大一高數(shù)--微分

1、三、微分運算法則三、微分運算法則四、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在近似計算中的應(yīng)用二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義第七節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為2020)(xxxA 20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其機動

2、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的微分微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時,

3、有近似公式xyyd與是等價無窮小,(4)當故當機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ;)1(的的線線性性函函數(shù)數(shù)是是自自變變量量的的改改變變量量 xdy ;)()()3(高階無窮小是比yxxodyy;)(,)2(0有有關(guān)關(guān)和和但但與與無無關(guān)關(guān)的的常常數(shù)數(shù)是是與與xxfxA 定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 的可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0

4、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf即xxfy)(d0在點 的可導,0 x則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、微分的幾何意義二、微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當 很小時,xyyd時，當xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分自變量

5、的微分,為稱 x記作xdxyxd記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如, 求求,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxxd112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P136表)又如又如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 微分運算法則微分運算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)

6、vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxeexxd21122xeexxxd12222xe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()

7、2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意: 數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.)(22 44)(22)(4sin22)sin(k2224數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如注意 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、 微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:機動 目錄 上頁 下

8、頁 返回 結(jié)束 例例4. 有一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 180 x29sin的近似值 .解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485

9、. 0)180(例例5. 求29sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4848. 029sin特別當xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例6. 計算xx1)1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分

10、概念 微分的定義及幾何意義 可導可微2. 微分運算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計算估計誤差*機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導導性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導導數(shù)數(shù)，導導數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導數(shù)是從函數(shù)變化出線性主部而得到的，導

11、數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 導數(shù)與微分的區(qū)別導數(shù)與微分的區(qū)別: :.)(),()(. 10000Rxxxxfdyxfxxf域是域是其定義其定義的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導數(shù)是一個定數(shù)處的導數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù) .)(,()()()(,)(,()()(,. 200000000的的縱縱坐坐標標增增量量方方程程在在點點處處的的切切線線在在點點是是曲曲線線而而微微分分處處切切線線的的斜斜率率點點在在是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來來看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習練習1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標出的點0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負 .yd0