第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分(第一次)

1、數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析兩種基本運算兩種基本運算積分積分微分微分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值積分?jǐn)?shù)值微分?jǐn)?shù)值微分?jǐn)?shù)值計算數(shù)值計算方法方法2016.4.14插值型求積公式龍貝格求積公式高斯求積公式復(fù)化求積公式特殊節(jié)點數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分本章主要內(nèi)容一、數(shù)值求積的基本思想一、數(shù)值求積的基本思想)()()(aFbFdxxfba 積分積分 只要找到被積函數(shù)只要找到被積函數(shù) f (x)原函數(shù)原函數(shù)F(x)，便有，便有牛頓牛頓萊布尼茲萊布尼茲(NewtonLeibniz)公式公式 baxxfId)(實際困難實際困難：大量的被積函數(shù)（：大量的被積函數(shù)（ , sin x2 等）等）, 找不到用初等函找不到用初等函數(shù)表示的原函數(shù)數(shù)表示的原

2、函數(shù)；另外；另外, f (x)是（測量或數(shù)值計算出的）一張數(shù)是（測量或數(shù)值計算出的）一張數(shù)據(jù)表時，據(jù)表時，牛頓牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式也也不能直接運用不能直接運用。xxsin 積分中值定理：在積分中值定理：在a, b內(nèi)存在一點內(nèi)存在一點 ，有，有 f( )成立。成立。 )(d)(abxxfba 1 引言引言 就是說就是說, 底為底為b- -a 而高為而高為f( )的的矩形面積矩形面積恰恰等于所求等于所求曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 .問題問題 在于點在于點的具體位置一般是不知道的，因而的具體位置一般是不知道的，因而 難以準(zhǔn)確算出難以準(zhǔn)確算出 f( )的值的值我們將我們將f ( )稱為區(qū)間稱

3、為區(qū)間a, b上的平均高度這樣上的平均高度這樣,只要對只要對平均高度平均高度f( )提供一種算法提供一種算法,相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法相應(yīng)地便獲得一種數(shù)值求積方法 如果用兩端點的如果用兩端點的“高度高度”f(a)與與f(b)的算術(shù)平均作為平均高度的算術(shù)平均作為平均高度f ( ) 的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式的近似值，這樣導(dǎo)出的求積公式 : 便是我們所熟悉的便是我們所熟悉的梯形公式梯形公式 . )()(2bfafabT 2)(bafabR2bac 而如果改用區(qū)間中點而如果改用區(qū)間中點 的的“高度高度”f (c)近似地取代平近似地取代平均高度均高度f ( )，則又可導(dǎo)出所謂，則又可導(dǎo)出所謂中矩

4、形公式中矩形公式(今后簡稱矩形公式今后簡稱矩形公式)：(1.1)(1.2) 更一般地，我們可以在區(qū)間更一般地，我們可以在區(qū)間a，b上適當(dāng)選取某些節(jié)點上適當(dāng)選取某些節(jié)點 xk ，然后然后用用 f (xk )加權(quán)平均得到平均高度加權(quán)平均得到平均高度 f ()的近似值的近似值，這樣構(gòu)造出的，這樣構(gòu)造出的求積公式具有下列形式求積公式具有下列形式式中式中 xk 稱為稱為求積節(jié)點求積節(jié)點；Ak 稱為稱為求積系數(shù)求積系數(shù)，亦稱為伴隨節(jié)點，亦稱為伴隨節(jié)點 xk 的的權(quán)權(quán)權(quán)權(quán)Ak 僅僅與節(jié)點僅僅與節(jié)點xk 的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù)的選取有關(guān)，而不依賴于被積函數(shù) f(x)的的具體形式具體形式 ban0kkk

5、xfAdxxf)()(使積分公式具有通用性使積分公式具有通用性 這類數(shù)值積分方法通常稱作能這類數(shù)值積分方法通常稱作能機械求積機械求積， 其特點是將積分其特點是將積分求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，這就避開了牛頓求值問題歸結(jié)為函數(shù)值的計算，這就避開了牛頓萊布尼茲公萊布尼茲公式需要尋求原函數(shù)的困難式需要尋求原函數(shù)的困難(1.3)二、二、代數(shù)精度的概念代數(shù)精度的概念 數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積數(shù)值求積方法是近似方法，為要保證精度，我們自然希望求積公式能對公式能對“盡可能多盡可能多”的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精的函數(shù)準(zhǔn)確地成立，這就提出了所謂代數(shù)精度的概念度的概念 定

