2020屆四川省成都市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020屆四川省成都市高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1 .復(fù)數(shù)Z滿足z 1 i2（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）A. iB. iC.1D. 1【答案】C2【解析】z ,分子分母同乘以分母的共軻復(fù)數(shù)即可.1 i【詳解】由已知，z - 二（1- 1 i ,故z的虛部為 1.1 i （1 i）（1 i）故選：C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題 2 .設(shè)全集 U R,集合 M x|x1,N x|x2,則 Qm N （）A. x|x 2B, x| x 1C. x|1 x 2 D, x |x 2【答案】A【解析】先求出Um ,再與集合n求交集.【詳解】

2、由已知，m x|x 1,又 N x|x 2,所以m N x|x 2.故選：A.【點睛】本題考查集合的基本運算，涉及到補集、交集運算，是一道容易題3 .某中學(xué)有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中抽取一個容量為n的樣本.若樣本中高中生恰有 30人，則n的值為（A. 20B. 50C. 40D. 60【答案】B【解析】利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可【詳解】1500 1000由題意，30=1500 n,解得 n 50.故選：B.【點睛】本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本

3、題 是一道基礎(chǔ)題.4 .曲線y x3 x在點1,0處的切線方程為()A.2xy0B.2xy 20C.2xy20D.2xy 20【答案】D【解析】只需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算曲線在點x 1處的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】，一，'一 2 一，、由已知，y 3x 1,故切線的斜率為 yx1 2,所以切線方程為y 2(x 1), 即 2x y 2 0.故選：D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道基礎(chǔ)題5 .已知銳角滿足2sin2 1 cos2 ,貝U tan()A. 1B. 1C. 2D. 42【答案】C【解析】利用sin 2 2sin cos , cos2

4、 1 2sin2代入計算即可.【詳解】由已知，4sin cos 2sin2 ,因 為銳角，所以 sin 0, 2cos sin即 tan 2.故選：C.【點睛】本題考查二倍角的正弦、余弦公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力，是一道基礎(chǔ)題6 .函數(shù)f x cosx ln xx 1 x在1,1的圖象大致為()A.C.BB.D.f( x)f (x)可排除選項D;再由f(1) 0可排除選項A.因為fcos(x) ln. ( x)2 1cosx ln . x2 1 xcosxln1_,x2 1cosxln(、, x2 1x) f (x),故f (x)為奇函數(shù),排除C、D；又 f (1)coslln(死 1)

5、0,排除A.故選：B.本題考查根據(jù)函數(shù)解析式選出函數(shù)圖象的問題，在做這類題時，一般要利用函數(shù)的性質(zhì)，如單 調(diào)性、奇偶性、特殊點的函數(shù)值等，是一道基礎(chǔ)題7 .執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出 S的值為()s orfniSS+2*A. 16B. 48C. 96D. 128【答案】B【解析】列出每一次循環(huán)，直到計數(shù)變量i滿足i 3退出循環(huán).【詳解】第一次循環(huán)：S 21(1 1) 4,i 2；第二次循環(huán)：S 4 22(1 2) 16,i 3；3第二次循環(huán)：S 16 2 (1 3) 48,i 4,退出循環(huán)，輸出的 S為48.故選：B.【點睛】本題考查由程序框圖求輸出的結(jié)果，要注意在哪一步退出循環(huán)，是一道容

6、易題.8.已知函數(shù)f xsin 2x一，則函數(shù)f x的圖象的對稱軸方程為( 2A. x k 一 ,k Z4C. x 1k ,k Z2【答案】CB. x k +, k Z41D. x k + , k Z24【解析】f xcos2x ,將2x看成一個整體，結(jié)合y cosx的對稱性即可得到答案【詳解】1_由已知，f x cos2x，令 2x k ,k Z,得 x k,k Z .2故選：C.般采用整體法，結(jié)合三本題考查余弦型函數(shù)的對稱性的問題，在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時,角函數(shù)cos x的性質(zhì)，是一道容易題.A. 在正方體ABCD ABGDi中，點P,Q分別為ADi,DiCi的中點，在平面ABCD中，過

