矢量場(chǎng)的環(huán)量及旋度分析

1、一、場(chǎng)的概念：一、場(chǎng)的概念：具有某種物理性質(zhì)的物理量在空間的分布；具有某種物理性質(zhì)的物理量在空間的分布； 在數(shù)學(xué)上用函數(shù)表示在數(shù)學(xué)上用函數(shù)表示. . 二、場(chǎng)的分類：二、場(chǎng)的分類：2.1 場(chǎng)場(chǎng),數(shù)(標(biāo)）量場(chǎng)如溫度場(chǎng) 電位場(chǎng) 高度場(chǎng)等矢量場(chǎng)如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等即：場(chǎng)是一個(gè)標(biāo)量或一個(gè)矢量的位置函數(shù),即場(chǎng)中任一個(gè)點(diǎn)都有一個(gè)確定的標(biāo)量值或矢量.三三. . 數(shù)數(shù)( (標(biāo)標(biāo)) )量場(chǎng)量場(chǎng)1 1、定義、定義 空間某一區(qū)域定義一個(gè)空間某一區(qū)域定義一個(gè)標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù), ,其值隨空間坐標(biāo)其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。)()( ),(222z2y1x45zyx 舉例：

2、舉例：為標(biāo)量場(chǎng)2、標(biāo)量場(chǎng)的- -等值線(面). .constzyxh),( 其方程為等值線四、矢量場(chǎng) 1 1、定義：、定義： 空間某一區(qū)域定義一個(gè)空間某一區(qū)域定義一個(gè)矢量函數(shù)矢量函數(shù), ,其大小和方其大小和方向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該向隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng)區(qū)域存在一矢量場(chǎng)。如速度場(chǎng), ,電場(chǎng)、磁場(chǎng)等電場(chǎng)、磁場(chǎng)等. .zy2x2xyzzxxy2)z,y,x(eeeA舉例：舉例：為矢量場(chǎng)2 2、矢量場(chǎng)的、矢量場(chǎng)的矢量線：特點(diǎn)：曲線上每一點(diǎn)處，曲矢量線：特點(diǎn)：曲線上每一點(diǎn)處，曲線都和對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量線都和對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢

3、量 A A 相切相切矢量線dzAdyAdxAzyx三維場(chǎng)在直角坐標(biāo)下:二維場(chǎng)dyAdxAyx3 3、矢量線方程、矢量線方程第二節(jié)第二節(jié) 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量 散度散度一、矢量線（力線）一、矢量線（力線） 矢量場(chǎng)的通量 二、矢量場(chǎng)的通量二、矢量場(chǎng)的通量v矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小；矢量線的疏密表征矢量場(chǎng)的大小；v矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向；矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場(chǎng)的方向； 若若S 為閉合曲面為閉合曲面 ( )srd AS( )SrdAS 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 分布于空間中，在空間中存分布于空間中，在空間中存在任意曲面在任意曲面S S，則定義：，則定義：( )A r為為矢量矢

4、量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r物理意義：表示穿入和穿出閉合面物理意義：表示穿入和穿出閉合面S S的矢量通量的代數(shù)和。的矢量通量的代數(shù)和。 討論討論1 1）面元）面元 定義；定義；dS( ) cos ( )sA rr ds 2 2）穿過閉合面的通量）穿過閉合面的通量 3) 通過閉合面通過閉合面S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；0 c) 若若 ，閉合面無源。，閉合面無源。0 0 (有正源) 0 (有負(fù)源) = 0 (無

5、源)1、散度的定義、散度的定義2、散度的物理意義、散度的物理意義 1) 1) 矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性；矢量場(chǎng)的散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性； 在場(chǎng)空間在場(chǎng)空間 中任意點(diǎn)中任意點(diǎn)M M 處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為為 ，則定義場(chǎng)矢量，則定義場(chǎng)矢量 在在M M 點(diǎn)處的散度為：點(diǎn)處的散度為： ( )A rV( )A r0()div()limsvrdrvASA 2) 2) 矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量；矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量； 3) 3) 矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；矢量場(chǎng)的散度是空間坐標(biāo)的函數(shù)；三、矢量場(chǎng)的散度三、矢量場(chǎng)的散度通量反映的是大面積上的積分

