高數(shù)1-1函數(shù),.

1、1（上冊(cè)）2 初等數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)，主要研究常量。初等數(shù)學(xué)是常量數(shù)學(xué)，主要研究常量。 高等數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)，主要研究變量。高等數(shù)學(xué)是變量數(shù)學(xué)，主要研究變量。 函數(shù)是變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)是變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。極限的方法是研究函函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。極限的方法是研究函數(shù)的基本方法，貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，它是初等數(shù)的基本方法，貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，它是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的分水嶺。因此理解函數(shù)的概念，數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的分水嶺。因此理解函數(shù)的概念，掌握極限的理論是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。掌握極限的理論是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。3本章先學(xué)習(xí)函數(shù)及其相關(guān)概念，介紹函數(shù)的基本性質(zhì)本章先學(xué)習(xí)函數(shù)

2、及其相關(guān)概念，介紹函數(shù)的基本性質(zhì)和常見(jiàn)的初等函數(shù)；接著討論數(shù)列、函數(shù)的極限，包括極限和常見(jiàn)的初等函數(shù)；接著討論數(shù)列、函數(shù)的極限，包括極限的定義和求幾種不同形式極限的常用方法；然后介紹無(wú)窮小的定義和求幾種不同形式極限的常用方法；然后介紹無(wú)窮小量和無(wú)窮大量，包括無(wú)窮小的比較；最后說(shuō)明函數(shù)的連續(xù)性，量和無(wú)窮大量，包括無(wú)窮小的比較；最后說(shuō)明函數(shù)的連續(xù)性，并介紹利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解一些常見(jiàn)問(wèn)題的方法。并介紹利用連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)求解一些常見(jiàn)問(wèn)題的方法。41 函數(shù)的定義函數(shù)的定義 x設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量設(shè)在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量和和，y變量變量xD中中在一個(gè)給定的數(shù)集在一個(gè)給定的數(shù)集D中取值。中取

3、值。 如果對(duì)于如果對(duì)于每個(gè)確定每個(gè)確定 1-p記作記作 xfy 數(shù)集數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域叫做這個(gè)函數(shù)的定義域x叫自變量叫自變量y叫因變量叫因變量構(gòu)成函數(shù)的基本要素：對(duì)應(yīng)法則構(gòu)成函數(shù)的基本要素：對(duì)應(yīng)法則 定義域定義域單值函數(shù)：滿足上述定義的函數(shù)單值函數(shù)：滿足上述定義的函數(shù)多值函數(shù)：對(duì)于多值函數(shù)：對(duì)于D中某些中某些x的值，有多于一個(gè)的值，有多于一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)值與之對(duì)應(yīng)一。函數(shù)的概念一。函數(shù)的概念y是是x的函數(shù)。的函數(shù)。確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱確定的數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱x的取值的取值，x變量變量y按照一按照一 定的法則總有唯一定的法則總有唯一的變量的變量本書只討論單值函數(shù)本書只討論單值函數(shù)5最

4、最近近的的整整數(shù)數(shù)的的距距離離，到到離離是是設(shè)設(shè)xxx)( 。的的表表達(dá)達(dá)式式并并畫畫出出其其圖圖形形求求)(x 解解遠(yuǎn)遠(yuǎn)。離離的的距距離離近近離離則則表表示示整整數(shù)數(shù)，若若設(shè)設(shè)1,21 nnxnxnn 121121)(nxnxnnxnnxx 2121252312xy的圖形：的圖形：)(x 6 分段函數(shù)是由幾個(gè)不同解析式表示的分段函數(shù)是由幾個(gè)不同解析式表示的一個(gè)一個(gè)函數(shù)函數(shù)。不能。不能把它看作多個(gè)函數(shù)。只不過(guò)在定義域的不同集合上，有不同的把它看作多個(gè)函數(shù)。只不過(guò)在定義域的不同集合上，有不同的解析式而已。解析式而已。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開(kāi)的曲線。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開(kāi)的曲線。

5、 x y O 例例2 2 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù)00 xxxxxy 2 2 分段函數(shù)：分段函數(shù)： 函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則由兩個(gè)或兩個(gè)以上的解函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則由兩個(gè)或兩個(gè)以上的解 析表達(dá)式表示。析表達(dá)式表示。分段函數(shù)的定義域分段函數(shù)的定義域: :是所有部分定義域的并集。是所有部分定義域的并集。要注意各段的分界點(diǎn)。要注意各段的分界點(diǎn)。求分界點(diǎn)處的函數(shù)值要注意分界點(diǎn)在哪個(gè)求分界點(diǎn)處的函數(shù)值要注意分界點(diǎn)在哪個(gè)區(qū)間。不同定義區(qū)間的自變量，按對(duì)應(yīng)區(qū)區(qū)間。不同定義區(qū)間的自變量，按對(duì)應(yīng)區(qū)間的函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)值。間的函數(shù)表達(dá)式求函數(shù)值。例例 1 即為即為分段分段函數(shù)函數(shù)7。-1。10 xy0 , 10, 0,0, 1,sg

