量子物理04概率波與不確定關(guān)系

1、一概率波玻恩（Max Born, -18821970）1954年物理學(xué)獎玻恩(MBorn)在1926年提出：物質(zhì)波描述了粒子在各處被發(fā)現(xiàn)的概率。這就是說，德布羅意波是概率波。玻恩的概率波概念可以用電子雙縫衍射的實(shí)驗(yàn)結(jié)果來說明。電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)電子雙縫衍射圖樣與光的雙縫衍射圖樣完全一樣， 顯示不出粒子性，更沒有什么概率那樣的不確定特征。但這是用大量的電子(或光子)做出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。一個(gè)一個(gè)電子依次入射雙縫的衍射實(shí)驗(yàn)：100個(gè)電子7個(gè)電子這幾幅圖像說明電子確是粒子， 因?yàn)閳D像是由點(diǎn)組成的。它們同時(shí)也說明，電子的去向是完全不確定的，一個(gè)電子到達(dá)何處完全是概率。一個(gè)一個(gè)電子依次入射雙縫的衍射實(shí)驗(yàn)：300

2、070000個(gè)電子20000隨著入射電子總數(shù)的增多，電子的堆積情況逐漸顯示出了條紋， 最后就呈現(xiàn)明晰的衍射條紋，這條紋與大量電子短時(shí)間內(nèi)通過雙縫后形成的條紋一樣。70000個(gè)電子這些條紋把單個(gè)電子的概率行為完全淹沒了。底片上出現(xiàn)一個(gè)個(gè)的點(diǎn)子， 說明電子具有粒子性。隨著電子增多，逐漸形成衍射圖樣， 這來源于“一個(gè)電子”所具有的波動性，而不是電子間相互作用的結(jié)果。70000個(gè)電子這又說明，盡管單個(gè)電子的去向是概率性的，但其概率在一定條件下還是有確定的規(guī)律的。這些就是玻恩概率波概念的。德布羅意波并不像經(jīng)典波那樣是代表實(shí)在物理量的波動，而是描述粒子在空間的概率分布的“概率波”。二波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋1、

3、波函數(shù)量子力學(xué)假定：微觀粒子的狀態(tài)用波函數(shù)表示。概率波波函數(shù)（一般為復(fù)數(shù)）：一維 （x, t ) ， 三維 (rr, t) = (x, y, z, t)在量子力學(xué)中，波函數(shù)是最重要的基本概念之一，它完全可以描述一系的量子態(tài)。在經(jīng)典物理學(xué)中，并沒有與之對應(yīng)的物理量。2、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋玻恩對Y 的統(tǒng)計(jì)解釋(1926) ：波函數(shù)Y 是描述粒子在空間概率分布的“概率振幅”。(rr,t )2 = (rr, t )*(rr, t )其模方稱為“概率密度”。r代表 t時(shí)刻，在坐標(biāo)附近體積中發(fā)現(xiàn)一個(gè)粒子的概率。z在t 時(shí)刻，在 r 附近dV內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：YrdV( rr , t )2 d Vxy在空間

4、W 發(fā)現(xiàn)粒子的概率為：(rr ,t )2 d Vò (r , t ) 不同于經(jīng)典波的波函數(shù)，它無直接的物理意義，2和波函數(shù)的相位。有意義的是對單個(gè)粒子：2 給出粒子概率密度分布；2給出粒子數(shù)的分布；對大量粒子： N概率波的概念正確地把物質(zhì)粒子的波動性和粒子性統(tǒng)一了起來，已經(jīng)為大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所證實(shí)。3用電子雙縫衍射實(shí)驗(yàn)說明概率波的含義電子的狀態(tài)用波函數(shù)Y 描述。只開上縫時(shí), 電子有一定的概率通過上縫，y ( x)其狀態(tài)用描述，電子的概率分布為 P = |2111只開下縫時(shí), 電子有一定的概率通過下縫，y( x)P = | |2其狀態(tài)用描述，電子的概率分布為222通過雙縫后，分布是d不是c