6、量，不能說明體積內(nèi)每一點(diǎn)的性質(zhì)。如果包圍點(diǎn)M的閉合面S S所圍區(qū)域V V以任意方式縮小為點(diǎn)M 時(shí), 通量與體積之比的極限存在，即：( ( 無源無源）( )0divF r ( ( 正源正源) )( )0divF r 負(fù)負(fù)源源) )( )0divF r 4) 4) 矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度（分布特性）。矢量場(chǎng)的散度值表征空間中通量源的密度（分布特性）。 討論：在矢量場(chǎng)中，討論：在矢量場(chǎng)中， 1 1）若）若 ，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)，則該矢量場(chǎng)稱為有源場(chǎng)， 為源密度為源密度；( )0divA r( )0divA r 2 2）若）若 處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無源場(chǎng)。處處成立，則該矢量場(chǎng)稱為無

7、源場(chǎng)。某一點(diǎn)的散度是指在以該點(diǎn)為中心的鄰域內(nèi)單位體積中某一點(diǎn)的散度是指在以該點(diǎn)為中心的鄰域內(nèi)單位體積中的通量源的通量源-通量源密度。通量源密度。1) 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( )yxzFFFdivF rxyz() ()xyzxxyyzzeeeF eF eF exyz( )F r 式中：式中：()xyzeeexyz 哈密頓算符哈密頓算符3、散度的計(jì)算、散度的計(jì)算2) 在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：1()rzeeerrz ()11( )rzFrFFF rrrrz3) 在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：11()sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF rr F

8、Frrrr一些常用的運(yùn)算恒等式BABA)(ACAC)(AAA)(四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）四、散度定理（矢量場(chǎng)的高斯定理）( )( )VsF r dVF rdS 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場(chǎng)中場(chǎng) 與邊界與邊界S S上的場(chǎng)上的場(chǎng) 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。( )F r( )F r高斯定理在數(shù)學(xué)上表示體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系，反高斯定理在數(shù)學(xué)上表示體積分與面積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系，反映了體積表面上的矢量場(chǎng)與體積內(nèi)的矢量場(chǎng)源的關(guān)系。映了體積表面上的矢量場(chǎng)與體積內(nèi)的矢量場(chǎng)源的關(guān)系。 從散度定義，可以得到：從散度定義，可以得到：( )( )limlimsVVF rdSdF rVVdV則在一定

9、體積則在一定體積V內(nèi)的總的通量為：內(nèi)的總的通量為：( )VF r dV 式中：式中：S為包圍為包圍V的閉合面的閉合面式中：式中：S為包圍為包圍體積體積V的閉合面的閉合面得證！得證！( )sF rdS 由于 是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對(duì) 體積分后，為穿出閉合面S S的通量F F 散度定理的證明散度定理的證明例題一：例題一：( 例例1.2.3 書書 pp.6) 已知空間中矢量場(chǎng)分布滿足已知空間中矢量場(chǎng)分布滿足 ，求，求矢量場(chǎng)在空間中的散度源分布。矢量場(chǎng)在空間中的散度源分布。 ( )A rr分析：分析： 該矢量場(chǎng)的場(chǎng)量等于其空間位置矢量值該矢量場(chǎng)的場(chǎng)量等于其空間位置矢量值 。在

10、空間任。在空間任意位置，意位置， 是變量。是變量。rr在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：在圓柱坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：在球面坐標(biāo)系下：xyzrxeyezerzrezerrre例題二：例題二： 已知：已知： ，()()()xyzRe xxeyye zzRR求：矢量求：矢量3RDR在在R R 0 0處的散度。處的散度。1）矢量場(chǎng)的通量）矢量場(chǎng)的通量通量的定義封閉曲面通量的意義2）散度的定義）散度的定義3）散度的計(jì)算）散度的計(jì)算4）高斯定理）高斯定理思考題思考題1、通量和散度的意義各是什么？2、高斯定理的意義是什么？其積分面的方向是如何規(guī)定的？3、如果矢量場(chǎng)對(duì)于某區(qū)域封閉面S的通量為