6、nxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)例例3 3 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù) ; 21.34- ; 12 . 075 )( 的最大整數(shù)部分不超過(guò)x xy 例例4 4 取整函數(shù)取整函數(shù) .。.-1。3y.。x12123-1-2-30.-2-3.。階梯曲線階梯曲線 8狄利克雷函數(shù)：狄利克雷函數(shù)： 是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)xxxDy,0, 1)(。，的的定定義義域域。求求設(shè)設(shè))3()2()1()1()(22000102)(ffffxfxxxxxxf 例例6解解.1)3(,2)2(,2)1(1)1(),( ffff，定定義義域域?yàn)闉槔?圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)，圖像分段的函數(shù)不一定是分段函數(shù)，分段函數(shù)的圖像

7、也可以是一條不斷開(kāi)的曲線。分段函數(shù)的圖像也可以是一條不斷開(kāi)的曲線。xytan=例如例如如例如例19二二 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 在同一個(gè)坐標(biāo)系中，在同一個(gè)坐標(biāo)系中， x= f -1 (y) 和和 y=f (x) 的圖像是同一的圖像是同一條曲線，只不過(guò)自變量條曲線，只不過(guò)自變量 所在的坐標(biāo)軸不同。所在的坐標(biāo)軸不同。習(xí)慣上，總是以習(xí)慣上，總是以 x 作為自變量，函數(shù)記做：作為自變量，函數(shù)記做：y= f -1 (x), 在同一個(gè)坐標(biāo)系中，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，y= f -1 (x)和和 y=f(x) 的圖像是不同的兩條的圖像是不同的兩條 曲線，它們關(guān)于直線曲線，它們關(guān)于直線 y =x 對(duì)稱。對(duì)

8、稱。相對(duì)于相對(duì)于 x= f -1 (y)， y=f (x) 稱為稱為直接函數(shù)直接函數(shù)WWDxfy如如果果對(duì)對(duì)于于值值域域?yàn)闉槠淦涠ǘx義域域?yàn)闉榻o給定定函函數(shù)數(shù),),( (1) 反函數(shù)反函數(shù) P-4則則稱稱在在使使中中有有唯唯一一的的必必定定在在中中任任一一值值,)(,0000yxfxDyy WyyfxxfyW )()(1的反函數(shù)。記作：的反函數(shù)。記作：上確定了上確定了上上是是一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的。在在此此時(shí)時(shí)也也稱稱DWyDxxfy),)( 一般的，直接函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域不相同。一般的，直接函數(shù)與反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域不相同。102xyxyOyyy因而沒(méi)有反函數(shù)。因

9、而沒(méi)有反函數(shù)。 2xy xy 2xy 其反函數(shù)都存在，可寫成其反函數(shù)都存在，可寫成 上上是是一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的，在在 xey.) ,( 上上不不是是一一一一對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的在在 但是，當(dāng)把但是，當(dāng)把看成分別定義在看成分別定義在 0， 或或 ，0上的兩個(gè)函數(shù)時(shí)，它們分別是一一對(duì)應(yīng)。上的兩個(gè)函數(shù)時(shí)，它們分別是一一對(duì)應(yīng)。 , 0D , 0Wxy , 0D 0, W圖在下頁(yè)圖在下頁(yè)反函數(shù)存在的條件反函數(shù)存在的條件 Dxfy在在 上存在反函數(shù)上存在反函數(shù) Dxf在上是一一對(duì)應(yīng)上是一一對(duì)應(yīng)單調(diào)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，一定存在反函數(shù)。單調(diào)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，一定存在反函數(shù)。直接函數(shù)的定義域直接函數(shù)的定義域= =反函數(shù)

