傅里葉變換及拉普拉斯變換的比較研究

1、學(xué)號(hào)1109141006課題：拉氏變換和傅里葉變換的關(guān)系學(xué)生姓名：陳興宇院系：電氣工程學(xué)院專業(yè)班級(jí)：2011級(jí)電氣工程及其自動(dòng)化（1）班指導(dǎo)教師：董德智0一三年六月1傅里葉變換與拉普拉斯變換簡介21.1 傅里葉變換21.1.1 傅里葉變換的歷史由來21.1.2 傅里葉變換的定義21.1.3 傅里葉變換與逆變換的性質(zhì)31.2 拉普拉斯變換41.2.1 拉普拉斯變換的歷史由來51.2.2 拉普拉斯變換的定義51.2.3 拉普拉斯變換與逆變換的性質(zhì)61.3 小結(jié)72傅氏變換與拉氏變換的比較研究72.1 兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用72.2 兩種積分變換在求解積分、微分方程中的應(yīng)用102.3 兩

2、種積分變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用122.4 兩種積分變換在電路理論中的應(yīng)用163總結(jié)20參考文獻(xiàn)231傅里葉變換與拉普拉斯變換簡介人們?cè)谔幚砼c分析工程實(shí)際中的一些問題時(shí)，常常采取某種手段將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從另一個(gè)角度進(jìn)行處理與分析，這就是所謂的變換。在數(shù)學(xué)、物理、工程技術(shù)等領(lǐng)域中應(yīng)用最多的是傅里葉變換與拉普拉斯變換。下面對(duì)傅氏變換與拉氏變換進(jìn)行簡單的介紹。1.1 傅里葉變換1.1.1 傅里葉變換的歷史由來17世紀(jì)和18世紀(jì)，在牛頓和萊布尼茨等科學(xué)巨人的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)獲得了飛速的發(fā)展。隨著函數(shù)、極限、微積分和級(jí)數(shù)理論的創(chuàng)立，法國數(shù)學(xué)家傅里葉在研究熱傳導(dǎo)問題時(shí)發(fā)表了熱的解析理論的論文川，提出并證明了

3、將周期函數(shù)展開為正弦級(jí)數(shù)的原理，奠定了傅里葉變換的理論基礎(chǔ)。其后，泊松、高斯等人最早把這一成果應(yīng)用到電學(xué)中去。時(shí)至今日，傅里葉分析法不僅廣泛應(yīng)用與電力工程、通信和控制領(lǐng)域中，而且在力學(xué)、光學(xué)、量子物理和各種線性系統(tǒng)分析等許多有關(guān)數(shù)學(xué)、物理和工程技術(shù)領(lǐng)域中都得到了廣泛而普遍的應(yīng)用。1.1.2 傅里葉變換的定義由數(shù)學(xué)物理方法課程的知識(shí)可知，對(duì)于(*,")上的非周期函數(shù)f(t)有如下的傅里葉積分定理2:設(shè)f(t)在(-°0,")上有定義，且在任一有限區(qū)間上滿足狄利克雷條件3(即連續(xù)或有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且只有有限個(gè)極值點(diǎn))；在無限區(qū)間(血,也)上絕對(duì)可積，即1f則有

4、傅里葉積分公式(1-1)2n皿在f(t)的連續(xù)點(diǎn)X處成立，而在f(t)的第一類間斷點(diǎn)小處，右邊的積分應(yīng)以1 -2 /(X0+0)+f(X00”代替。在傅里葉積分公式(1-1)中，若令F=f(t)e1tdt(1-2)則f(t)=1：F()eitd.(1-3)2二-二從(1-2)、(1-3)兩式可以看出f(t)和F(。)可以通過積分運(yùn)算相互表達(dá)。(1-2)式叫做f(t)的傅里葉變換式，可記為：F(9=FfF(叫做f(t)的像函數(shù)。(1-3)式叫做F(的傅里葉逆變換式，可記為f(t)=FF(Mf(t)叫做F(的像原函數(shù)。1.1.3傅里葉變換與逆變換的性質(zhì)下面來介紹傅里葉變換的幾個(gè)基本性質(zhì)(假定在這些

