全國第八屆青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)質(zhì)課教學(xué)設(shè)計：等比數(shù)列的前n項和版含答案

1、數(shù)學(xué)備課大師【全免費】課題：等比數(shù)列的前n項和銅川礦務(wù)局第一中學(xué)張向偉一、教材分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書數(shù)學(xué)（必修5）»（北師大版）第一章第三節(jié)第一課時。從在教材中的地位與作用來：看等比數(shù)列的前n項和是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。二、學(xué)情分析從學(xué)生的思維特點看，很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前n項和從公式的形成、特點等方面進(jìn)行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列

2、前n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q=1這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的過程中容易出錯。教學(xué)對象是剛進(jìn)入高中的學(xué)生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由于年齡的原因，思維盡管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不嚴(yán)謹(jǐn)。三、設(shè)計思想本節(jié)課采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教學(xué)過程中，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過個人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動，深入探討。讓學(xué)生在活動”中學(xué)習(xí)，在主動”中發(fā)展，在合作”中增知，在探究”中創(chuàng)新。設(shè)計思路如下：創(chuàng)設(shè)情境布疑激趣觀察實驗建立模型探尋特例提出猜想深入思考證明猜想簡單

3、應(yīng)用總結(jié)評估四、教學(xué)目標(biāo)1、掌握等比數(shù)列的前n項和公式，能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)問題。2、通過等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)過程，體會錯位相減法以及分類討論的思想方法。3、通過對等比數(shù)列的學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，逐步認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值，發(fā)展數(shù)學(xué)的理性思維。五、教學(xué)重點與難點重點：掌握等比數(shù)列的前n項和公式，能用等比數(shù)列的前n項和公式解決相關(guān)問題。難點：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握。六、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧1、（提問）等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？2、（提問）等差數(shù)列前n項和公式是什么？（二）創(chuàng)設(shè)問題情景"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費

4、！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】引例：“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬;但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當(dāng)受騙，所以很為難?！闭堅谧耐瑢W(xué)思考討論一下，窮人能否向富人借錢？設(shè)計一個學(xué)生比較感愛好的實際問題，吸引學(xué)生注重力，使其馬上進(jìn)入到研究者的角色中來！啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。學(xué)生直覺認(rèn)為窮人可以向富人借錢，

5、教師引導(dǎo)學(xué)生自主探求，得出：窮人30天借到的錢：S30=1+2+30=（130）30=465（萬元）2窮人需要還的錢：&0=12,22+229=？直覺先行，思辨引路，在矛盾沖突中引發(fā)學(xué)生積極的思維!教師緊接著把如何求S30=1+2+22+229=?的問題讓學(xué)生探究：一，一一2-29一.S30=1十2十2十十2若用公比2乘以上面等式的兩邊，得到2s30=2+22+229+23°若式減去式，可以消去相同的項，得到：30$30=2-1=1073741823（分）1073（萬兀）465（萬兀）答案:窮人不能向富人借錢（三）引導(dǎo)學(xué)生用特例到一般”的研究方法，猜想數(shù)學(xué)規(guī)律。提出問題：如何

6、推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式？（學(xué)生很自然地模仿以上方法推導(dǎo)）學(xué)生A：sn=a1+a1q+a1q2+a1qn”+a1qn(1)qSn=aqaq22簿“,aqn(2)(1)-(2)有(1-q)Sn=a1-a1qnSn學(xué)生B:na1，q=1='a1(1-qn)=afq、1q1-qn-2sn=a1a1qa1qa1q二a1qa1a1q，值“)”qsn二aqSn-an=aq-anqSn一qSn=a1-q"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和Sn的公式，引導(dǎo)學(xué)生類比前面的特例完成以上推導(dǎo)課本上的推導(dǎo)方法后，教師：還有沒有其他推導(dǎo)方法?（

7、經(jīng)過幾分鐘的思考，有學(xué)生舉手發(fā)言）學(xué)生C:.a2a3a1a23n13%+=q即ai.a?一二anisn-a1sn-an12n(2) 1-24-8(-2)n1(1-2n)一1-2(3) 1222232n1(1-2n)一1-2ai-anq/八=qSn=-(q=1)1-q特例一類比一猜想”是一種常用的科學(xué)的研究思路！教師讓學(xué)生進(jìn)行各種嘗試，探尋公式的推導(dǎo)的方法，同時抓住機會或創(chuàng)設(shè)問題情景調(diào)動了學(xué)生參與問題討論的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)揮了組織者、推進(jìn)者和指導(dǎo)者的作用，而學(xué)生卻是實實在在的主體活動者、成為發(fā)現(xiàn)者、創(chuàng)造者！讓學(xué)生享受成功的喜悅！【基礎(chǔ)知識形成性練習(xí)】1.在公比為q的等比數(shù)列an中若