10、的值域反函數(shù)的值域直接函數(shù)的值域直接函數(shù)的值域= =反函數(shù)的定義域反函數(shù)的定義域11oxy2xy xy xy 11xy 12 反三角函數(shù)反三角函數(shù) xyarcsinxy11O2 2 xyarccos yx112 O 反三角函數(shù)：反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)反正弦函數(shù) 反余弦函數(shù)反余弦函數(shù) 反正切函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)反余切函數(shù)xArcyxArcyxArcyxArcycottancossinxyarcsin-= 13它們都是多值函數(shù)，選取其單值支，相應(yīng)得到單值函數(shù)：它們都是多值函數(shù)，選取其單值支，相應(yīng)得到單值函數(shù)：xyarctan2 2 Oyxxarcycot2 Oyxxarcyxyxyxycot,

11、arctan,arccos,arcsin14(2) (2) 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)例如復(fù)合函數(shù)例如1 xey可看成是將可看成是將1 xu代入到代入到uey 中的運(yùn)算稱為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，所得函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)中的運(yùn)算稱為函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算，所得函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)定義定義(p-5)(p-5)值域?yàn)橹涤驗(yàn)?2W且且.12DW 則對(duì)于任一則對(duì)于任一,2Dx 通過(guò)通過(guò) xgu 有唯一確定的有唯一確定的2Wu ,12DW 與之對(duì)應(yīng)。由于與之對(duì)應(yīng)。由于因此對(duì)于因此對(duì)于這個(gè)這個(gè)u值，再通過(guò)值，再通過(guò) ufy 有唯一確定的有唯一確定的y值與之對(duì)應(yīng)值與之對(duì)應(yīng)之中而得到的。之中而得到的。在一定條件下，在一定條件下，將一個(gè)

12、函數(shù)將一個(gè)函數(shù)代入代入到另一個(gè)函數(shù)到另一個(gè)函數(shù)一個(gè)以一個(gè)以x為自變量為自變量y為因變量的函數(shù)。稱這為因變量的函數(shù)。稱這從而得到從而得到 ufy 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋?D xgu 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)椋?D若若這樣，對(duì)于任一這樣，對(duì)于任一,2Dx 通過(guò)通過(guò)u有確定的有確定的y值與之對(duì)應(yīng)值與之對(duì)應(yīng)個(gè)函數(shù)為由個(gè)函數(shù)為由 ufy 和和 xgu 復(fù)合而成得復(fù)合函數(shù)。復(fù)合而成得復(fù)合函數(shù)。 xgfy 記為：記為：稱為中間變量稱為中間變量u15注注2 2. .不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的。不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的。 12DW復(fù)合條件復(fù)合條件,arcsinuy 例如例如;22x

13、u )2arcsin(2xy 1 1. .復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成。復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成。,2cotxy 例如例如,uy ,cotvu .2xv xg也被稱為也被稱為內(nèi)層函數(shù)內(nèi)層函數(shù)。 uf外層函數(shù)。外層函數(shù)。16內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)內(nèi)層函數(shù)的值域落在外層函數(shù)的定義域之內(nèi)復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式復(fù)合條件在實(shí)際應(yīng)用時(shí)常取形式12DW 若若12DW 但但 12DW也可復(fù)合也可復(fù)合例如例如21uy 1 xu , 01D ,2W12DW ,2D ,012DW若縮小若縮小 , 12D從而縮小從而縮小 , 02W使使12DW 則兩個(gè)函數(shù)仍然可以復(fù)合

14、成則兩個(gè)函數(shù)仍然可以復(fù)合成）（1 -1 xxy173 3。復(fù)合函數(shù)是說(shuō)明函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的某種表達(dá)方式的復(fù)合函數(shù)是說(shuō)明函數(shù)對(duì)應(yīng)法則的某種表達(dá)方式的一個(gè)概念。利用復(fù)合這個(gè)概念，可以把一個(gè)復(fù)雜函數(shù)一個(gè)概念。利用復(fù)合這個(gè)概念，可以把一個(gè)復(fù)雜函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的運(yùn)算，也可把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的運(yùn)算，也可把幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)復(fù)合成一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)。合成一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)。18例例1 設(shè)設(shè), 1, 0, 1)(xf, 1; 1; 1xxx.)(xexg求求. )(xfg、)(xgf, 1, 0, 1)(xgf, 1)(; 1)(; 1)(xgxgxg, 1, 0, 1, 1; 1; 1xxxeee,

15、 1, 0, 1, 0; 0; 0 xxx)()(xfexfg; 1xe ，; 11x ，; 11xe ，19三三 初等函數(shù)初等函數(shù) 1 1。六種六種基本初等函數(shù)：基本初等函數(shù)： 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)和常數(shù)函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。常數(shù)函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。 2 2。初等函數(shù)。初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。步驟所構(gòu)成的并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。3 3。復(fù)合函數(shù)的分解。復(fù)