5、。雙縫齊開時(shí)，電子可通過上縫也可通過下縫，通過上、下縫各有一定的概率，y 1 、y 2都有。= 1+ 212總的概率幅為總概率分布：（出現(xiàn)了）=|12 |2 =|1 + 2|2+P12*=| + | + |2|2121212*P=| |2 =| + |2 =| + | + |2|2121212121212¹ |2 + | |2 = P + P1可見，212是概率波的，是由于概率幅的線性疊加產(chǎn)生的。即使只有一個(gè)電子，當(dāng)雙縫齊開時(shí)，它的狀態(tài)也要兩部分概率幅的疊加就會產(chǎn)生。微觀粒子的波動性，實(shí)質(zhì)上就是概率幅的相干疊加性。衍射圖樣是概率波的結(jié)果。4統(tǒng)計(jì)解釋對波函數(shù)提出的要求1）有限性：在空間

6、任何有限體積元DV中找到2 dV ) 必須為有限值。(òòò粒子的概率DV2） 單值性：波函數(shù)應(yīng)單值，從而保證概率密度在任意時(shí)刻、任意位置都是確定的。3） 連續(xù)性：z波函數(shù)連續(xù)，保證概率密度連續(xù)。z對于勢場連續(xù)點(diǎn)，或勢場不是無限大的間斷點(diǎn)，波函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。歸一化：在空間各點(diǎn)的概率總和必須為1。歸一化條件：ò (rr ,t )2 d V = 1, ( W- 全空間)Wò YAW2 dV = òY *Y dV = AAA若W2則ò 1 YAdV = 11 歸一化因子AAW在物理理論中引入概率概念在哲學(xué)上有重要的意義。它意味

7、著：在已知給定條件下，不可能精確地預(yù)知結(jié)果，只能某些可能的結(jié)果的概率。這也就是說，不能給出唯一的肯定結(jié)果， 只能用統(tǒng)計(jì)方法給出結(jié)論。這一理論是與經(jīng)典物理的嚴(yán)格因果律直接玻恩在1926年曾說過：“粒子的運(yùn)動遵守概率定律，但概率本身還是受因果律支配的?！边@句話雖然以某種方式使因果律保持有效， 但概率概念的引入在人們了解自然的過程中還是一個(gè)非常大的轉(zhuǎn)變。的。閱讀波函數(shù)本身“測不到，看不見”， 是一個(gè)很抽象的概念，但是它的模方給我們展示了粒子在空間分布的圖像，即粒子坐標(biāo)的取值情況。當(dāng)測量粒子的某一力學(xué)量的取值時(shí)， 只要給定描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)，按照量子力學(xué)給出的一套方法就可以一次測量可能測到哪個(gè)值，以

8、及測到這個(gè)值的概率是多少。閱讀盡管所有物理學(xué)家都承認(rèn)，由于量子力學(xué)的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)異常精確地相符，所以它是一個(gè)很成功的理論，但是關(guān)于量子力學(xué)的哲學(xué)基礎(chǔ)仍然有很大的爭論。學(xué)派，包括玻恩、海森伯等堅(jiān)持波函數(shù)的概率或統(tǒng)計(jì)解釋，認(rèn)為它就表明了自然界的最終實(shí)質(zhì)。另一些人不同意這樣的結(jié)論，最主要的者是愛因斯坦。他在1927年就說過：“上帝并不是跟宇宙玩擲?！遍喿x德布羅意的話(1957年)更發(fā)人深思：“不確定性是物理實(shí)質(zhì)，這樣的主張并不是完全站得住的。將來對物理實(shí)在的認(rèn)識達(dá)到一個(gè)更深的層次時(shí)，我們可能對概率定律和量子力學(xué)作出新的解釋，即它們是目前我們尚未發(fā)現(xiàn)的那些變量的完全確定的數(shù)值演變的結(jié)果。我們現(xiàn)在開始用來

9、擊碎原子核并產(chǎn)生新粒子的強(qiáng)有力的方法，可能有一天向我們揭示關(guān)于這一更次的目前我們還不知道的知識。對量子力學(xué)目前的觀點(diǎn)作進(jìn)一步探索的嘗試對科學(xué)發(fā)展來說是非常的。而且它也背離了我們從科學(xué)史中得到的教訓(xùn)。實(shí)際上，科學(xué)史告訴我們，已獲得的知識常常是暫時(shí)的， 在這些知識之外，肯定有更廣闊的新領(lǐng)域有待探索?！遍喿x狄拉克(PAMDirac)（1902-1984）1933年物理獎量子力學(xué)大師狄拉克在1972年的一段話：“在我看來，我們還沒有量子力學(xué)的基本定律。目前還在使用的定律需要作重要的修改，。當(dāng)我們作出這樣劇烈的修改后，當(dāng)然，我們用統(tǒng)計(jì)計(jì)算對理論作出物理解釋的觀念可能會被徹底地改變。”閱讀盡管對波恩的統(tǒng)計(jì)

