概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)答案_北郵版_(第一章)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案習(xí)題1.寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及下列事件包含的樣本點(diǎn)(1)擲一顆骰子，出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn).A="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)，且恰好其中有一個(gè)1點(diǎn).B="出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)，但沒有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn).”(3A="第一次出現(xiàn)正面.B="至少有一次出現(xiàn)正面.C=“兩次出現(xiàn)同一面.”【解】(1C=12,3,4,5,6,A=13,51；(i,j)|i,j=1,2,6),A=幻,2),(1,4),(16),(2,1),(4,1),(6,1),2),(6,4),(6,6)；B=i(2,2),(2,4),(26),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4

2、),(4,6),(5,3),(5,5),(6,Q=(正，反),(正，正),(反，正),(反,反),A=(正，正),(正,反),B=(正，正),(正，反),(反,正),C=(正，正),(反,反),2.設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，試用A,B,C(1) A發(fā)生，B,C都不發(fā)生；(2) A與B發(fā)生，C(3) A,B,C都發(fā)生；(4) A,B,C(5) A,B,C都不發(fā)生；(6) A,B,C(7) A,B,C至多有2個(gè)發(fā)生；(8) A,B,C至少有2個(gè)發(fā)生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4) AUBUC=ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC(5)ABC=ABC(6)A

3、BC(7) ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC=ABC=AUBUC(8) ABUBCUCA=ABCUABCUABCUABC3.指出下列等式命題是否成立，并說明理由(1) AUB=(AB)UB;(2) AB=AUB;(3) AUBnC=ABC;(4) (AB)(AB)=0;(5)若AUB,則A=AB;(6)若AB=0,且CUA,則BC=0;若AuB,則BnA;(8)若BUA,則AUB=A.【解】(1)不成立.特例：若AnB=4,則ABUB=B.所以，事件A發(fā)生，事件B必不發(fā)生，即AUB發(fā)生，ABUB不發(fā)生.故不成立.(2)不成立.若事件A發(fā)生，則A不發(fā)生，AUB發(fā)生，所以AB

4、不發(fā)生，從而不成立(3)不成立.AUb,AB畫文氏圖如下所以若A-B發(fā)生，則AB發(fā)生，AJB不發(fā)生，故不成立.(4)成立.因?yàn)锳B與AB為互斥事件.(5)成立若事件A發(fā)生，則事件B發(fā)生，所以AB發(fā)生.若事件AB發(fā)生，則事件A發(fā)生，事件B發(fā)生.故成立.(6)成立若事件C發(fā)生，則事件A發(fā)生，所以事件B不發(fā)生，故BC=4.(7)不成立.畫文氏圖，可知BUA.(8)成立.若事件A發(fā)生，由Au(AUB),則事件AUB發(fā)生.若事件AUB發(fā)生，則事件A,事件B發(fā)生.若事件A發(fā)生，則成立.若事件B發(fā)生，由BUA,則事件A發(fā)生.4 .設(shè)A,B為隨機(jī)事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(AB)【解

5、】P(AB)=1-P(AB)=1_P(A)-P(A-B)=1-0.7-0.3=0.65 .設(shè)A,B是兩事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.7,(1) 在什么條件下P(AB(2) 在什么條件下P(AB【解】(1)當(dāng)AB=A時(shí)，P(AB)取到最大值為0.6.(2) 當(dāng)AUB=時(shí)，P(AB)取到最小值為0.3.6 .設(shè)A,B,C為三事件，且P(A)=P(B)=1/4,P(C)=1/3且P(AB)=P(BC)=0,P(AC)=1/12,求A,B,C至少有一事件發(fā)生的概率.【解】P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)_111±_3-

