矢量場的環(huán)量及旋度分析

1、一、場的概念：一、場的概念：具有某種物理性質(zhì)的物理量在空間的分布；具有某種物理性質(zhì)的物理量在空間的分布； 在數(shù)學上用函數(shù)表示在數(shù)學上用函數(shù)表示. . 二、場的分類：二、場的分類：2.1 場場,數(shù)(標）量場如溫度場 電位場 高度場等矢量場如力場、速度場等即：場是一個標量或一個矢量的位置函數(shù),即場中任一個點都有一個確定的標量值或矢量.三三. . 數(shù)數(shù)( (標標) )量場量場1 1、定義、定義 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個標量函數(shù)標量函數(shù), ,其值隨空間坐標其值隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。的變化而變化，有時還可隨時間變化。)()( ),(222z2y1x45zyx 舉例：

2、舉例：為標量場2、標量場的- -等值線(面). .constzyxh),( 其方程為等值線四、矢量場 1 1、定義：、定義： 空間某一區(qū)域定義一個空間某一區(qū)域定義一個矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和方其大小和方向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該向隨空間坐標的變化而變化，有時還可隨時間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場。如速度場區(qū)域存在一矢量場。如速度場, ,電場、磁場等電場、磁場等. .zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA舉例：舉例：為矢量場2 2、矢量場的、矢量場的矢量線：特點：曲線上每一點處，曲矢量線：特點：曲線上每一點處，曲線都和對應于該點的矢量線都和對應于該點的矢

3、量 A A 相切相切矢量線dzAdyAdxAzyx三維場在直角坐標下:二維場dyAdxAyx3 3、矢量線方程、矢量線方程第二節(jié)第二節(jié) 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度一、矢量線（力線）一、矢量線（力線） 矢量場的通量 二、矢量場的通量二、矢量場的通量v矢量線的疏密表征矢量場的大小；矢量線的疏密表征矢量場的大??；v矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向；矢量線上每點的切向代表該處矢量場的方向； 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS( )SrdAS 若矢量場若矢量場 分布于空間中，在空間中存分布于空間中，在空間中存在任意曲面在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )A r為為矢量矢

4、量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的矢量通量的代數(shù)和。的矢量通量的代數(shù)和。 討論討論1 1）面元）面元 定義；定義；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2）穿過閉合面的通量）穿過閉合面的通量 3) 通過閉合面通過閉合面S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負源；0 c) 若若 ，閉合面無源。，閉合面無源。0 0 (有正源) 0 (有負源) = 0 (無

5、源)1、散度的定義、散度的定義2、散度的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性；矢量場的散度代表矢量場的通量源的分布特性； 在場空間在場空間 中任意點中任意點M M 處作一個閉合曲面，所圍的體積處作一個閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場矢量，則定義場矢量 在在M M 點處的散度為：點處的散度為： ( )A rV( )A r0()div()limsvrdrvASA 2) 2) 矢量場的散度是一個標量；矢量場的散度是一個標量； 3) 3) 矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；矢量場的散度是空間坐標的函數(shù)；三、矢量場的散度三、矢量場的散度通量反映的是大面積上的積分

6、量，不能說明體積內(nèi)每一點的性質(zhì)。如果包圍點M的閉合面S S所圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點M 時, 通量與體積之比的極限存在，即：( ( 無源無源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負負源源) )( )0divF r 4) 4) 矢量場的散度值表征空間中通量源的密度（分布特性）。矢量場的散度值表征空間中通量源的密度（分布特性）。 討論：在矢量場中，討論：在矢量場中， 1 1）若）若 ，則該矢量場稱為有源場，則該矢量場稱為有源場， 為源密度為源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場稱為無源場。處處成立，則該矢量場稱為無