6、義定義 1 如果某個求積公式對于次數(shù)如果某個求積公式對于次數(shù)m的多項式均能準(zhǔn)確地成的多項式均能準(zhǔn)確地成立，但對于立，但對于m+1次多項式就不一定準(zhǔn)確，則稱該求積公式具有次多項式就不一定準(zhǔn)確，則稱該求積公式具有m次代次代數(shù)精度數(shù)精度 一般地，欲使求積公式一般地，欲使求積公式 具有具有m次代數(shù)次代數(shù)精度，只要令它對于精度，只要令它對于f (x) = 1，x，xm 都能準(zhǔn)確成立，這就要求都能準(zhǔn)確成立，這就要求 bankkkxfAxxf0)(d)( . )(11;)(21;1122mmmkkkkkabmxAabxAabA例例1： 考察其代數(shù)精度。考察其代數(shù)精度。 f(x)abf(a)f(b)梯形公式梯

7、形公式解：解：逐次檢查公式是否精確成立逐次檢查公式是否精確成立代入代入 P0 = 1： baabdx111 2 ab=代入代入 P1 = x ：=代入代入 P2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1)()(2)(bfafabdxxfba 例例2 試構(gòu)造形如試構(gòu)造形如 f(x)dx A0f(0)+ A1f(h)+ A2f(2h) 的數(shù)值的數(shù)值求積公式求積公式,使其代數(shù)精度盡可能高使其代數(shù)精度盡可能高,并指出其代數(shù)精度的階數(shù)并指出其代數(shù)精度的階數(shù).3h0解解: 令公式對令公式對 f(x)=1,x, x2 均準(zhǔn)確成立均準(zhǔn)確成

8、立,則有則有3h=A0+ A1+ A2h2=0 + A1h+ A22h9h3=0 + A1h2+ A24h229故求積公式的形式為故求積公式的形式為解之得解之得 A0= h, A1=0, A2= h. 94 34 f(x)dx f(0) + f(2h)3h43h43h0由公式的構(gòu)造知由公式的構(gòu)造知,公式公式至少至少具有具有2次代數(shù)精度次代數(shù)精度; 而當(dāng)而當(dāng)f(x)=x3時時,公式的左邊公式的左邊= h4, 右邊右邊=18h4, 公式的左邊公式的左邊 右邊右邊,說明說明此公式對此公式對 f(x)=x3不能準(zhǔn)確成立不能準(zhǔn)確成立.因此因此,公式只具有公式只具有2次代數(shù)次代數(shù)精度精度.814三、三、求

9、積公式的收斂性與穩(wěn)定性求積公式的收斂性與穩(wěn)定性 定理定理3表明，只要求積系數(shù)表明，只要求積系數(shù)Ak0 (k0,1,n)，就能保證，就能保證計算的穩(wěn)定性計算的穩(wěn)定性 定義定義2 在求積公式在求積公式 中，若中，若 其中其中 ，則稱求積公式是收斂的，則稱求積公式是收斂的 由于計算由于計算 f (xk)可能有誤差可能有誤差,實際得到實際得到 定義定義3 對任給對任給 e e 0，若，若 (k=0,1, ,n), 就有就有 , 則稱求積公式是穩(wěn)定的則稱求積公式是穩(wěn)定的. bankkkxfAxxf0)(d)(e e |)(|00nkkknkkkfAxfA)(max11 iinixxhkkfxf)(0 ，

10、只要，只要 .)(,kkkkfxff 即即 bankkkhnxxfxfAd)()(lim00 定理定理3 若求積公式若求積公式(13)中系數(shù)中系數(shù)Ak0 (k0，1，n)，則此求積公式是穩(wěn)定的則此求積公式是穩(wěn)定的 1 1、 給定形如 的求積公式，試確定系數(shù) ，使公式具有盡可能高的代數(shù)精度.)0() 1 ()0()(01010fBfAfAdxxf010,BAA 解解 根據(jù)題意可令 分別代入求積公式使它精確成立2, 1)(xxxf 當(dāng) 時，得1)(xf;111010dxAA 當(dāng) 時，得xxf)(;211001dxxBA課堂練習(xí)課堂練習(xí) 當(dāng) 時，得2)(xxf.311021dxxA解得 ,于是得61

