幾何證明題解題技巧

1、幾何證明題解題技巧息縣五中敖 勇【知識精讀】1. 幾何證明是平面幾何中的一個重要問題，它對培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本類型：一是平面圖形的數(shù)量關(guān)系；二是有關(guān)平面圖形的位置關(guān)系。這兩類問題常?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，如證明平行關(guān)系可轉(zhuǎn)化為證明角等或角互補的問題。2. 掌握分析、證明幾何問題的常用方法：（ 1 ）綜合法（由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，通過有關(guān)定義、定理、公理的應(yīng)用，逐步向前推進，直到問題的解決；（ 2 ）分析法（執(zhí)果索因）從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然后再把所需的條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；（ 3 ）兩頭湊法：將分析

2、與綜合法合并使用，比較起來，分析法利于思考，綜合法易于表達，因此，在實際思考問題時，可合并使用，靈活處理，以利于縮短題設(shè)與結(jié)論的距離，最后達到證明目的。3. 掌握構(gòu)造基本圖形的方法：復(fù)雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善于將復(fù)雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構(gòu)造基本圖形，在構(gòu)造基本圖形時往往需要添加輔助線，以達到集中條件、轉(zhuǎn)化問題的目的?！痉诸惤馕觥? 、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形

3、的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例 1.已知：如圖 1 所示， ABC 中， C 90 , AC BC, AD DB, AE CF 。求證：DE=DF分析：由 ABC是等腰直角三角形可知，A B 45 ,由D是AB中點，可考慮連結(jié)CD ,易得CD AD , DCF 45 。從而不難發(fā)現(xiàn) DCF DAE證明：連結(jié)CDAC BCA BACB 90 , AD DBCD BD AD, DCB B AAE CF, A DCB, AD CDADE CDF DE DF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。 顯然，在等腰直角三角形中， 更

4、應(yīng)該連結(jié)CD, 因為CD既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長 ED到G,使DG =DE , 連結(jié)BG ,證 EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例 2.已知：如圖 2 所示，AB=CD , AD = BC, AE=CF。求證：/ E = / FE / jr 1AD/K7BC / I N V F 圖2證明：連結(jié)AC在ABC和CDA中，AB CD, BC AD, AC CAABC CDA(SSS)B DAB CD, AE CFBE DF在BCE和DAF中，BE DFB DBC DABCE DAF (SAS)E F這時應(yīng)注可用同位角、證兩條直說明：利用三角形全等證明線段求角相等

5、。常須添輔助線，制造全等三角形，意：(1)制造的全等三角形應(yīng)分別包括求證中一量；(2)添輔助線能夠直接得到的兩個全等三角形。2、證明直線平行或垂直90 ° ,或利用兩個銳角互余，或等腰三角形“三線合一”在兩條直線的位置關(guān)系中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行， 內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)系來證， 也可通過邊對應(yīng)成比例、 三角形中位線定理證明 線垂直，可轉(zhuǎn)化為證一個角等于來證。AK分另1J為A至ij BP、CQ例3.如圖3所示，設(shè)BP、CQ是 ABC的內(nèi)角平分線，AH、 的垂線。求證：KH / BCAB M N C圖3BC 于 N,則 BA = BN ,O從而由三角形的中位線分析：由

6、已知，BH平分/ ABC ,又BH XAH ,延長 AH交 AH = HN。同理，延長 AK 交 BC 于 M ,貝U CA = CM , AK = KM 定理，知KH / BC。證明：延長AH交BC于N,延長 AK交BC于M BH 平分/ ABCZABH / NBH又 BH ±AHZ AHB / NHB 90BH = BHABH NBH (ASA)BA BN, AH HN同理，CA = CM , AK= KMKH是AMN的中位線KH /MN即 KH/BC說明：當(dāng)一個三角形中出現(xiàn)角平分線、中線或高線重合時，則此三角形必為等腰三角形。我們也可以理解成把一個直角三角形沿一條直角邊翻折（軸

7、對稱）而成一個等腰三角形。例 4.已知：如圖 4 所示，AB=AC, Z A 90 , AE BF, BD DC。求證：FD ±EDACD證明一：連結(jié)ADAB AC, BD DC/1 /2 90 , /DAE /DAB/BAC 90 , BD DCBD ADZB / DAB / DAE在ADE和BDF中，AE BF, Z B / DAE , AD BDADE BDF3132 90FD ED說明：有等腰三角形條件時，作底邊上的高，或作底邊上中線，或作頂角平分線是常用輔助線。證明二：如圖5所示，延長 ED至ij M ,使DM =ED ,連結(jié)FE , FM , BMBD DCBDM CDE