16、合函數(shù)的分解分析一個(gè)復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的過(guò)程復(fù)分析一個(gè)復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的過(guò)程復(fù)合而成的。合而成的。分解分解 12sin xfy是由是由uysin vfu 12 xv復(fù)合而成復(fù)合而成重要記住重要記住P-620一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)， 特別的特別的: :.0,;0,xxxxxy是初等函數(shù)。因?yàn)椋菏浅醯群瘮?shù)。因?yàn)椋?2xxy是是 2,xuuy復(fù)合而成的。復(fù)合而成的。 214 4。鄰域鄰域 aa+ a- U（a, ）=（a- , a+ ） 為為點(diǎn)點(diǎn)a 的的鄰域鄰域,記為記為U(a,). ., axxaUaa+ a- ax

17、x 0為為點(diǎn)點(diǎn)a 的去心的去心鄰域鄰域, , 記為記為 ., aU .0,U axxa即即 。叫叫做做鄰鄰域域的的半半徑徑。叫叫做做鄰鄰域域的的中中心心； a，稱稱集集合合及及任任意意正正數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)給給定定的的數(shù)數(shù) a稱集合稱集合的的一一切切點(diǎn)點(diǎn)的的全全體體。的的距距離離小小于于表表示示數(shù)數(shù)軸軸上上與與點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離與與點(diǎn)點(diǎn)表表示示點(diǎn)點(diǎn) aaUaxax), (,-225。 極坐標(biāo)極坐標(biāo)（1） 平面極坐標(biāo)系平面極坐標(biāo)系，再再規(guī)規(guī)定定一一個(gè)個(gè)引引一一條條射射線線從從在在平平面面上上任任取取一一定定點(diǎn)點(diǎn)OxOO,，這這樣樣就就確確定定通通常常取取逆逆時(shí)時(shí)針針?lè)椒较蛳蛘椒较蛳蜷L(zhǎng)長(zhǎng)度度單單位位和

18、和計(jì)計(jì)算算角角度度的的)(叫叫做做極極軸軸。叫叫做做極極點(diǎn)點(diǎn)。射射線線定定點(diǎn)點(diǎn)了了一一個(gè)個(gè)平平面面極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系。OxOOOxPr 平面上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)平面上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的位位置置可可以以用用線線段段任任一一點(diǎn)點(diǎn)在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，平平面面上上OPP來(lái)來(lái)確確定定。的的角角度度到到及及從從 OPOxr),r(PP),r( 的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)，記記為為稱稱為為點(diǎn)點(diǎn)有有序序?qū)崒?shí)數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)極角極角極徑極徑 - r，極極角角可可取取任任意意值值。極極徑徑為為的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為極極點(diǎn)點(diǎn)0), 0( OO),( r23Ox),2,( nr)(Zn),( r對(duì)于給定的極坐標(biāo)對(duì)于給定的極坐

19、標(biāo) ，平面上有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)；，平面上有唯一的點(diǎn)與之對(duì)應(yīng)； 都可以作為它的極坐標(biāo)。都可以作為它的極坐標(biāo)。 和和),( r),( r之間，一般沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。之間，一般沒(méi)有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 因此，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)因此，平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)., 0.20 , 0 rorr但若規(guī)定但若規(guī)定O除極點(diǎn)除極點(diǎn)外，平面上的點(diǎn)與極坐標(biāo)外，平面上的點(diǎn)與極坐標(biāo) 之間就一一對(duì)應(yīng)了。之間就一一對(duì)應(yīng)了。 ),( rP r對(duì)于平面上的點(diǎn)對(duì)于平面上的點(diǎn) ，P24例例1已知已知),6, 6( P寫出它關(guān)于極軸、極點(diǎn)、過(guò)極點(diǎn)寫出它關(guān)于極軸、極點(diǎn)、過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)，使且垂直于極軸的直線的對(duì)稱

20、點(diǎn)的極坐標(biāo)，使 .20 ,02.,01 rr解解 )65,6()65,6()6,6(1321 ppp Ox)6, 6( p1p2p3p )65,6()67,6()611,6(2321 ppp25（2）極坐標(biāo)方程）極坐標(biāo)方程)( rrr 之之間間的的關(guān)關(guān)系系可可以以用用式式與與曲曲線線上上點(diǎn)點(diǎn)的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為曲曲線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程。表表示示，稱稱)( rr ar 極坐標(biāo)方程為：極坐標(biāo)方程為：),( aP)0 ,(aaxOx)0 ,(a),( rPr cos2ar 極坐標(biāo)方程為：極坐標(biāo)方程為：o26等速螺線（阿基米德螺線）等速螺線（阿基米德螺線）4 極坐標(biāo)方程為：極坐標(biāo)方程為：4 )

