萬有引力定律應(yīng)用講義

1、將物體在行星表面所受到的萬有引力近似看作等于物體的重將物體在行星表面所受到的萬有引力近似看作等于物體的重力。行星表面的加速度近似看作是由萬有引力產(chǎn)生的。力。行星表面的加速度近似看作是由萬有引力產(chǎn)生的。22MmmgGRMgGR 22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 宇宙間一切物體都是相互吸引著的，通常兩個物體間的萬宇宙間一切物體都是相互吸引著的，通常兩個物體間的萬有引力非常微小，人們無法覺察到它，但在天體系統(tǒng)中，由于有引力非常微小，人們無法覺察到它，但在天體系統(tǒng)中，由于天體的質(zhì)量均很大，萬有引力就起著決定性的作用。天體的質(zhì)量均很大，萬有引力就起著決定性的作用。 天體運動視為圓周運動

2、，萬有引力充當著向心力的作用。天體運動視為圓周運動，萬有引力充當著向心力的作用。 應(yīng)用時根據(jù)實際情況選用相應(yīng)的公式進行分析。應(yīng)用時根據(jù)實際情況選用相應(yīng)的公式進行分析。 某一高度的重力加速度某一高度的重力加速度g與在此高度繞行的向心加速度與在此高度繞行的向心加速度a的的值相同。值相同。 在中學(xué)階段，一般把天體的橢圓運動近似為勻速圓周運動。在中學(xué)階段，一般把天體的橢圓運動近似為勻速圓周運動。據(jù)此，無論是比例題（常以選擇題、填空題出現(xiàn)）還是計算題，據(jù)此，無論是比例題（常以選擇題、填空題出現(xiàn)）還是計算題，均可用均可用“”的動力學(xué)方程來解決。的動力學(xué)方程來解決。22222(2)2(mvmmrfrTrmG

3、mrMr ”的動力學(xué)方程。的動力學(xué)方程。22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 若月球圍繞地球做勻速圓周運動，其周期為若月球圍繞地球做勻速圓周運動，其周期為T，又，又知月球到地心的距離為知月球到地心的距離為r，試求出地球的質(zhì)量和密度。，試求出地球的質(zhì)量和密度。萬有引力提供月球圓周運動向心力萬有引力提供月球圓周運動向心力222()MmGmrrT 2324 rMGT 22222(2)2(mvmmrfrTrmGmrMr 23343MMVGTR 測出衛(wèi)星圍繞天體做勻速圓周運動的半徑測出衛(wèi)星圍繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期和周期T33232222234()rMGTmMGMrVGTmrRr

4、T （式中（式中r衛(wèi)星軌道半徑，衛(wèi)星軌道半徑，R天體半徑）天體半徑）（當衛(wèi)星繞天體表面運動時，軌道半徑（當衛(wèi)星繞天體表面運動時，軌道半徑r與天體半徑與天體半徑R相等）相等）把地球繞太陽公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運動，軌道半徑約把地球繞太陽公轉(zhuǎn)看作是勻速圓周運動，軌道半徑約為為1.51011km，已知引力常量，已知引力常量G=6.671011 Nm2/kg2，則可，則可估算出太陽的質(zhì)量約為估算出太陽的質(zhì)量約為 kg。地球繞太陽運轉(zhuǎn)周期地球繞太陽運轉(zhuǎn)周期:T=365246060=3.15107s地球繞太陽做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供。地球繞太陽做勻速圓周運動的向心力由萬有引力提供。222()MmG

5、mrrT 232113021172443.14(1.510 ) 2106.6710(3.210 )rMkgGT 據(jù)美聯(lián)社據(jù)美聯(lián)社2002年年10月月7日報道，天文學(xué)家在太陽系的日報道，天文學(xué)家在太陽系的9大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星，而且還測大行星之外，又發(fā)現(xiàn)了一顆比地球小得多的新行星，而且還測得它繞太陽公轉(zhuǎn)的周期約為得它繞太陽公轉(zhuǎn)的周期約為288年。若把它和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的年。若把它和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道都看作圓，問它與太陽的距離約是地球與太陽距離的多少軌道都看作圓，問它與太陽的距離約是地球與太陽距離的多少倍？倍？44倍倍 萬有引力對研究天體運動有著重要的意義。海王星、冥王星