5、性質(zhì)中，凡是需要求傅里葉變換的函數(shù)都滿足傅里葉積分定理中的條件)：1)線性性質(zhì)：設(shè)F1(=Ff1(t),F2(=Ff2(t),是常數(shù)，則Faf1(t)+Pf2(t)7FL(t)+即f2(t)=跖(一+年2(3)同樣，對(duì)傅里葉逆變換也有類似的線性性質(zhì)，即F：小).年2(必=：f1(t)f2(t)2)位移性質(zhì)設(shè)to為任意常數(shù)，則Ff(t±to)=e.0Ff(t)同樣，傅里葉逆變換也具有類似的位移性質(zhì)，即F"F("由=f(t)e常3)延遲性質(zhì)設(shè)為任意常數(shù)，則Fe/tf(t)=F(3_30)4)微分性質(zhì)若limf(t)=0則Itr二Ff'(t)=SFf(t)一般地

6、，若limf(k)(t)=0(k=0,1,2|,n1),則|t|r二Ffn(t)=(inFf(t)同樣，像函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為吃F(=TFtf(t),般地，有dnUF(9=(T)nF-5)積分性質(zhì)設(shè)g(t)=f(t)dt,若tt時(shí)g(t)=0,則-oO1,fg(t)一ff(t)iw6)卷積定理已知函數(shù)fl和f2(t),則定義積分廠fl*f2(t-7)dT為函數(shù)fi(t)和f2的卷積，記為fl(t)*f2(t),即fl(t)f2(t)=I")f2)5假定fi(t),f2都滿足傅里葉積分定理中的條件，且Fi(3)=Ffi(t),Ff2(t)=F2(,則有Ffi(t)*f2(t)=Fi(“F2

7、(3,££1Ffi(t)依)=丁'(葉2(3)L.2n上式稱之為卷積定理4。1.2拉普拉斯變換1.2.1 拉普拉斯變換的歷史由來19世紀(jì)末，英國工程師赫維賽德發(fā)明了“運(yùn)算法”(算子法)解決電工程計(jì)算中遇到的一些基本問題。他所進(jìn)行的工作成為拉普拉斯變換方法的先驅(qū)。赫維賽德的方法很快地被許多人采用，但是缺乏嚴(yán)密的數(shù)學(xué)驗(yàn)證，曾經(jīng)受到某些數(shù)學(xué)家的譴責(zé)。而赫維賽德以及另一些追隨他的學(xué)者(例如卡爾遜、布羅姆維奇等人)堅(jiān)信這一方法的正確性，繼續(xù)堅(jiān)持不懈地深入研究。后來，人們終于在法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯的著作中為赫維賽德運(yùn)算法找到了可靠的數(shù)學(xué)依據(jù)，重新給予嚴(yán)密的數(shù)學(xué)定義，為之取名拉普拉

8、斯變換(簡稱拉氏變換)方法。1.2.2 拉普拉斯變換的定義從數(shù)學(xué)物理方法課程中我們知道，任意函數(shù)f(t)(在t<0時(shí)f三0),的拉普拉斯變換為6:其逆變換為:F(s);Lf(t)=0"f(t)etdtf(t)=LF(s)=_stF(s)eds(1-4)(1-5)函數(shù)F(s)稱為f(t)的像函數(shù)，f(t)稱為F(s)的像原函數(shù)。函數(shù)f(t)(t>0)的拉普拉斯變換實(shí)際上是一種特殊的傅里葉變換7o拉氏變換的存在條件，要滿足下述拉普拉斯變換的存在定理8:若函數(shù)f(t)滿足下列條件：1) 當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0;2)當(dāng)tX0時(shí)，f(t)及f'(t)除去有限個(gè)第一類

9、間斷點(diǎn)以外，處處連續(xù)；3)當(dāng)tt-時(shí)，f(t)的增長速度不超過某一個(gè)指數(shù)函數(shù)，亦即存在常數(shù)M及年之0,使得f(t)|WMe*(0<t<f其中，電稱為f(t)的增長指數(shù)。則f(t)的拉氏變換F(s)在半平面Res>因上存在、解析，且當(dāng)args<-6(S是任意小的正數(shù))時(shí)，有2limF(s)=0s，二1.2.3 拉普拉斯變換與逆變換的性質(zhì)1)線性性質(zhì)設(shè)Lfi(t)=Fi(s),Lf2(t)=F2(s),若"P是常數(shù)，則有；L«fi(t)+Pf2(t)=ULfi(t)+PLf2(t)=aFi(s)+PF2(s)LaFi(s)+即2(切=aLFi(s)+配,