11、,32,31000BAA).0(61)1(31)0(32)(10fffdxxf 當(dāng) 時， 而上式右端為 ，故公式對 不精確成立，其代數(shù)精度為2.3)(xxf.41103dxx313)(xxf插值型求積公式定義性質(zhì)誤差代數(shù)精度常用公式牛頓科特斯公式近似近似計算計算 badxxfI)(思思路路利用利用插值多項式插值多項式 則積分易算。則積分易算。)()(xfxPn 在在a, b上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值次插值多項式多項式 ，即得到，即得到 nkkknxlxfxL0)()()( babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak bakjxxxxkdxAjk

12、j)()(由由 決定，決定，與與 無關(guān)。無關(guān)。節(jié)點節(jié)點 f (x)插值型積分公式插值型積分公式bankkxnbanbanbankkkdxxxnfdxxRdxxLxfxfAdxxffR0)1(0)()!1()()()()()()(誤差誤差bandxxP)(4.1.3 插值型的求積公式插值型的求積公式與與Newton-Cotes 公公式式關(guān)鍵是關(guān)鍵是f(x)如果求積公式是插值型的如果求積公式是插值型的, 按余項式按余項式, 對于次數(shù)對于次數(shù) n的多項式的多項式 f (x)，其余項其余項R f 等于等于0，因而這時求積公式至少具有，因而這時求積公式至少具有n次代數(shù)精度次代數(shù)精度定理定理1：形如形如

13、的求積公式至少有的求積公式至少有 n 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 該該公式為公式為插值型插值型（即：（即： ） nkkkxfA0)( bakkdxxlA)(為便于計算，一般取為便于計算，一般取等距離節(jié)點等距離節(jié)點得到近似公式得到近似公式:4.2.14.2.1、Newton-Cotes 公式公式2、 把把a, b二等分，作二等分，作2次插值，有次插值，有)()(4)( )(26bffafdxxfbaabba此公式稱為此公式稱為辛普森（辛普森（Simpson）公式）公式。badxxL)(21、 對于對于a, b上上1次插值，有次插值，有)()()(1bfafxLabaxbabx )()()(2221bf

14、afdxxfAAabbaab 此即此即梯形公式梯形公式。 節(jié)點節(jié)點等距分布等距分布：ninabhhiaxi,., 1, 0, dxxxxxAnxxijjiji 0)()( njiinnjidtjtininabdthhjihjt00)()!( !)1)()()(令令htax Cotes系數(shù)系數(shù))(niC注：注：Cotes 系數(shù)僅取決于系數(shù)僅取決于 n 和和 i，可查表得到。與可查表得到。與 f (x) 及區(qū)及區(qū)間間a, b均無關(guān)。均無關(guān)。 3、 把把a, b n 等分，用插值等分，用插值Ln(x)近似近似 f(x)積分，有積分，有當(dāng)當(dāng)n=4時時, 牛頓牛頓-柯特斯公式特別稱作柯特斯公式特別稱作柯

15、特斯公式柯特斯公式,其形式為其形式為 )(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfabC 若求積公式(1.3)的代數(shù)精度為 ，則有求積公式余項的表達式(1.7)可以證明余項形如m（1.8）),()()()1(0mnkkkbafKxfAdxxffR其中 為不依賴于 的待定參數(shù),K)(xf).,(ba 結(jié)果表明當(dāng) 是次數(shù)小于等于 的多項式時，由于 ，故此時 ，即求積公式(1.3)精確成立.)(xfm0)()1(xfm0fR 而當(dāng) 時， (1.8)的右端故可求得1)(mxxf,)!1()()1(mxfm, 0 xRn 4.1.44.1.4 求積公式的余項求積公式的余項（1

16、.9）.)()2(1)!1(1)!1(10122011nkmkkmmnkmkkbamxAabmmxAdxxmK代入余項(1.8)中可以得到更細致的余項表達式. 梯形公式(1.1)的代數(shù)精度為1，可以證明它的余項表達式為),(),(bafKfR 其中于是得到梯形公式(1.1)的余項為).,(),(12)(3bafabfR （1.10）.)(121)(6121)(2)(3121332233ababbaababK 對中矩形公式(1.2)，其代數(shù)精度為1，可以證明),(),(bafKfR 其中于是得到中矩形公式(1.2)的余項為).,(),(24)(3bafabfR （1.11）.24)()2)()(

