競賽復(fù)習科目數(shù)學高中數(shù)學競賽總復(fù)習(一)

1、競賽復(fù)習科目：數(shù)學高中數(shù)學競賽總復(fù)習（一）復(fù)習內(nèi)容：高中數(shù)學第三章-數(shù)列編寫時間：2005-5修訂時間：總計第一次2005-5一、數(shù)列專題（一）數(shù)列常見題型形式.一、以極限為載體，考查等比數(shù)列中l(wèi)im日1（17）當q>1時，等比數(shù)列極限不存在.當q<1時，等比數(shù)列極限存在.若等比數(shù)列1_q和的極限存在，則一定有qv1.當數(shù)列N的極限存在是lima.二A，則limanA.n,n,1.設(shè)J為等差數(shù)列，仁為等比數(shù)列，且bi=a1,b2=a2,b3=a3（ai<a2），又lim（九刊"呱）=/2+2，試求aj的首項與公差nCn2.數(shù)列Xn由下列條件確定:.1Xi=a0,xn

2、1-2XnXnnN.若數(shù)列就希極限存在，且大于零，求叫人的值.二、以對數(shù)為載體，充分考慮比例分數(shù)的合比與分比定理例：等比數(shù)列alog23,alog43,alog83的公比是三、求參數(shù)最值通?？紤]判別式法.1.各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有項.四、若以集合形式岀現(xiàn)，常常題目要隱藏其集合的包含與被包含關(guān)系1.若An和Bn分別表示數(shù)列方和前n項和，對任意正整數(shù)n，a-,4B12A13n.設(shè)集合X="xx=2an,nN.',Y=yy=4bn,nN，.若等差數(shù)列的任一項CnEXaY,C1是XY中的最大數(shù)，且-265<C10

3、<-125，求Cn的通項公式.（二）求常見數(shù)列的方法-、求數(shù)列的通項.n4n4I.形如an1乞門f（n）的一階遞歸式，其通項求法為an乞1亠一（ak1-Qk）二a1亠一f（k）.aa3anll.形如ani=f(n)an的遞歸式，其通項求法為an=a1-=a1f(1)f(2f(n_1)(n_2).a1a2anJ.注意：形如anf(n)anr當數(shù)字特殊時可考慮轉(zhuǎn)化為anf(n)(anAx)的形式，再疊乘可求出通項.形如ani=f(n)ang(n)an丄常需要轉(zhuǎn)化為a“in=q(n)(ann或q(n1)a“1二Pq(n)a“r.例如：a“-=：(n-3)a“i-(n-2)a“有bn1£

4、;n1-，an,bn1(n1)(an£n丄)(n1)bnn丄有bn二nbn二n(n-1)bn_2=二n!b.有a.k!b.a.k11.數(shù)列an/a1-0,anan-確定，求通項an.nn2.在數(shù)列皿心，且an143a島，求anIll.形如an彳=panr(p帶1)的遞歸式，有方法一an勺=pan,an=pan丄r，兩式相減得an1an=P(anan_|)，故、an.Lan匚是首項為a2-a1且公比為p的等比數(shù)列先求出an1an，再求出an.有方法二轉(zhuǎn)化等比ran1x=P(anx)=an彳=PanPx_x=x=P1an=Pan丄丁=P(Pan2丫)=pn丄r亠亠Prr=有公式anpC2

5、PnA，c1,c2由a1,a2確定.有方法四：特征根方法IV.形如an1=pan，q(n)(p-1)的遞推式，有方法一兩邊同除以pn1，得an1pn1則bnn+製，仿2求得bn再求an有方法二遞推法.例如：當g(n)為一次函數(shù)時a.1二Panknb與an二Pa.k(n-1)b相減有an1-(P，1)an=k仿Ill.可求出an.1.已知數(shù)列tn，仁中，a1=p,b1=q且盧“冋丄丄(n蘭2,pAr»O)pn=qan丄4rbnA求bn；bn(2)求lim.=242Wn加nv.形如an+=pan(p»0,an»0)或an社Panan=的遞推式，方法一兩邊取對數(shù)有l(wèi)ga