10、產(chǎn)2(砌=afi(t)+Pf?。)2)位移性質(zhì)若Lf(t)=F(s),to>0,則Lf(t-t0)-etLf(t)-et0F(s)3)延遲性質(zhì)若Lf(t)=F(s),則有at_Lef(t)=F(s-a),Re(s-a)c4)微分性質(zhì)若Lf(t)=F(s),則有Lf'(t)=sF(s)-f(0)Lf''(t)=s2F(s)-sf(0)-f'(0)5)積分性質(zhì)若Lf(t)=F(s),則有tiLf(t)dt=-F(s)0s此外，由拉普拉斯變換存在定理，還可以得到像函數(shù)的積分性質(zhì)：若Lf(t)=F(s),則有f(t)L=$F(s)dsts6)卷積定理拉氏變換中的卷

11、積還存在著如下的卷積定理9:假定fi(t)、f2(t)滿足拉普拉斯變換存在定理中的條件，且Lfi(t)=Fi(s),Lf2(t)=F2(s),則fi(t)*f2(t)的拉氏變換一定存在，且Lfi(t)f2(t)=Fi(s)F2(s)一般地，有Lfi(t)f2(t)-|l|fn(t)=Fi(s)F2(s)川Fn(s)i.3小結(jié)由以上可以看出，傅氏變換與拉氏變換有許多相似之處。但從(i.2)中我們也可以看出，用傅里葉變換在求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函數(shù)必須在S*)內(nèi)滿足絕對(duì)可積(fjf(t)這個(gè)條件。該條件的限制是非常強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個(gè)條件。另一方面

12、，從(2.2)的拉氏變換存在定理可以看出，拉氏變換所要求的條件是很弱的，常見的函數(shù)都能進(jìn)行拉氏變換，這使得拉氏變換在許多領(lǐng)域中的應(yīng)用極其廣泛。下文我們將對(duì)兩種變換的應(yīng)用做一介紹。2傅氏變換與拉氏變換的比較研究傅立葉變換與拉普拉斯變換在數(shù)學(xué)、物理以及工程技術(shù)等領(lǐng)域中有著極其廣泛的應(yīng)用。由(一)可知兩種變換的性質(zhì)有很多相似之處，故兩者在求解問題時(shí)也會(huì)有許多類似。另外，由于傅氏變換的積分區(qū)間為)，拉氏變換的積分區(qū)間為(0,+8),兩者又會(huì)在不同的領(lǐng)域中有著各自的應(yīng)用。下面我們通過一些具體的例子對(duì)兩種變換的應(yīng)用做一些比較研究。2.i兩種積分變換在求解廣義積分中的應(yīng)用傅氏變換與拉氏變換都可以用來求解一些

13、用普通方法難以求解的廣義積分，下面舉例說明：.，t<i例i求函數(shù)f(t)=4的傅里葉積分表達(dá)式。(0其它解：由(i-i)式有f(t)=1i、i«豆Jf()ed:1f(.)ed.ed.joO2二-二1二sin一(cos3t+isinwt)dw1二sinwcoswt,-dw2二sin3coswt二.0當(dāng)t=±1時(shí)，傅里葉積分收斂于3十0)十“±-嘰2,根據(jù)以上的結(jié)果可以寫2二sincocoscotjif(t),dw=1.2,t=二1t:二1由此可以看出,t=0則有二sinwcoswtCl)d=一40,t=1用傅里葉積分表達(dá)式可以推證一些廣義積分的結(jié)果。本題中，取

14、二sinw這個(gè)就是著名的狄利克雷積分。同樣，拉普拉斯變換也可以用來求解狄利克雷積分例2求狄利克雷積分10一皿出t解：引進(jìn)參變量x,設(shè)f(x)=。*型/dt,對(duì)其求拉普拉斯變換并交換積分次序，得sinxtsxLf(x)=°°丁dte-dx二1二sx=°-°sin(xt)edxdt由積分表可知Jsinat/dt二.二1tLf(x)=.°丁一2dt0tst二1=碇2dt0s2t2=1arctan(tss1二=-.一s2一1二Lf(x)=-s2一.1_二1二.1.1二f(x)=L=-L卜=一二sin(xt)2s2s2JI出=一2取x=1,則有二sint

