中考數(shù)學(xué)新定義問題提高練習(xí)

1、中考數(shù)學(xué)新定義問題提高練習(xí)1 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P的坐標(biāo)為(x1,yi),點Q的坐標(biāo)為(x2,y2),且xiX2,yi*y2,若P,Q為某個矩形的兩個頂點，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點巳Q的“相關(guān)矩形”的示意圖.02_34_5x圖Z10-1(1)已知點A的坐標(biāo)為(1,0),若點B的坐標(biāo)為(3,1),求點A,B的“相關(guān)矩形”的面積；點C在直線x=3上，若點A,C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；2 2)00的半徑為，2,點M的坐標(biāo)為(m,3).若在。0上存在一點N,使得點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍.2 .在平

2、面直角坐標(biāo)系xOy中，OC的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于OC的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P',滿足CP+CP=2r,則稱P'為點P關(guān)于OC的反稱點，如圖Z102為點P及其關(guān)于OC的反稱點P'的示意圖.特別地，當(dāng)點P'與圓心C重合時，規(guī)定CP=0.(1)當(dāng)。0的半徑為1時.分別判斷點M(2,1),N(30),T(1,。3)關(guān)于。0的反稱點是否存在，若存在，求其坐標(biāo)；點P在直線y=x+2上，若點P關(guān)于。0的反稱點P'存在，且點P'不在x軸上，求點P的橫坐標(biāo)的取值范圍.(2)當(dāng)GK的圓心在x軸上，且半徑為1,直線y=乎x+2

3、m與x軸，y軸分別交于點A,B.若"段AB上存在點P,使得點P關(guān)于OC的反稱點P'在OC的內(nèi)部，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.3 .對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M>0對于任意的函數(shù)值v,都滿足-WyWM則稱這個函數(shù)是有界函數(shù).在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值.例如，圖Z103中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.1(1)分力1J判斷函數(shù)y=-(x>0)和y=x+1(4<xw2)是不是有界函數(shù)？右是有界函數(shù)，求其邊界值；x(2)若函數(shù)y=-x+1(a<x<b,b>a)的邊界值是2,且這個函數(shù)的最大值也是2,求b的取值范圍；

4、(3)將函數(shù)y=x2(1wxwm俏0)的圖象向下平移m個單位長度，得到的函數(shù)的邊界值是t,當(dāng)m在什么范圍時,圖Z10-34 .對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和。C,給出如下定義：若GK上存在兩個點A,B,使得/APB=60°,則稱P為GK的關(guān)聯(lián)點.一J_11_已知點D£,2),E(0,2),F(2g0).(1)當(dāng)。0的半徑為1時，在點D,E,F中，。的關(guān)聯(lián)點是;過點F作直線l交y軸正半軸于點G使/GFO=30°,若直線l上的點P(m,n)是。0的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范r的取值范圍.(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑圖Z10-41 .在平面

5、直角坐標(biāo)系xOy中，。C的半徑為r,P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于OC的限距點的定義如下：若P'為直線PC與GK的一個交點，滿足rwpp<2r,則稱P'為點P關(guān)于GK的限距點，圖Z105為點P及其關(guān)于OC的限距點P'的示意圖.(1)當(dāng)。0的半徑為1時，分別判斷點M(3,4),N5,0,T(1,J2)關(guān)于。0的限距點是否存在？若存在，求其坐標(biāo)；點D的坐標(biāo)為(2,0),DEDF分別切。0于點E,點F,點P在4DEF的邊上.若點P關(guān)于。0的限距點P'存在，求點P'的橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)保持(1)中D,E,F三點不變，點P在4DEF的邊上沿F一AE的

6、方向運(yùn)動，OC的圓心C的坐標(biāo)為(1,0),半徑為r.若點P關(guān)于OC的限距點P'不存在，則r的取值范圍為.P的直線l交OC于異于點P的A,B兩則稱點P為OC的相鄰點，直線l為OC2 .對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P和。C,給出如下定義：若存在過點點，在P,A,B三點中，位于中間的點恰為以另外兩點為端點的線段的中點時,關(guān)于點P的相鄰線.(1)當(dāng)。0的半徑為1時，11分別判斷在點D，4,E(0,43),F(4,0)中，是。0的相鄰點有請從中的答案中，任選一個相鄰點，在圖中作出。0關(guān)于它的一條相鄰線，并說明你的作圖過程；點P在直線y=x+3上，若點P為。0的相鄰點，求點P橫坐標(biāo)的取值范圍；2