6、4+4+3-12-47.52張撲克牌中任意取出13張，問有5張黑桃，3張紅心，3張方塊，2張梅花的概率是多少？P'aaGcz/c；38.(1)(3)(2)求五個(gè)人的生日都不在星期日的概率;【解】(1)設(shè)Ai=五個(gè)人的生日都在星期日、11、5P(Ai)=(一)77(2)設(shè)A2=五個(gè)人生日都不在星期日,基本事件總數(shù)為75,有利事件僅1個(gè)，故(亦可用獨(dú)立性求解，下同),有利事件數(shù)為65,故求五個(gè)人的生日都在星期日的概率；求五個(gè)人的生日不都在星期日的概率,、6565P(X)=*()(3)設(shè)A3=五個(gè)人的生日不都在星期日P(A3)=1-P(Ai)=1-(i)59.從一批由45件正品，5件次品組成

7、的產(chǎn)品中任取3件，求其中恰有一件次品的概率【解】與次序無關(guān)，是組合問題.從50個(gè)產(chǎn)品中取3個(gè)，有C30種取法.因只有一件次品，所以從45個(gè)正品中取2個(gè)，共C25種取法；從5個(gè)次品中取1個(gè)，共C5種取法，由乘法原理，恰有一件次C2C1品的取法為c25c5種，所以所求概率為p='VC5o10.一批產(chǎn)品共N件，其中M件正品.從中隨機(jī)地取出n件（n<N）.試求其中恰有m件（m<M)(1)(2)(3)正品（記為A）的I率.n件是同時(shí)取出的；nn件是有放回逐件取出的【解】（1）p（A）=c：cNW/cN（2）由于是無放回逐件取出，可用排列法計(jì)算.樣本點(diǎn)總數(shù)有Pn種，n次抽取中有m次為正

8、品的組合數(shù)為Cm種.對于固定的一種正品與次品的抽取次序，從M件正品中取m件的排列數(shù)有Pm種，從NM件次品中取nm件的排列數(shù)為PN二種，P(A)=mpmpn_mCnPMPNJMpN由于無放回逐漸抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可寫成P(A)_m八n-mCmCndMCnCN可以看出，用第二種方法簡便得多.（3）由于是有放回的抽取，每次都有種取法，故所有可能的取法總數(shù)為Nn種，n次抽取中有m次為正品的組合數(shù)為Cm種，對于固定的一種正、次品的抽取次序,m次取得正品，都有M種取法，共有Mm種取法，nF次取得次品，每次都有Nf種取法，共有（Nf）n種取法，故P(A)=C：Mm(N-M)n，Nn此題也可

9、用貝努里概型，共做了n重貝努里試驗(yàn)，每次取得正品的概率為M,則取得Nm件正品的概率為P(A)=1_MIN八NJ11.在電話號碼簿中任取一電話號碼，求后面4個(gè)數(shù)全不相同的概率(設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能地取自0,1,j,9).【解】這是又重復(fù)排列問題.個(gè)數(shù)有10種選擇，4個(gè)數(shù)共有104種選擇.4個(gè)數(shù)全不相同，是排列問題用10個(gè)數(shù)去排4個(gè)位置有R0種排法，故所求概率為P=R0/104.12.50只挪釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上，每個(gè)部件用3只挪釘.其中有3個(gè)挪釘強(qiáng)度太弱.若將3只強(qiáng)度太弱的釧釘都裝在一個(gè)部件上,部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？設(shè)A=發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱_1_3_3則這個(gè)部件強(qiáng)度就

10、太弱.求發(fā)生一個(gè)196013.7個(gè)球，其中計(jì)算至少有兩個(gè)是白球的概率.設(shè)Ai=恰有i個(gè)白球(i=2,3),顯然4個(gè)是白球，3個(gè)是黑球，從中一次抽取3個(gè),A2與A3互斥.C2C1P(A2)=C4?C71835C34P(A)=:二一c335P(A2A3)=P(4)p(A3)=2235P(A)=C10C3/C5014.有甲、乙兩批種子，發(fā)芽率分別為0.8和0.7,在兩批種子中各隨機(jī)取一粒，求:(1)兩粒都發(fā)芽的概率；(2)至少有一粒發(fā)芽的概率；(3)恰有一粒發(fā)芽的概率.【解】設(shè)Ai=第i批種子中的一粒發(fā)芽,(i=1,2)P(AA2)=P(A)P(A2)=0.70.8=0.56(2)P(AA2)-0.

