最優(yōu)控制理論與系統(tǒng)胡壽松版課后習(xí)題答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2-5 求通過，使下列性能泛函為極值的極值曲線：解：由題可知，始端和終端均固定， 被積函數(shù)， 代入歐拉方程，可得，即 故 其通解為：代入邊界條件，求出，極值曲線為2-6 已知狀態(tài)的初值和終值為，式中自由且>1，試求使下列性能泛函達(dá)到極小值的極值軌線：解：由題可知， 歐拉方程： 橫截條件：，易得到 故 其通解為：根據(jù)橫截條件可得： 解以上方程組得： 還有一組解(舍去，不符合題意>1)將，代入可得.極值軌線為2-7 設(shè)性能泛函為求在邊界條件，自由情況下，使性能泛函取極值的極值軌線。解：由題可知，自由 歐拉方程： 橫截條件：， 易得到 其通解為：代入邊界條件，求

2、出，將，代入可得極值軌線為28 設(shè)泛函 端點(diǎn)固定，端點(diǎn)可沿空間曲線 移動(dòng)。試證：當(dāng)泛函取極值時(shí)，橫截條件為 證：根據(jù)題意可知，此題屬于起點(diǎn)固定，末端受約束情況，由 可得， （1） 由 , , （2） 將（2）代入（1）式，得： ,得證。2-13 設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程，性能指標(biāo)如下：要求達(dá)到，試求（1）時(shí)的最優(yōu)控制。 （2）自由時(shí)的最優(yōu)控制。解：由題可知 構(gòu)造H： 正則方程： 可求得 控制方程：由上式可得 由狀態(tài)方程，可得（1）時(shí) 由邊界條件，可得 得 故 有 有最優(yōu)控制（2）若自由 由哈密頓函數(shù)在最優(yōu)軌線末端應(yīng)滿足的條件得即，從而，代入可得因?yàn)闀r(shí)間總為正值，所以此題無解。3-2 設(shè)二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程

3、邊界條件試求下列性能指標(biāo)的極小值：解：由題可知構(gòu)造H：由協(xié)態(tài)方程和極值條件： 得代入狀態(tài)方程得： 即，代入初始條件解得：故，此時(shí)3-4 給定一階系統(tǒng)方程，控制約束為，試求使下列性能指標(biāo)：為極小值的最優(yōu)控制及相應(yīng)的最優(yōu)軌線。解：由題可知構(gòu)造H：哈密頓函數(shù)達(dá)到極小值就相當(dāng)于使性能指標(biāo)極小，因此要求極小。且取其約束條件的邊界值，即時(shí)，使哈密頓函數(shù)H達(dá)到最小值。所以，最優(yōu)控制應(yīng)取由協(xié)態(tài)方程 可得 由橫截條件 求得 ，于是有 顯然，當(dāng)時(shí)，產(chǎn)生切換，其中為切換時(shí)間。不難求得，故最優(yōu)控制為將代入狀態(tài)方程，得 解得代入初始條件，可得 ，因而， 在上式中，令，可求出時(shí)的初始條件 從而求得。因而，于是，最優(yōu)軌線為

4、 將求得的和代入式J，得最優(yōu)性能指標(biāo)最優(yōu)解曲線如下：3-5 控制系統(tǒng)，試求最優(yōu)控制,以及最優(yōu)軌線和,使性能指標(biāo)為極小值。解：哈密爾頓函數(shù)為由協(xié)態(tài)方程：，解得，由極值條件：， 解得，由狀態(tài)方程有 ，解得 ，代入初始值解得： ，故 此時(shí).36 已知二階系統(tǒng)方程 式中自由。試求使性能指標(biāo)為極小的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線以及最優(yōu)指標(biāo)。解：本例為線性定常系統(tǒng)，積分型性能指標(biāo)，自由，末端固定的最優(yōu)化問題。 構(gòu)造哈密頓函數(shù)為： 由極小值條件應(yīng)?。?,由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化律：，可得：，即：，可知：，（其中矛盾），由協(xié)態(tài)方程有：，由初始條件解得：，由所給狀態(tài)方程及初始條件解得： 3-7 已知二階系統(tǒng)方程， ，

5、 式中控制約束為試確定最優(yōu)控制。將系統(tǒng)在時(shí)刻由轉(zhuǎn)移到空間原點(diǎn)，并使性能指標(biāo)取最小值，其中自由。解：由題可知構(gòu)造哈密頓函數(shù)：按照最小值原理，最優(yōu)控制應(yīng)取 由哈密頓函數(shù)沿最優(yōu)軌線的變化規(guī)律可得以及 因?yàn)?，可以求出由協(xié)態(tài)方程 解得 ，當(dāng) 時(shí)(試取)代入初始條件，可得 代入末端條件，可得 又，聯(lián)立解得于是有 在時(shí)，正好滿足要求 故最優(yōu)控制為 ， 相應(yīng)的最優(yōu)性能指標(biāo)為 最優(yōu)軌線為3-17 已知系統(tǒng)方程，性能指標(biāo)，末端。試用連續(xù)極小值原理求最優(yōu)控制與最優(yōu)軌跡。解：構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，由協(xié)態(tài)方程：，解得：，由極值條件：， 解得，代入狀態(tài)方程有：，解得 ，代入初始值解得： ，故最優(yōu)軌線為：，又，所以最優(yōu)控制律為