15、二dt=一0t2這與(例1)中的結(jié)果是完全相同的。2例3求歐拉-泊松積分Iedx分析：該積分的積分區(qū)間是(0,十無)，用拉普拉斯積分變換求解會(huì)更加便利解：由達(dá)朗貝爾判別法可知?dú)W拉-泊松積分收斂11。引進(jìn)參變量t,使其成為t的函數(shù)，設(shè)f(t)=(Me>dx。對(duì)f(t)取拉氏變換并交換積分次序的，得.tx2stLf(t)=00eJxdxe"tdt-27t=00exs)tdtdx二12s1Is而1一2,t取t=1,則有二d>./,：edx=02由以上幾個(gè)例子可以看出，兩種變換都可以用來求解廣義積分，和普通方法相比12該方法簡單明了，具有很大的優(yōu)越性。2.2兩種積分變換在求解積分

16、、微分方程中的應(yīng)用例4求解積分方程g(t)=h(t)：f()g(t-)d其中h(t),f(t)都是已知的函數(shù)，且g(t)、h(t)和f(t)的傅里葉變換都存在。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是(-已收)，故首先應(yīng)考慮用傅里葉積分變換法求解。積分項(xiàng)內(nèi)是函數(shù)f(t)與g(t)的卷積，對(duì)方程兩邊取傅氏變換，利用卷10積性質(zhì)便可以很方便的求解該問題。解：設(shè)Fg(t)=GWF),ffc(NF,F(3t3)H卷積定義可知產(chǎn)f(T)g(t-T)di=f(t)*g(t)。因此對(duì)原積分方程兩邊取傅里葉變換，可得J-odG(gj)=H(F(G(«)因此有G(cd)=H(.1-F(w)由傅里葉逆變換求得原積

17、分方程的解為g(t)=''G(w)eicdd3二H(w)i,edw-二1-F(心同樣，應(yīng)用拉普拉斯變換的卷積性質(zhì)也可以用來求解積分方程。例5求積分方程2ty(t)=t-y(t-.)sintd.的解。分析：該積分方程中的積分區(qū)間是(0,t),考慮到拉氏變換卷積性質(zhì)中函數(shù)的積分區(qū)間是Qt)13,故對(duì)原方程兩邊取拉普拉斯變換，應(yīng)用相應(yīng)的卷積性質(zhì)便可求出該積分方程的解。21解：設(shè)Ly(t)=Y(s),則有，Lt2=彳，Lsint=4。對(duì)原方程兩邊取32ss1拉普拉斯變換，由卷積定理得21Y(s)71Y(s)整理得22Y(s)ss取其逆變換可得11此即原積分方程的解。例6求解線性方程組1

18、4t4y(t)=2(-)4!,214t412一,.tx+xy=e«y.+3x-2y=2etx(0)=y(0)=1分析：利用傅氏變換與拉氏變換性質(zhì)中的微分性質(zhì)，可以將微分方程轉(zhuǎn)換為像函數(shù)的代數(shù)方程，使得問題得以解決。但是用傅里葉變換求解問題時(shí)，要求所一)這個(gè)條件。但是本出現(xiàn)的函數(shù)必須在(-°°,口)內(nèi)滿足絕對(duì)可積(f(t)題中的e：x、y都不滿足這個(gè)條件，故不能用傅氏變換進(jìn)行求解。我們采用拉氏變換對(duì)該方程組進(jìn)行求解。解：設(shè)Lx(t)=X(s),Ly(t)=Y(s),對(duì)方程組進(jìn)行拉氏變換得到1sX(s)-1X(s)-Y(s)=-s-11sY(s)-13X(s)-2Y(