7、 2)OC的圓心在x軸上，半徑為1,直線y=X|x+2，3與x軸，y軸分別交于點M,N,若線段MN上存在OC的3相鄰點P,直接寫出圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.并5432-n5432備用圖圖Z10-63 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圖形W在坐標(biāo)軸上的投影長度定義如下：設(shè)點P(xi,yi),Q(x2,y2)是圖形Wk的任意兩點.若|xiX2|的最大值為m則圖形W在x軸上的投影長度lx=m若|yiyz|的最大值為n,則圖形W在y軸上的投影長度ly=n.如圖Z107，圖形W在x軸上的投影長度lx=|31|=2;在y軸上的投影長度ly=|4-0|=4.圖Z10-7(1)已知點A(3,3),B(4,1).如

8、圖所示，若圖形W為AOAB則lx=,ly=;(2)已知點C(4,0),點D在直線y=2x+6上，若圖形W為AOCD當(dāng)lx=ly時，求點D的坐標(biāo)；(3)若圖形W為函數(shù)y=x2(awxwb)的圖象，其中0Wa<b.當(dāng)該圖形滿足lx=ly<1時，請直接寫出a的取值范圍.4 .對于某一函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)p,當(dāng)其自變量的值為p時，其函數(shù)值等于p,則稱p為這個函數(shù)的不變值.在函數(shù)存在不變值時，該函數(shù)的最大不變值與最小不變值之差q稱為這個函數(shù)的不變長度.特別地，當(dāng)函數(shù)只有一個不變值時，其不變長度q為零.例如，圖Z108中的函數(shù)有0,1兩個不變值，其不變長度q等于1.圖Z10-8(1)分

9、別判斷函數(shù)y=x-1,y=-,y=x2有沒有不變值？如果有，直接寫出其不變長度；x(2)函數(shù)y=2x2bx,若其不變長度為零，求b的值；若1wbW3,求其不變長度q的取值范圍；(3)記函數(shù)y=x22x(x>m)的圖象為G,將G沿x=m翻折后得到的函數(shù)圖象記為G.函數(shù)G的圖象由G和G兩部分組成，若其不變長度q滿足0WqW3,則m的取值范圍為.參考答案1 .解：(1)CDS=2X1=2.C的坐標(biāo)可以為(3,2)或者(3,2),設(shè)直線AC的表達(dá)式為y=kx+b,將A,C的坐標(biāo)分別代入AC的表達(dá)式得到0=k+b,0=k+b,或2=3k+b,-2=3k+b,解得k=1,b=1.所以直線AC的表達(dá)式

10、為丫=*一1或丫=一*+1.(2)若。0上存在點N使MN的“相關(guān)矩形”為正方形，則直線MN與x軸的夾角為45°(正方形一條對角線所在直線)，即過M點作與x軸的夾角為45°的直線，與。0有交點，即存在N.當(dāng)k=1時，極限位置是直線與。0相切，如圖中11與12,直線11與。0切于點N,ON=R/ONM=90°,，11與y軸交于Pi(0,-2).又.51時1,3),-3-(-2)=0-m,m=-5,M(-5,3).同理可得M(1,3).當(dāng)k=1時，極限位置是直線l3,l4(與。0相切)，可得M(1,3),M(5,3).因此m的取值范圍為一5Wmc1或1Wmc5.2.解：

11、(1)點M(2,1)關(guān)于。0的反稱點不存在.,31點N(2，0)關(guān)于。0的反稱點存在，反稱點N(2，0).點T(1,m)關(guān)于。0的反稱點存在，反稱點(0,0).如圖，直線y=x+2與x軸，y軸分別交于點E(2,0),點F(0,2).設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x.(i)當(dāng)點P在線段EF上，即0<x<2時，0VOPC2, 在射線OP上一定存在一點P',使得O%OP=2, 點P關(guān)于。0的反稱點存在，其中點P與點E或點F重合時，OP=2,點P關(guān)于。0的反稱點為O,不符合題意,0<x<2.(ii)當(dāng)點P不在線段EF上，即x<0或x>2時，OP>2, 對于射線OP上

12、任意一點P',總有。目0P>2,:點P關(guān)于。0的反稱點不存在.綜上所述，點P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是0vxv2.1<CPC2.(2)若線段AB上存在點巳使得點P關(guān)于GX的反稱點P'在GX的內(nèi)部，則依題意可知點A的坐標(biāo)為(6,0),點B的坐標(biāo)為(0,2娟)，ZBAQ=30°.設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(x,0).當(dāng)x<6時，過點C作CHLAB于點H,如圖，0<CHCCPC2,0<CAC4,0v6x04).2Vxv6)并且，當(dāng)2WXV6時，CB>2,CFK2,在線段AB上一定存在點P,使得CP=2,：此時點P關(guān)于GX的反稱點為C,且點C在。C的內(nèi)部