6、： ，此時(shí)3-28 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程 ，控制約束為（t）|1。試求最優(yōu)控制u*（t），使系統(tǒng)由任意初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到，的末態(tài)。寫出開關(guān)曲線方程，并繪出開關(guān)曲線的圖形。解：本例為二次積分模型的最小時(shí)間控制問題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):由 協(xié)態(tài)方程得：解得： 。 ，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。 若時(shí)，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：， 同理，若時(shí)，解得：，由末態(tài)配置到，取開關(guān)曲線為過（2,1）的那條曲線，即開關(guān)曲線方程為：開關(guān)曲線圖如下：開關(guān)曲線3-31設(shè)二階系統(tǒng)：，控制約束（t）|1。試求使

7、系統(tǒng)由已知初態(tài)最快地轉(zhuǎn)移到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)間最優(yōu)控制u*（t）和開關(guān)曲線。（注：本題書上的是錯(cuò)的，因?yàn)榘磿系牡貌坏较嗥矫孳壽E方程）解：本例為二次積分模型的最小時(shí)間控制問題。容易判定系統(tǒng)可控，因而必為控制。構(gòu)造哈密頓函數(shù):，知最優(yōu)控制： ，知最優(yōu)控制u(t)最多切換一次，具有四種可能：【+1】，【-1】，【+1，-1】，【-1，+1】。 若時(shí)，代入狀態(tài)方程考慮到初始狀態(tài)，解得：，消t得：， 同理，若時(shí)，解得：，消t得：，即開關(guān)曲線方程為：開關(guān)曲線圖如下：本題初始點(diǎn)A(1，1),最優(yōu)控制曲線如上圖，最優(yōu)控制律為-1，+1。3-33已知受控系統(tǒng)，目標(biāo)集為，試求由目標(biāo)集外的任意初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集的時(shí)間最優(yōu)

8、控制律。解：哈密爾頓函數(shù)為，協(xié)態(tài)方程，邊界條件：， 目標(biāo)集約束：， 由極小值條件知，最優(yōu)控制律： 若時(shí)，代入狀態(tài)方程，解得：，消t得相軌跡方程：； 同理，若時(shí)，解得：，消t得相軌跡方程：；由相軌跡方程與目標(biāo)集相切且滿足末態(tài)要求的相軌跡曲線：，所以系統(tǒng)的開關(guān)曲線開關(guān)曲線圖如下所示：相軌跡如上圖所示：、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域或上時(shí)，知最優(yōu)控制為終于上半圓；、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域或上時(shí)，知最優(yōu)控制為終于下半圓；、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；、當(dāng)初態(tài)在區(qū)域中，知最優(yōu)控制為；3-42 已知系統(tǒng)方程 ，控制約束| u（t）|1。試求以切換時(shí)間表示的時(shí)間-燃料最優(yōu)控制u*（t），使性能指標(biāo)取極小值，并求最優(yōu)控制J*。解：哈

9、密頓函數(shù)為：由，解得：由極小值條件知：， 因?yàn)槌鯌B(tài)= 知時(shí)間燃料最優(yōu)控制為：，設(shè)的切換時(shí)間為和，則有當(dāng)時(shí)，有1，初態(tài)=，由狀態(tài)方程得：當(dāng)時(shí)，0，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。 當(dāng)時(shí)，1，初態(tài)為：，由狀態(tài)方程解得：。末態(tài)值求得，于是時(shí)間燃料最優(yōu)控制為：，從而有。4-4 設(shè)二階離散系統(tǒng) 試求使性能指標(biāo)：為極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線。解：本題為二級最優(yōu)決策問題，其中、不受約束。 令2，1時(shí)：，=0，所以由于不受約束：，求得：。將結(jié)果代入得：。 令1，0時(shí)：，=0，所以=，代入初始值，求得：， ，于是本題的最優(yōu)控制，最優(yōu)軌線及最優(yōu)代價(jià)分別為：，4-13 已知二階系統(tǒng) ，性能指標(biāo)：試用連續(xù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃求最優(yōu)控制

10、和最優(yōu)軌線。解：解：（1）由題意可得： ， ， ， ，令,得，顯然A，b可控，A，D可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：， 代入A, b，Q，r可得:,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)控制指標(biāo):,將代入狀態(tài)方程，得閉環(huán)系統(tǒng)方程：代入初始值解得：將、代入狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制，求得：。4-14 已知系統(tǒng)方程：，性能指標(biāo)：，試確定該系統(tǒng)的哈密頓-雅可比方程。解：令哈密頓函數(shù)為：由于不受約束，則，由最優(yōu)解的充分條件知：，代入，得：。因?yàn)橄到y(tǒng)是時(shí)不變的，并且性能指標(biāo)的被積函數(shù)不是時(shí)間的顯函數(shù)，故，則有。在性能指標(biāo)中，令，得邊界條件：。所以本題的哈密頓雅可比方程為：5-8 給下列二階系統(tǒng)：，試確定最優(yōu)控制，使下列性