7、ABBN 一， 的中點M作平面DPQ的平行線交直線 BC于N,則一的值為（）BCB. 1B. -C. 1D.-323【答案】B【解析】當(dāng)N為BC中點時，易得MN / PQ ,再由線面平行的判定定理知，MN /平面DPQ .此時，叫-.BC 2【詳解】如圖Hb平面DPQ , PQ 平面DPQ ,因為PQ / A1C1, A1C1 / AC ,故PQ / AC ,所以當(dāng)N為BC中點時,MN / AC,所以 MN / PQ ,又 MN由線面平行的判定定理可知,MN /平面DPQ .此時BNBC故選：B.本題考查線面平行的判斷定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的推理能力，是一道容易題& 可 心/Lx2 y2

8、10.如圖，雙曲線 C： 二 1 a 0,b a2 b20的左，右焦點分別是F1c,0 , F2 c,0 ,直線bc-y 與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于 2a為（）A, B兩點.若 BF1F2一，則雙曲線C的離心率 3A. 24.2C.D. .2D. 223【答案】Ac bcBT【解析】易得B(-,)，過B作x軸的垂線，垂足為 T,在 FTB中，利用 tan二即2 2aFT3可得到a,b,c的方程.【詳解】-bc、-由已知，仔B( ,)，過B作x軸的垂線，垂足為 T,故FT ,2 2a2bcBT- 7Zb-又 BF1F2一,所以二tan- J3,即 2a733 FT 3c a2所以雙曲線C的

9、離心率e j (b)2 2.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關(guān)鍵的是找到a,b,c的方程或不等式，本題屬于容易題.2211 .已知EF為圓x 1 y 11的一條直徑，點 M x, y的坐標滿足不等式組x y 1 0，t T2x y 3 0,則ME MF的取值范圍為()y 1.9A ,132B. 4,13C. 4,12D.7,122【答案】D【解析】首先將mE mF轉(zhuǎn)化為mT21,只需求出MT的取值范圍即可，而 MT表示可行域內(nèi)的點與圓心T(1, 1)距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案作出可行域如圖所示設(shè)圓心為T(1,1),貝u ME mF (MT TE)(mT

10、TF)(MT tE)(MT TE) MT2 TE2 MT2 1,過T作直線x y 1 0的垂線，垂足為 B,顯然MB MT MA,又易得A( 2,1),所以 MA ,1 ( 2)2 ( 1 1)2A，tb|1 ( 1) 1|3J,T ( 1)22故 mE mF mT匕,121.故選：D.【點睛】本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題ln x12.已知函數(shù) f x ,g x xe .若存在 Xi (0,+ ), X2 R,使得 f Xig X20x成立，則X1X2的最小值為()B.A.1e1D.x2ln x

11、1 x2變形為-4e21nxix2a a1n x1e【解析】將x初用y r單調(diào)性可得ln xi X2,從而 eX1X2 xlnxi,再構(gòu)造函數(shù)h(x) xlnx,通過求導(dǎo)找到最小值即可.【詳解】1 ln xf x y,易知f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+ )上單調(diào)遞減，同理， x1 xg x易得g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，在(1,+ )上單調(diào)遞減，又存在ex1(0,+),x2R,使得 fx1gx20成立，則x1(0,1), x2(,0),In x11nxix2，、/、1nx1 0,x2 0,且 5 0,又g(x)在(，1)上單調(diào)遞增，x1e e故 In x x2 ,所以 *涇 x1

12、1nx1,令 h(x) xlnx,則 h'(x) In x 1 ,11易知，h(x)在(0,)上單調(diào)遞減，在(1,1)上單調(diào)遞增， ee一11故 h(x) min h(一)e e故選：D.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究雙變量函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的邏輯思維與等價轉(zhuǎn)化思想，是一道難題.二、填空題1,x 013.已知函數(shù)f x x ，則f f 1.2x,x 0【答案】21 1【解析】由內(nèi)到外，一層一層的求，先求 f( 1)-,再求f (-).2 2【詳解】由已知，f( 1) 1， f f 1fg) 2.故答案為：2 .【點睛】本題考查已知分段函數(shù)求函數(shù)值的問題，考查學(xué)生的運算能力，是一道基

