平面空間兩條直線

1、平面空間兩條直線【教學目標教學目標】1.掌握平面基本性質(zhì)的三條公理及公理掌握平面基本性質(zhì)的三條公理及公理3的三的三條推論，能運用它們證明空間的共點、共線、條推論，能運用它們證明空間的共點、共線、共面問題共面問題.2.了解空間兩條直線的位置關系，掌握兩條直了解空間兩條直線的位置關系，掌握兩條直線平行與垂直的判定和性質(zhì)線平行與垂直的判定和性質(zhì).3.掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對于掌握兩條直線所成的角和距離的概念（對于異面直線的距離，只要求會利用給出的公垂線異面直線的距離，只要求會利用給出的公垂線計算距離）計算距離）.【知識梳理知識梳理】1.平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)名名 稱稱內(nèi)容內(nèi)容作作

2、用用公理公理1如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這如果一條直線的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)判定直線在判定直線在平面內(nèi)的平面內(nèi)的依據(jù)依據(jù)公理公理2如果兩個平面有一個公共點如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其那么它們還有其他公共點他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線這個公共點的直線 兩個平面相兩個平面相交的依據(jù)交的依據(jù)公理公理3經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面?zhèn)€平面 確定一個平確定一個平面的依據(jù)面的依據(jù)推論推論1經(jīng)過一條直線和直線外的一

3、點有且只有一個經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面平面 推論推論2經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面 推論推論3經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面 【知識梳理知識梳理】2. 空間兩條直線的位置關系空間兩條直線的位置關系位置關位置關系系圖圖 示示表示方法表示方法公共點個數(shù)公共點個數(shù) 兩兩直直線線共共面面相相 交交一個一個平行平行abab沒有沒有異面異面a a、b b是異面是異面直線直線沒有沒有abAbaAab Ab【知識梳理知識梳理】3. 3. 異面直線（不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）異面直線（不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）

4、b a a b a b畫法：畫法： 異面直線判定：異面直線判定： 用定義（多用反證法）；用定義（多用反證法）；判定定理：平面內(nèi)一點和平面外一點的連線與平判定定理：平面內(nèi)一點和平面外一點的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線?！局R梳理知識梳理】3. 3. 異面直線（不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線）異面直線（不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線） 異面直線所成的角：異面直線所成的角： 過空間的任一點與這兩條異面直線平行的兩直線所成過空間的任一點與這兩條異面直線平行的兩直線所成銳角（或直角）。銳角（或直角）。(0,(0,22；若兩條異面直線所若兩條異面直線所成角是直角，

5、則稱兩異面直線垂直。成角是直角，則稱兩異面直線垂直。 異面直線的公垂線及距離：異面直線的公垂線及距離： （1 1）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的）和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線（公垂線存在且唯一）公垂線（公垂線存在且唯一）（2 2）公垂線段：公垂線夾在異面直線之間的部分）公垂線段：公垂線夾在異面直線之間的部分（3 3）異面直線間的距離）異面直線間的距離 （即公垂線段的長）（即公垂線段的長）異面直線的公垂線及距離：異面直線的公垂線及距離： 【知識梳理知識梳理】注：若一個平面過一條直線并與另一條直線平行，注：若一個平面過一條直線并與另一條直線平行，則這直線與平面的距離

6、就等于異面直線間的距離。則這直線與平面的距離就等于異面直線間的距離。若兩個平行平面分別過兩條異面直線則兩平行平面若兩個平行平面分別過兩條異面直線則兩平行平面的距離等于兩異面直線間的距離。的距離等于兩異面直線間的距離。 4.4.等角定理：等角定理：一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。同，那么這兩個角相等。 推論：兩條相交直線分別與另外兩條直線平行，那么推論：兩條相交直線分別與另外兩條直線平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等這兩組直線所成的銳角（或直角）相等 。5.5.平行公理：公理平行公理：公理4 4：平行于同

7、一條直線的兩條直線互：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。相平行。 【點擊雙基】【點擊雙基】 1 1、若、若a a、b b是異面直線，則只需具備的條件是（是異面直線，則只需具備的條件是（ ） A.aA.a平面平面,b,b 平面平面，a a與與b b不平行不平行B. aB. a平面平面，b b 平面平面， = ，a a與與b b不公共不公共點點C.aC.a直線直線c c，b b c=c=A A ，b b與與a a不相交不相交D.aD.a平面平面，b b是是的一條直線的一條直線2 2、如圖，直線如圖，直線a a、b b相交與點相交與點O O且且a a、b b成成60600 0，過點，過點O O 與