19、s)-2s-1解得X(s)-Y(s)=s-1拉氏逆變換L，匚=e'，故s-1x(t)=ey(t)=6即為原方程組的解。2.3兩種積分變換在求解偏微分方程中的應(yīng)用利用傅里葉變換和拉普拉斯變換可以用來求解偏微分方程，下面以數(shù)學(xué)物理方法課程中常常碰到的幾種方程進(jìn)行舉例說明。12例7求解無界弦的自由振動(dòng)心-a%=0(-*<x<+*)uIt-0(x),utIt-0(x)分析：對(duì)于無界區(qū)域的定解問題，傅里葉變換是一種普遍使用的求解方法。本題中由于弦的區(qū)域是(-町)，可以用分離變量發(fā)進(jìn)行求解，也可以用傅里葉變換發(fā)進(jìn)行求解。解：對(duì)于u(t,x)將時(shí)間t看作參數(shù)，對(duì)x進(jìn)行積分，求其傅氏變換并

20、應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)得到Fu(t,x)=U%(t,x)ewxdx=U(t,)JjoaU'U-i.«xdi.wxdF=edx=-u(t,x)edx=U(t,)2t-二ftdtdt.22F22U(t,w)二tdtF=.：eJ"dx=icoFu(t,x)=icoU(t,)；x一：x-2二u22F-=(iU(t)U(t,ex另設(shè)FW(x)=6(,F慳(x)=里(3),對(duì)原定解問題作傅里葉變換得到CU(t,w),22.n-+awU(t,)=0盤U(t,3)tZ(3),：U(t,y=£(3)l沅方程的通解為U(t,3)=A(3)eia4+B(3)e*3t,將初始條件代

21、入可求得“aT>(T")22ai31,1彳(3)B(=-(-22aiw即13iat31：()iat3!e2aiw-iat31'J(3)-iat3e1U(t,3)=(融2+(w)e22ai出再對(duì)U(t,3)作傅里葉逆變換，應(yīng)用傅里葉變換的性質(zhì)可得方程的解為11zatu(t,x)=-(xat)(x-at)xJ()d22a這正是數(shù)學(xué)物理方法課程用行波法求解無界弦運(yùn)動(dòng)的達(dá)朗貝爾公式15。對(duì)于半無界弦的振動(dòng)，一般來說用拉普拉斯變換法求解往往比較方便，下面舉例說明：例8求解半無界弦的振動(dòng)問題：2，八，八、Utt=aUxx(0<x<+.t>0)ux=0=<p(

22、x),limu(x,t)=0(t之0)utz0=0,Uttm=0,(0<x<+=c)解:對(duì)方程兩邊關(guān)于變量t作拉氏變換，記Lu(x,t)=U(x,s),L9(t)=G(s),利用拉普拉斯變換的微分性質(zhì)及初始條件可得L=sU(x,s)-u(x,0)=sU(x,s)L-2Wx-c2ud2e"dt2U(x,s)dx2t這樣，原定解問題轉(zhuǎn)化為求解含有參數(shù)s的常微分方程的邊值問題22d2sU(x,s)=a2U(x,s)dxx=0=:：J(s),xlim.U(x,s)-0這里，方程是U(x,s)關(guān)于x的一個(gè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程，該微分方程的通解為-(-)x(-)xU(x,s)=

23、Gea+c2ea,由其邊界條件可得14d)xU(x,s)="s)ea得到原定解問題的解為4-)xa對(duì)上式去拉普拉斯逆變換，利用拉氏變換的延遲性質(zhì),u(x,t)=LU(x,s)=L：，(s)e(t<-)a(t-)a例9利用傅里葉變換求解上半平面無源靜電場內(nèi)電勢的定解問題2_2_2Cu,Gu_/小2+2=0(-g<x<+笛,y>0)exyy£=f(x)二0分析：本題中的偏微分方程稱為二維拉普拉斯方程，它是用來描述穩(wěn)恒過程的，函數(shù)u(x,y)與時(shí)間t無關(guān)。由于x的變化范圍是(-<x<+°o),故應(yīng)該考慮用傅氏變換進(jìn)行求解。解：對(duì)方程和

24、邊界條件關(guān)于x取傅氏變換，記-2二u-=:x-2丹=二y2Wgy)u(x,y)=U(y)d21U(gy)dyf(x)=F(3)這樣就把求解原定解問題轉(zhuǎn)化為求解含有參數(shù)的常微分方程的邊值問題嗎一汽二。dyy+=F(，3叫U二=干！=0此二階常系數(shù)線性齊次微分方程通解為15U(w,y)=c1(ct)ey+c2(3e川y代入邊界條件有G(3)+C2(=F(3),由mU杷得G(3)=0,因止匕C2(=F(3)。y-；故邊值問題的解為U(gy)=F"3y再對(duì)上式兩端取傅里葉逆變換，借助于傅里葉積分公式5一二=±e則，Re(a)<0,可知F,e書y=，J。再利用傅里葉ata二xy

