標系中有四點

6、，這四點能否在同一個圓上？為什么？【變式4】 如果三角形三個頂點分別是O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，則它的內(nèi)切圓方程為_方法總結：1利用待定系數(shù)法求圓的方程關鍵是建立關于D，E，F(xiàn)的方程組2熟練掌握圓的一般方程向標準方程的轉化 考點三、與圓有關的軌跡問題【例1】 動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【例2】 方程表示的曲線是（ ）A. 一條射線 B. 一個圓 C. 兩條射線 D. 半個圓【例3】 在中，若點的坐標分別是（-2,0）和（2,0），中線AD的長度是3，

7、則點A的軌跡方程是（ ） A. B. C. D. 【例4】 已知一曲線是與兩個定點O(0,0)，A(3,0)距離的比為的點的軌跡求這個曲線的方程，并畫出曲線【變式1】 方程所表示的曲線是（ ）A. 一個圓 B. 兩個圓 C. 一個半圓 D. 兩個半圓【變式2】 動點P到點A(8,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，則動點P的軌跡方程為()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216 Dx2(y1)216【變式3】 如右圖，過點M(6,0)作圓C：x2y26x4y90的割線，交圓C于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡【變式4】 如圖，已知點A(1,0)與點B(1,0)，C是圓x2y2

8、1上的動點，連接BC并延長至D，使得|CD|BC|，求AC與OD的交點P的軌跡方程方法總結：求與圓有關的軌跡問題時，根據(jù)題設條件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根據(jù)題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡(2)定義法：根據(jù)直線、圓等定義列方程(3)幾何法：利用圓與圓的幾何性質列方程(4)代入法：找到要求點與已知點的關系，代入已知點滿足的關系式等考點四：與圓有關的最值問題【例1】 已知圓x2y22x4ya0關于直線y2xb成軸對稱，則ab的取值范圍是_【例2】 已知x，y滿足x2y21，則的最小值為_【例3】 已知點M是直線3x4y20上的動點，點N為圓(x1)2(y

9、1)21上的動點，則|MN|的最小值是()A. B1 C. D.【例4】已知實數(shù)x，y滿足(x2)2(y1)21則2xy的最大值為_，最小值為_【變式1】 P(x，y)在圓C：(x1)2(y1)21上移動，則x2y2的最小值為_【變式2】 由直線yx2上的點P向圓C：(x4)2(y2)21引切線PT(T為切點)，當|PT|最小時，點P的坐標是()A(1,1) B(0,2) C(2,0) D(1,3)【變式3】 已知兩點A(2,0)，B(0,2)，點C是圓x2y22x0上任意一點，則ABC面積的最小值是_【變式4】已知圓M過兩點C(1，1)，D(1,1)，且圓心M在xy20上（1）求圓M的方程；（2）設P是直線3x4y80上的動點，PA、PB是圓M的兩條切線，A，B為切點，求四邊形PAMB面積的最小值方法總結：解決與圓有關的最值問題的常用方法（1）形如u的最值問題，