6、n*=qlgan+lgp，令bn=lgan，則bn1=qbn'lgp，仿4求得bn，再求an.方法二有1_qn1_qn2n12n2n12napanp(an_2p)p,pqpqpq_aqaiqaq=卩申申宇半_aiqg年半屮=pPa尸1. 在數(shù)列£n中，a1=10，且an+=2p3n，求3n2. 數(shù)列3n満足a1=10,an1=10.an，求通項a*.VI.高階等差數(shù)列：形如任意兩項之差成等差數(shù)列不如比等差數(shù)列為乩）,則我們可用構(gòu)造新數(shù)列bn使bn1n=an=a1%門一1）d,最后bn-b1毛1£2an丄.高階等差數(shù)列：給定一個數(shù)列Qn',令bn=8n1Tn，

7、則稱數(shù)列b為n”啲一階差數(shù)列，而：bn.啲一階差數(shù)列稱為的二階差數(shù)列，遞推地，可以定義3n的P階差數(shù)列.如果數(shù)列Sn?的p階差數(shù)列是一非零常數(shù)列，則稱數(shù)列fan是P階等差數(shù)列.P=1時，數(shù)列an就是我們通常所說的等差數(shù)列，P_2時，數(shù)列認稱為高階等差數(shù)列.數(shù)列:an/是p階等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列的通項是關(guān)于n的p次多項式.例如：數(shù)列2、4、7、11、16經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)5n1-an?成等差，故令4".1乳.n(n1)11bn=b1(n1)1=1n進而有an1-an=n1=an-a1n-1:ann2n1.2221. 求數(shù)列n/：1,3,8,20,43,81,的一個通項表達式.(a=0,b

8、c=ad).VII.不動點法：設(shè)數(shù)列an滿足a1=a,an-1=can勿aan若f（X）七是等比數(shù)列，可用竺衛(wèi)有兩個不相等的不動點二一：，則數(shù)列axban一:丄bnananTFan-1f（X）有兩個相等的不動點a=B，則數(shù)列丿ax+b1an-：-是等差數(shù)列，公差d可用1nd來求.注：形如an41Y（2candan1亦可用不動點法.aan先證明：令X=b，即CX2亠i.daX-b=0，令此方程的兩個根為X1,X2，若X1=X2,則有c，x+d1一p其中k可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等差數(shù)列通項公式求解。注：如果有能力，可以將p的表達式記住，p=-a+d若X1工x則有an17=qanX1其中k

9、可以用待定系數(shù)法求解，然后再利用等比數(shù)列通項公式求解。an1_X2an-X2注：如果有能力，可以將q的表達式記住，q=*%acx21.設(shè)滿足an=1,an142求通項an.an2.數(shù)列an滿足a2,andanan1-2an-5=0求an.VIII.裂項法：常見的有2kk(-nnn1.數(shù)列"an滿足a1=1,(nn)an且an12一(n二N),3ani2卄i求an.1p1prIX.取倒法：常用于對復(fù)雜分式轉(zhuǎn)化為r或等等常見數(shù)列形式anan丄ananjan_21.在數(shù)列Xn中，X1=3,X2=2，XnXn"n二(n_3)，求Xn.2Xn/%4X.換元法：數(shù)列中的通常把將數(shù)列通過

10、換元構(gòu)造位熟悉的等差、等比、或線性遞推數(shù)列.最重要的是三角換元法的應(yīng)用1. 已知數(shù)列an的前n項和Sn與an之間滿足2sI=2anSn-an(n_2)，且a1=2，求an.2. 已知數(shù)列，an沖，a0=5,a22an4，求通項an.31七n42fc3.數(shù)列"an滿足a1a2-1,且an二一(n_3)求通項an.a*24.設(shè)正數(shù)列ao,a1an滿足ao=a1=1，且,anan-2：/an4an-2=2an4(n2)，求an.5.已知數(shù)列aj滿足a1,an1an-n2，求a二、求數(shù)列的和.I. 求導法：導數(shù)方法用于數(shù)列常是以求和形式岀現(xiàn)，經(jīng)常要與二項式定理聯(lián)系（能夠用錯位相消法求和的數(shù)列