13、礎(chǔ)題14 .在A ABC中，內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b, c,已知B ,a 2,b J3,則ABC的 3面積為.【答案】_f21【解析】由余弦定理先算出 c,再利用面積公式 SacsinB計算即可. 2【詳解】由余弦定理，得b2 a2 c2 2accosB，即3 4 c2 2c,解得c 1,故ABC的面積s 1 acsin B J 22故答案為：_2 2【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學(xué)生的計算能力，是一道基礎(chǔ)題15 .設(shè)直線l ： y x 1與拋物線y2 2Px p 0相交于A, B兩點，若弦AB的中點的橫坐標為2,則P的值為.【答案】1【解析】聯(lián)立直線與拋物線方程消

14、x,得y2 2py 2p 0,再利用韋達定理即可解決.【詳解】聯(lián)立直線l : y x 1與拋物線y2 2px,得y2 2py 2p 0,則 y y2 2p ,又 y y x x2 2 4 2 2 ,故 2 P 2 , p 1 .故答案為：1.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到中點弦問題，當(dāng)然本題也可以用點差法求解16 .已知各棱長都相等的直三棱柱 （側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱 ）所有頂點都在球 。的表面上.若球。的表面積為28，則該三棱柱的側(cè)面積為 .22_ _ 2【解析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在OOA中，利用OiA OiO OA即可得到關(guān)于x的方程，解方程即可解決【詳解

15、】.7,如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為Oi,直三棱柱的棱長為 x,則01Ax , OiO 1x,故 OiA2 OiO2 OA2 R2 7, 3222即x_ x_ 7,解得x 2J3,故三棱柱的側(cè)面積為 3x2 36. 34故答案為：36.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題 三、解答題17.已知an是遞增的等比數(shù)列,.3ai 1,且2a2,2a3,a4成等差數(shù)列2(I )求數(shù)列 an的通項公式;(n)設(shè) bni,nlog 2 an i log 2 4 2一 .*N .求數(shù)列bn的前n項和Sn【答案】(I) an 2n； (n) Sn -. n i32【解

16、析】(I)由2a2, 一a3,a4成等差數(shù)列可得q223q 2 0,解方程即可得到公比q,再利用等比數(shù)列的通項公式計算即可;(II )bni i；1'利用裂項相消法計算即可I設(shè)數(shù)列an的公比為q.由題意及ai 1,知q 1.i*3,2a2, a3,a4成等差數(shù)列，1 23a3 a42 a2.3q2 q3 2q,2即 q 3q 2 0.解得q-2或q 1（舍去）.q 2.數(shù)列an的通項公式為an2n,1.11II 'n；1 log2 an 1 log2an 2 n n 1Sn本題考查求等比數(shù)列的通項公式以及裂項相消法求數(shù)列的前n項和的問題，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.1

17、8.如圖，在四棱錐 P ABCD中，。是邊長為4的正方形 ABCD的中心，PO 平面ABCD,M,E分別為AB,BC的中點.(I)求證：平面PAC 平面PBD ;(n )若PE 3,求三棱錐B PEM的體積.【答案】（i）詳見解析；（n） 215 .3【解析】（I）要證明平面PAC 平面PBD ,只需證明AC 平面PBD ,即證明POAC BD;（II ）利用等體積法，即 Vb PEM Vp BEM來計算.【詳解】I abcd是正方形，AC BD11* PO 平面 ABCD , AC 平面 ABCDPO AC.；OP,BD 平面 PBD,且OP BD O,AC平面PBD,又AC 平面PAC平面