6、就是根據(jù)萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的。在18世紀發(fā)現(xiàn)的第七個行星天王星的運動軌道，總是同根據(jù)萬有引力定律計算出來的有一定偏離。當時有人預(yù)測，肯定在其軌道外還有一顆未發(fā)現(xiàn)的新星。后來，亞當斯和勒維列在預(yù)言位置的附近找到了這顆新星(海王星)。后來，科學(xué)家利用這一原理還發(fā)現(xiàn)了太陽系的第9顆行星冥王星，由此可見，萬有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用，有極為重要的意義。 牛頓人造地球衛(wèi)星的設(shè)想圖Main Ideav平拋平拋洲際洲際導(dǎo)彈導(dǎo)彈人造人造衛(wèi)星衛(wèi)星增大增大 人造人造地球地球衛(wèi)星的最小速度有多大呢？衛(wèi)星的最小速度有多大呢？( (一一) )發(fā)射原理發(fā)射原理1 1、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）、第一宇宙速度（環(huán)繞速度）衛(wèi)星做

7、圓周運動的向心力由萬衛(wèi)星做圓周運動的向心力由萬有引力提供，萬有引力近似等有引力提供，萬有引力近似等于重力于重力mgmg，衛(wèi)星運行半徑近似，衛(wèi)星運行半徑近似看作地球半徑，根據(jù)牛頓第二看作地球半徑，根據(jù)牛頓第二定律得定律得:mg=GMm/R:mg=GMm/R2 2=mv=mv2 2/R/R616.37 109.87.9km/svgR最小的近地發(fā)射速度最小的近地發(fā)射速度, ,近地發(fā)射時近地發(fā)射時速度等于這個速度衛(wèi)星，剛好能速度等于這個速度衛(wèi)星，剛好能在地球表面附近作勻速圓周運動在地球表面附近作勻速圓周運動v1=7.9km/sMain Idea1124266.67 105.98 107.9km/s6.

8、4 10GMvRv7.9km/s同學(xué)們再算算，近地衛(wèi)星的周期又是多少呢？我們能否發(fā)射一顆周期為我們能否發(fā)射一顆周期為50min的衛(wèi)星呢？的衛(wèi)星呢？不能！不能！ 1223 1464005087 6857 9.min.RTsv Main Ideav v2 2= 11.2km/s= 11.2km/s、第二宇宙速度、第二宇宙速度 （脫離速度）（脫離速度）11.2km/sv16.7km/s11.2km/sv v v1 1v v4 4 v v3 3v v1 1 v v4 4v v2 2 v v1 1 v v4 4 v v3 3A AB B知小圓半徑為知小圓半徑為R,R,周期為周期為T,T,大大圓半徑為圓半

9、徑為r,r,求衛(wèi)星從求衛(wèi)星從A A躍遷躍遷到到B B的時間？的時間？提示：用開普勒第提示：用開普勒第3 3定律求解定律求解比較下列速度大小比較下列速度大小 解：設(shè)解：設(shè)“光子光子”的質(zhì)量為的質(zhì)量為m m，由于光不能從太陽射出，由于光不能從太陽射出, , 設(shè)設(shè)“光子光子”恰好繞太陽恰好繞太陽( (黑洞黑洞) )作近地勻速圓周運動作近地勻速圓周運動, ,向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律得向心力由萬有引力提供，由牛頓第二定律得: : 113028236.67 102.0 10:(3.0 10 ) 1.5 101.5.GMRcmkm解得22GMmmcRR例例: :已知太陽的質(zhì)量已知太陽的質(zhì)量M=2