8、與a a、b b都成都成60600 0角的直角的直線有（線有（ ）A.1 A.1 條條 B.2B.2條條 C.3C.3條條 D.4D.4條條O60abC C 【點擊雙基】【點擊雙基】 3.（2004年北京朝陽區(qū)模擬題）如下圖，正四面體年北京朝陽區(qū)模擬題）如下圖，正四面體SABC中，中，D為為SC的中點，則的中點，則BD與與SA所成角的余弦值是所成角的余弦值是A.A. B. B. C. C. D. D. 33326362ABCDESC 4、如圖，正方體、如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為的棱長為a，那么那么（1） 哪些棱所長的直線與直線哪些棱所長的直線與直線BA1成異面直線？成異面直

9、線？ 。（2 2） 直線直線BA1與與CC1所成角的大小為所成角的大小為 。（3 3） 直線直線BA1與與B1C所成角的大小為所成角的大小為 。（4 4） 異面直線異面直線BC與與AA1的距離為的距離為 。（5 5） 異面直線異面直線BA1與與CC1的距離為的距離為 ?！军c擊雙基】【點擊雙基】 AADBCBCD11115.（2002年全國）正六棱柱年全國）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面邊長為的底面邊長為1，側棱長為，側棱長為 ，則這個棱柱的側面對，則這個棱柱的側面對角線角線E1D與與BC1所成的角是所成的角是_. 2【點擊雙基】【點擊雙基】 【典例剖析【典例剖析】 例例1.

10、如圖，平面如圖，平面相交于直線相交于直線a，平面平面 , 相交于直線相交于直線b，平面平面相交于直線相交于直線c，已知已知a與與b不平行。不平行。求證：求證：a，b，c三條直線必過同點三條直線必過同點 c ab P P 說明說明 欲證三線共點，可證其中兩條直線有交點，欲證三線共點，可證其中兩條直線有交點，且該交點在第三條直線上且該交點在第三條直線上 【典例剖析【典例剖析】 變式一：（教材例變式一：（教材例1 1）如下圖，四面體如下圖，四面體ABCD中，中，E、G分別為分別為BC、AB的中點，的中點，F(xiàn)在在CD上，上，H在在AD上，且上，且有有DF FC=2 3，DH HA=2 3.求證：求證：

11、EF、GH、BD交于一點交于一點.ABCDEFGHO評述：證明線共點，常采用證兩直線的交點在第三條直評述：證明線共點，常采用證兩直線的交點在第三條直線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線線上的方法，而第三條直線又往往是兩平面的交線.【典例剖析【典例剖析】 變式二：平面變式二：平面相交于直線相交于直線a，平面平面 , 相交于直線相交于直線b，平面平面相交于直線相交于直線c，若若a與與b平行。則平行。則a，b，c三條直三條直線還過同一點嗎？線還過同一點嗎？ 不，平行不，平行 【典例剖析【典例剖析】 例例2.2.三個不同平面可能把空間分成幾部分？三個不同平面可能把空間分成幾部分？ 解：解： 1

12、 1 四部分（互四部分（互相平行）相平行） 2 2 六部分六部分（ 兩 種 情 況 ）（ 兩 種 情 況 ） 3 3 七部分七部分 4 4 八部八部分分變式一：長方體的各個面將空間分成幾個部分？變式一：長方體的各個面將空間分成幾個部分？ 變式二、四面體的各個面將空間分成幾個部分？變式二、四面體的各個面將空間分成幾個部分？ 2727 15【典例剖析【典例剖析】 例例3.(3.(教材例教材例2)2)A A是是 BCDBCD平面外一點，平面外一點，E E、F F分別是分別是BCBC、ADAD的中點，的中點，(1)(1)求證：求證：EFEF與與BDBD是異面直線；是異面直線；(2)(2)若若ACAC

13、BDBD，ACACBDBD，求求EFEF與與BDBD所成的角。所成的角。 CABDEFG【典例剖析【典例剖析】 例例4.(4.(教材例教材例3)3)長方體長方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，已知中，已知ABABa a，BC=b,AABC=b,AA1 1=c,=c,且且abab，求：求：(1)(1)下列異面直線之間的距離：下列異面直線之間的距離：ABAB與與CCCC1 1；ABAB與與A A1 1C C1 1； ABAB與與B B1 1C C。(2)(2)異面直線異面直線D D1 1B B與與ACAC所成角的余弦值。所成角的余弦值。A A B B C C D D 1111EFOA A B B C C D GD 1111【知識方法總結】知識方法總結】 】 證明共面問題的主要方法有：先由公理證明共面問題的主要方法有：先由公理3或其或其推論證明某些元素確定一個平面，再證其余元推論證明某些元素確定一個平面，再證其余元素都在此平面內(nèi)；素都在此平面內(nèi)； 指出給定的元素中的某些指出給定的元素中的某些元素在平面內(nèi)，某些元素元素在平面內(nèi)，某些元素(與前述元素有公共元與前述元素有公共元素，但兩部分必須包括所有元素素，但兩部分必須包括所有元素)在平面內(nèi)，再在平