13、，2<x<6.當(dāng)x>6時，如圖.0<G降CPC2,0<x-6<2,6<x<8.并且，當(dāng)6<x<8時，CB>2,CAC2,在線段AB上一定存在一點P,使得CF2,：x=8時，點P關(guān)于。C的反稱點為C,且點C在。C的內(nèi)部，6<x<8.綜上所述，圓心C的橫坐標(biāo)x的取值范圍是2WxW8.13.解：(1)y=-(x>0)不是有界函數(shù).Xy=x+1(4vxW2)是有界函數(shù)，邊界值為3.(2)對于y=x+1,y隨x的增大而減小，當(dāng)x=a時，y=a+1=2,a=1,當(dāng)x=b時，y=b+1.-2<-b+1<2,b&g

14、t;a,1vbw3.(3)由題意，函數(shù)圖象平移后的表達(dá)式為2y=xm(1<x<rrm>0).當(dāng)x=-1時，y=1rn當(dāng)x=0時，y=rn2當(dāng)x=m時，y=mm.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，當(dāng)OWrrKl時，1rr>m2m.當(dāng)m>1時，1rkmm.1當(dāng)OWW5時，1俏m.由題意，邊界值t=1m.31當(dāng)二wtwi時，0<nr-,4410=CITF.41當(dāng)5Vme1時，1m<m.由題意，邊界值t=m.3 3當(dāng)wtwi時，-<m<1,4 45-0wnr1.4當(dāng)m>1時，由題意，邊界值trn3:不存在滿足-<t<1的m值.4133綜上所述

15、，當(dāng)CKmeI或me1時，滿足wtwi.4444.解：(1)D,E如圖所示，過點E作。的切線，設(shè)切點為R.。0的半徑為1,RO=1.EO=2,ZOER=30,根據(jù)切線長定理得出。0的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30°,.E點是。0的關(guān)聯(lián)點.11f- D(-,-),E(0,-2),F(2®0),OF>EQDCkEQ .D點一定是OO的關(guān)聯(lián)點，而在。0上不可能找到兩點與點F的連線的夾角等于60°,故在點D,E,F中，OO的關(guān)聯(lián)點是D,E.由題意可知，若P剛好是GX的關(guān)聯(lián)點，則。C的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60°,由圖可知/APB=60&#

16、176;,則/CPB=30°.BC連接BC,貝IPO./n=2BO2r,sinZCPB 若點P為OC的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足OW*2r.由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，則點P到原點的距離OP=2X1=2,如圖，過點。作直線I的垂線OH垂足為H,./GFO=30°,.ZOG60,OG=2,可得點R與點G重合.過點P2作P2IVLx軸于點M,可得/P20M=30°,O陣OPcos30°=也，從而若點P為。0的關(guān)聯(lián)點，則P點必在線段P1P2上，.0wmc通EF的中點.(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓

17、的圓心應(yīng)是線段考慮臨界情況，如圖，1即恰好點E,F為。K的關(guān)聯(lián)點時，則KF=2K42EF=2,此時，r=1,故若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，則這個圓的半徑r的取值范圍為r>1.1 .解：(1)點M,點T關(guān)于。0的限距點不存在；點N關(guān)于。0的限距點存在，坐標(biāo)為(1,0).點D的坐標(biāo)為(2,0),。半徑為1,DE,DF分別切。0于點E,點F,一.切點坐標(biāo)為1,坐,1一.2，22，2如圖所示，不妨設(shè)點E的坐標(biāo)為2,坐，點F的坐標(biāo)為1,乎，EOFO的延長線分別交。0則E'-；,-喙，F(xiàn)'%堂.2'22'2設(shè)點P關(guān)于。0的限距點的橫坐標(biāo)為x.I.當(dāng)點P在線

18、段EF上時，直線PO與E'F'的交點P'滿足1WPPW2,故點P關(guān)于。0的限距點存在，其橫坐1標(biāo)x滿足1WXW2.II.當(dāng)點P在線段DE,DF(不包括端點)上時，直線POOO的交點P'滿足0<PP<1或2<PP<3,故點P關(guān)于。0的限距點不存在.出.當(dāng)點P與點D重合時，直線PO與。0的交點P'(1,0)滿足PP=1,故點P關(guān)于。0的限距點存在，其橫坐標(biāo)x=1.八一，,，1,綜上所述，點P關(guān)于。0的限距點P'的橫坐標(biāo)白范圍為一1<x<-2或x=1.1(2)0<r<62 .解：(1)D,E連接OD過D作OD勺垂線交。0于A,B兩點.(答案不唯一)二。O的半徑為1,所以點P到點O的距離小于或等于3,且不等于1時，符合題意.丁點P在直線y=x+3上，-0<xp<3.(2)0WxcW9.3 .解：(1)4,3(2)設(shè)點D(x,-2x+6).當(dāng)xW0時，lx=4x,ly=-2x+6.'lx=ly,4x=2x+6,，x=2>0(舍去).當(dāng)0Vx<4時，lx=4,ly=|2x+6.1 .lx=ly,.1-4=|2x+6,x=1或x=5(舍去).D(1,4).當(dāng)x>4時，lx=x,ly=2