2017高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第六節(jié) 冪函數(shù)和二次函數(shù) 理ppt課件

1、第六節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)1.冪函數(shù)冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義冪函數(shù)的定義:一般地一般地,函數(shù)函數(shù)y=x叫做冪函數(shù)叫做冪函數(shù),其中其中x是自變量是自變量,是是常數(shù)常數(shù).(2)5種常見冪函數(shù)的圖象種常見冪函數(shù)的圖象(如圖如圖)(3)5種常見冪函數(shù)的性質(zhì)2.二次函數(shù)二次函數(shù)(1)二次函數(shù)的定義二次函數(shù)的定義:形如形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)的三種常見的解析式二次函數(shù)的三種常見的解析式一般式一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);頂點(diǎn)式頂點(diǎn)式:f(x)=a(x-m)2+n(a0),(m,n)為頂點(diǎn)坐標(biāo)為頂點(diǎn)坐標(biāo);兩根式兩根式:f(x)=a(

2、x-x1)(x-x2)(a0),其中其中x1,x2分別為分別為f(x)=0的兩實(shí)根的兩實(shí)根.(3)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)3.二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系(1)f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象與的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程ax2+bx+c=0(a0)的實(shí)根的實(shí)根.另外,當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí),自變量的取值離開對稱軸越遠(yuǎn),則對應(yīng)的函數(shù)值越大;反過來,當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí),自變量的取值離開對稱軸越遠(yuǎn),則對應(yīng)的函數(shù)值越小.4.常用的數(shù)學(xué)方法與思想配方法、待定系數(shù)法、分類討論思想、數(shù)

3、形結(jié)合思想.1.判斷下列說法是否正確(打“”或“”).(1)函數(shù)f(x)=x2與f(x)=3x2都是冪函數(shù).()(1)(2)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c表示二次函數(shù).()(2)(3)冪函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)(1,1),(0,0).()(3)(4)二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形.()(4)(5)二次函數(shù)y=x2+mx+1在區(qū)間1,+)上單調(diào)遞增的充要條件是m-2.()(5)2.已知某二次函數(shù)的圖象與函數(shù)y=2x2的圖象的形狀一樣,開口方向相反,且其頂點(diǎn)為(1,3),則該函數(shù)的解析式為()A.y=2(x-1)2+3B.y=2(x+1)2+3C.y=-2(x-1)2+3D.y=-2(x+1)2+32.C【

4、解析】設(shè)所求函數(shù)的解析式為y=a(x+h)2+k(a0),由題意可知a=-2,-h=1,k=3,故y=-2(x-1)2+3.命題角度1:利用冪函數(shù)的圖象判斷冪指數(shù)大小典例1如圖為冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象,則C1,C2,C3,C4的大小關(guān)系為 ()A.C1C2C3C4B.C2C1C4C3C.C1C2C4C3D.C1C4C3C2【解題思路】利用基本冪函數(shù)y=x2,y=x-1,y=x在第一象限作為參考并利用特殊值驗(yàn)算.觀察圖形可知C10,C20,且C11,而0C21,C30,C40,且C30,a1)與y=xb的圖象如圖,則下列不等式一定成立的是 ()A.ba0B.a+b0C.ab1D.loga

5、2bD【解析】由圖可知a1,b0,因此0ab1,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;而選項(xiàng)A與B不一定成立,如當(dāng)b=-1,a=3時(shí),ba0,當(dāng)a=2,b=-3時(shí),a+bloga1=0b,所以只有選項(xiàng)D一定成立.典例3(2019嘉興統(tǒng)測)設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,bR)滿足條件:當(dāng)xR時(shí),f(x)的最大值為0,且f(x-1)=f(3-x)成立;二次函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-2交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求最小實(shí)數(shù)n(n-1),使得存在實(shí)數(shù)t,只要當(dāng)xn,-1時(shí),就有f(x+t)2x成立.【解題思路】(1)根據(jù)條件得出函數(shù)的對稱軸、最大值以及|AB|的長度,由此