17、31213233abbaababKbcacfbaxfxfMxfmMmdxxdxxba),(,)( . 3 )(sup),(inf, )()(f(x) (x)bxa 2. ba,(x)f(x) 1.:ba連續(xù)，則于若其中：不變號，則時，上有界并可積分于，函數(shù)若廣義積分中值定理已學(xué)知識回顧已學(xué)知識回顧21,21)1(1)1(0 CCn = 1:)()(2)(bfafabdxxfba Trapezoidal RuledxbxaxffRbax)(!2)( /* 令令 x = a+th, h = b a, 用中用中值定理值定理 */1, , )(1213abhbafh 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 1n = 2

18、:61,32,61)2(2)2(1)2(0 CCC)()(4)(6)(2bffafabdxxfbaba Simpsons Rule代數(shù)精度代數(shù)精度 = 32,),(,)(901)4(5abhbafhfR n = 3: Simpsons 3/8-Rule, 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 3,)(803)5(5 fhfR n = 4: Cotes Rule, 代數(shù)精度代數(shù)精度 = 5,)(9458)6(7 fhfR n 為為偶數(shù)階偶數(shù)階的的Newton-Cotes 公式至少有公式至少有 n+1 次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。幾種低階求積公式的余項幾種低階求積公式的余項4.2.24.2.2、偶階求積公式的代數(shù)精偶

19、階求積公式的代數(shù)精度度 作為插值型的求積公式，作為插值型的求積公式，n 階的牛頓階的牛頓-柯特斯公式至柯特斯公式至少具有少具有n 次的插值精度（定理次的插值精度（定理1）。實際的代數(shù)精度還可）。實際的代數(shù)精度還可進一步提高，一般地，可以證明下述定理進一步提高，一般地，可以證明下述定理: 定理定理 2 當(dāng)階當(dāng)階 n 為偶數(shù)時，牛頓為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式柯特斯公式至少有至少有 n+1 次代數(shù)精度次代數(shù)精度 . nkknknxfCabI0)()()(注：注：由公式知，當(dāng)由公式知，當(dāng)n8時，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負值，這時時，柯特斯系數(shù)出現(xiàn)負值，這時，初始數(shù)據(jù)誤差將會引起計算結(jié)果誤差增大，即計算不，初始數(shù)

20、據(jù)誤差將會引起計算結(jié)果誤差增大，即計算不穩(wěn)定。因此，實際計算不用穩(wěn)定。因此，實際計算不用n8的牛頓的牛頓-柯特斯公式柯特斯公式 . 證明證明 我們只要驗證，當(dāng) 為偶數(shù)時，牛頓-柯特斯公式對 的余項為零. n1)(nxxf 由于這里,)!1()()1(nxfn.)(0 banjjdxxxfR引進變換 并注意到 有 ,thax,jhaxj所以按余項公式有,)(002 nnjndtjthfR若 為偶數(shù)，則 為整數(shù)，n2n,2nut再令進一步有,)2(2202 nnnjndujnuhfR因為被積函數(shù).0fRnjjnuuH0)2()(為奇函數(shù)，所以2/2/)(nnjju估計估計截斷誤差截斷誤差為為解解

21、用用梯形公式梯形公式計算計算:=2.1835估計估計截斷誤差截斷誤差為為=0.6796用用Simpson公式公式計算：計算：=2. 0263例例3 試分別使用梯形公式和試分別使用梯形公式和Simpson公式計算積分公式計算積分 的近的近似值，并估計截斷誤差似值，并估計截斷誤差.=198.4306890. 0)(max2880)12()4(2152 xfRx=0.068904、 求例3中求積公式)0(61) 1 (31)0(32)(10fffdxxf的余項 解解 由于此求積公式的代數(shù)精度為2，故余項表達式為 . 令 ，得 ，于是有)(fKfR 3)(xxf! 3)( f故得.721)3141(!

