實驗七多元函數(shù)極大值

1、實驗七多元函數(shù)的極值【實驗?zāi)康摹? 多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。2 多元函數(shù)自由極值的求法3 多元函數(shù)條件極值的求法.4 學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件有關(guān)的命令?！緦嶒瀮?nèi)容】求函數(shù)的極值點和極值【實驗準(zhǔn)備】1計算多元函數(shù)的自由極值對于多元函數(shù)的自由極值問題,根據(jù)多元函數(shù)極值的必要和充分條件,可分為以下幾個步驟:步驟1.定義多元函數(shù)步驟2.求解方程,得到駐點步驟3.對于每一個駐點,求出二階偏導(dǎo)數(shù)步驟4. 對于每一個駐點,計算判別式,如果,則該駐點是極值點,當(dāng)為極小值, 為極大值;,如果,判別法失效,需進(jìn)一步判斷; 如果,則該駐點不是極值點.2計算二元函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值設(shè)函數(shù)在有界區(qū)域上連續(xù)，則

2、在上必定有最大值和最小值。求在上的最大值和最小值的一般步驟為：步驟1. 計算在內(nèi)所有駐點處的函數(shù)值；步驟2. 計算在的各個邊界線上的最大值和最小值；步驟3. 將上述各函數(shù)值進(jìn)行比較，最終確定出在內(nèi)的最大值和最小值。3函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)的MATLAB命令MATLAB中主要用diff求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)diff(f,x,n) 求函數(shù)f關(guān)于自變量x的n階導(dǎo)數(shù)。可以用help diff查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息【實驗方法與步驟】 練習(xí)1 求函數(shù)的極值點和極值.首先用diff命令求z關(guān)于x,y的偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y;>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>

3、diff(z,x)>>diff(z,y)結(jié)果為ans =4*x3-8*yans =-8*x+4*y即再求解方程，求得各駐點的坐標(biāo)。一般方程組的符號解用solve命令，當(dāng)方程組不存在符號解時，solve將給出數(shù)值解。求解方程的MATLAB代碼為：>>clear; >>x,y=solve('4*x3-8*y=0','-8*x+4*y=0','x','y')結(jié)果有三個駐點，分別是P(-2,-4),Q(0,0),R(2,4).下面再求判別式中的二階偏導(dǎo)數(shù)：>>clear; syms x y;

4、>>z=x4-8*x*y+2*y2-3;>>A=diff(z,x,2)>>B=diff(diff(z,x),y)>>C=diff(z,y,2)結(jié)果為A=2*x2B =-8C =4由判別法可知和都是函數(shù)的極小值點，而點Q(0,0)不是極值點，實際上，和是函數(shù)的最小值點。練習(xí) 求函數(shù)在條件下的極值.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y k>>l=x*y+k*(x+y-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>&g

5、t;diff(l,k)得再解此方程組。>>clear; syms x y k>>x,y,k=solve('y+k=0','x+k=0','x+y-1=0','x','y','k')得進(jìn)過判斷,此點為函數(shù)的極大值點,此時函數(shù)達(dá)到最大值.注意;也可以利用Lingo：model:max=x1*x2;x1+x2=1;end更值得一提的是對此種問題我們一般不用Lingo，因為Lingo中已規(guī)定所有決策變量均為非負(fù)。練習(xí)3 拋物面被平面截成一個橢圓,求這個橢圓到原點的最長與最短距離.這個

6、問題實際上就是求函數(shù)在條件及下的最大值和最小值問題.構(gòu)造Lagrange函數(shù)求Lagrange函數(shù)的自由極值.先求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)>>clear; syms x y z u v>>l=x2+y2+z2+u*(x2+y2-z)+v*(x+y+z-1);>>diff(l,x)>>diff(l,y)>>diff(l,z)>>diff(l,u)>>diff(l,v)得再解方程>>clear;>>x,y,z,u,v=solve('2*x+2*x*u+v=0','2*y+2*y*u+v=0','2*z-u+v=0','x2+y2-z=0','x+y+z-1=0','x','y','z','u','v')得上面就是Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點，求所求的條件極值點必在其中取到。由于所求問題存在最大值與最小值（因為函數(shù)在有界閉集，