18、PAC 平面PBD,II ）設(shè)三棱錐P BEM的高為h.Vb PEM Vp BEM - S' BEM h.3 一連接OE , * PO 平面ABCD, OE 平面ABCD , PO OE.；OE 2,PE 3,h OP 5.VP BEM3 S BEM【點睛】本題考查面面垂直的判定定理以及等體積法求三棱錐體積，考查學(xué)生邏輯推理及轉(zhuǎn)化與劃歸思想，是一道容易題.19.某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作 出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚 的利潤.該公司2013年至2019年的年利潤y關(guān)于年份代號x的統(tǒng)

19、計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的 年利潤與年份代號線性相關(guān)）：年份2013201420152016201720182019年份代號x1234567年利潤y（單位：億元）29333644485259（I）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測該公司2020年（年份代號記為8）的年利潤；（n）當(dāng)統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由I中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為A級利潤年，否則稱為B級禾I潤年.將I中預(yù)測的該公司2020年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從2015年至2020年這6年中隨機抽取2年，求恰有1年為A級利潤年的概率Xi x yiy參考公式：b 2一 ,an2X xy bx8【答案】（

20、i） y 5x 23, 63億兀；（n） p 一.15n_X x yi y_【解析】（I）按照公式b 工2一,a ybx計算即可;xi xi 1（II ）被評為A級利潤年的有2年，分別記為 A1, A2,評為B級利潤年的有4年，分別記為B, B2, B3, B4,采用枚舉法列出從 2015至2020年中隨機抽取2年的總的情況以及恰有一年為A級利潤年的情況，再利用古典概型的概率計算公式計算即可【詳解】_7_I根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得 x 4, y 43, xi x yi y 140 i 17_ 2又xi x 28i 17_xi x yi yb7T 5xixi 1i taybxa435423y關(guān)于x

21、的線性回歸方程為 y 5x 23.將彳弋x 8入， y 5 8 23 63（億元）.該公司2020年的年利潤的預(yù)測值為 63億元.II由I可知2015年至2020年的年利潤的估計值分別為38,43,48,53,58,63 （單位：億元），其中實際利潤大于相應(yīng)估計值的有2年.故這6年中，被評為 A級利潤年的有2年，分別記為 A,A2;評為B級利潤年的有4年，分別記為 B, B2, B3,B4從2015至2020年中隨機抽取2年，總的情況分別為：A1A2, A1B1, AB2, AB3,A1B4,A2B1, A2B2,A2B3, A2B4, B1B2, B1B3, B1B4 8283,8284,8

22、384,共計 15 種情況.其中恰有一年為 A級利潤年的情況分別為：AB1,AB2,AB3,AB4, A2B1,A2B2,A2B3, A2B4 共有 8 種情況.記“從2015至2020年這6年的年利潤中隨機抽取 2年，恰有一年為 A級利潤年”的概率為 P ,8故所求概率P -15【點睛】本題考查線性回歸方程的應(yīng)用及古典概型的概率計算問題，考查學(xué)生運算求解能力，是一道容 易題.2220.已知橢圓E：xr 與1 a b 0的左，右焦點分別為 F) 1,0反1,0，點P(1,U2) a2 b22在橢圓E上.(I)求橢圓E的標準方程；(n)設(shè)直線l:x my 1(m R)與橢圓E相交于A, B兩點，

23、與圓x2 y2 a2相交于C,D兩2_ .一、一點，當(dāng)AB CD的值為8J2時，求直線l的萬程.2【答案】(I) x2 y2 1； (n) x y 1 0或x y 1 0.【解析】PF1.L 132,PF2Y2,相加即可得到a,又c 1及b2a2c2,可，222得b;(II )又直線與橢圓聯(lián)立消x,利用韋達定理得到 AB2 2 m2 1m2 2,在圓中利用垂徑定理與勾股定理可得 CD 2 J2m1，代入AB CD 2 8 J2即可求得mm m 1【詳解】2；2 ，一，I , P 1,在橢圓上,2PF1 PF2 2a.PF1 PF2272 ,則a 2c c 1,b2 a2 c2,b 12 故所求