22、 31)0(61) 1 (31)0(32(! 31103fffdxxK).1 , 0(),(721 ffR本本 節(jié)節(jié) 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1 1、復(fù)化求積公式、復(fù)化求積公式構(gòu)造思想構(gòu)造思想公式余項公式余項2 2、龍貝格算法、龍貝格算法構(gòu)造思想構(gòu)造思想上機計算上機計算3 3、高斯求積公式、高斯求積公式構(gòu)造過程構(gòu)造過程4 4、3 3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式高次插值有高次插值有Runge 現(xiàn)象現(xiàn)象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 復(fù)合復(fù)合求積公式。求積公式。一、復(fù)化梯形公式一、復(fù)化梯形公式:),., 0(,nkhkaxnabhk 在

23、每個在每個 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(=Tn),(),()(12)()(12)(1221213bafabhnfabhfhfRnkknkk /*中值定理中值定理*/nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 二、復(fù)化辛普森公式二、復(fù)化辛普森公式:),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdx

24、xf= Sn)(2180)4(4 fhabfR 注：注：為方便編程，可采用另一記法：令為方便編程，可采用另一記法：令 n = 2n 為偶數(shù)，為偶數(shù)， 這時這時 ，有，有hkaxhnabhk ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS三、收斂速度與誤差估計：三、收斂速度與誤差估計：定義定義 若一個積分公式的誤差滿足若一個積分公式的誤差滿足 且且C 0，則則稱該公式是稱該公式是 p 階收斂階收斂的。的。 ChfRphlim0)(,)(,)(642hOChOShOTnnn例例4：計算計算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk

25、 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502運算量基運算量基本相同本相同問題問題: 給定精度給定精度 e e，如何取，如何取 n ?例如：要求例如：要求 ，如何判斷，如何判斷 n = ？e e |nTI)()(122 fabhfR ? nkkhfh12)(12 )()(12)(1222afbfhdxxfhba 上述上述例例4中若要求中若要求 , 則則610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409通常采取將區(qū)間通常

26、采取將區(qū)間不斷對分不斷對分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上述上述例例4中中2k 409 k = 9 時，時，T512 = 3.14159202例例4中：中：S4 = 3.141592502注意到區(qū)間再次對分時注意到區(qū)間再次對分時412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 可用來判斷迭代可用來判斷迭代是否停止。是否停止。(1)(2)(3)事后誤差估計事后誤差估計. dsin 10的值積公式求根據(jù)數(shù)據(jù)表利用復(fù)合求xxxI例1例1 xi 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xi) 1 0.9973978 0

27、.8414709. )()()()()()()()()( 94569090218743852183418120818fffffffffT946083201432141287858381406414.)()()()( )()()()()( fffffffffS9460829017211443411287858381320790212.)()()()( )()()()()( fffffffffC10,)dcos(sin)(txtxxxf1010)(,)d2cos()d(cosdd)(tkxtttxtxxfkkkk10)(10.11d)2cos()(maxktkxttxfkkx.0.00043431

28、81121 )(max121 21028 fhTIRxT.100.271514128801 6-44SIRS作業(yè)作業(yè) P135： 2(1),3,6一、梯形法的遞推化一、梯形法的遞推化逐次分半法逐次分半法 上一節(jié)介紹的復(fù)化求積方法對提高精度是行之有效的，但上一節(jié)介紹的復(fù)化求積方法對提高精度是行之有效的，但在使用求積公式之前必須給出合適的步長，在使用求積公式之前必須給出合適的步長，步長步長取得取得太大精度太大精度難以保證難以保證，步長太小步長太小則會導(dǎo)致則會導(dǎo)致計算量計算量的的增加增加，而事先給出一個，而事先給出一個恰當(dāng)?shù)牟介L又往往是困難的恰當(dāng)?shù)牟介L又往往是困難的 實際計算中常常實際計算中常常采用

29、變步長的計算方案采用變步長的計算方案，即在步長，即在步長逐次分逐次分半半(即步長二分即步長二分)的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進行計算，的過程中，反復(fù)利用復(fù)化求積公式進行計算，直至所求得的積分值滿足精度要求為止直至所求得的積分值滿足精度要求為止 設(shè)將求積區(qū)間設(shè)將求積區(qū)間a，b分成分成n等分，則一共有等分，則一共有n+1個分點，按個分點，按梯形公式計算積分值梯形公式計算積分值Tn，需要提供，需要提供n+1個函數(shù)值如果將求積個函數(shù)值如果將求積區(qū)間再二分一次，則分點增至區(qū)間再二分一次，則分點增至2n+1個，我們來個，我們來考察考察二分二分前后兩前后兩個積分值個積分值之間的之間的聯(lián)系聯(lián)系4 4、4 4

