第五章_功率譜密度函數(shù)

1、 第五章隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度第五章第五章 隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度隨機(jī)振動(dòng)的功率譜密度5-1 自相關(guān)函數(shù)的物理意義及其傅立葉變換 5-2 自功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 5-3 互功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 5-4 共相譜、正交譜和相干函數(shù) 5-1 5-1 自相關(guān)函數(shù)的物理意義 及其傅立葉變換 一個(gè)隨機(jī)振動(dòng)過程的特征可以用數(shù)學(xué)期望、方差和相關(guān)函數(shù)來描述。 但在工程技術(shù)問題中，廣泛采用從頻率域來描述一個(gè)隨機(jī)振動(dòng)過程特征的功率譜密度函數(shù)。 1、功率譜密度函數(shù)能夠反映隨機(jī)振動(dòng)的功率關(guān)于頻率的 分布密度。 2、對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，輸入功率譜、輸出功率譜、系統(tǒng)本身的傳遞特性三者之間的關(guān)系式非常簡便。 3 在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行振

2、動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，功率譜有助于振動(dòng)特性的模擬 功率譜密度與相關(guān)函數(shù)可分別從頻域與時(shí)差域這兩個(gè)不同的角度反映著同一個(gè)統(tǒng)計(jì)特性“功率”。 功率譜密度函數(shù)可由相關(guān)函數(shù)轉(zhuǎn)換而來。 自相關(guān)函數(shù))()()(tXtXERx)()()()0(2tXEtXtXERx 當(dāng)0時(shí)， 為X(t) 的均方值 )(xR所以：自相關(guān)函數(shù)蘊(yùn)藏著隨機(jī)信號(hào)功率的物理意義。 dttXTtXEtXtXERTx022)(1lim)()()()0( 若隨機(jī)過程為各態(tài)歷經(jīng)過程，則 研究隨機(jī)過程時(shí)，常需要利用傅立葉變換來確定 隨機(jī)過程的頻率結(jié)構(gòu)，但一個(gè)時(shí)間函數(shù)，在區(qū)間 內(nèi)其傅立葉變換是否存在，取決于是否絕對(duì)可積。)(tdttX)(很多時(shí)間函數(shù)不能滿足

3、上述條件，因此不能利用用時(shí)間函數(shù)歷程函數(shù)直接進(jìn)行傅立葉變換。 jXXXSF RRed相應(yīng)的逆變換為: 12jXXRSed對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過程， 時(shí)（不為零時(shí)可調(diào)節(jié)零點(diǎn)），當(dāng) 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)趨于 ，所以自相關(guān)函數(shù)滿足絕對(duì)可積的條件，用符號(hào)SX()記作它的傅里葉變換0 x02x 2102XXRE XtSd 12jXXRSed顯然，若自相關(guān)函數(shù)在0處表示信號(hào)的“功率”，則式中SX()的量綱為“功率”/頻率單位，代表單位頻帶上所具有的功率。上兩式通常叫做維納辛欽關(guān)系式。若令式中=0，則可得 jXXXSF RRed( )( )jXXSRed自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換對(duì)為SX()是的函數(shù)，表征信號(hào)本身“功率”按頻

4、率的分布情況。故定義SX()為自功率譜密度函數(shù)(簡稱自功率譜或自譜)。 下面將從另一角度定義自功率譜密度函數(shù) 5.2 自功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì) 12jXXRSed設(shè)x(t)是遍歷過程的一個(gè)樣本函數(shù)，它是定義在(-t)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)非周期函數(shù)，不滿足絕對(duì)可積條件，不能直接應(yīng)用傅立葉變換。引入下述輔助函數(shù)xT():2/2/2/0)()(TtTtTtxtxT若xT(t)滿足絕對(duì)可積條件，則有( )( )1( )( )2j tTTj tTTXx t edtx tXed 下面將從另一角度定義自功率譜密度函數(shù)xT(t) 的均方值定義為:T對(duì)上式求集合平均得 2102XXRE XtSd自功率譜密度函數(shù)定義為2