10、.0M=2.010103030kgkg，光的速度，光的速度c=3.0c=3.010108 8m/sm/s，試估算太陽如果演變成了黑洞，它的半徑將變成多少？試估算太陽如果演變成了黑洞，它的半徑將變成多少？例例: : 在天體運動中，把兩顆相距很近在天體運動中，把兩顆相距很近的恒星稱為雙星，這兩顆星必須各自的恒星稱為雙星，這兩顆星必須各自以一定的速率繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至以一定的速率繞某一中心轉(zhuǎn)動才不至于由于萬有引力而吸在一起。已知兩于由于萬有引力而吸在一起。已知兩恒星的質(zhì)量分別為恒星的質(zhì)量分別為M M1 1和和M M2 2兩恒星距離兩恒星距離為為L L。求：。求：(1)(1)兩恒星轉(zhuǎn)動中心的位置；兩

11、恒星轉(zhuǎn)動中心的位置；(2)(2)轉(zhuǎn)動的角速度。轉(zhuǎn)動的角速度。L LM M1 1M M2 2r r1 1L-rL-r1 1解：如圖所示，兩顆恒星分別以轉(zhuǎn)解：如圖所示，兩顆恒星分別以轉(zhuǎn)動中心動中心O作勻速圓周運動，角速度作勻速圓周運動，角速度相同，設(shè)相同，設(shè)M1的轉(zhuǎn)動半徑為的轉(zhuǎn)動半徑為r1，M2的轉(zhuǎn)動半徑為的轉(zhuǎn)動半徑為r2=L-r1；它們之間的；它們之間的萬有引力是各自的向心力。萬有引力是各自的向心力。22121 122M MGM rML1(L-r )由后兩式相等解得得由后兩式相等解得得21121212rrM LM LMMMM，由前兩式相等解得得由前兩式相等解得得212231()GMG MMrLL

12、例：如圖所示，有例：如圖所示，有A A、B B兩個衛(wèi)星繞地球做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相兩個衛(wèi)星繞地球做圓周運動，旋轉(zhuǎn)方向相同，同，A A衛(wèi)星的周期為衛(wèi)星的周期為T T1 1，B B衛(wèi)星的周期為衛(wèi)星的周期為T T2 2 ，在某一時刻兩衛(wèi)，在某一時刻兩衛(wèi)星第一次相遇（即兩衛(wèi)星距離最近），星第一次相遇（即兩衛(wèi)星距離最近）， 求：求：1 1、多少時間后兩衛(wèi)星第二次相遇？、多少時間后兩衛(wèi)星第二次相遇？ 2 2、多少時間后兩衛(wèi)星第一次相距最遠、多少時間后兩衛(wèi)星第一次相距最遠 ？ 1221TTtTT1m2mt/2t/2解：解：A A星轉(zhuǎn)得快，設(shè)相遇時星轉(zhuǎn)得快，設(shè)相遇時B B轉(zhuǎn)過角度為轉(zhuǎn)過角度為，則則A A轉(zhuǎn)過角

13、度為轉(zhuǎn)過角度為(+2)(+2)，設(shè)經(jīng)過的時間為，設(shè)經(jīng)過的時間為tt122t12222TT1122TTT1212TTT12112221222TTTTTtTTT【例例1 1】20002000年年1 1月月2626日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置日我國發(fā)射了一顆同步衛(wèi)星，其定點位置與東經(jīng)與東經(jīng)9898的經(jīng)線在同一平面內(nèi)的經(jīng)線在同一平面內(nèi). .若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度若把甘肅省嘉峪關(guān)處的經(jīng)度和緯度近似為東經(jīng)和緯度近似為東經(jīng)9898和北緯和北緯a=40a=40已知地球半徑已知地球半徑R R、地球自、地球自轉(zhuǎn)周期轉(zhuǎn)周期T T、地球表面重力加速度、地球表面重力加速度g(g(視為常數(shù)視為常數(shù)) )和光速和光速c c，試求該，試求該同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時間同步衛(wèi)星發(fā)出的微波信號傳到嘉峪關(guān)處的接收站所需的時間( (要求用題給的已知量的符號表示要求用題給的已知量的符號表示).).解：如圖知同步衛(wèi)星的周期解：如圖知同步衛(wèi)星的周期