倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)

1、倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍摘要：為實(shí)現(xiàn)多輸入、多輸出、高度非線不穩(wěn)定的倒立擺系統(tǒng)平衡穩(wěn)定控制，將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型。利用牛頓一歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在分析的基礎(chǔ)上，基于狀態(tài)反饋控制中極點(diǎn)配置法對(duì)直線型倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器。由MATLA項(xiàng)真表明采用的控制策略是有效的，設(shè)計(jì)的控制器對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的平衡穩(wěn)定性效果好，提高了系統(tǒng)的干擾能力。關(guān)鍵詞：倒立擺、極點(diǎn)配置、MATLAEI引言：倒立擺是進(jìn)行控制理論研究的典型試驗(yàn)平臺(tái)，由于倒立擺本身所具有的高階次、不穩(wěn)定、非線性和強(qiáng)

2、耦合性，許多現(xiàn)代控制理論的研究人員一直將他視為典型的研究對(duì)象，不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，基于極點(diǎn)配置法給直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器1.數(shù)學(xué)模型的建立倒立擺系統(tǒng)其本身是自不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實(shí)驗(yàn)建模存在著一定的困難.在忽略掉一些次要的因素之后，倒立擺系統(tǒng)就是一典型的運(yùn)動(dòng)的剛體系統(tǒng)，可以在慣性坐標(biāo)系中應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)理論建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。下面采用牛頓一歐拉方法建立直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。1。1微分方程的數(shù)學(xué)模型在忽略了空氣阻力和各種摩擦力之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車

3、和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示：倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍圖1：直線一級(jí)倒立擺模型設(shè)系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)定義如下：M:小車質(zhì)量m：擺桿質(zhì)量b:小車摩擦系數(shù)1:擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I：擺桿質(zhì)量F:加在小車上的力x:小車位置：擺桿與垂直方向上方向的夾角8:擺桿與垂直方向下方向的夾角（擺桿的初始位置為豎直向下）如下圖2所示為小車和擺桿的受力分析圖。其中,N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。2倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍圖2:小車和擺桿受力分析圖應(yīng)用牛頓方法來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過(guò)程如下：分析小車

4、水平方向所受的合力，可以得到以下的方程:MxFbxN由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面的等式d2Nm(xlsin)dt2將此等式代入上述等式中,可以得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:?(Mm)x?2bxmlcosmlsinF為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程,析，可以得到下面的方程：我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分力矩平衡方程如下:Pmgd2m2(lcos)dtPlsin?NlcosI注意：此方程中力矩的方向，由于cossincossin故等式前面有負(fù)號(hào)。合并這兩個(gè)方程，約去P和N,得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:?(I,2、ml)mglsinmlxcos設(shè)8=冗+小，當(dāng)擺桿與垂直向上方向之間的夾角小與1（單位是

5、弧度）相比很小時(shí)，即1時(shí)，則可以進(jìn)行如下近似處理：倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍cos1sin)2線性化后得到該系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的微分方程表達(dá)式:?2、(Iml)mglmlx?(Mm)xbxmlu1。2狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程可寫成如下形式XAXBuYCXDu解代數(shù)方程可得如下解:xx2222?(Iml)b?mgl(Iml)xI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2I(Mm)Mml2mlb-mgl(Mm)mlI(Mm)Mml2xI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2整理后可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程:?01000x?0(Iml2)bm2gl20x?Iml

6、2xI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2xI(Mm)Mml2u?00010?0mlbmgl(Mm)0?mlI(Mm)Mml2I(Mm)Mml2I(Mm)Mml2倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍X?1000x0010對(duì)于質(zhì)量均勻分布的擺桿，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:I1ml23代入微分方程模型中得：?,1,2,2、(-mlml)mglmlx?3g4l化簡(jiǎn)后可得:3?一x4l?設(shè)XxxT,ux則有:倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍010u34rx0100x?0000?xx?0001?003g0?4l100000101。3實(shí)際系統(tǒng)模

7、型實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M:小車質(zhì)量，0.5Kg；m：擺桿質(zhì)量，0。2Kg;b:小車摩擦系數(shù)，0.1N/m/sec;l：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度，0。3m；I:擺桿質(zhì)量,0o006Kgmm；T:采樣時(shí)間，0。005s。將上述系統(tǒng)參數(shù)代入可得系統(tǒng)實(shí)際模型。擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)：(s)0.06s22X(s)0.024s20.588擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)：(s)0.06_2V(s)0.024s0.588擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍2(s)4.545s2U(s)s40.182s331.18s24.45