7、源場。某一點的散度是指在以該點為中心的鄰域內(nèi)單位體積中某一點的散度是指在以該點為中心的鄰域內(nèi)單位體積中的通量源的通量源-通量源密度。通量源密度。1) 在直角坐標系下：在直角坐標系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 式中：式中：()xyzeeexyz 哈密頓算符哈密頓算符3、散度的計算、散度的計算2) 在圓柱坐標系下：在圓柱坐標系下：1()rzeeerrz ()11( )rzFrFFF rrrrz3) 在球面坐標系下：在球面坐標系下：11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF rr F

8、Frrrr一些常用的運算恒等式BABA)(ACAC)(AAA)(四、散度定理（矢量場的高斯定理）四、散度定理（矢量場的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場中場 與邊界與邊界S S上的場上的場 之間的關系。之間的關系。( )F r( )F r高斯定理在數(shù)學上表示體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關系，反高斯定理在數(shù)學上表示體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關系，反映了體積表面上的矢量場與體積內(nèi)的矢量場源的關系。映了體積表面上的矢量場與體積內(nèi)的矢量場源的關系。 從散度定義，可以得到：從散度定義，可以得到：( )( )limlimsVVF rdSdF rVVdV則在一定

9、體積則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )VF r dV 式中：式中：S為包圍為包圍V的閉合面的閉合面式中：式中：S為包圍為包圍體積體積V的閉合面的閉合面得證！得證！( )sF rdS 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對 體積分后，為穿出閉合面S S的通量F F 散度定理的證明散度定理的證明例題一：例題一：( 例例1.2.3 書書 pp.6) 已知空間中矢量場分布滿足已知空間中矢量場分布滿足 ，求，求矢量場在空間中的散度源分布。矢量場在空間中的散度源分布。 ( )A rr分析：分析： 該矢量場的場量等于其空間位置矢量值該矢量場的場量等于其空間位置矢量值 。在

10、空間任。在空間任意位置，意位置， 是變量。是變量。rr在直角坐標系下：在直角坐標系下：在圓柱坐標系下：在圓柱坐標系下：在球面坐標系下：在球面坐標系下：xyzrxeyezerzrezerrre例題二：例題二： 已知：已知： ，()()()xyzRe xxeyye zzRR求：矢量求：矢量3RDR在在R R 0 0處的散度。處的散度。1）矢量場的通量）矢量場的通量通量的定義封閉曲面通量的意義2）散度的定義）散度的定義3）散度的計算）散度的計算4）高斯定理）高斯定理思考題思考題1、通量和散度的意義各是什么？2、高斯定理的意義是什么？其積分面的方向是如何規(guī)定的？3、如果矢量場對于某區(qū)域封閉面S的通量為

11、零，那么矢量場在該區(qū)域中的散度處處為零嗎？為什么？ 小結(jié)小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 矢量場的環(huán)流矢量場的環(huán)流 旋度旋度一、矢量的環(huán)流一、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計算ALP環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合路空間中，取一有向閉合路徑徑L L，則稱，則稱 沿沿L L積分的結(jié)果稱為矢量積分的結(jié)果稱為矢量 沿沿L L的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl討論：討論：1 1）線元矢量）線元矢量 的定義；的定義；dl3 3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運動。反之

12、，則矢量場存在渦漩運動。( )( ) cos( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量場漩渦源分反映矢量場漩渦源分布情況。布情況。矢量場除了有散度源外，還有另一種源旋度源。 環(huán)量; 該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢的大?。皇噶繄龅臏u旋是由某種“力”（渦旋源）引起的。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1. 1. 環(huán)流面密度環(huán)流面密度在場矢量在場矢量 空間中，圍繞空間某點空間中，圍繞空間某點M M取一面元取一面元S S，其，其邊界曲線為邊界曲線為C C，面元法線方向為，面元法線方向為 ，當面元面積無限縮小，當面元面積無限縮小時，可定義時，可定義 在點在點M M處沿處沿 方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度(

