小學(xué)奧數(shù)教程-不定方程與不定方程組(含答案)

1、不定方程與不定方程組1M蚱 教學(xué)目標1 .利用整除及奇偶性解不定方程2 .不定方程的試值技巧3 .學(xué)會解不定方程的經(jīng)典例題同業(yè)峽 知識精講一、知識點說明歷史概述不定方程是數(shù)論中最古老的分支之一.古希臘的丟番圖早在公元3世紀就開始研究不定方程，因此常稱不定方程為丟番圖方程. 中國是研究不定方程最早的國家，公元初的五家共井問題就是一個不定方程組問題，公元5世紀的張丘建算經(jīng)中的百雞問題標志著中國對不定方程理論有了系統(tǒng)研究.宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的 大衍求一術(shù)將不定方程與同余理論聯(lián)系起來.考點說明在各類競賽考試中，不定方程經(jīng)常以應(yīng)用題的形式出現(xiàn)，除此以外，不定方程還經(jīng)常作為解題的重要方 法貫穿在行程問題、數(shù)

2、論問題等壓軸大題之中.在以后初高中數(shù)學(xué)的進一步學(xué)習(xí)中，不定方程也同樣有著重 要的地位，所以本講的著重目的是讓學(xué)生學(xué)會利用不定方程這個工具，并能夠在以后的學(xué)習(xí)中使用這個工具 解題。二、不定方程基本定義1、定義：不定方程（組）是指未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù)的方程（組）。2、不定方程的解： 使不定方程等號兩端相等的未知數(shù)的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。3、研究不定方程要解決三個問題：判斷何時有解；有解時確定解的個數(shù)； 求出所有的解三、不定方程的試值技巧1、奇偶性2、整除的特點（能被 2、3、5等數(shù)字整除的特性）3、余數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（和、差、積的性質(zhì)及同余的性質(zhì)）里 例題精講模塊一、利用整除性質(zhì)解

3、不定方程【例1】 求方程2x3y=8的整數(shù)解【考點】不定方程【難度】2星【題型】解答3【解析】萬法一：由原萬程，易得2x=8 + 3y, x=4+-y,因此，對y的任意一個值，都有一個x與之對應(yīng),2并且，此時x與y的值必定滿足原方程，故這樣的x與y是原方程的一組解，即原方程的解可表為：x 4 5k，其中k為任意數(shù).說明由y取值的任意性，可知上述不定方程有無窮多組解.y k方法二：根據(jù)奇偶性知道2x是偶數(shù)，8為偶數(shù)，所以若想 2x3y = 8成立，y必為偶數(shù)，當y=0, x=4;當y = 2, x=7；當y= 4, x= 10,本題有無窮多個解?！敬鸢浮繜o窮多個解【鞏固】 求方程2x + 6y=

4、 9的整數(shù)解【考點】不定方程【難度】2星【題型】解答【解析】 因為2x + 6y=2（x+3y）,所以，不論 x和y取何整數(shù)，都有 2|2x+6y,但2?9,因此，不論 x和y 取什么整數(shù)，2x+6y都不可能等于9,即原方程無整數(shù)解.說明：此題告訴我們并非所有的二元一次方程都有整數(shù)解?！敬鸢浮繜o整數(shù)解【例2】 求方程4x+10y=34的正整數(shù)解【考點】不定方程【難度】2星【題型】解答【解析】因為4與10的最大公約數(shù)為 2,而2|34,兩邊約去2后，得2x+5y=17, 5y的個位是0或5兩種 情況，2x是偶數(shù)，要想和為 17, 5y的個位只能是5, y為奇數(shù)即可；2x的個位為2,所以x的取值為

5、1、6、11、16x= 1 時，172x= 15, y=3,x=6 時，17 2x = 5, y=1, x=11 時，17-2x= 17 -22,無解所以方程有兩組整數(shù)解為:x 1 x 6y 3, y 1【鞏固】 求方程3x + 5y= 12的整數(shù)解【考點】不定方程【難度】2星【解析】由3x+5y=12, 3x是3的倍數(shù)，要想和為可，所以y的取值為0、3、6、9、12y=0 時，125y = 12, x = 4,x=3 時，125y = 1215,無解x 4所以方程的解為：y 0x 4【答案】x 4y 0【題型】解答12（3的倍數(shù)），5y也為3的倍數(shù)，所以y為3的倍數(shù)即【鞏固】 解不定方程:【