30、 龍貝格求積公式龍貝格求積公式逐次分半逐次分半計算計算方案方案的實現(xiàn)的實現(xiàn): 注意到每個子區(qū)間注意到每個子區(qū)間xk，xk+1經(jīng)過二分只增加了一個分經(jīng)過二分只增加了一個分點點 xk+1/2( xk+xk+1)/2，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的，用復(fù)化梯形公式求得該子區(qū)間上的積分值為積分值為 101021102110122)12(221)(221)(2)()(4nknnkknnkknkkknhkafhTxfhTxfhxfxfhT)()(2)(4121 kkkxfxfxfh這里這里 代表二分前后的步長代表二分前后的步長. .將每個子區(qū)間上的積分將每個子區(qū)間上的積分值相加得值相加得nabh 二、龍貝

31、格算法二、龍貝格算法).,()(212);,()(12)(222bafhabTIbafhabTIfRnnn 有有：根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項表達式根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項表達式. )(31.41)()(222nnnnnTTTITITIff 整理后可得：整理后可得：，則有，則有假定假定 可見，可見，利用利用兩種步長兩種步長計算的結(jié)果能估計截斷誤差計算的結(jié)果能估計截斷誤差.若將該截斷若將該截斷誤差加到計算結(jié)果中誤差加到計算結(jié)果中，nnnnnTTTTTT3134)(31222 就得出就得出“改進的梯形求積公式改進的梯形求積公式”：事后誤差事后誤差估計估計例：例：計算計算dxx 10142 已知對于已知對于

32、e e = 10 6 須將區(qū)間對分須將區(qū)間對分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202由由 來計算來計算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 483134TT = 3.141592502 = S4改進梯形求積公式改進梯形求積公式的右邊實際是的右邊實際是nnknkkknkknkknkknnnkknnnSbfxfxfafhxfhbfxfafhxfhTTxfhTTT 101121102111102110212)()(2)(4)(6)(2)()(2)(231)(231)(221431)4(31這就是說用這就是說用梯形法二分前后的兩個積分值梯形法二分前

33、后的兩個積分值Tn與與T2n的的線性組合線性組合的結(jié)果的結(jié)果得到得到復(fù)化辛普森法求積公式復(fù)化辛普森法求積公式nnnnnTTTTS141144313422 類似的情況，用辛普森法二分前后的兩個積分值類似的情況，用辛普森法二分前后的兩個積分值Sn與與S2n的線性組合的結(jié)果可得到的線性組合的結(jié)果可得到復(fù)化柯特斯求積公式復(fù)化柯特斯求積公式nnnnnSSSSC151151614114422222 重復(fù)同樣的手續(xù)，用柯特斯法二分前后的兩個積分值重復(fù)同樣的手續(xù)，用柯特斯法二分前后的兩個積分值Cn與與C2n的線性組合的結(jié)果可得到的線性組合的結(jié)果可得到龍貝格龍貝格(Romberg)求積公式求積公式nnnnnCC

34、CCR631636414114423233 我們在變步長的過程中運用加速公式，就能將粗糙的梯我們在變步長的過程中運用加速公式，就能將粗糙的梯形值形值Tn逐步加工成精度較高的辛普森值逐步加工成精度較高的辛普森值Sn 、柯特斯值、柯特斯值Cn和龍和龍貝格值貝格值Rn .一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323 Romberg 算法：算法： e e ? e e ? e e ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2

35、T S4 =)2(1TRomberg 序列序列kk2kT212 kS22 kC32 kR0 20=1 T11 21=2 T2 S12 22=4 T4 S2 C13 23=8 T8 S4 C2 R14 24=16 T16 S8 C4 R25 25=32 T32 S16 C8 R4 區(qū)間等分?jǐn)?shù)區(qū)間等分?jǐn)?shù) 梯形序列梯形序列 辛普森序列辛普森序列 柯特斯序列柯特斯序列 龍貝格序列龍貝格序列 龍貝格求積算法可用下表來表示：龍貝格求積算法可用下表來表示： 例例5 用龍貝格方法計算橢圓用龍貝格方法計算橢圓 x2/4 + y2 l 的周長，使結(jié)果的周長，使結(jié)果具有五位有效數(shù)字具有五位有效數(shù)字 分析分析 為便于

