函數(shù)的極值及其求

1、oxyab)(xfy 1x2x4x5x6x定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)若存在若存在x0的鄰域，的鄰域，對(duì)該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)對(duì)該鄰域內(nèi)的任何點(diǎn)x，且，且xx0均成立均成立:)()(0 xfxf 則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) f (x)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值)(0 xf)()(0 xfxf 或或(或極小值或極小值)在在 (a,b)有定義，有定義，x0(a,b)定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義，若若0)(0 xf注意注意:例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn).且在且在 處取得極值處取得極值,0 x設(shè)

2、設(shè) f (x)在在 點(diǎn)可導(dǎo)點(diǎn)可導(dǎo),0 x0)( 0 xf則則.)(0的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱xfx可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必定是它的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值極值,定理定理2(2(第一充分條件第一充分條件) )xyoxyo0 x0 x ,),( )1(00時(shí)時(shí)若若xxx ; 0)( xf時(shí)時(shí)),(00 xxx0)( xf則則f(x)在在 處取得極大值處取得極大值. 0 x,),( )2(00時(shí)時(shí)若若xxx ; 0)( xf時(shí)時(shí)),(00 xxx0)( xf則則f(x)在在 處取得極小

3、值處取得極小值. 0 x時(shí)時(shí)若若),( )3(00 xxx 時(shí)，時(shí)，與與),(00 xxx則則f(x)在在 處無(wú)極值處無(wú)極值. 0 x不不變變號(hào)號(hào)，)(xf 設(shè)設(shè)f(x)在在 處連續(xù)處連續(xù) ,0 x)(xf 求極值的步驟求極值的步驟: :(1)求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)(3)檢查駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)檢查駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)兩側(cè)，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)(4)求極值求極值(2)求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)解解59323 xxxxf)(963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極

4、小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx例例1 求出函數(shù)求出函數(shù)的極值的極值.593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx , 0 , 0的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)在在故故x時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx )()(0 xfxf 有有, 0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 xx )()(0 xfxf 有有, 0 同理可證同理可證(2).設(shè)設(shè) f (x) 在在 處有二階導(dǎo)數(shù)處有二階導(dǎo)數(shù),0 x0)( 0 xf且且0)(0 xf則則 (1)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0)(0 xf(2)當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0)(0 xf函

5、數(shù)在函數(shù)在 處取得極大值處取得極大值;0 x函數(shù)在函數(shù)在 處取得極小值處取得極小值;0 x所以，函數(shù)所以，函數(shù) f (x)在在 處取得極大值處取得極大值 0 x異異號(hào)號(hào)，與與00)()(xxxfxf 解解2024323 xxxxf)(2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 例例2 求函數(shù)求函數(shù)的極值的極值.例例3 3解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(

6、,2不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值為為xff .)(在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xfM練習(xí)題練習(xí)題1.函數(shù)函數(shù) 的極大點(diǎn)為的極大點(diǎn)為_(kāi), 極小點(diǎn)為極小點(diǎn)為_(kāi), 極小值為極小值為_(kāi)。22)(xexxf 極大值為極大值為_(kāi),2.試問(wèn)試問(wèn) a 為何值時(shí)，函數(shù)為何值時(shí)，函數(shù)xxaxf3sin31sin)( 3 x在在取得極值？是極大值還是極小值？取得極值？是極大值還是極小值？并求此極值。并求此極值。1 xe10 x02 a為極大值為極大值 3)3( fxxaxf3coscos)( )(3的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)為為

7、xfx 0cos3cos)3( af0121 a2 axxxf3sin3sin2)( 33sin33sin2)3( f232 0 為為極極大大值值 3)3( foxyoxybaoxyabab若若 f (x)在在a, b上連續(xù)，上連續(xù)，則則 f (x)在在a, b有上的最大值與最小值。有上的最大值與最小值。最值點(diǎn)最值點(diǎn)極值極值 區(qū)間端點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn)區(qū)間端點(diǎn) 步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,3.比較大小比較大小,

8、求出最大值、最小值求出最大值、最小值;則這個(gè)極值就是最值則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例1 求函數(shù)求函數(shù)14123223 xxxy在在3,4上上的最大值與最小值的最大值與最小值.解解)(xf =6(x+2)(x3)駐點(diǎn)駐點(diǎn): x = 1, x =2 f(-3)=23, f(-2)=34, f(1)=7, f(4)=142,最大值最大值: f(4)=142最小值最小值: f(1)=714123223 xxxy例例2 造一個(gè)容積為造一個(gè)容積為16立方米的有蓋圓桶，立方米的有蓋圓桶，問(wèn)如何選取底半徑和高，可使用料最省。問(wèn)如何選取底半徑和高，可使用料最省。解解 設(shè)半徑為設(shè)半徑為

9、x，高為，高為y 162yx則則表面積表面積:xyxS 222xx 32222324xxS 03242 xxS令令得駐點(diǎn)得駐點(diǎn): x =2故選半徑為故選半徑為2米、高為米、高為4米時(shí)，可是用料最省米時(shí)，可是用料最省實(shí)際問(wèn)題求最值時(shí)應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值時(shí)應(yīng)注意: :若目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，若目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)駐點(diǎn)，則該點(diǎn)就是所求得最大則該點(diǎn)就是所求得最大(小小)點(diǎn)。點(diǎn)。例例3 外切于單位圓的等腰三角形，外切于單位圓的等腰三角形，三邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)面積最小三邊長(zhǎng)分別為多少時(shí)面積最小?ABCOEF解解 設(shè)設(shè) x = AO, 則則12 xAFOFCEAFAE )1( 112 xCExx面積面積S1)1(

10、22 xx322)1()2()1( xxxS駐點(diǎn)駐點(diǎn)x=2, 0,21 Sx時(shí)時(shí)0,2 Sx時(shí)時(shí)所以所以x=2時(shí)時(shí),面積面積S最小最小 3 CE 32 BC 22AECEABAC 233 32 故三邊長(zhǎng)均為故三邊長(zhǎng)均為 32面積最小面積最小.例例4 設(shè)設(shè)A、B兩城分別位于草原與沙漠之中，兩城分別位于草原與沙漠之中，兩區(qū)城的分界線為直線，兩區(qū)城的分界線為直線，求騎手從求騎手從A到到B的最速線。的最速線。騎手在草原上的速度為騎手在草原上的速度為 ,1v在沙漠上的速度為在沙漠上的速度為 ,2vbB aAc1 2 解解 如圖，如圖，設(shè)設(shè) , 21 O1vAOT 所用時(shí)間：所用時(shí)間： 2vOB 11cos va22cos vb)(12 111cos)( vaT22cos vb12111cossin vaddTcba 21tantan2222cossin vb012 dd1211secsin av2222secsin bv012 dd2212secsec ba012 dd2212secsec ba