11、70.8-0.70.8-0.94P(AA2電)=0.80.30.20.7=0.3815. 3次正面才停止.(1)問正好在第6次停止的概率；(2)問正好在第6次停止的情況下，第5次也是出現(xiàn)正面的概率【解】(1)532C4(1)(1)31P2=-*16.乙兩個(gè)籃球運(yùn)動員，投籃命中率分別為0.7及0.6,每人各投了3次，求二人進(jìn)球數(shù)相等的概率.【解】設(shè)Ai=甲進(jìn)i球,i=0,1,2,3,Bi=乙進(jìn)i球,i=0,1,2,3,則3P(uAiBi)=(0.3)3(0.4)3+C10.7M(0.3)2c30.6父(0.4)2+i=0C3(0.7)2M0.3C2(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3=0

12、.32076*17.從5雙不同的鞋子中任取4只，求這4只鞋子中至少有兩只鞋子配成一雙的概率【解】p=1-c5c2cCC213C402118.【解】（1）在下雨條件下設(shè)A=下雨,0.3,下雨的概率為0.5,既下雪又下雨的概率為0.1，求:F雪的概率；（2）這天下雨或下雪的概率.B=下雪.(1)p(BA)=P(AB)0.1二二0.2P(A)0.5(2)p(AB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.30,5-0.1=0.7?19.已知一個(gè)家庭有3個(gè)小孩，且其中一個(gè)為女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（小孩為男為女是等可能的）.【解】設(shè)人=其中一個(gè)為女孩,B=至少有一個(gè)男孩,樣本點(diǎn)總數(shù)為23=8,故P(BA

13、)=P(AB)6/8P(A)7/8或在縮減樣本空間中求，此時(shí)樣本點(diǎn)總數(shù)為P(BA)=7.6720 .5%的男人和0.25%的女人是色盲，現(xiàn)隨機(jī)地挑選一人，此人恰為色盲，問此人是男人的概率（假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半）【解】設(shè)A=此人是男人,B=此人是色盲,則由貝葉斯公式P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)0.50.05200.50.050.50.00252121 .兩人約定上午9:0010:00在公園會面，求一人要等另一人半小時(shí)以上的概率30題21圖【解】設(shè)兩人到達(dá)時(shí)刻為x,y,則0<x,yw60.事件“一人要等另一人半小時(shí)以上”等價(jià)于

14、|x-y|>30.如圖陰影部分所示.P國60422.0,1)中隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，求：(1)兩個(gè)數(shù)之和小于6的概率；5一一，、一，1_(2)兩個(gè)數(shù)之積小于1的概率.4【解】設(shè)兩數(shù)為x,y,則0<x,y<1.(1) x+y<6.5144p1=1_255J7=0.68125(2) xy=<1.4,'J'J.11.cp2=1-(1dx|1dy=_+_ln2的無J4223.(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求P(B|AUB)題22圖【解】P(BAUB)=P(AB=PA二廂P(AUB)P(A)+P(B)P(AB)0.7-0.51-0.70.6

15、-0.5-424. 15個(gè)乒乓球，其中有9個(gè)新球，在第一次比賽中任意取出3個(gè)球，比賽后放回原盒中；第二次比賽同樣任意取出3個(gè)球，求第二次取出的3個(gè)球均為新球的概率.【解】設(shè)Ai=第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球,i=0,1,2,3.B=第二次取出的3球均為新球由全概率公式，有3P(B)=EP(BA)P(A)i=03312321C6C9,C9c6C8,C9c6C35C35333C15C15C15333C7C9.C6333C15C15C1525.按以往概率論考試結(jié)果分析，生有90%的可能考試不及格=0.089努力學(xué)習(xí)的學(xué)生有.據(jù)調(diào)查，學(xué)生中有90%的可能考試及格，不努力學(xué)習(xí)的學(xué)80%的人是努力學(xué)習(xí)的