10、詮釋是有爭論的，雖然至今所有實(shí)驗(yàn)都證實(shí)統(tǒng)計(jì)詮釋是正確的，但是關(guān)于量子力學(xué)根本問題的爭論不但推動了量子力學(xué)的發(fā)展，而且還為量子信息論等新興學(xué)科的誕生奠定了基礎(chǔ)。閱讀三狀態(tài)疊加原理若體系具有一系列互異的可能狀態(tài)(波函數(shù))：Y1，Y2 L 則它們的線性組合：Y= å CnYn ，n也是該體系的一個(gè)可能的狀態(tài)(波函數(shù))，若疊加中各狀態(tài)間的差異無窮小，則應(yīng)該用代替求和：Y= òd n這里 Cn為任意復(fù)常數(shù)。½ Cn ½2為該體系處于Yn狀態(tài)的概率。以電子雙縫衍射為例：s1s2P開S1，電子出現(xiàn)在屏P的波函數(shù)y1開s2，電子出現(xiàn)在屏P的波函數(shù)y2S1s2 同時(shí)開，電

11、子出現(xiàn)在屏P的波函數(shù)Y = C1Y1 + C2Y2= C2C1如果兩個(gè)單縫相同，則Y = Y1+ Y2大連理工大學(xué)物理與光電詹衛(wèi)伸§6不確定關(guān)系根據(jù)牛頓力學(xué)理論，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動都沿著一定的軌道， 在軌道上，任意時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)都有確定的位置和動量。在牛頓力學(xué)中也正是用位置和動量來描述一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一時(shí)刻的運(yùn)動狀態(tài)的。波動性使得實(shí)際粒子與牛頓力學(xué)所設(shè)想的“經(jīng)典粒子”根本不同。對于實(shí)際的粒子，由于其粒子性， 可以談?wù)撍奈恢煤蛣恿?，但由于其波動性，它的空間位置需要用概率波來描述，而概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率，所以在任一時(shí)刻粒子不具有確定的位置，與此相，粒子在各時(shí)刻也不具有確定的動量。這也可以說

12、，由于波粒二象性，在任意時(shí)刻粒子的位置和動量都有一個(gè)不確定量。1927年，海森伯分析了一些理想實(shí)驗(yàn)并考慮到德布羅意關(guān)系，得出不確定度關(guān)系（測關(guān)系）：粒子在同一方向上的坐標(biāo)和動量不能同時(shí)確定。如果用Dx代表位置的測量不確定度（不確定 范圍），用Dpx代表沿x方向的動量的測量不確定度，那么它們的乘積有一個(gè)下限，即Dx × Dp³ hx21932年物理學(xué)獎獲得者德國人Werner Karl Heisenberg1901-1976量子力學(xué)的創(chuàng)立海森伯以電子單縫衍射為例來分析。px一束動量為的hpl =電子通過寬為 Dx單縫后發(fā)生衍射，在屏上形成衍射條紋。的2yq1a對一個(gè)電子來說，

13、我們不能確定地說它是從縫中哪一點(diǎn)通過的，只能說它是從寬為 Dx 的縫中通過的，pq1px方向上的位置不確定量就是 Dxx因此它在。= 0px0假定電子通過單縫前沿 x 方向的動量為零由于發(fā)生衍射，屏上電子落點(diǎn)沿 x 方向展開， 說明電子通過縫時(shí)已有了不為零的 px 值。忽略次級極大，認(rèn)為電子都落在亮紋內(nèi)，電子在通過縫時(shí)，運(yùn)動方向可以有大到q1 角的偏轉(zhuǎn)。可知一個(gè)電子在通過縫時(shí)x在 x 方向動量的分量的大小為下列不等式所限l = hp2yq£ p sinq0 £ p1apx1一個(gè)電子通過縫時(shí)在 x方向上的動量不確定量Dpx= p sinq1px認(rèn)為電子集中在該區(qū)域q1Dpx&