11、問題，都可以用求導方法去做）.1. 已知an二nxn丄（x=0,x=1），求數(shù)列的前n項和Sn.2. 已知an=n2n，求數(shù)列Sn的前n項和Sn.2222n13. 求和Sn=12x3x了x：II.形如an二Pan1（-1）nr時，則求和變?yōu)镾a1Pa1Pa'i：Parr-r當n為偶，-r與+r恰好抵消完；當n為奇數(shù)時，剩一個-r，故Sn=P（a12恥-川an）或P（a1a2a.）-r.1.已知an是由非負整數(shù)組成的數(shù)列，滿足a1=0,a2=3,an1*an=（an2）（an/，2）,n=3,4,5, 求a3； 證明an=ann2,n=3,4,5,; 求'an的通項公式及其前n項

12、和Sn.三、周期數(shù)列.1.設(shè)數(shù)列Snfa3,an2定義求a2cos1an2.設(shè)數(shù)歹ya1,a2,，an,滿足aa1,a2，且對任意自然數(shù)n,都有anan1an2=1,又anan-1an2an=an'an1'an-2'an3，則a1£2a1oo的值是.【2005高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)測】1.各項為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項的平方與其余各項之和不超過100,這樣的數(shù)列至多有2.設(shè)數(shù)列an”'滿足an1-nan1,n=1,2,3,.（O當at=2時，求a2,a3,a4，并由此猜想出an的一個通項公式；1111（2）當aj3時，證明對所有的n亠1，有an亠n亠2

13、:一1+a11七21+an21、3.數(shù)列Sn滿足：a1二1,an1=3n,n-N亠，求a1oo的整數(shù)部分an14.3個數(shù)列a,bn,C.存在下列關(guān)系：at=1,6=2>bn=an1-an,Cn=5=3-np（n=1,2,3，）（1）求an；（2）證明：若Cn_0，必有Cn1>0；5.兩個數(shù)列"bn滿足a1=2,3=1,an1=5an3bn7,bn+=3an+5bn(n=1,2,3,)試求通項an和bn項.，這里p為正常數(shù).6.數(shù)列sA'bn滿足0a1b1,丄二丄J,2bn1=anbn(n=1,2,3,)，證明下列命題:an+an2bn2(1) a2<b2&l

14、t;b1;(2) 對任何正整數(shù)n，有bn>an1；(3) 對任意整數(shù)n_2,有bn<b1.27.（不等式夾擊法找數(shù)列范圍）設(shè)等差數(shù)列的首項及公差均為非負整數(shù)，項數(shù)不小于3,且各項和為97A.2個B.3個C.4個D.5個，則這樣的數(shù)列共有（）（3）若數(shù)列'bn的最小項為b4,求p的取值范圍.雷氏筆錄數(shù)學組編寫2005年5月18日競賽復(fù)習科目：數(shù)學高中數(shù)學競賽總復(fù)習(二)復(fù)習內(nèi)容：高中數(shù)學第七、八章編寫時間：2005-5-解析幾何修訂時間：總計第一次2005-5二、一、關(guān)于定值的證明.平面解析幾何有方法一：先取特殊位置，求岀這個定值，再證明一般情況下也等于這個定值明法.有方法二