8、s以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:00.1822.67270X00011.8182u00.454531.18204.5454x1000x0010以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程x0100x0x0000x1u000100024.502.5x1000x0u001002。狀態(tài)空間極點(diǎn)配置經(jīng)典控制理論的研究對(duì)象主要是單輸入單輸出的系統(tǒng)，控制器設(shè)計(jì)時(shí)一般需要有關(guān)被控對(duì)象的較精確模型，現(xiàn)代控制理論主要是依據(jù)現(xiàn)代數(shù)學(xué)工倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍具，將經(jīng)典控制理論的概念擴(kuò)展到多輸入多輸出系統(tǒng)。極點(diǎn)配置法通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器將多變量系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)配置在期

9、望的位置上，從而使系統(tǒng)滿足瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo).設(shè)計(jì)要求：用極點(diǎn)配置方法設(shè)計(jì)控制器，使得在小車上施加0.1N的階躍信號(hào)時(shí),閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：(1)要求系統(tǒng)調(diào)整時(shí)間小于3s(2)穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度狀態(tài)方程為：XAXBu選擇控制信號(hào)：uKX可解得：?x(t)(ABK)x(t)直接利用MATLAB極點(diǎn)配置函數(shù)K,PREC,MESSAGE=PLACE(A,B,P)來(lái)計(jì)算.選取調(diào)整時(shí)間ts=2。0s,阻尼比為己=005,可得期望的閉環(huán)極點(diǎn)：U110u210U32j2、,3u32j2、3U3,U4為一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)，U1,U2距離閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)5倍，可忽略其對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)的影響.矩陣(A

10、BK)的特征值是方程式|Is-(A-BK)|=0的根:s0000s0000s0000s01000000000100a001k1k2k3k40b這是s的四次代數(shù)方程式，可表示為倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍s4(k2bk4)s3(ak1bk3)s2ak2sak10適當(dāng)選擇反饋系數(shù)k1,k2,k3,k4系統(tǒng)的特征根可以取得所希望的值。S(1234)s(12把四個(gè)特征根1,2,314設(shè)為四次代數(shù)方程式的根，則有2334411324)s(123234134412)s12340如果給出的1,2,3,4是實(shí)數(shù)或共腕復(fù)數(shù)，則聯(lián)立方程式的右邊全部為實(shí)數(shù)。據(jù)此可求解出實(shí)

11、數(shù)k1,k2,k3,k4當(dāng)將特征根指定為下列兩組共腕復(fù)數(shù)時(shí)1，2，3，422技，-10,10又a=29。4,b=3利用方程式可列出關(guān)于k1,k2，k3,k4的方程組:k23k42429.4k13k319629.4k272029.4k11600求解后得k1=-65.3061k2=29。3878k3=114.3224k4=21o3551所以反饋矩陣:K65.306129.3878114.322421.3551即施加在小車水平方向的控制力u:=-KX=-65。3061x+29.3878x-114.3224(|)-21.3551小3。仿真驗(yàn)證倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化

12、094叢長(zhǎng)龍圖3:倒立擺極點(diǎn)配置仿真框圖可以看出在干擾的情況下，系統(tǒng)在3s之內(nèi)基本上可以恢復(fù)到新的平衡位置.圖4:直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置MATALABSIMULINK仿真結(jié)果圖10倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍圖5:直線一級(jí)倒立擺狀態(tài)空間極點(diǎn)配置實(shí)時(shí)控制結(jié)果(施加干擾)在給倒立擺施加干擾后，系統(tǒng)的響應(yīng)如圖12所示，系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間在3s之內(nèi)，達(dá)到設(shè)計(jì)要求。4.結(jié)論傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)分析方法需要非線性系統(tǒng)的精確模型，而實(shí)際中存在的大量復(fù)雜的多變量非線性系統(tǒng)則表現(xiàn)為參數(shù)的不確定性和結(jié)構(gòu)的不確定性.本文用現(xiàn)代控制理論的極點(diǎn)配置方法對(duì)直線一級(jí)倒立擺控制進(jìn)行

13、了分析，并用Simulink進(jìn)行了倒立擺的系統(tǒng)仿真.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，得到如下結(jié)論：(1)對(duì)于具有非線性、多變量等特點(diǎn)的倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)分析，分析其非線性因素，在誤差允許的范圍內(nèi)忽略某些次要因素將其線性化。(2)狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制器既能實(shí)現(xiàn)對(duì)擺桿角度的控制，又能控制小車位移.(3)基于極點(diǎn)配置法對(duì)直線型一級(jí)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)的控制器，可使系統(tǒng)在很小振動(dòng)范圍內(nèi)保持平衡，穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約為3So11倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間極點(diǎn)配置控制設(shè)計(jì)電子與信息工程學(xué)院自動(dòng)化094叢長(zhǎng)龍5。參考文獻(xiàn)1于長(zhǎng)官，現(xiàn)代控制理論第3版.哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2005.2郭釗俠，方建安，苗清影.倒立擺系統(tǒng)及其智能控制研究J.東華大學(xué)學(xué)報(bào)，20