11、零，那么矢量場(chǎng)在該區(qū)域中的散度處處為零嗎？為什么？ 小結(jié)小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 矢量場(chǎng)的環(huán)流矢量場(chǎng)的環(huán)流 旋度旋度一、矢量的環(huán)流一、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計(jì)算ALP環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 空間中，取一有向閉合路空間中，取一有向閉合路徑徑L L，則稱，則稱 沿沿L L積分的結(jié)果稱為矢量積分的結(jié)果稱為矢量 沿沿L L的環(huán)流。即：的環(huán)流。即：( )A r( )A r( )A r( )lA rdl討論：討論：1 1）線元矢量）線元矢量 的定義；的定義；dl3 3）環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流為零，矢量場(chǎng)無渦漩流動(dòng)；）環(huán)流意義：若矢量場(chǎng)環(huán)流為零，矢量場(chǎng)無渦漩流動(dòng)；反之，則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)。反之

12、，則矢量場(chǎng)存在渦漩運(yùn)動(dòng)。( )( ) cos( )llA rdlA rr dl2)2)反映矢量場(chǎng)漩渦源分反映矢量場(chǎng)漩渦源分布情況。布情況。矢量場(chǎng)除了有散度源外，還有另一種源旋度源。 環(huán)量; 該環(huán)量表示繞線旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小；矢量場(chǎng)的渦旋是由某種“力”（渦旋源）引起的。二、矢量的旋度二、矢量的旋度1. 1. 環(huán)流面密度環(huán)流面密度在場(chǎng)矢量在場(chǎng)矢量 空間中，圍繞空間某點(diǎn)空間中，圍繞空間某點(diǎn)M M取一面元取一面元S S，其，其邊界曲線為邊界曲線為C C，面元法線方向?yàn)?，面元法線方向?yàn)?，當(dāng)面元面積無限縮小，當(dāng)面元面積無限縮小時(shí)，可定義時(shí)，可定義 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度(

13、)A r nnrot A n( )A r0limcnsA dlrot As 表示矢量場(chǎng)表示矢量場(chǎng) 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的漩渦源密度；方向的漩渦源密度；nrot A( )A r nSSnACM法線方向與曲線繞向成右手螺旋法則取不同的路徑，其環(huán)量密度不同。環(huán)量密度討論環(huán)量密度是面上的函數(shù)，表示環(huán)量在面上的分布。環(huán)量密度是面上的函數(shù)，表示環(huán)量在面上的分布。環(huán)量密度的面積分就等于面邊界閉合回路的環(huán)量。環(huán)量密度的面積分就等于面邊界閉合回路的環(huán)量。某面上各點(diǎn)的環(huán)量密度與該面的取向有關(guān)。某面上各點(diǎn)的環(huán)量密度與該面的取向有關(guān)。不同的方向，環(huán)量密度不同。不同的方向，環(huán)量密度不同。一定存在一個(gè)方向，其環(huán)量

14、密度比其它方向的大。一定存在一個(gè)方向，其環(huán)量密度比其它方向的大。2. 矢量場(chǎng)的矢量場(chǎng)的旋度旋度 旋度是一個(gè)矢量，旋度是一個(gè)矢量， 模值等于環(huán)量密度的最大值；模值等于環(huán)量密度的最大值； 方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。 用用 表示，即：表示，即：rot Am ax0ro tlimcSAd lAnS式中：式中： 表示矢量場(chǎng)旋度的方向；表示矢量場(chǎng)旋度的方向； n1 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；旋度完整的反映了矢量場(chǎng)的旋渦在各點(diǎn)上的分布情況。旋度完整的反映了矢量場(chǎng)的旋渦在各點(diǎn)上的分布情況。而某個(gè)方向的環(huán)量密度是旋度在該方向上的投影。

15、而某個(gè)方向的環(huán)量密度是旋度在該方向上的投影。2 2）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度；）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場(chǎng)在該點(diǎn)處的漩渦源密度； 旋度可以反映引起矢量場(chǎng)旋渦的源（旋度源）在空間的旋度可以反映引起矢量場(chǎng)旋渦的源（旋度源）在空間的分布情況。分布情況。3. 旋度的物理意義旋度的物理意義4. 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe FxyzF xyzxxxeeexyzFFF由旋度的定義可以得到