25、變換的卷積性質(zhì)，可得原定解問題的解為u(x,y)旺燦3y)=f(x)777y7yTl-0°由以上幾個(gè)例題可以看出，傅里葉變換與拉普拉斯變換都可以用來求解偏微分方程，由于在求解偏微分方程時(shí)兩者都可以將方程化為某個(gè)變量的代數(shù)方程，使得問題得以簡化，故兩種積分變換法在求解偏微分方程時(shí)有著重大的意義。2.4兩種積分變換在電路理論中的應(yīng)用例10如圖所示的RL電路中，u=e",R=1C,L=1H,求開關(guān)S閉合后回路中的電流i(t)圖1解：由基爾霍夫電壓定律17可得回路方程為-1皿Ri(t)=u(t)dt代入數(shù)值，化簡為i(t)i(t)=-e該方程是一階非齊次線性微分方程，用高等數(shù)學(xué)的知

26、識(shí)進(jìn)行求解的話，要先求出與之對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個(gè)特解。求解步驟比較繁瑣，這里我們先采用傅里葉變換法進(jìn)行求解。設(shè)Fi(t)=ig),由傅氏變換的微i分性質(zhì)可得Fi，(t)=isI(s)。又Fu(t)=-(在t<0時(shí)電壓為0)18,代1i-入上述方程中得111l()()21i.-1i.整理得1l()=2(e)對(duì)上式取傅氏逆變換得此即電路中的電流。該方程也可以用拉氏變換法進(jìn)行求解。設(shè)Li(t)=l(s),同理由拉氏變換的微分性質(zhì)可得Li'(t)=sl(s)(t=0時(shí)電流i(t)=0)。對(duì)化簡后的方程兩邊去sl(s)-l(s)=拉氏變換，得到1s-1整理得11l(s)-

27、2s-(-1)再對(duì)上式取拉氏逆變換，得到電路中的電流為i(t)=(e'-et)2可以看出用傅氏變換與拉氏變換兩種方法求解的結(jié)果是完全相同的。信號(hào)與系統(tǒng)、電路分析等課程中常常會(huì)碰到各種信號(hào)的問題，一般來說傅里葉變換法適用于對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析，這種方法也被稱為頻域分析法；而拉普拉斯變換法被稱為系統(tǒng)的復(fù)頻域分析19,這種方法的適用范圍更加廣泛,以致于在相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)，人們幾乎無法把電路理論與拉普拉斯變換分開來討17論。下面我們?cè)倥e兩個(gè)用拉氏變換法解決電路問題的例子:例11如圖所示，電路為完全耦合互感電路，互感量M=L1=L2=1H,電阻R=R2=1夏，電壓E=1V,開關(guān)S閉合前ii（0=i

28、2（0）=0o求開關(guān)閉合后電路中的電流ii（t）和i2（t）。解：由基爾霍夫電壓定律可列出電路的微分方程如下:L1dMdR1i1（t）=Edtdtdi2（t）di1（t）L22MR2i2（t）=0dtdt代入數(shù)據(jù)，得ii（t）=1i2（t）=0di1（t）十di2（t）十dtdtdi2（t）+di1（t）+工dtdt此方程組為二元一階微分方程組，采用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)很難得出結(jié)果來，這里采用拉氏變換法求解。令Li1（t）=l1（s）,Li2（t）=l2（s）,對(duì)上述微分方程組兩邊取拉氏變換，考慮到初始條件1,（01=12（01=0,可得sl（s）sl2（s）l1（s）-1ss閭2（s）+sl（s）