8、a1=2,q，則Sn=；33(2)若21=2,q=2,n=8,則Sn=一41(3)右a1=8,q=2,an=，則Sn=22.判斷正誤：11/、n,(1)+()=124212(4)01c2c(1-cn)1-c（四）新知應(yīng)用例1、求等比數(shù)列-1。，的前8項的和.2'4'8'16變式1:求等比數(shù)列-11工,的第6項到第10項的和.2,4816例2、求數(shù)列1+a+a2+a3+an,+(a#0)的前n項和。1111變式2:求一+丁+-的值23nxxxx例1例2教師板演示范，強調(diào)解題的規(guī)范。變式1,變式2學(xué)生分析解法，學(xué)生不會時要分析出不會做的癥結(jié)所在，然后再由學(xué)生板演出解題過程。

9、"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】（五）課堂小結(jié)等差數(shù)列等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)方法公式應(yīng)用由學(xué)生完成課堂總結(jié)，教師完善，點評（六）布置作業(yè)六、教學(xué)反思本節(jié)課授課對象為實驗班的學(xué)生，學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較好。所以采用了探究教學(xué)的方式，大部分內(nèi)容由學(xué)生自行探究討論完成。教學(xué)設(shè)計從學(xué)生的角度出發(fā)，采用教師設(shè)計問題與活動引導(dǎo)”與學(xué)生積極主動探究”相結(jié)合的方法分成五個步驟層次分明（1）創(chuàng)設(shè)問題情景、布疑激趣（2）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地觀察問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型（3）探尋特例、提出猜想（4）數(shù)學(xué)應(yīng)用（5）知識評估。學(xué)生在未經(jīng)預(yù)習(xí)不知等比數(shù)列求和公式和證明方法的前提下，在教師預(yù)設(shè)

10、的思路中，一步步發(fā)現(xiàn)了公式并推導(dǎo)了公式，感受到了創(chuàng)造的快樂，激發(fā)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好，教學(xué)的知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實。"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】導(dǎo)學(xué)案:等比數(shù)列的前n項和班級姓名【知能目標(biāo)】1 .掌握等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)方法-錯位相減法，并能用其思想方法求某類特殊數(shù)列的前n項和.2 .掌握等比數(shù)列前n項和公式以及性質(zhì)，并能應(yīng)用公式解決有關(guān)等比數(shù)列前n項的問題.在應(yīng)用時，特別要注意q=1和qwl這兩種情況.3 .能夠利用等比數(shù)列的前n項和公式解決有關(guān)的實際應(yīng)用問題.【重難點】重點：掌握等比數(shù)列的求和公式，會用等比

11、數(shù)列前n項和公式解決有關(guān)問題.難點：錯位相減法以及分類討論的思想方法的掌握【學(xué)習(xí)過程】一、復(fù)習(xí)回顧1、等比數(shù)列的定義？通項公式？性質(zhì)？2、等差數(shù)列前n項和公式是什么?二、情境導(dǎo)入引例：“一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多1萬;但借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍,30天后互不相欠.窮人聽后覺得挺劃算，本想定下來，但又想到此富人是吝嗇出了名的，怕上當(dāng)受騙，所以很為難?！闭堅谧耐瑢W(xué)思考討論一下，窮人能否向富人借錢？三

12、、自主探究推導(dǎo)：等比數(shù)列的前n項和公式方法1（主要重點方法：錯位相減法）方法2（提取公因式法）方法3（等比定理法）"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】四、辨析練習(xí)1 .在公比為q的等比數(shù)列an中若a=2,qJ，則Sn=;(2)若ai=2,q=2,n=8,則Sn=33(3)若a1=8,q=2,an2 .判斷正誤：1 1J、n(1)-+-+'-+(-)242(2) 1-24-8(2)n,1(1-2n)一1-2(3) 1222232n1(1-2n)1-212.nJn(4)ccccc(1-cn)1-c五、新知應(yīng)用例1、求等比數(shù)列LL1,。,的前8項的和.24816變式1:求等比數(shù)列-111,的第6項到第10項的和.2，,4816例2、求數(shù)列1+a+a2+a3+an,+（a#0）的前n項和。1111變式2:求一+2+-的值23nxxxx六、課時小結(jié)（由學(xué)生完成課堂總結(jié)，教師完善，點評）七、自測自評"備課大師"全科【9門】：免注冊，不收費！數(shù)學(xué)備課大師【全免費】1、在等比數(shù)列3中，前n項和S=()(A)2n-1(B)2n