平面幾何中幾個(gè)重要定理的證明

1、、塞瓦定理1.塞瓦定理及其證明平面幾何中幾個(gè)重要定理及其證明定理：在 ABC內(nèi)一點(diǎn)P,該點(diǎn)與ABC的三個(gè)頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,且D、E、F三點(diǎn)均不是ADDB證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有S ADPBDPBECFAD所以而三式相乘得ECADDBFAS ADPS ° BDPS ADCS BDCS APC.同理可得S BPCAD BECFDB ECFAS ADCS ADCS BDCS BDC SBDPBEECS APBS APC注：在運(yùn)用三角形的面積比時(shí)，要把握住兩個(gè)三角形是可以產(chǎn)生出“邊之比” .2.塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在 A

2、BC三邊AB、AD的頂點(diǎn)，若DBBE CFEC FACFFABF三線共點(diǎn).證明：設(shè)直線AE與直線AB于點(diǎn)D。則據(jù)塞瓦定理有AD/ BED/B ECABC的頂點(diǎn)，則有S ADPS BPCS BPCS APB“等高”還是“等底”BC、CA上各有一點(diǎn)D、1 ,那么直線CD、AE、CF1AD BE CF , 1DB EC FA所以有E、F,且 D、E、F均不是 ABCBF交于點(diǎn)P,直線CP交AD AD/.由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合.即得 D、E、F三點(diǎn)DB D/B共線.注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證.、梅涅勞斯定理3.梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與A

3、BC的三邊 AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)ABC的頂點(diǎn)，則有D、E、F,且D、E、F均不是ADBEDBECCF1證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于 點(diǎn)G.CG因?yàn)镃G / AB ,所以"ADCFFACG因?yàn)镃G / AB ,所以DBECBE(2)DB由(1) + ( 2)可得ADBEECCFFA '即得ADDBBE CF , 1EC FA注：添加的輔助線 CG是證明的關(guān)鍵 拆去“橋梁” （CG）使得命題順利獲證.4.梅涅勞斯定理的逆定理及其證明“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個(gè)比例等式，再定理：在ABC的邊AB、BC上各有一點(diǎn) D、E,在邊 AC的延長線上有一點(diǎn) F

4、,若AD BEDB ECCF 1FA那么，證明： 理有D、E、F三點(diǎn)共線.設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D4則據(jù)梅涅勞斯定AD/ BE CF ,一11D/B EC FAAD BE CF .1所以有DB EC FAADDB共線.AD/注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律.、托勒密定理5 .托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有AB - CD + B C- AD = A C- BD .證明：設(shè)點(diǎn)M是對角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段 BD上找一點(diǎn)，使得因?yàn)閟 ACB ,ADB =即得DAE =ACB ,BAM .即 ADE = ACB ,所以 ADEA

5、DDE由于ACD ,ACi)DAE 即BC即ADBC AC DEABAC由（1） +=BAM ,所以ABE = ACD ,所以DAMABEsBAE ,即ACD .即得DACBAE 。而 ABD(2)BE一，即 AB CD AC BE CD得(2)D7B 由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合.即得D、E、F三點(diǎn)AD所以AB-CD + BC- AD = AC BD .BC AB CD AC DE AC BE AC BD .不容易注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論.這里的構(gòu)造具有特點(diǎn), 想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試.6 .托勒密定理的逆定理及其證明B、C、D四點(diǎn)定理：如

6、果凸四邊形 ABCD滿足ABX CD + BCX AD = ACX BD ,那么A、 共圓.證法1 （同一法）：在凸四邊形 ABCD內(nèi)取一點(diǎn) E,使得 EABDAC , EBAEAB s DAC可得 ABX CD = BEX ACAE 且ADABAC(2)則由DAECAB及（2）可得 DAE sCAB.于是有ADX BC = DE 由(1) + (3)可得ACC(3)ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE ).據(jù)條件可得 BD = BE + DE,則點(diǎn)E在線段BD上.則由 EBA DCA,得DBA DCA,這說明 a、b、c、d四點(diǎn)共圓.證法2 （構(gòu)造轉(zhuǎn)移法）延長DA到

7、A/,延長A/四點(diǎn)共圓.延長 DC到 點(diǎn)共圓.（如果能證明A/、DB 至U B/,使 A、B、C/,使得 B、C、。、B/、B/四B- O共線，則命題獲證）那么,據(jù)圓哥定理知A、C、C，、A，四點(diǎn)也共圓.因此,可得A/B/A/DB/C/C/DABA/B/另一方面,AB欲證AB即BC據(jù)條件有即證CDB/C/A/C/ACA/DCDCDACBCBCBDAB A/ D BCA/DA/C/而即ACBC C/DBDA/DC/DBDCDBDBC(ACC/DAC A/DCDAC A/D二 ，即證CDCDBDAB CDC/D AC BDAB CD)A/D .AD BC ,所以需證C/D AD BC A/D,C/