29、+l2（s）=0解得18I1(s)=S1=-s(2s1)s2對(duì)其取拉氏逆變換，得到電路中的電流為14)附11(切=1-力2,211i2(t)=Ll2(s)=.2e2例12求如圖所示的電路的零狀態(tài)響應(yīng)(即uc(0)=0V,iL(0)=0A)的電流i1(t)。其中E=10V,R=R=1建，C=1F,L=1H。圖3解：由基爾霍夫電壓定律可得到回路方程為1tE=uc(0370i1()di1(t)F(t)RCM(t)也<2(t)R2Lddt代入數(shù)據(jù)，整理后得到t/()d陽也=10挈-i1=0L.dt此方程組中既有積分項(xiàng)又有微分項(xiàng)，若用一般的方法進(jìn)行求解會(huì)很難得出結(jié)果，此處采用拉氏變換法進(jìn)行求解。設(shè)

30、Li1(t)=I1(s),L山=I2(s)。對(duì)上述方程組兩邊取拉氏變換，整理得19L(s)10Ii(S)(S)一sssI2(s)-I1(s)2I2(s)=0解得10I1(s)=10WtttKI2(s)=2s2(s1)1(s1)1對(duì)11(s)取拉氏逆變換可得到電路的零狀態(tài)響應(yīng)電流為i(t)=10(sintcost)eJA由以上兩個(gè)例題可看出，用拉普拉斯變換法解決電路問題簡潔、明了，和一般方法相比顯得十分便捷。3總結(jié)本文以上內(nèi)容舉例分析了傅里葉變換與拉普拉斯變換在解決問題中的應(yīng)用，兩種變換存在許多相似的地方，也存在一些不同的地方。從(1.2)中我們可以看出，用傅里葉變換在求解問題時(shí)，要求所出現(xiàn)的函

31、數(shù)必須在(-°°,")內(nèi)滿足絕對(duì)可積(廣0f(t)<一)這個(gè)條件。該條件的限制是非常強(qiáng)的，以致于常見的函數(shù)，如常數(shù)、多項(xiàng)式以及三角函數(shù)等，都不能滿足這個(gè)條件。我們按如下方式對(duì)傅氏變換進(jìn)行改造：對(duì)于任何函數(shù)f(t),我們假定在t<0時(shí)f(t)三0,聯(lián)想到指數(shù)衰減函數(shù)e平(吐0)所具有的特點(diǎn)，那么，只要B足夠的大,函數(shù)f(t)e4的傅氏變換就有可能存在，即-i-cotFIfd=£J(t)e-.dt=f-f(t)eiw)tdt0根據(jù)傅氏逆變換得到f(t)eT=*1；Ff(t)e'$%記s=0+i5F(s)=Ff(t)e一制并注意到ds=id

32、320于是便可得到一注.stF(s)=10fedtI1.stf(t)=kkF(s)eds*2nlp皿j以上兩式便是(2.2)中的拉普拉斯變換及其逆變換。由此可以看出，拉氏變換可以看成是一種特殊的傅里葉變換7o傅氏變換與拉氏變換存在許多類似之處，如文中所述，都能夠在解決廣義積分、微分積分方程、偏微分方程、電路理論等問題中得到應(yīng)用。但是兩者之間也存在著差異。從另一個(gè)角度講，傅氏變換與拉氏變換相對(duì)于兩種不同的積分變換200所謂積分變換，就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x),乘上一個(gè)確定的二元函數(shù)K(x,p),然后計(jì)算積分，即bF(p)=f(x)K(x,p)dxa這樣，便變成了另一個(gè)函數(shù)類B中的函數(shù)F(p

33、),其中的積分域是確定的。F(p)稱為f(x)的像函數(shù)，f(x)稱為F(p)的像原函數(shù)；K(x,p)是p和x的已知函數(shù)，稱為積分變換的核，K(x,p)的不同形式?jīng)Q定著變換的不同名稱。下面我們列表說明兩者的不同：積分變換名稱積分域積分核定義公式逆父換公式傅里葉變換(°0,+20)eF®)=.產(chǎn)f(t)e-dt-oO1,f(t)-J2n;F(0)髀dm拉普變換0,收)_steF(s)=.:f(t)e%t1f(t)25stF(s)edsiB-iQO'1兩者之間的差異首先表現(xiàn)在積分域上，積分域的不同限制了拉氏變換在某些問題中的應(yīng)用，在處理問題時(shí)首先應(yīng)考慮到這一點(diǎn)。兩者之間的差異在信號(hào)處理中的表現(xiàn)得尤為顯著：傅里葉變換將時(shí)域函數(shù)f(t)變換為頻域函數(shù)F(«),時(shí)域中的變量