16、矢量場(chǎng)的旋度與該矢量場(chǎng)的關(guān)系為：由旋度的定義可以得到矢量場(chǎng)的旋度與該矢量場(chǎng)的關(guān)系為：zyxAAAzyxzyxARot)(AzyxAAAzyxzyxAAAzAAAzz1ArrAArrrrrrsinsinsin12可以看出，旋度是對(duì)矢量場(chǎng)的一種微分運(yùn)算，描述矢量場(chǎng)可以看出，旋度是對(duì)矢量場(chǎng)的一種微分運(yùn)算，描述矢量場(chǎng)在空間的某種變化情況。在空間的某種變化情況。由求旋度的公式可見，旋度運(yùn)算是求導(dǎo)運(yùn)算的組合，因此，其運(yùn)算規(guī)則與微分運(yùn)算規(guī)則相似，例如 ()ABAB ()CACA ()AAA三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理()cdd lAAS0limro tcnSdSlAe由旋度的定義由旋度的定義 對(duì)于有限大

17、面積對(duì)于有限大面積s，可將其按如圖方可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有式進(jìn)行分割，對(duì)每一小面積元有c)11()cdd lAAS22()cdd lAAS()sd AScdlA()SlddAlAS斯托克斯定理的證明：斯托克斯定理的證明：得證！得證！ 意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該意義：矢量場(chǎng)的旋度在曲面上的積分等于該矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。矢量場(chǎng)在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。斯托克斯定理給出了閉合線積分與斯托克斯定理給出了閉合線積分與面積分的關(guān)系，反映了曲面邊界上面積分的關(guān)系，反映了曲面邊界上的矢量場(chǎng)與曲面中旋度源的關(guān)系的矢量場(chǎng)與曲面中旋度源的關(guān)系 四、矢量場(chǎng)旋

18、度的重要性質(zhì)四、矢量場(chǎng)旋度的重要性質(zhì)()0A 證：AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() AxAyAzyAzAxzAxAyzyxzyx()()() 222222x yAy xAz xAx zAy zAz yAzzyyxx=0 小結(jié)小結(jié)1）矢量場(chǎng)的環(huán)量）矢量場(chǎng)的環(huán)量2）環(huán)量密度）環(huán)量密度3）旋度的定義）旋度的定義4）旋度的計(jì)算）旋度的計(jì)算5）斯托克斯定理）斯托克斯定理思考題思考題1、矢量場(chǎng)的環(huán)量、環(huán)量密度及旋度各表示什么意義？2、環(huán)量與環(huán)量密度以及環(huán)量密度與旋度之間各有什么關(guān)系？3、斯托克斯定理中如果閉合線積分給定，那么積分面是唯一的嗎？為什么？4、矢量場(chǎng)旋度的方向和使場(chǎng)渦旋的

19、方向有什么關(guān)系？第四節(jié)第四節(jié) 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度一一. . 等值面（線）等值面（線） 由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量由所有場(chǎng)值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y z( , , )u x y zcconstuPNleMuu ne二二. . 標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度1 1、梯度的定義、梯度的定義max( ,)ldugradu x y zuedl 式中：式中： 為垂直于等值面（線）的方向。為垂直于等值面（線）的方向。le2 2、梯度的物理意義、梯度的物理意義1)1)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是

20、坐標(biāo)位置的函數(shù)；、標(biāo)量場(chǎng)的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；2)2)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng)的梯度表征標(biāo)量場(chǎng)變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場(chǎng)變化最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大變化率。變化最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場(chǎng)的最大變化率。3 3、梯度的運(yùn)算、梯度的運(yùn)算1 1）在直角坐標(biāo)系中：）在直角坐標(biāo)系中：xyzuuuueeexyz 2 2）在柱面坐標(biāo)系中：）在柱面坐標(biāo)系中：1rzuuuueeerrz 3 3）在球面坐標(biāo)系中：）在球面坐標(biāo)系中：11sinruuuueeerrr 一些常用的梯度運(yùn)算恒等式)( )()(1)()()(0FFCCC為標(biāo)量函數(shù)三三. . 梯度的重要性