15、：直接證1.已知圓(x3)2半y4)2=16，直線li：kxyk=0若P,Q連線的中點為M,h與l2：x+2y+4=0的交點為N,求證AMAN、.、.22一2. 如圖，M是圓C:x亠y-6x-8y=0上的動點，O是坐標原點，N是射線OM上的點,OM|ON=150，求N點的軌跡方程二、共線問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為斜率相等這一重要條件，當然也可以用構(gòu)造法一大膽設(shè)參構(gòu)造221.已知拋物線y=2px及定點A(a,b),B(-a,0)(ab=0,b=2pa).M是拋物線上的點，設(shè)直線AM、BM與拋物線的另一個交點為M1、M2.求證：當M點在拋物線上變動時(只要M1、M2存在且M仔M2)直線M1、M2恒過一個定點，

16、并求出這個定點的坐標三、看到有長度大小關(guān)系的直線方程時，又有動點（x,y）與定點（x0,y0）要考慮直線的參數(shù)方程1. 過不在橢圓上任意一點P作兩條直線1和丨2，分別交橢圓于A、B、C、D四點，若1、丨2的傾斜角為：1且:-二.求證：A、1.已知MN是圓0的一條弦，R是弦MN的中點，過R任作兩條相交弦AB和CD.過A，B，C，D四點的二次曲線T交MN于P，Q兩點.求證：R是PQ的中點.3 2y=x-的距離的最小值為4 五、涉及整數(shù)點問題的最值問題用余數(shù)法.1.直角坐標平面內(nèi)橫坐標與縱坐標都為整數(shù)的點稱為格點，則平面內(nèi)格點到直線六、移坐標法，我們可把坐標軸平移，可使某個點成為新原點，這樣可以減少

17、運算221.已知橢圓C:（x_1）_=1上存在關(guān)于直線I:y=2xm對稱的兩點，試求m的取值范圍94【2005高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)測】21.F1,F2是橢圓中y2=1的兩個焦點，P是橢圓上任意一點，則pfJ；pf2的最小值是2. 設(shè)雙曲線xy=1的兩支為c1,c2如圖，正三角形PQR的三頂點位于此雙曲線上（1）求證：P、Q、R不能都在雙曲線的同一支上；（2）設(shè)P（-1，-1）在C2上,Q、R在C1，求頂點Q、R的坐標.223. 已知橢圓£:a+器=1（a>b>0），動圓r:X2+y2=R2，其中b<R<a.若A是橢圓£上的動點，B是動圓r上的動點，且使直線

18、AB與橢圓£和動圓r均相切，求A、B兩點的距離|AB|的最大值（2004年四川初賽試題）解：設(shè)A(xi,yi),b(x2,y2),直線AB的方程為:y=kx+my1=kx1+m(1)因為A既在橢圓上，又在直線AB上，從而有xi2yi2,ab、/將代入得:(a2k2+b2)x2+2kma2x+a2(m2b2)=0由于直線與橢圓相切，故=(2kma2)24(a2k2+b2)a2(m2b2)=o從而可得：m2=b2+a2k2,x1=kafm同理，由B既在圓上又在直線AB上,可得：m2=R(1+k2),x2=kR2m由得:k2=RR2X2xi=arm-|AB|2=(X2xi)2+(y2yi)

19、2=(1+k2)(x2x。2m2k(a2R2)=(a2R2)R2b2=r2mR2孑一r(a2R/R2b2)R2Z2a2+b2R2aR2-=(ab)2(R豐)2珂ab)2.即|AB|Wab,當且僅當R=ab時取等號.所以，A、B兩點的距離AB|的最大值為ab.高中數(shù)學競賽總復(fù)習(三)雷氏筆錄數(shù)學組編寫2005年5月i8日高三數(shù)學總復(fù)習競賽復(fù)習科目：數(shù)學復(fù)習內(nèi)容：高中數(shù)學第三、七、八章編寫時間：2005-5修訂時間：總計第一次2005-5三、數(shù)列、解析幾何熱點專題數(shù)列、奇偶數(shù)列bn一bnnbnbn若bn為奇數(shù)項的數(shù)列，若X為偶數(shù)項的數(shù)列，則有an-(-1)"-22二、特征方程.形如an2