8、DAD A/D ,這是顯然的.所以，A/B/A/DB/C/A/C/,即A/、B/、C/共線.所以A/B/B與 BB/C/互補(bǔ).由于 A/B/BBB/C/DCB ,所以DAB與DCB互補(bǔ),即 A、B、C、D四點(diǎn)共圓.7 .托勒密定理的推廣及其證明定理：如果凸四邊形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)不在同一個(gè)圓上，那么就有ABX CD + BC XAD > AC XBD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E,使得EAB DAC, EBA DCA,則 EAB s DAC .可得 ABX CD = BEX AC( 1)AE AB且 AD AC(2)則由DAECAB及(2)可得DAEs CAB .于是ADX

9、BC = DE >AC( 3)由(1) + (3)可得 ABX CD + BCX AD = ACX ( BE + DE )因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABX CD + BC XAD ACX BD所以BE + DE BD,即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有 BE + DE > BD .所以 ABX CD + BCX AD > ACX BD .四、西姆松定理8 .西姆松定理及其證明定理：從 ABC外接圓上任意一點(diǎn) P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線.證明：如圖示，連接 PC,連接EF交BC于點(diǎn)D。連接

10、PD/.因?yàn)镻E AE , PF AF,所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得 FAE = FEP.因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以 BAC = BCP, 即 FAE = BCP.所以， FEP = BCP,即 D/EP = D/CP,可 得C、D/> P、E四點(diǎn)共圓.所以，CD/P + CEP = 1800。而 CEP = 900,所以 CD/P = 900,即 PD/ BC.由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個(gè)，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線.注：(1)采用同一法證明可以變被動為主動，以便 充分地調(diào)用題設(shè)條件.但需注意運(yùn)用同一法證明時(shí)的唯一性.(2)反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決

11、此題的關(guān)鍵，要掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法. 五、歐拉定理9 .歐拉定理及其證明定理：設(shè)A ABC的重心、外心、垂心分別用字母 G、 O、H表示.則有 G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足 OH 3OG .證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點(diǎn)D。連接 CD、AD、HC,設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接 OE和OC.則OH OA AH 一因?yàn)?CD ± BC , AH XBC,所以 AH / CD ,同理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.從而得AH DC .而DC 2OE ,所以AH 2OE .1 ,因?yàn)镺E 2 OB OC ,所以AH OB OC由得：OH OA OB OCOA

12、GB GC另一方面，OG OA AG OA 2GF1 OA OB OC3而GB GO OB,GC GO OC ,所以O(shè)G OA 2GO OC OB OG由得：OH 3OG ,結(jié)論得證.注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向 量對幾何問題的表現(xiàn)手法；（2）此題也可用純幾何法給予證明.又證（幾何法）：連接OH, AE,兩線段相交于 點(diǎn)G/;連BO并延長交圓 O于點(diǎn)D;連接CD、AD、 HC,設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC,如圖.因?yàn)?CD ± BC , AH XBC,所以 AH / CD ,同 理 CH / DA .所以，AHCD為平行四邊形.

13、可得 AH = CD ,而 CD = 2OE ,所以 AH = 2OE .因?yàn)?AH / CD , CD / OE ,所以 AH / OE ,可得AHG*EOG（所以AH AG/ HG/2OE G/E G/O 1AG/2由八/ 1_7 ,及重心性質(zhì)可知點(diǎn) G，就是 ABC的重心，即G，與點(diǎn)G重合.G E 1所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿足 OH 3OG.六、蝴蝶定理io .蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦 AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD 和EF,連接CF和ED,分別交AB于P、Q,則PM = MQ .證明：過點(diǎn)M作直線AB的垂線1,作直線CF關(guān)于 直線1的對稱直線交圓于點(diǎn) C、F,交線段AB于點(diǎn)

14、Q：連 接FP、DF< QT DQ/.據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可 知：MF/Q/ = MFP,F/Q/M = FPM;且 FF/ / AB , PM = MQ /.因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以CDF/ + CFF/ = 1800,而由 FF/ / AB 可得 Q/PF + CFF/ = 1800,所以CDF/ = Q/PF,即 MDF/ = Q/PF.又因?yàn)?Q/PF = PQ/F/,即 Q/PF = MQ/F/.所以有MDF / = MQ/F/.這說明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得MF/Q/ = Q/DM .因?yàn)?MF/Q/ = MFP,所以 MFP = Q/DM ,而 MFP

15、 = EDM ,所以 EDM = Q/DM .這說明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即得PM = MQ .此定理還可用解析法來證明：想法：設(shè)法證明直線 DE和CF在x軸上的截距互 為相反數(shù).證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分 線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn).設(shè)直線DE、CF的方程分別為x = m1 y + n 1, x = m2 y + n 2；直線CD、EF的方程分別為y = k1x , y = k2x .則經(jīng)過C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為(y -k1 x )(y *2 x)+ (x -m1 y -m)(x -m2 yF2)=0 .整理得(+k1k2)x 2+(1+mim2)y 2 -(ki+k2)+(mi+m2)xy-(ni + n2)x+ (nim2+n2mi)y+ ni n2=0.由于C、 D、 E、 F 四點(diǎn)在一個(gè)圓上，說明上面方程表示的是一個(gè)圓，所以必須+ ki k2 = 1 +mi m2 w 0,且(k1+k2)+ (m1+m2)=0若 =0,則kik2=1, ki+k2=0 ,這