11、能指標(biāo)極小：解：該題為有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。由題意得：令，代入黎卡提方程：， 代入A, b，Q，r，邊界條件：,即：解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標(biāo):。 5-10已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程：，性能指標(biāo)極?。涸嚧_定最優(yōu)控制。解：該題為無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。由題意得：，令,得，故A，b可控，A，D可觀，故存在且唯一。令，代入黎卡提方程：， 代入A, B，Q，R 解得：,于是最優(yōu)控制：,最優(yōu)性能指標(biāo):。 5-20 已知為具有性質(zhì)的李亞普諾夫函數(shù)。其中，滿足式。試用李亞普諾夫穩(wěn)定性定理證明最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。證明：取二次型函數(shù)：，對于由于>0必有。所以李亞普諾夫函數(shù)。，將代入，整理得：=，

12、又由，知，代入整理得：，即：。所以知，為負(fù)定。又顯然。根據(jù)李亞普諾夫穩(wěn)定性定理，最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定。6-2 設(shè)有二次積分模型：，性能指標(biāo)：，試求使性能指標(biāo)極小的最優(yōu)控制，并求最優(yōu)性能指標(biāo)。解:由題意可知： ， ， ，1， ，4。因?yàn)锽 2，22,所以，可控，可觀，可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：得：得>0，此時(shí)：=，最優(yōu)性能指標(biāo)：。6-3 已知系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程：，性能指標(biāo)：，試求使性能指標(biāo)極小并使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的最優(yōu)控制。解:由題意可知： ， ， ，100， ，1。因?yàn)锽 2，22,所以，可控，可觀，可觀，故可以構(gòu)造漸近穩(wěn)定的最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器。,設(shè)

13、，解黎卡提代數(shù)方程：得：，解得，此時(shí)：=，將代入狀態(tài)方程得：，解得閉環(huán)系統(tǒng)特征值為：所以閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。.6-10 設(shè)用控制系統(tǒng)可以自動(dòng)地保持潛艇的深度，潛艇從艇尾水平角到實(shí)際深度的傳遞函數(shù)，可以近似為：，試設(shè)計(jì)控制律，使性能指標(biāo)最小。其中希望深度=100。假定，實(shí)際深度可用壓力傳感器測量，并可用于反饋。解：.8-2 設(shè)二階系統(tǒng)方程：，控制約束。性能指標(biāo)式中自由。試驗(yàn)證系統(tǒng)能否出現(xiàn)奇異弧。解: 本例為線性定常系統(tǒng)，積分型性能指標(biāo)、自由的最優(yōu)控制問題。構(gòu)造哈密頓函數(shù)：，根據(jù)極小值原理可知，相應(yīng)于正?；《蔚淖顑?yōu)控制為如下邦-邦控制：邦-邦弧段滿足下列正則方程：函數(shù)H線性依賴于，所以可能存在奇

14、異弧。在奇異弧上必有： 解方程組知：得異最優(yōu)解：，即系統(tǒng)有奇異解。8-6 已知系統(tǒng)方程 ， 控制約束。性能指標(biāo) 試用奇異調(diào)節(jié)器方法求奇異最優(yōu)控制.解：首先對原系統(tǒng)狀態(tài)方程進(jìn)行線性變換。令得修正奇異調(diào)節(jié)器系統(tǒng)狀態(tài)方程：，式中即：設(shè)，解黎卡提代數(shù)方程：解得：,此時(shí)，式中,即，則原奇異調(diào)節(jié)器的最優(yōu)控制9-3 設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為，且滿足下列方程：試證明：x(t)的均值和方差陣分別為：證明：x(t)的均值滿足以下矩陣微分方程：其解為： 證得一式。 應(yīng)滿足 又可得證畢。9-5 設(shè)隨機(jī)系統(tǒng)方程為 ，式中與為互不相關(guān)的零均值高斯白噪聲，其方差為和。試求最優(yōu)控制，使下列性能指標(biāo)極?。菏街小＝?/p>

15、：依據(jù)定理9-7（線性連續(xù)隨機(jī)系統(tǒng)分離定理），可知 F1，G1，H1，Q0，R （1）（1）式中狀態(tài)反饋增益矩陣 （2）而滿足下列矩陣微分方程及其邊界條件： （3）解出（3）式微分方程： （4）將（4）式代入（2）式得到： （5）由以下濾波方程給出： （6）（6）式中增益矩陣 （7）而滿足以下矩陣微分方程及初始條件： （8）解出（8）式微分方程： （9）將（9）式代入（7）式得到： （10）現(xiàn)在，只要由（10）式代入（6）式即可解出： （11）將（5）式和（11）代入（1）式，即可算出最優(yōu)控制 圖9.5 隨機(jī)輸出反饋調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖9-6 設(shè)離散系統(tǒng)狀態(tài)方程和量測方程為：，式中是零均值高斯白噪聲序列，其方差為5。已知與隨機(jī)初始狀態(tài)