14、#179; p sinq1考慮到衍射條紋的次級極大由單縫衍射公式，第一級暗紋中心的角位置q1Dx sinq1 = lx根據(jù)德布羅意公式l = hpl = hDx sinq1p= h2pyq1ap認(rèn)為電子集中在該區(qū)域pxq1DxDpx³ h更一般的理論給出這三個(gè)公式就是位置坐標(biāo)和動量的不確定關(guān)系。它們說明粒子的位置坐標(biāo)不確定量越小，則同方向上的動量不確定量越大。 同樣，某方向上動量不確定量越小，則此方向上粒子位置的不確定量越大。總之，在表明或測量粒子的位置和動量時(shí)，它們的精度存在著一個(gè)終極的不可逾越的限制。 DxDp³ hDyDp³ hDzDp³ hx2y

15、2z2DyDpy³ h 4pDzDpz³ h 4pDxDpx³ h 4p考慮一r 個(gè)粒子在一段時(shí)間 Dt 內(nèi)的動量 p 為沿x方向，而能量為 E= E 2 - m 2c 40。p 2 c 2相對論關(guān)系EDp =DE則其動量的不確定量為pc 2在時(shí)間Dt內(nèi)，粒子可能發(fā)生的位移為：p DtDx = VDt =m這位移也就是在這段時(shí)間內(nèi)粒子的位置坐標(biāo)不確定度。關(guān)于能量和時(shí)間的不確定關(guān)系DEDt ³ h2E = mc2DxDp³ hx2DxDp =EDEDtmc 2Dx = p DtmDp =EDEpc 2不確定關(guān)系：能量和時(shí)間之間的不確定關(guān)系：Dt：

16、測量能量經(jīng)歷的時(shí)間范圍，DE：測量誤差。：，：能級寬度。不確定關(guān)系是微觀體系具有波粒二象性的必然結(jié)果本質(zhì)上不是由測量儀器對體系干擾造成。tG hDE × Dt ³ h2Dx × Dp³ h ,Dy × Dp³ h ,Dz × Dp³ hx2y2z2的質(zhì)量為 0.01kg ，槍口的直徑為 0.5cm ，例195（1）設(shè)試用不確定性關(guān)系計(jì)算射出槍口時(shí)的橫向速度。（2）原子的線度為 10-10 m ，求原子中電子速度的不確定量。解：（1）槍口直徑可以當(dāng)作射出槍口時(shí)的位置不確定量 Dx。由于Dpx= mDVx，所以1.05

17、 ´10-34 hm-30DVx³=2Dxm2 ´ 0.01´ 0.5 ´10-2= 1.1´10(s )這也就是的橫向速度。與飛行速度每秒幾百米相比，這一速度引起的運(yùn)動方向的偏轉(zhuǎn)是微不足道的。對它的“經(jīng)典式”因此對于這種宏觀粒子，它的波動性運(yùn)動以及射擊時(shí)的瞄準(zhǔn)帶來任何實(shí)際的影響。（2）“電子在原子中”，就意味著電子的位置不確定量為，由不確定關(guān)系可得Dx = 10 -10 m1.05 ´10-34 hmD³=2Dxm2 ´ 9.11´10-31= 0.6 ´10 (6Vxs )

18、0;10-10按照牛頓力學(xué)計(jì)算，氫原子中電子的軌道運(yùn)動速度ms106約為，它與上面的速度不確定量有相同的數(shù)量級?？梢姡瑢υ臃秶鷥?nèi)的電子，談?wù)撈渌俣仁菦]有什么實(shí)際意義的。這時(shí)電子的波動性十分顯善， 描述它的運(yùn)動時(shí)必須拋棄軌道概念，代之以說明電子在空間的概率分布的電子云圖像。例196(1)J y 粒子的靜能為 3100MeV，為 5.2 ´10-21 s。它的能量不確定度是多大?占靜能的幾分之幾?765MeV(2)介子的靜能是，是2.2 ´10-24 s。它的能量不確定度多大?又占其靜能的幾分之幾?DE = h 2Dt解：此處 Dt即為粒子的。（1）J y對于粒子1.05 ´10-34DE = h2Dt =2 ´ 5.2 ´10-21 ´1.6 ´10-13= 0.063(MeV )DE= 0.063 = 2.0 ´10-5= 0.002%E3100對于介子（2）1.05 ´10-34DE = h2Dt