5.2二次型與對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形ppt課件

1、1200rddd12(,.,)nyyy nrryyyyy1212221212.rrddfyyyd實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A存在可逆矩陣存在可逆矩陣C,C,1200rdddTC AC經(jīng)過(guò)非退化線性替換經(jīng)過(guò)非退化線性替換 XYC二次型二次型 f f 化為化為: :TC AC 使得使得 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX ( (一一) ) 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形( (二二) ) 用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用初等變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形( (三三) )用正交替換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形用正交替換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形二次型二次型通過(guò)非退化線性替換通過(guò)非退化線性替換化成標(biāo)

2、準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形有三種方法有三種方法: :3.3.用正交替換法用正交替換法實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A A存在正交矩陣存在正交矩陣Q,Q,12n 存在正交矩陣存在正交矩陣Q, Q, 12n 經(jīng)過(guò)正交替換經(jīng)過(guò)正交替換 XQY12(,.,)nyyy 12n nyyy21定理定理4.144.14標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形A A的所有特征值的所有特征值實(shí)對(duì)稱矩陣實(shí)對(duì)稱矩陣A AB二次型化為：二次型化為：化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形使得使得使得使得1QAQ TfYYB TYY TQ AQTQ AQ 2221212.nnyyy 二次型二次型12(,.,)nf x xxTX AX例例 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形. .解解 特征值特征值

3、232313231323132323Q Q是正交矩陣是正交矩陣123 220220利用正交替換法利用正交替換法令令2221231231223(,)2344f xxxxxxx xx x 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的矩陣為矩陣為A 1230022 22 (1)(2)(5) EA 51, 2,1:1 13221 22: 212 1335: 122 13Q 化二次型化二次型1Q AQ T010 005020 320222021A經(jīng)過(guò)正交替換經(jīng)過(guò)正交替換二次型化為二次型化為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為是正交矩陣，是正交矩陣，2221231231223(,)2344f xxxxxxx xx x 232313231

4、323132323Q TQ AQ 000152000 123xxx 232313132322313323 123yyyTYBY()TQ AQ000152000 22212325yyy Q 123()y y y 123yyy例例 為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, ,解解AEA 特征值：特征值：11: 30:1 222123121323255448fxxxx xx xx x255224422255 12,10 3122 并寫出所作的線性替換并寫出所作的線性替換. .2() (1 )10 1231,10 112102 542545113 23 2201 1 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為211 45兩兩正交兩兩正交將將 12, 11: 12, 3 化二次型化二次型用正交替換用正交替換12, 正交化正交化224 224 1210 x23 543 553Q Q是正交矩陣是正交矩陣. .將它們單位化：將它們單位化：1210 254251 11: 310: 3122 12, 3 兩兩正交兩兩正交552542511x 355311: 3x132323 310: Q令令2515023 543 553132323 1Q AQ1000100010 T經(jīng)正交替換經(jīng)正交替換二次型化為二次型化為XQY TYB