16、，試問：(1)(2)考試及格的學(xué)生有多大可能是不努力學(xué)習(xí)的人?考試不及格的學(xué)生有多大可能是努力學(xué)習(xí)的人?【解】設(shè)A=被調(diào)查學(xué)生是努力學(xué)習(xí)的，則A=被調(diào)查學(xué)生是不努力學(xué)習(xí)的.由題意知P(A)=0.8,P(A)=0.2,又設(shè)B=被調(diào)查學(xué)生考試及格.由題意知P(B|A)=0.9,P(B|A)=0.9,故由貝葉斯公式知(1)p(Ab)=P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)0.20.10.80.90.20.11=0.0270237即考試及格的學(xué)生中不努力學(xué)習(xí)的學(xué)生僅占2.702%(2)P(AB)=P(AB)P(B)P(A)P(BA)P(A)P(B|A)P(A)P(B

17、A)0.80.10.80.10.20.94=0.307713即考試不及格的學(xué)生中努力學(xué)習(xí)的學(xué)生占30.77%.26 .將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2：1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？【解】設(shè)A=原發(fā)信息是A,則=原發(fā)信息是BC=收到信息是人,則=收到信息是B由貝葉斯公式，得P(AC)P(A)P(CA)P(A)P(C|A)P(A)P(CA)=0.994922/30.982/30.981/30.0127 .在已有兩個(gè)球的箱子中再放一白球，然后任意取出一球，若發(fā)現(xiàn)這球

18、為白球，試求箱子中原有一白球的概率(顏色只有黑、白兩種，箱中原有什么顏色的球是等可能的)1一【解】設(shè)Ai=箱中原有i個(gè)白球(i=0,1,2),由題設(shè)條件知P(Ai)=，i=0,1,2.又設(shè)3B=抽出一球?yàn)榘浊?由貝葉斯公式知P(AB)=P(AB)P(B)p(b|Ai)p(a)2zP(BA)P(A)i=0=2/31/3=11/31/32/31/311/3328 .96%是合格品，檢查產(chǎn)品時(shí)，一個(gè)合格品被誤認(rèn)為是次品的概率為0.02,一個(gè)次品被誤認(rèn)為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認(rèn)為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.【解】設(shè)A=產(chǎn)品確為合格品,B=產(chǎn)品被認(rèn)為是合格品由貝葉斯公式得P(A)P(B

19、A)P(A)P(B|A)P(A)P(BA)0.960.980.960.980.040.05=0.99829.某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為三類：“謹(jǐn)慎的”，“一般的”，“冒失的”.統(tǒng)計(jì)資料表明，上述三種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15和0.30;如果“謹(jǐn)慎的”被保險(xiǎn)人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,現(xiàn)知某被保險(xiǎn)人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？【解】設(shè)A=該客戶是“謹(jǐn)慎的”,B=該客戶是“一般的”,C=該客戶是“冒失的”,D=該客戶在一年內(nèi)出了事故則由貝葉斯公式得P(A|D)=P(AD)P(D)P(A)P(D|A)P(A)P(D|A)P(B)P(D|

20、B)P(C)P(D|C)0.20.050.20.050.50.150.30.3=0.05730.0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互獨(dú)立的，求加工出來的零件的次品率【解】設(shè)Ai=第i道工序出次品(i=1,2,3,4).4P(A)=1-P(AA2A3A4)-1-PIA-OPIAOPIA)i1=10.980.970.950.9731.設(shè)每次射擊的命中率為0.2,問至少必須進(jìn)行多少次獨(dú)立射擊才能使至少擊中一次的概率不小于0.9?【解】設(shè)必須進(jìn)行n次獨(dú)立射擊.則1(0.8)n20.9即為(0.8/0.1n>工=11.07,至少必須進(jìn)行11次獨(dú)立射擊lg832.證明：若P(A