13、)A r nnrot A n( )A r0limcnsA dlrot As 表示矢量場表示矢量場 在點在點M M處沿處沿 方向的漩渦源密度；方向的漩渦源密度；nrot A( )A r nSSnACM法線方向與曲線繞向成右手螺旋法則取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。環(huán)量密度討論環(huán)量密度是面上的函數(shù)，表示環(huán)量在面上的分布。環(huán)量密度是面上的函數(shù)，表示環(huán)量在面上的分布。環(huán)量密度的面積分就等于面邊界閉合回路的環(huán)量。環(huán)量密度的面積分就等于面邊界閉合回路的環(huán)量。某面上各點的環(huán)量密度與該面的取向有關。某面上各點的環(huán)量密度與該面的取向有關。不同的方向，環(huán)量密度不同。不同的方向，環(huán)量密度不同。一定存在一個方向，其環(huán)量

14、密度比其它方向的大。一定存在一個方向，其環(huán)量密度比其它方向的大。2. 矢量場的矢量場的旋度旋度 旋度是一個矢量，旋度是一個矢量， 模值等于環(huán)量密度的最大值；模值等于環(huán)量密度的最大值； 方向為最大環(huán)量密度的方向。方向為最大環(huán)量密度的方向。 用用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：式中： 表示矢量場旋度的方向；表示矢量場旋度的方向； n1 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標的函數(shù)；旋度完整的反映了矢量場的旋渦在各點上的分布情況。旋度完整的反映了矢量場的旋渦在各點上的分布情況。而某個方向的環(huán)量密度是旋度在該方向上的投影。

15、而某個方向的環(huán)量密度是旋度在該方向上的投影。2 2）矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度；）矢量在空間某點處的旋度表征矢量場在該點處的漩渦源密度； 旋度可以反映引起矢量場旋渦的源（旋度源）在空間的旋度可以反映引起矢量場旋渦的源（旋度源）在空間的分布情況。分布情況。3. 旋度的物理意義旋度的物理意義4. 旋度的計算旋度的計算在直角坐標系下：在直角坐標系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxxxeeexyzFFF由旋度的定義可以得到

16、矢量場的旋度與該矢量場的關系為：由旋度的定義可以得到矢量場的旋度與該矢量場的關系為：zyxAAAzyxzyxARot)(AzyxAAAzyxzyxAAAzAAAzz1ArrAArrrrrrsinsinsin12可以看出，旋度是對矢量場的一種微分運算，描述矢量場可以看出，旋度是對矢量場的一種微分運算，描述矢量場在空間的某種變化情況。在空間的某種變化情況。由求旋度的公式可見，旋度運算是求導運算的組合，因此，其運算規(guī)則與微分運算規(guī)則相似，例如 ()ABAB ()CACA ()AAA三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義由旋度的定義 對于有限大

17、面積對于有限大面積s，可將其按如圖方可將其按如圖方式進行分割，對每一小面積元有式進行分割，對每一小面積元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS斯托克斯定理的證明：斯托克斯定理的證明：得證！得證！ 意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。斯托克斯定理給出了閉合線積分與斯托克斯定理給出了閉合線積分與面積分的關系，反映了曲面邊界上面積分的關系，反映了曲面邊界上的矢量場與曲面中旋度源的關系的矢量場與曲面中旋度源的關系 四、矢量場旋

18、度的重要性質(zhì)四、矢量場旋度的重要性質(zhì)()0A 證：AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() 222222x yAy xAz xAx zAy zAz yAzzyyxx=0 小結(jié)小結(jié)1）矢量場的環(huán)量）矢量場的環(huán)量2）環(huán)量密度）環(huán)量密度3）旋度的定義）旋度的定義4）旋度的計算）旋度的計算5）斯托克斯定理）斯托克斯定理思考題思考題1、矢量場的環(huán)量、環(huán)量密度及旋度各表示什么意義？2、環(huán)量與環(huán)量密度以及環(huán)量密度與旋度之間各有什么關系？3、斯托克斯定理中如果閉合線積分給定，那么積分面是唯一的嗎？為什么？4、矢量場旋度的方向和使場渦旋的