20、rpan1”qan(P、q為二階常數(shù))方法一用特征根方法求解具體步驟：寫出特征方程X2=Px+q(X2對應(yīng)an*，X對應(yīng)a4)，并設(shè)二根Xi,X2若XlHX2可設(shè)an.=ClX；+C2X；，若X1=X2有方法二an2xan1=p(an1$an)，可設(shè)a(c<2n)x；;由初始值a1,a2確定c1,c2.X.有方法三迭代法，迭代法是解決一切數(shù)列問題的通法1_P三、求和主要方法：倒序相加、錯位相減、數(shù)學歸納法等差數(shù)列的前n項和為sn,在d<0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：dd一是求使an_0,an1V0,成立的n值；二是由Sn二一n21-)n利用二次函數(shù)的性

21、質(zhì)求n的值.22如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)列前n項和的推倒導方法：錯位相111減求和.例如：1一,3,.(2n1)，242n1+2+3+n呼心宀仁！2T四、等差、等比數(shù)列.若anbn均是等差數(shù)列，則'candbn?也是等差數(shù)列首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差(c,dWR).兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列,d1，d2的最小公倍數(shù).此等差數(shù)列的題型示例二已知拋物線y2=2Px，當一條過焦點的直線與拋物線交于a,b兩點，求x1x2,y1y2的值.越解析幾何一、幾種常見的圓錐曲線問題22題型示例一若橢圓

22、務(wù)*葺=1的左右焦點分別是F1,F2,過F1ab且傾斜角為B的直線交橢圓為A,B兩點，若|F1A-'|F1B|則橢圓的離心率為e=AF1BF1e=(-1)1cos)AA1BB1AF1HBF1=ee=丄-AFj-|BF1eAF1-BF1*1a.AFj-BF11BF1(-1)_-11eBF1C1)"'1e注：本題變?yōu)榍笾本€AB的方程，解法如上，將cost轉(zhuǎn)為求tan則Kab可確定，又過F1故直線AB方程可確定.如果采用定比分點，則運算量大，但是若A、B不在橢圓上或者有一個點不在橢圓上，則只有用定比分點了2解（一）：當k存在時，y=k（x_E）代入y2=2Px則2222k2

23、P2p2k2x2_(k2P-2P)x0，x1x2,44y1y2=4p2X1X2=p4.y“2-_p2,當k不存在時,ppA(2,p),%'p)，成立.故XS,yy2-P2成立.4解（二）：5%=屮2.>2pt22ph=4p題型示例三如圖，一條過焦點MN是拋物線的準線.求證：MBF的直線與拋物線交于A，B.A,M,O三點共線,/x車由.證：；AM為過O點直線,kAo=koM，所以_y_i=_y£_X1_£_24X2y22p綜上：X1X2=2y*2二一pyX12y2-p.y1尹=-4，y2=2pX2.X2pX1Ty2-4X22pX2.y2=y2.故MB為平行x軸直

24、線.變題：若證AOM共線呢？提示：要證AOM共線，即證kAo=koM,下面就如上法炮制了.題型示例四如下圖，拋物線y2=2Px的焦點為F,CD為準線，P為AB的中點.求證：AMB共圓，/CFD為直角.證（1）:因為2y=2Px,故AF=AC,DF=DB.又因為PM為梯形CABD的中位線，故PM=且P為三角形AMB11(ACBD)AB，故MP=AP=BP,所以AMB共圓,22外心.A，O.-36|1F證（2）:韻=N2,注：題型示例四拓展1:根據(jù)上述證明，可以推導以雙曲線焦點弦，為直徑為圓與準線是相交關(guān)系；以橢圓焦點弦為直徑的圓與準線是相離關(guān)系.拓展2:AABM中ZM最大角為90°這時