21、質(zhì)梯度的重要性質(zhì)0 標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒等于零。標(biāo)量場(chǎng)梯度的旋度恒等于零。證： xyzxyzxyz()()()xy zz yyz xx zzx yy x 222222=0 例題：例題： 若若 ， 證明：證明：RrrRR11()()RR 說明：說明：xyzeeexyz xyzeeexyz 在處理相對(duì)坐標(biāo)的函數(shù)的梯度運(yùn)算時(shí)，算子 與算子 可以互換，但改變其前的正負(fù)號(hào)。1）多元函數(shù)（標(biāo)量場(chǎng)）的偏導(dǎo)數(shù)）多元函數(shù)（標(biāo)量場(chǎng)）的偏導(dǎo)數(shù)2）方向?qū)?shù)）方向?qū)?shù)3）標(biāo)量場(chǎng)梯度的定義）標(biāo)量場(chǎng)梯度的定義4）梯度的計(jì)算）梯度的計(jì)算小結(jié)小結(jié)第五節(jié)第五節(jié) 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理一一. . 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理 在有限區(qū)

22、域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的在有限區(qū)域內(nèi)，任意矢量場(chǎng)由矢量場(chǎng)的散度散度、旋度旋度和和邊界邊界條件條件（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是（即矢量場(chǎng)在有限區(qū)域邊界上的分布）唯一確定。這就是亥姆霍茲定理的內(nèi)容。亥姆霍茲定理的內(nèi)容。已知已知矢量矢量F的通量源密度的通量源密度矢量矢量F的旋度源密度的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中在電磁場(chǎng)中電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件場(chǎng)域邊界條件（矢量（矢量A唯一地確定）唯一地確定）亥姆霍茲定理在電磁場(chǎng)理論中的意義：研究電磁場(chǎng)的一條主線。亥姆霍茲定理在電磁場(chǎng)理論中的意義：研究電磁場(chǎng)的一條主線。散度源散度源，是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量

23、場(chǎng)在包圍源的封閉面上的通量等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的散度；旋度源旋度源，是矢量，產(chǎn)生的矢量場(chǎng)具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于（或正比于）矢量場(chǎng)在該點(diǎn)的旋度。矢量場(chǎng)的源矢量場(chǎng)的源根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：根據(jù)矢量場(chǎng)的散度和旋度值是否為零進(jìn)行分類：1) 1) 調(diào)和場(chǎng)（在要討論的場(chǎng)區(qū)，既無旋又無散）調(diào)和場(chǎng)（在要討論的場(chǎng)區(qū)，既無旋又無散） 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處有：內(nèi)，處處有： 和和 則在該區(qū)域則在該區(qū)域V V

24、內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為調(diào)和場(chǎng)。為調(diào)和場(chǎng)。 0F0F( )F r( )F r注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。注意：不存在在整個(gè)空間內(nèi)散度和旋度處處均為零的矢量場(chǎng)。二二. . 矢量場(chǎng)的分類矢量場(chǎng)的分類源在要討論的區(qū)域之外00FF F0)(02 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處處 ，但在某，但在某些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有些位置或整個(gè)空間內(nèi)，有 ，則稱在該區(qū)域，則稱在該區(qū)域V V內(nèi)，場(chǎng)內(nèi)，場(chǎng) 為有源無旋場(chǎng)。為有源無旋場(chǎng)。 0F0F( )F r( )F r2)2)有源無旋場(chǎng)為有源無旋場(chǎng)為保守場(chǎng)保守場(chǎng)，其重要性質(zhì)為：，其重要性質(zhì)為： ( )0cF rdl 1) 1) 為矢量場(chǎng)通量源密度；為矢量場(chǎng)通量源密度； 保守場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。保守場(chǎng)場(chǎng)矢量沿任何閉合路徑積分結(jié)果等于零。 討論：討論：2) 2) 有源無旋場(chǎng)有源無旋場(chǎng)因?yàn)?因此這種場(chǎng)可以用標(biāo)量場(chǎng)的梯度標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示F例：靜電場(chǎng) 若矢量場(chǎng)若矢量場(chǎng) 在某區(qū)域在某區(qū)域V V內(nèi)，處處內(nèi)，處