5、1( )lim( )XTTSEXT( )( )jXXSRed可以證明以上兩種形式是等價(jià)的（1）自譜SX()為一實(shí)偶函數(shù) ，由于自相關(guān)函數(shù)為實(shí)偶函數(shù)，實(shí)偶函數(shù)的傅立葉變換也是實(shí)偶函數(shù) 自譜具有下列性質(zhì)（2 2）自譜密度SX()曲線下面包圍的面積乘以常數(shù)1/2，即為平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的圴方值EX2(t)。 2102XXRE XtSd2( ) (0)( )0 (0)XXSG（3）自譜SX() 是一非負(fù)函數(shù) 21( )lim( )XTTSEXT（4）單邊譜密度GX() 工程中不存在負(fù)頻率，按其偶函數(shù)特征將負(fù)頻率范圍內(nèi)的譜密度折算到正頻率范圍內(nèi)獲得單邊譜密度函數(shù)5.3 互功率譜密度函數(shù)及其性質(zhì)自功率譜

6、SX()定義為自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換，互譜密度(簡稱互譜)有類似的定義，SXY()與RXY()；SYX()與RYX()互為傅里葉變換對(duì)。 ( )( )1( )( )2jXYXYjXYXYSRedRSed( )( )1( )( )2jYXYXjYXYXSRedRSed設(shè)x(t)與y(t)為遍歷過程的兩個(gè)子樣函數(shù)，都是定義在區(qū)間-t內(nèi)的非周期函數(shù)，其傅里葉變換XT()和YT()分別為：( )( )j tTTXx t edt()( )( )()j tjtTTTYyt edtytedt相應(yīng)地，其傅里葉反變換為1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYed從另一個(gè)角度定義互功

7、率譜密度1( )( )2j tTTx tXed()1()( )2jtTTytYeddRjdRdeRSXYXYjXYXYsin)(cos)()()(由于互相關(guān)函數(shù)不是偶函數(shù)，因而上述兩項(xiàng)積分一般均不為零，即互譜函數(shù)為一復(fù)數(shù)。互為共軛函數(shù)互為共軛函數(shù)互功率譜密度的兩個(gè)性質(zhì)：5.4 共相譜、正交譜和相干函數(shù) (只要求掌握相干函數(shù)的表達(dá)式)互譜一般為復(fù)函數(shù)，可寫成共相譜正交譜共相譜、正交譜名稱的由來共相譜為同相分量之積 1limXYRRIITCEXYXYT正交譜為正交分量之積 1limXYIRRITQEXYXYT互譜一般為復(fù)數(shù)，亦可寫成 XYjXYXYSSe 22arctanXYXYXYXYXYXYS

8、CQQC其中互譜與自譜滿足下列不等式由過程X(t)與Y(t)的自譜與互譜，可定義譜相干函數(shù)XY()（或稱凝聚函數(shù)）結(jié)合互譜與自譜間的關(guān)系不等式，易知 2XYXYSSS 22XYXYXYSSS 201XY（證明略）互相關(guān)函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系)0()0()(2YXXYRRR互譜與自譜滿足之間的關(guān)系 2XYXYSSS掌握四個(gè)車輪輸入的自譜與彼此間的互譜四個(gè)車輪：路面不平度函數(shù)1( )( )q lx l2( )()q lx lL3( )( )q ly l4( )()q ly lL1( ) ( )( )F q lF x lX n22( ) ()( )jnLF q lF x lLX n e3( )

9、( )( )F q lF y lY n24( ) ()( )jnLF q lF y lLY n e計(jì)算汽車四個(gè)輸入的振動(dòng)傳遞時(shí)，需要計(jì)算四個(gè)車輪輸入的自譜和四個(gè)車輪彼此之間的互譜，共16個(gè)譜量，其中四個(gè)自譜，12個(gè)互譜；其中互譜的計(jì)算公式：*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT1、2為同側(cè)車輪3、4為同側(cè)車輪*1( )lim( )( )ikikTGnFn F nT2*1111111( )lim( )( )lim( )( )lim( )( )xxTTTGnFn F nXn X nX nGnTTT*22222211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxT

10、TGnFn F nXn eX n eGnTT2*3333111( )lim( )( )lim( ) ( )lim( )( )yyTTTGnFn F nYn Y nY nGnTTT*22444411( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLyyTTGnF n F nYn eY n eGnTT3344( )( )( )yyGnGnGn1122( )( )( )xxGnGnGn*22121211( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn X n eGn eTT互譜密度函數(shù)*22212111( )lim( )( )lim( )( )( )jnLjnLxxTTGnFn F nXn eX nGn eTT*21221( )( )( )jnLxxGnGnGn e同理：同理：*23443( )( )( )jnLyyGnGnGn e*21441( )( )( )jnLxyGnGnGn e*23223( )( )( )j