21、|B)=P(A|B),則A,B相互獨(dú)立.P(AB)P(AB)【證】P(A|B尸P(A|B)P(B)P(B)亦P(AB)P(B)=P(AB)P(B),即P(AB)1-P(B)=P(A)-P(AB)P(B)因此P(AB)=P(A)P(B),故A與B相互獨(dú)立.11133.三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能破譯的概率分別為，求將此密碼破譯出的概率534【解】設(shè)A=第i人能破譯(i=1,2,3),則3423P(A)=1P(AA2A3)=1-P(Ai)P(A2)P(A)=1-一-=0.653434 .甲、乙、丙三人獨(dú)立地向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中，則飛機(jī)被擊落的概

22、率為0.2;若有兩人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.6;若三人都擊中，則飛機(jī)一定被擊落，求：飛機(jī)被擊落的概率【解】設(shè)人=飛機(jī)被擊落,Bi=恰有i人擊中飛機(jī),i=0,1,2,3由全概率公式，得3P(A)=£P(A|Bi)P(Bi)=(0.4X0.5X0.3+0.6X0.5X0.3+0.6X0.5X0.7)X0.2+i0(0.4X0.5X0.3+0.4X0.5X0.7+0.6X0.5X0.7)X0.6+0.4X0.5X0.7X1=0.458。35 .已知某種疾病患者的痊愈率為25%,為試驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四人治好則認(rèn)為這種藥有效，反之則認(rèn)為

23、無效，求：(1)雖然新藥有效，且把治愈率提高到35%,但通過試驗(yàn)被否定的概率.(2)新藥完全無效，但通過試驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率.310kk10kkk10k解(1)5=£C10(0.35)(0.65)=0.5138;(2)p2=£C10(0.25)(0.75)=0.2241k=0k-436. 6位乘客，并等可能地停于十層樓的每一層.試求下列事件的概率:(1) A="某指定的一層有兩位乘客離開“；(2) B="沒有兩位及兩位以上的乘客在同一層離開”；(3) C="恰有兩位乘客在同一層離開“；(4) D="至少有兩位乘客在同一層離開“【解】由

24、于每位乘客均可在10層樓中的任一層離開，故所有可能結(jié)果為106種.C29421294(1) P(A)=W-,也可由6重貝努里模型：P(A)=C；(')2(X)41061010P：(2) 6個(gè)人在十層中任意六層離開，故P(B)=P610(3)由于沒有規(guī)定在哪一層離開，故可在十層中的任一層離開，有C；0種可能結(jié)果，再從六人中選二人在該層離開，有C2種離開方式.其余4人中不能再有兩人同時(shí)離開的情況，因此可包含以下三種離開方式：4人中有3個(gè)人在同一層離開，另一人在其余8層中任一層離開，共有c9c3c8種可能結(jié)果；4人同時(shí)離開，有c9種可能結(jié)果;4個(gè)人都不在同一層離開，有百種可能結(jié)果，故p(c)

25、=c；0C2(c；c4c8+c9+P4)/106(4)D=B.故P(D)=1-P(B)=1-P6o10637.n個(gè)朋友隨機(jī)地圍繞圓桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙兩人坐在一起，且乙坐在甲的左邊的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果n個(gè)人并排坐在長桌的一邊，求上述事件的概率38.將線段0,1pi"(2)氏二3,n，3(n-1)!Pi=(n-1)!1.；P2a【解】設(shè)這三段長分別為x,y,acy.則基本事件集為由0<x<a,0<y<a,0<a-x-y<a所構(gòu)成的圖形，有利事件集為由xya-x-yx+(axy)>yy+(a-x