36、計算，先將橢圓方程采用參數(shù)形式表示為便于計算，先將橢圓方程采用參數(shù)形式表示, ,再根再根據(jù)弧長公式將橢圓周長用積分形式表示由于計算結(jié)果要求具據(jù)弧長公式將橢圓周長用積分形式表示由于計算結(jié)果要求具有五位有效數(shù)字，因此需要估計所求積分值有幾位整數(shù)，從而有五位有效數(shù)字，因此需要估計所求積分值有幾位整數(shù)，從而確定所求積分值的絕對誤差限最后再應(yīng)用龍貝格方法計算積確定所求積分值的絕對誤差限最后再應(yīng)用龍貝格方法計算積分分 解解 令令 x 2cosq q，y sinq q ， 則橢圓的周長為則橢圓的周長為Iyxl4d sin314d42022022 q qq qq qq qq q.10125. 01081)(1

37、021)(4422d sin3124451202 fRIfRIlI的的截截斷斷誤誤差差為為故故計計算算，的的截截斷斷誤誤差差為為則則需需結(jié)結(jié)果果有有五五位位有有效效數(shù)數(shù)字字，有有一一位位整整數(shù)數(shù)，要要求求，因因此此由由于于 q qq q 下表給出了用龍貝格方法計算積分下表給出了用龍貝格方法計算積分I= 1+1+3sin2q q dx 的過程的過程. /20kk2kT212 kS22 kC32 kR4322 kkRR0 1 2.356 1941 2 2.419 921 2.441 1632 4 2.422 103 2.422 830 2.421 608 3 8 2.422 112 2.422 1

38、15 2.422 067 2.422 074 4 16 2.422 112 2.422 112 2.422 112 2.422 113 0.000 0395 32 2.422 112 2.422 112 2.422 112 2.422 112 0.000 001 0.125 10- -4 故積分故積分I 2.422112, 橢圓周長的近似值為橢圓周長的近似值為l = 4I 9.6884。三、理查森三、理查森(Richardson)外推加速法外推加速法 上面討論說明由梯形公式出發(fā)上面討論說明由梯形公式出發(fā), 將區(qū)間將區(qū)間a, b逐次二分逐次二分可提高求積公式的精度可提高求積公式的精度, 上述加速

39、過程還可繼續(xù)下去上述加速過程還可繼續(xù)下去. 下面我們討論其下面我們討論其理論依據(jù)理論依據(jù). ,)(24221 llhhhIhT .)(122nabhbafhabTIn ， 22hTTn若記若記Tn = T(h), 當(dāng)區(qū)間當(dāng)區(qū)間a, b分為分為2n等分時等分時, 有有 , 則則可見可見I = T(h)的誤差為的誤差為O(h2). llhhhIhT2422121642 3)(24)(1hThThT 若記若記 ，則，則 將梯形公式按余項展開將梯形公式按余項展開. 由誤差公式有由誤差公式有 62411)(hhIhT 6416262411hhIhT 顯然顯然T1(h)與與 I 近似的階為近似的階為O(h

40、4) . 就是就是辛普森公式辛普森公式序列序列Sn, S2n, . .， 2),(11hThT這樣構(gòu)造的這樣構(gòu)造的 )(1412144)(11hThThTmmmmmm 則又可進一步從余項中則又可進一步從余項中消去消去 h4 項，這樣構(gòu)造出的項，這樣構(gòu)造出的 ，其實就是，其實就是柯特斯公式柯特斯公式序序列，它與列，它與 I 的逼近階為的逼近階為O(h6) . )(2hT)(151 21516)(112hThThT 若令若令 , 一般地，若記一般地，若記T0(h) = T(h)，經(jīng)過，經(jīng)過m (m =1,2,)次加速次加速后，則有后，則有如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級便提高如此繼續(xù)下去，每加速一次，誤差的量級便提高2階階. )21(141144)(1)1(1)()(0)()(0，次次加加速速值值，可可得得