6、考點】不定方程2x 9y 40 （其中x,y均為正整數(shù)）【難度】2星【題型】解答【解析】方法一：2x是偶數(shù),要想和為40（偶數(shù)），9y也為偶數(shù)，即y為偶數(shù)，也可以化簡方程2x 9y 4040 9x2y20 5y 3知道y為偶數(shù)，所以方程解為:x 11 x 2y 2 , y 4x 11 x 2y 2 , y 4模塊二、利用余數(shù)性質(zhì)解不定方程【例3】 求不定方程7x 11y 1288的正整數(shù)解有多少組？【考點】不定方程【難度】3星【題型】解答【解析】 本題無論x或是y，情況都較多，故不可能逐一試驗.檢驗可知1288是7的倍數(shù)，所以11y也是7的倍數(shù)，則y是7的倍數(shù).設(shè)y 7z ,原方程可變?yōu)閤 1

7、1z 184,方程的一組正整數(shù)解，所以原方程共有【答案】16組z可以為1, 2, 3, 16組正整數(shù)解.16.由于每一個z的值都確定了原例4 求方程3x+5y=31的整數(shù)解【考點】不定方程【難度】3星方法一：利用歐拉分離法，由原方程，得【題型】解答x= 31 5y，即 x= 10-2y+ S ,要使方程有整數(shù)解 33取y=2,得當y=5,得當y=8,得1x= 10 2y+ -1 x= 10 2y+ -1x= 10 2y+ -x所以方程的解為：y方法二：利用余數(shù)的性質(zhì)y3y3y3x= 104+1=7,故 x=7, y = 2= 1010+2 = 2,故 x = 2, y=5= 1016+3 無解

8、3x是3的倍數(shù)，和31除以3余1,所以5y除以3余1 （2y除以 與乘積性質(zhì)進行判定為：3余1）,根據(jù)這個情況用余數(shù)的和取 y=1, y=2, y=3, y=4, y= 5, y= 6, 當y > 6時，結(jié)果超過2y = 2, 23 = 02 2y=4, 4T=11 2y=6, 63=2 （舍） 2y=8, 83=222y=10, 10與=3 （舍）（符合題意）（舍）1 （符合題意）2y=12, 12與=4 （舍）所以方程的解為:31 ,72,不符合題意。72,解方程【考點】不定方程【解析】方法一:7x（其中x、y均為正整數(shù)）【難度】3星【題型】解答7x 4y 89 4y是4的倍數(shù)，和8

9、9除以4余1 ,所以4y7x除以4余1 （7+4月3可以看成3x除以4余1,根據(jù)這個情況用余數(shù)的和與乘積性質(zhì)進行判定為（xv 13）x= 1 , x= 2, x = 3, x = 4, x= 5, x = 6, x = 7, x = 8, x = 9,3x = 3, 3+4三6舍）3x = 6, 6+4三2舍）3x = 9, 9+4三（符合題意）3x=12, 3x=15, 3x=18, 3x = 21,3x = 24, 3x = 27,12 + 4三Q舍）15+4三6舍）18+ 4三2舍）21 + 4三（符合題意）24+ 4三Q舍）27+4三6舍）= 10, 3x= 30, 30+ 4三舍）=

10、 11, 3x= 33, 33+ 4 三Q符合題意）= 12, 3x= 36, 36+4三Q舍）113x3x7所以方程的解為：x3 ,x7y17y10方法二：利用歐拉分離法，由原方程,89 7x422c1 x.2x x 14 ， 的取值為4的倍數(shù)即可,所以方程的解為:710x 3 x 7y 17, y 10113113模塊三、解不定方程組1800a 1200b 800c 16000【例5】 解方程 卜 dc（其中a、b、c均為正整數(shù)）a b c 15【考點】不定方程【難度】3星【題型】解答9a 6b 4c 80【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)將第一個方程整理得，根據(jù)消元的思想將第二個式子擴大4倍相a b c 15減后為：（9a 6b 4c） 4（a b c） 80 4 15，整理后得5a 2b 20，根據(jù)等式性質(zhì)，2b為偶數(shù)，20為偶數(shù)，所以5a為偶數(shù)，所以a為偶數(shù)，當a 2時，5 2 2b 20，b 5，所以c 8,當a 4a 2時，5 4 2b 20，b 5,所以無解。所以方程解為 b 5c 8a 2【答案】 b 5c 8【例6】解不定方程5x 3y 3z 100 （其中x、y、z均為正整數(shù)）x y z 100【考點】不定方程【難度】3星【題型】解答15x 9y z 300【解析】根據(jù)等式的性質(zhì)將