26、-y)>x構(gòu)成的圖形，即110y0<y<2a.<x+y<aN.一-1如圖陰影部分所不，故所求概率為p=1.439 .某人有n把鑰匙，其中只有一把能開他的門.他逐個(gè)將它們?nèi)ピ囬_(抽樣是無放回的)證明13t開k次(k=1,2,n)才能把門打開的概率與k無關(guān).pk1【證】"育:仁12',"40 .把一個(gè)表面涂有顏色的立方體等分為一千個(gè)小立方體，在這些小立方體中，隨機(jī)地取出一個(gè)，試求它有i面涂有顏色的概率P(A)(i=0,1,2,3).【解】設(shè)A=小立方體有i面涂有顏色,i=0,1,2,3.在1千個(gè)小立方體中，只有位于原立方體的角上的小立方體是

27、三面有色的，這樣的小立方體共有8個(gè).只有位于原立方體的棱上(除去八個(gè)角外)的小立方體是兩面涂色的，這樣的小立方體共有12X8=96個(gè).同理，原立方體的六個(gè)面上(除去棱)的小立方體是一面涂色的，共有8X8X6=384個(gè).其余1000-(8+96+384)=512個(gè)內(nèi)部的小立方體是無色的，故所求概率為P(A0)P(4)5123840.512,P(A)0,384,100010009680.096,P(A4)0.008.1000100041 .對任意的隨機(jī)事件A,B,CP(AB)+P(AC)-P(BC)wP(A).【證】P(A)_PA(BC)=P(ABAC)=P(AB)P(AC)-P(ABC)_P(A

28、B)P(AC)-P(BC)42 .將3個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率.設(shè)A=杯中球的最大個(gè)數(shù)為i,i=1,2,3.將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中，全部可能放法有43種，杯中球的最大個(gè)數(shù)為1時(shí),每個(gè)杯中最多放一球，故P(A)=C：3!343一8C1而杯中球的最大個(gè)數(shù)為3,即三個(gè)球全放入一個(gè)杯中，故P(As)=4416319因此P(A2)=1-P(A)-P(A3)=1-=一或P(A2)=81616c；c3c34391643.m2n次，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.擲2n次硬幣，可能出現(xiàn)：A=正面次數(shù)多于反面次數(shù),B=正面次數(shù)少于反面次數(shù),C=正面次數(shù)等于反面次

29、數(shù),A,B,C兩兩互斥.可用對稱性來解決.由于硬幣是均勻的，故P(A)=P(B).所以P(A)=12由2n重貝努里試驗(yàn)中正面出現(xiàn)n次的概率為n1n1nP(C)巡(2)(2)故P(A)1n121一。2n22n44.【解】45.【解】n次均勻硬幣，求出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率設(shè)A=出現(xiàn)正面次數(shù)多于反面次數(shù),B=出現(xiàn)反面次數(shù)多于正面次數(shù),由對稱性知P(A)=P(B)(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，正、反面次數(shù)不會相等.由P(A)+P(B)=1得P(A)=P(B)=0.5171n(2)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由上題知P(A)=-1-C2(-)22n+1次，乙擲n次，求甲擲出正面次數(shù)多于乙擲出正面次數(shù)的概率令甲正二甲擲出

30、的正面次數(shù)，甲反二甲擲出的反面次數(shù).乙正二乙擲出的正面次數(shù)，乙反二乙擲出的反面次數(shù).顯然有(甲正>乙正)=(甲正w乙正)=(n+1_甲反wn_乙反)=(甲反)1+乙反)=(甲反>乙反)1由對稱性知P(甲正乙正)=P(甲反>乙反)因此P(甲正>乙正尸246.(SureThing)：若P(A|C)>P(B|C),P(A|C)>P(B|C),則P(A)>P(B).【證】由P(A|C)LP(B|C)相P(AC)P(BC)P(C)一P(C)即有P(AC)之P(BC)同理由P(A|-C巨P(B|C),得P(AC)>P(BC),故P(A)=P(AC)+P(AC