25、是少的臨界條件，這條準線上其它的點與£3=4,4£6,/5/3二.4/2£5./6=180Z5£6=90.A、為鈍角，只需£A或EB為銳角.過A作垂直于AB的直線交L于E,則在E上方（不包括于AB這條直線與準線要相交（這里要檢驗，是否在所求范圍內(nèi)）A、B構(gòu)成的三角形都是鈍角.題型示例五如下圖，拋物線y2=2Px，直線交拋物線于A,證：設(shè)A（x°1）B（x2y2）,令I(lǐng)oa:y=kx，同理過B作垂直于ABB構(gòu)成的三角形是銳角:，故若要使二ABME）的點與A、B構(gòu)成三角形為鈍角，但是由的直線交L于F，則在F下方（不包括F）與過一定點.令I(lǐng)

26、ob：y=*xyfkx"(竽牛)y=2Pxk2k1yxk=B(2y2=2kxPk2,-2Pk)，故Iab可求得恒過(2P,0).B,且AO丄BO.求證：直線AB題型示例六已知拋物線y2=2Px，焦點為F,直線交拋物線于A，證:AF-1f，BF-22,|AF|BF|AF|BF|_x1xHp2-pp(X1X2)X1X22(x2X1p)x1x2p二、區(qū)域問題：當求整點個數(shù)常用數(shù)列逼近法|y3x1.直角坐標平面上，求滿足不等式組y-1x3xy-100的整點的個數(shù).2. 一張紙上畫有半徑為R的圓0及圓0內(nèi)一定點A,且OA=a,折疊紙片，使圓周上，某一點A剛好與A點重合，這樣的每一種折法,都留下

27、一條直線折痕.當A取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合.（2003全國高中聯(lián)賽）三、圓的冪與根軸.過定點A任作直線交定圓于B、C兩點，則ABAC為定值，該定值稱為定點A對定圓的冪1.向以原是為圓心，半徑為1的圓A和另一圓B所引切線長相等的點在直線2x-3y-6=0上，求圓心B的軌跡方程四、與數(shù)論結(jié)合.若g是質(zhì)數(shù)，P是正整數(shù)，若log13p=pg（p_10）（g_13）=130構(gòu)造出了10g+13p巧妙的解出p=11，g=143或p=23時g=23.1.一次函數(shù)f（x）=ax+b的圖象經(jīng)過點（10，13），它與x軸的交點為（p，0），與y軸的交點為（0，q），其中P是質(zhì)數(shù)，q是正整數(shù)

28、，則滿足條件的所有一次函數(shù)為.【2005高中數(shù)學聯(lián)賽預(yù)測】1.（數(shù)形結(jié)合）已知兩點A（-2,0）,B（0,2）,點C是圓x2丁2-2x=0上的任意一點，則.SBC的面積最小值是（A.3-.；2B.3：2C.2.（立體幾何與余弦定理綜合）設(shè)A，B，C，D是空間四個點，滿足AB丄AC,AB丄AD,AC丄AD,則厶BC(A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.不確定雷氏筆錄數(shù)學組編寫2005年5月24日競賽復(fù)習科目：數(shù)學高中數(shù)學競賽總復(fù)習(四)復(fù)習內(nèi)容：高中數(shù)學第二章-函數(shù)編寫時間：2005-5修訂時間：總計第一次2005-5四、函數(shù)專題一、函數(shù)與方程.I.發(fā)現(xiàn)和利用函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性常常與函數(shù)方程結(jié)合1.求y=(3x_1)(i9x2-6x51)(2x_3)(,4x2_12x131)的圖象與x軸的交點坐標.222II.三元二個方程一定不能求出解，若要求出解一定是A(a1X-b1)B(a2yb2)C(a3zb3)=0(無交叉項時)或2222A(a1xby)B(a2x6z)C(a3yb3z)=0(有交叉項時)或者是以x為主元，其判別式二-k-0只有k=0故可求出其一變量的值._f3-Inji"I口x+sinx-2a=0ni,2.已知x,yE,aR,且丿3則cos(x+2y)=.44-4y+sinycosy+a=03.