21、4,( rPOx),( rPO)0 ,(0rMxMOlO轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)，同同時(shí)時(shí)點(diǎn)點(diǎn)作作等等角角速速度度繞繞點(diǎn)點(diǎn)出出發(fā)發(fā)的的射射線線從從 arrMvl 0)(。其其方方程程為為動(dòng)動(dòng)的的軌軌跡跡稱稱為為等等速速螺螺線線運(yùn)運(yùn)兩兩種種運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的合合成成。點(diǎn)點(diǎn)為為作作勻勻速速直直線線運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)，速速度度上上在在 vavrrvtrrtPtM 00)2()1()2()1(,有有：代代入入將將后后運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)時(shí)時(shí)間間設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)l27（3） 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系OxyO),(),( ryxPxyr sincosryrx xyyxr tan222所所在在的的象象限限確確定定。根根據(jù)據(jù)

22、點(diǎn)點(diǎn) M 5169)4,3( r的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)為為直直角角坐坐標(biāo)標(biāo))34arctan, 5(34arctan34tan 28kkxy tan直直線線： cossinkbrbkxy RrRyx 222圓：圓： cos22)(22222RrRxyxRyRx RyyxRRyx2)(22222 )cos1( ar心形線：心形線： sin2Rr ), 0( xOy)0 ,2( a 2, a圖見(jiàn)書圖見(jiàn)書 P-177xyo 29 2cos22ar 雙紐線雙紐線xy圖見(jiàn)書圖見(jiàn)書173頁(yè)頁(yè)40 4345 247 30四四 函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性 （有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性）（有界性、單調(diào)性、奇偶性

23、、周期性） M-Myxoy=f(x)X)(xfy ,DX , 00XxM使得使得 ,)(0Mxf稱稱 在在 上無(wú)上無(wú)界。界。 )(xfX, 0XxM 若若恒有恒有 ,)(Mxf 上上有有界界。在在則則稱稱Xxf)(P-3的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈，數(shù)集數(shù)集 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)與之間xMy My有界函數(shù)的圖形總是位于與有界函數(shù)的圖形總是位于與軸平行的直線軸平行的直線成立。時(shí)，恒有當(dāng)M)(-, 0 xfMXxM31xyarctan 2 Mxyarctan ,xy11,0 ,2arctan xy上是有界的。上是有界的。例例1 說(shuō)明函數(shù)說(shuō)明函數(shù)在在上有界。上有界。在在上無(wú)界。上無(wú)界。解：解：取取，當(dāng)，當(dāng) ,x時(shí)

24、，時(shí)，由定義知由定義知在在 MMxxy 1111由定義知由定義知上無(wú)界上無(wú)界。 ,101在在xxy11101101MMM取取，達(dá)不到它的界達(dá)不到它的界1xM1xarctan為有界函數(shù)為有界函數(shù)xy132有上（下）界函數(shù)的圖形總是位于平行于 軸的直線 的下（上）方x1ky 2ky )(xfy ,DX 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镈 D，數(shù)集數(shù)集 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),2XxK 恒有恒有 ,)(2Kxf 稱稱 在在 上有上有下界。下界。 )(xfX,1K 恒有恒有 ,Xx,)(1Kxf 稱稱 在在 上有上有上界。上界。 )(xfXxyO1ky 2xy yxO 2ky xy2 xy 2133例例2 2 說(shuō)明說(shuō)明在在

25、 xxf1 ，1上有界上有界 xxg2 在在),(上有下界上有下界 2xxh 在在),(上有上界上有上界解解(1)(1)取取1 M當(dāng)當(dāng) ,1x 11 xxfM分析分析 ,1x110 x也可取大于也可取大于1 1的任何常數(shù)的任何常數(shù)21 x1 1是其最小的是其最小的界且可達(dá)到界且可達(dá)到的界的界(2)(2)取取02 k,x，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，恒有時(shí)，恒有02 xx2在在 ,上有下界上有下界由定義知由定義知0 0是其一個(gè)達(dá)不到的下界、最大下界，沒(méi)有可達(dá)到下界是其一個(gè)達(dá)不到的下界、最大下界，沒(méi)有可達(dá)到下界34由定義知由定義知(3)取取01 k,x，當(dāng)當(dāng)時(shí)，恒有時(shí)，恒有02 x2x 在在 ,上有上界上有上界0 0是其一個(gè)可達(dá)到的上界，最小上界。是其一個(gè)可達(dá)到的上界，