24、橢圓E的標準方程為y2 1.2II 設(shè) A。必，B x2,y2x my 122聯(lián)立 22 消去x,得m2 2 y2 2my 1 0.x2 2y2 22y1y22m1口 y1y2ABm必 y22,22 mm2 1設(shè)圓x22y 2的圓心O到直線l的距離為CDABCD42mp m2 12.2m2 12 28.2 2m2 1m2 2ABCD8、,22m28.2解得m1.經(jīng)驗證m1符合題意.故所求直線l的方程為x y 1 0或x0.本題考查直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運算求解能力，在處理直線與橢圓的位置關(guān)系的大題時，一般要利用根與系數(shù)的關(guān)系來求解，本題是一道中檔題221.已知函數(shù)f x xmx

25、mln x,其中 m 0.f x的極值;41、mx.右g x 一在(1)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.值;(n)(I)極小值(i) f xx2 mln x0,無極大值；(n)0,3 .22x x 1，令 f x 0x0得至x的單調(diào)性即可得到極0在(1,)上恒成立，可構(gòu)造函數(shù)mlnx Lxx1,o m2x 一 x32x mx 132，令 H x 2x mx 1,x x1,'_ 2H x 6x0 m 3, 3 m 6,m 6討論即可.【詳解】2.I 當(dāng) m 1時，f x x x In x.21 2x x 1則 f x 2x 1 - , x 0x x令 f x 0,-1.解得x1(舍去)，x

26、2 1.2當(dāng) x 0,1 時，f x 0f x在0,1上單調(diào)遞減；當(dāng) x (1,)時，f x 0f x在(1,)上單調(diào)遞增，f(x)的極小值為f11gx x2 m In x1右g x -在(1,)上恒成立，rr 2.1_,即x mln x - 0在(1,)上恒成立. x2.1,構(gòu)造函數(shù)G x x mln x -,x 1 , x3則 G' x 2x m 工 2x mx 1 x x x人3令 H x2xmx 1, x 1.2H x6xm'i若m 6,可知H x 0恒成立.H x在(1,)上單調(diào)遞增.H x H 13 m.）上恒成立.3滿足條件.當(dāng)3 m 0,即0 m 3時，H x

27、0在(1,)上恒成立，即G x 0在(1,G x G 10在(1,)上恒成立，0 m0,H 217 2m 0,存在唯一的Xo1,2，使得Hx00.當(dāng)x 1,%時,H x 0,即 GG x 在 1,xo單調(diào)遞減.0,這與G0矛盾.ii若m6,由 H x 0,可彳導(dǎo)x1m 人一(舍去)，X2易知在1,上單調(diào)遞減.m 0 在 1,m 匚上恒成立,0在1,m ,一上恒成立.61,上單調(diào)遞減.x G 10 在 1,m 上恒成立，這與G x 0矛盾.綜上，實數(shù)m的取值范圍為 0,3 .本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值以及不等式恒成立問題，考查學(xué)生分類討論的思想，是一道 較難白題.222.在平面直角坐標系 x

28、Oy中，曲線C的參數(shù)方程為 x m (m為參數(shù)).以坐標原點。為極 y 2m點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線1的極坐標方程為sincos 1 0 .(I)求直線l的直角坐標方程與曲線 C的普通方程;(n)已知點P 2,1，設(shè)直線1與曲線C相交于M,N兩點,1PM1PN的值.4【答案】(I)直線l的直角坐標方程為x y 1 0 ；曲線C的普通方程為y2 4x; (n) 4【解析】(I)利用參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(II )將直線參數(shù)方程代入拋物線的普通方程，可得t1 t22j2,t1t214,而根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，知1 1 M怛PM| |PN|ti| 蚓 |ti|t2|可解決.t t2|t1 t2|t t 2 4t t% t24津2，代入即t1t2I 由 x cos , y sin可得直線l的直角坐標方程為x y 1 0.由曲線C的參數(shù)方程，消去參數(shù) m,可得曲線C的普通方程為y2 4x.2x 2t2