31、)占P(BC)+P(BC)=P(B)47.一列火車共有n節(jié)車廂，有k(k>n)個(gè)旅客上火車并隨意地選擇車廂.求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一個(gè)旅客的概率.【解】設(shè)A=第i節(jié)車廂是空的,(i=1,n),則kP(A)=(-=(1-與nnP(AAj)=(12)kn_n-1kP(AAAni)=(1一一)k一n其中ii,i2,in是1,2,n中的任n-1個(gè).顯然n節(jié)車廂全空的概率是零，于是一/1k11k&=''P(Ai)=n(1)=Cn(1)idnn22S2=£P(AiAj)C(1-)k1也：jmnn-1kSn=ZP(A1Ai2a1)=Cn(1-)kinnSn=0nP(Ai

32、)-S2S3-(-1)n1Sni1=C；(1)k-c：(i-2)k十十(-1)nCn，(1-E)knnn故所求概率為1P(Ua)=1C；(11)k+C：(12)i十(1)n41Cn“(1)ki1nnn48 .設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的概率為£>0.試證明：不論e>0如何小，只要不斷地獨(dú)立地重復(fù)做此試驗(yàn)，則A遲早會出現(xiàn)的概率為1.【證】在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為1(1s)nT1(nT8)49 .袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣(次品硬幣的兩面均印有國徽).在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國徽.試問這只硬幣是正品的概率是多少？【解】設(shè)人=投擲硬幣

33、r次都得到國徽B=這只硬幣為正品由題知P(B)=,P(B)=n-mnmn1P(A|B).-,P(A|B)=1則由貝葉斯公式知03A)掌P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)P(A|B)m1=mn2r_m一m1n"m2rnr1mn2mn50 .巴拿赫(Banach)火柴盒問題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根.試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴時(shí)(不是發(fā)現(xiàn)空)而另一盒恰有r根的概率又1【解】以B、B2記火柴取自不同兩盒的事件，則有P(B1)=P(B2)=.2(1)發(fā)現(xiàn)一盒已空，另一盒恰剩r

34、根，說明已取了2n-r次，設(shè)n次取自B1盒(已空)，n-r次取自B2盒，第2n-r+1次拿起B(yǎng)1，發(fā)現(xiàn)已空。把取2nr次火柴視作2n-r重貝努里試驗(yàn)，則所求概率為式中2反映31與B2盒的對稱性(即也可以是B2盒先取空).(2)前2nT-1次取火柴,有n-1次取自B1盒，n-r次取自B2盒，第2nd次取自B1盒,故概率為P2_ccn/lnd,1xn-r1_n41x2n-r.-1-2c2n_r(二)(二)二-C2n_r(二)222251.求n重伯努利試驗(yàn)中A出現(xiàn)奇數(shù)次的概率.【解】設(shè)在一次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為p.則由no00nz-1n122n-2(qP)=CnPqCnPqCnPqnn0Cnpq=1

35、/、n00n1n422n-2(q-P)=CnPqCnPqCnPq以上兩式相減得所求概率為nnn0(-1)CnPq1n1333n-3.Pl=CnPqCnPq1n1n1-(q-P)=二1-(1-2P)22若要求在n重貝努里試驗(yàn)中A出現(xiàn)偶數(shù)次的概率，則只要將兩式相加，即得1 nP2=二1(1-2P).252.設(shè)A,B是任意兩個(gè)隨機(jī)事件，求P(A+B)(A+B)(A+B)(A+B)的值.【解】因?yàn)?AUB)n(AuB)=ABuAB(AUB)n(AUB)=ABUAB所求(AB)(AB)(AB)(AB)=(ABAB)(ABAB)=.故所求值為0.53.設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件，A,B和CABC=，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且P(AUBUC)=9/16,求P(A).【解】由P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)29=3P(A)-3P(A)2=-16一1311故P(A)=或,按題設(shè)P(A)<,故P(A)=-.442454.設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1/9