19、方向有什么關系？第四節(jié)第四節(jié) 標量場的梯度標量場的梯度一一. . 等值面（線）等值面（線） 由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標量由所有場值相等的點所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標量函數(shù)為函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconstuPNleMuu ne二二. . 標量場的梯度標量場的梯度1 1、梯度的定義、梯度的定義max( ,)ldugradu x y zuedl 式中：式中： 為垂直于等值面（線）的方向。為垂直于等值面（線）的方向。le2 2、梯度的物理意義、梯度的物理意義1)1)、標量場的梯度為一矢量，且是

20、坐標位置的函數(shù)；、標量場的梯度為一矢量，且是坐標位置的函數(shù)；2)2)、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場、標量場的梯度表征標量場變化規(guī)律：其方向為標量場變化最快的方向，其幅度表示標量場的最大變化率。變化最快的方向，其幅度表示標量場的最大變化率。3 3、梯度的運算、梯度的運算1 1）在直角坐標系中：）在直角坐標系中：xyzuuuueeexyz 2 2）在柱面坐標系中：）在柱面坐標系中：1rzuuuueeerrz 3 3）在球面坐標系中：）在球面坐標系中：11sinruuuueeerrr 一些常用的梯度運算恒等式)( )()(1)()()(0FFCCC為標量函數(shù)三三. . 梯度的重要性

21、質(zhì)梯度的重要性質(zhì)0 標量場梯度的旋度恒等于零。標量場梯度的旋度恒等于零。證： xyzxyzxyz()()()xy zz yyz xx zzx yy x 222222=0 例題：例題： 若若 ， 證明：證明：RrrRR11()()RR 說明：說明：xyzeeexyz xyzeeexyz 在處理相對坐標的函數(shù)的梯度運算時，算子 與算子 可以互換，但改變其前的正負號。1）多元函數(shù)（標量場）的偏導數(shù)）多元函數(shù)（標量場）的偏導數(shù)2）方向?qū)?shù)）方向?qū)?shù)3）標量場梯度的定義）標量場梯度的定義4）梯度的計算）梯度的計算小結(jié)小結(jié)第五節(jié)第五節(jié) 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理一一. . 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)

22、域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場由矢量場的散度散度、旋度旋度和和邊界邊界條件條件（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是（即矢量場在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。亥姆霍茲定理的內(nèi)容。已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度場域邊界條件場域邊界條件在電磁場中在電磁場中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J場域邊界條件場域邊界條件（矢量（矢量A唯一地確定）唯一地確定）亥姆霍茲定理在電磁場理論中的意義：研究電磁場的一條主線。亥姆霍茲定理在電磁場理論中的意義：研究電磁場的一條主線。散度源散度源，是標量，產(chǎn)生的矢量

23、場在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量場在該點的散度；旋度源旋度源，是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場在該點的旋度。矢量場的源矢量場的源根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：根據(jù)矢量場的散度和旋度值是否為零進行分類：1) 1) 調(diào)和場（在要討論的場區(qū)，既無旋又無散）調(diào)和場（在要討論的場區(qū)，既無旋又無散） 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 和和 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V

24、內(nèi)，場內(nèi)，場 為調(diào)和場。為調(diào)和場。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。注意：不存在在整個空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場。二二. . 矢量場的分類矢量場的分類源在要討論的區(qū)域之外00FF F0)(02 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某，但在某些位置或整個空間內(nèi)，有些位置或整個空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場內(nèi)，場 為有源無旋場。為有源無旋場。 0F0F( )F r( )F r2)2)有源無旋場為有源無旋場為保守場保守場，其重要性質(zhì)為：，其重要性質(zhì)為： ( )0cF rdl 1) 1) 為矢量場通量源密度；為矢量場通量源密度； 保守場場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。保守場場矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。 討論：討論：2) 2) 有源無旋場有源無旋場因為0因此這種場可以用標量場的梯度標量場的梯度表示F例：靜電場 若矢量場若矢量場 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處