8、, DM DEBDM CDECE BM, C CBMBM / /ACA 90ABM 90 AAB AC, BF AEAF CE BMAEF BFMFE FMDM DEFD ED說明：證明兩直線垂直的方法如下：(1)首先分析條件，觀察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用輔助線，見本題證二。(2)找到待證三直線所組成的三角形，證明其中兩個銳角互余。(3)證明二直線的夾角等于 90°。3、證明一線段和的問題(一)在較長線段上截取一線段等一較短線段，證明其余部分等于另一較短線段。(截 長法）AD、例5.已知：如圖6所示在 ABC中， B 60 , / BAC、/ BCA的角平分線 CE相交于

9、O。求證：AC=AE+CDB A fEDO1 42 3“5. . ；6AF6FC圖6分析：在AC上截取AF = AE。易知 AEO AFO ,12。由 B知 56 60 ,1 60 ,23 120。1234 60FOC DOC, FC DC證明：在AC上截取 AF = AEBAD CAD, AO AOAEO AFO SAS42又 B 6056601 6023120123460FOC DOC (AAS)FCDC即 AC AE CD（二）延長一較短線段，使延長部分等于另一較短線段，則兩較短線段成為一條線段，證明該線段等于較長線段。（補短法）例6.已知：如圖7所示，正方形 ABCD中，F(xiàn)在DC上,E

10、在BC上， EAF45 。求證：EF = BE + DF不妨延長CB至G ,分析：此題若仿照例1 ,將會遇到困難，不易利用正方形這一條件。使 BG = DF。證明：延長CB至G ,使BG = DF在正方形 ABCD 中， ABG D 90 , AB ADABG ADF (SAS)AG AF,13又 EAF 4523 4521 45即 / GAE = / FAEGE EFEF BE DF4、中考題：如圖8所示，已知 ABC為等邊三角形，延長 BC至ij D,延長BA至ij E,并且使AE =BD ,連結(jié) CE、DE。求證：EC = EDE證明：作DF/AC 交BE于FABC是正三角形BFD是正三

11、角形又 AE = BDAE FD BFBA AF EF即 EF = ACAC/FDEAC EFDEAC DFE (SAS)EC ED題型展示：證明幾何不等式：例題：已知：如圖 9所示， 12, AB AC。求證：BD DCAZ 1 2C B D E 圖9證明一：延長AC至ij E,使AE =AB ,連結(jié)DE在ADE和ADB中,AE AB, 21, AD ADADE ADBBD DE, EBDCE BDCE EDE DC, BD DC證明二：如圖10所示，在 AB上截取AF = AC,連結(jié)DF則易證 ADF ADC圖1034, DF DCBFD 3,4 BBFD BBD DFBD DC說明：在有

12、角平分線條件時，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線?！緦崙?zhàn)模擬】1.已知：如圖11所示， ABC中，BC于E,且有AC AD CE 。求證:C 90 , D 是 AB 上一點,DE，CD 于 D ,交1八DE -CD2ADB圖112.已知：如圖12所示，在 ABC中,A 2 B , CD是/ C的平分線。求證：BC=AC+ADA3 .已知：如圖13所示，過 ABC的頂點A,在/ A內(nèi)任引一射線，過 B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點。求證：MP=MQA xA / QB-/t1-MP 圖13一， 一 一 ，、14 . ABC 中， BAC 90 , AD BC 于

13、D,求證：AD AB ACBC4【試題答案】1.證明：取CD的中點F,連結(jié)AFC41F3 E/ J/ * /ADBAC ADAF CDAFC CDE 90又 14 90 ,13 904 3AC CEACF CED (ASA)CF ED1 DE -CD 22 .分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡單，但一時又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時，我們經(jīng)常采用“截長補短”的手法?！敖亻L”即將長的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補短”即將一條短線段延長出另一條短線段之長，證明其和等于長的線段。E證明：延長CA至E,使CE =CB ,連結(jié)ED在 CBD和 CED中，CB CEBCD ECDCD CDCBD CEDB EBAC2BBAC2E又 BAC ADE EADEE,A