6、列出方程組得到相應(yīng)的參數(shù)值【變式訓(xùn)練】(2019山東棗莊八中月考)已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實(shí)數(shù),a0,xR).(1)若函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(-2,1),且方程f(x)=0有且只有一個(gè)根,求f(x)的表達(dá)式;(2)在(1)的條件下,當(dāng)x-1,2時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(-2)=1,即4a-2b+1=1,所以b=2a.因?yàn)榉匠蘤(x)=0有且只有一個(gè)根,即=b2-4a=0,因此解得a=1,b=2,所以f(x)=(x+1)2.(2)因?yàn)間(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx=x2-(k-2)x+1命題角度1:二次函

7、數(shù)的最值問題典例4已知函數(shù)f(x)=-x2+2ax+1-a在0 x1時(shí)有最大值2,求實(shí)數(shù)a的值.【解題思路】動(dòng)軸定區(qū)間問題,應(yīng)將對稱軸從左向右移動(dòng)進(jìn)行討論.【參考答案】當(dāng)對稱軸x=a0時(shí),如圖1所示,當(dāng)x=0時(shí),y有最大值ymax=f(0)=1-a,1-a=2,即a=-1,且滿足a1時(shí),如圖3所示,當(dāng)x=1時(shí),y有最大值,ymax=f(1)=2a-a=2,a=2,且滿足a1,a=2.綜上可知,a的值為-1或2.命題角度2:一元二次不等式恒成立問題A.(-,-10,+)B.-1,0C.0,1 D.-1,0)【解題思路】利用分類討論,將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化.(2019嘉興模擬)已知函數(shù)f(x)=x

8、2+ax+b,g(x)=2x+a(a,bR),且函數(shù)f(x)與g(x)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn).(1)證明:當(dāng)x0時(shí),f(x)(x+b)2;(2)若不等式f(a)-f(b)L(a2-b2)對題設(shè)條件中的a,b總成立,求L的最小值.【解析】(1)由題意得f(x)-g(x)=x2+ax+b-2x-a=x2+(a-2)x+b-a0恒成立,=(a-2)2-4(b-a)=a2+4-4b0,a24b-4,04b-4,1b.又f(x)-(x+b)2=(a-2b)x+b(1-b),又a24b-4b2,a|a|b2b,k=a-2b0,f(0)-b2=b(1-b)0,當(dāng)x0時(shí),f(x)(x+b)2.【變式訓(xùn)練】二次

9、函數(shù)中最值與對稱軸問題探究 二次函數(shù)是一種特殊的函數(shù),主要涉及的知識(shí)有定軸定區(qū)間、定軸動(dòng)區(qū)間、定區(qū)間動(dòng)軸、最值、分離變量、恒成立、數(shù)形結(jié)合、分類討論等,知識(shí)點(diǎn)多,內(nèi)容豐富,可謂“動(dòng)中有靜,靜中有動(dòng)”.典例已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+2,求1x4上的f(x)的最值.【解題思路】定區(qū)間、定軸的基本題,考查數(shù)形結(jié)合及學(xué)生對二次函數(shù)認(rèn)識(shí)的基本能力.【參考答案】f(x)max=f(4)=2,f(x)min=f(2)=-2.【針對訓(xùn)練】1.已知二次函數(shù)f(x)=x2-4x+2,求x1,a上的f(x)的最值.1.【解析】定軸,動(dòng)區(qū)間(單邊動(dòng))問題,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合與分類討論的思想,關(guān)鍵是最大值里以a=

10、3為分界線,而在最小值里以2為分界線.最大值:當(dāng)13時(shí),f(x)max=f(a)=a2-4a+2.最小值:當(dāng)12時(shí),f(x)min=f(2)=-2.2.已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+2,求1x4上的f(x)的最大值.2.【解析】定區(qū)間動(dòng)軸問題,通?？疾閷?dòng)軸進(jìn)行討論,但此處采用相對運(yùn)動(dòng),釘住軸變成定軸,而把區(qū)間運(yùn)動(dòng),這是一種新的思維方法,且比動(dòng)軸更好理解.1.方程x2-4x+k=0在區(qū)間1,4上有實(shí)根,求k的取值范圍.1.【解析】二次函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的解的問題,解法1:轉(zhuǎn)換為兩曲線的交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合易求;解法2:轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題,數(shù)形結(jié)合也易求,這是一道典型的化難為易的題.解法1:x2-4x+k=0變形為x2-4x=-k,從而變?yōu)槎魏瘮?shù)y=x2-4x與直線y=-k有交點(diǎn)問題,數(shù)形結(jié)合易得-4-k