“導數(shù)的概念(起始課)”的教學設計、反思與點評

1、“導數(shù)的概念（起始課） ”的教學設計、反思與點評1 教學預設1.1 教學標準（ 1）通過情境的介紹，讓學生知道導數(shù)的實際背景，體驗學習導數(shù)的必要性；（ 2）通過大量的實例的分析，讓學生知道平均變化率的意義，體會平均變化率的思想及內(nèi)涵，為后續(xù)建立瞬時變化率和導數(shù)的數(shù)學模型提供豐富的背景；（ 3）通過實例的分析，讓學生感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經(jīng)歷運用數(shù)學描述刻畫現(xiàn)實世界的過程，體會數(shù)學知識來源于生活，又服務于生活，感悟數(shù)學的價值；（ 4）通過問題探索、觀察分析、歸納總結(jié)等方式，引導學生從變量和函數(shù)的角度來描述變化率，進而抽象概括出函數(shù)的平均變化率，會求函數(shù)的平均變化率 .1.2 標準

2、解析1.21 內(nèi)容解析本節(jié)是導數(shù)的起始課， 主要包括三方面的內(nèi)容： 變化率、導數(shù)的概念、 導數(shù)的幾何意義.實際上， 它們是理解導數(shù)思想及其內(nèi)涵的不同角度.首先， 從平均變化率開始， 利用平均變化率探求瞬時變化率，并從數(shù)學上給予各種不同變化率在數(shù)量上精確描述， 即導數(shù)； 然后， 從數(shù)轉(zhuǎn)向形， 借助函數(shù)圖象，探求切線斜率和導數(shù)的關(guān)系， 說明導數(shù)的幾何意義.根據(jù)教材的安排， 本節(jié)內(nèi)容分4 課時完成 .第一課時介紹平均變化率問題，在“氣球膨脹率” 、 “高臺跳水”兩個問題的基礎上，歸納出它們的共同特征，用 f （ x ）表示其中的函數(shù)關(guān)系，定義了一般的平均變化率， 并給出符號表示.本節(jié)內(nèi)容通過分析研究

3、氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結(jié)歸納出一般函數(shù)的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數(shù)平均變化率解法的一般步驟.平均變化率是個核心概念， 它在整個高中數(shù)學中占有極其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數(shù)概念的基礎 .在這個過程中， 注意特殊到一般、 數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法的滲透.教學重點在實際背景下直觀地解釋函數(shù)的變化率、平均變化率 .1.22 學情診斷吹氣球是很多人具有的生活經(jīng)驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識， 這兩個實例的共同點是背景簡單 .從簡單的背景出發(fā)，既可以利用學生原有的知識經(jīng)驗，又可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數(shù)學知識學習的干擾，這是有利的方面 .但是如何從具體實

4、例中抽象出共同的數(shù)學問題的本質(zhì)是本節(jié)課教學的關(guān)鍵.而對本節(jié)課（導數(shù)的概念） ，學生是在充滿好奇卻又一無所知的狀態(tài)下開始學習的，因此若能讓學生主動參與到導數(shù)的起始課學習過程，讓學生體會到自己在學“有價值的數(shù)學” ，必能激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，樹立學好數(shù)學的自信心.教學難點如何從兩個具體的實例歸納總結(jié)出函數(shù)平均變化率的概念，對生活現(xiàn)象作出數(shù)學解釋.1.23 教學對策本節(jié)作為導數(shù)的起始課，同時也是個概念課，如何自然引入導數(shù)的概念是至關(guān)重要的 .為了有效實現(xiàn)教學目標， 準備投影儀、多媒體課件等.在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發(fā)學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓

5、學生更好地體會數(shù)形結(jié)合思想 .通過應用舉例的教學， 不斷地提供給學生比較、 分析、歸納、綜合的機會，體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程，既關(guān)注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規(guī)律 .1.24 教學流程設置情境-提由問題-知識遷移-概括小結(jié)-課后延伸2 教學簡錄2.1 創(chuàng)設情境，引入課題為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立與自然科學中四類問題的處理直接相關(guān)： （課件演示相關(guān)問題情境）（ 1）已知物體運動的路程作為時間的函數(shù)，求物體在任意時刻的速度與加速度等；（

6、 2）求曲線的切線；（ 3）求已知函數(shù)的最大值與最小值；（ 4）求長度、面積、體積和重心等.導數(shù)是微積分的核心概念之一，它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具 .導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.評析充分利用章引言中提示的微積分史料，引導學生探尋微積分發(fā)展的線索，體會微積分的創(chuàng)立與人類科技發(fā)展之間的緊密聯(lián)系，初步了解本章的學習內(nèi)容，從而激發(fā)他們學習本章內(nèi)容的興趣.2.2 提出問題，探求新知問題 1 氣球膨脹率（課件演示“吹氣球” ）我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發(fā)現(xiàn)，隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加， 氣球的半徑增加越來越慢

7、.從數(shù)學角度，如何描述這種現(xiàn)象呢？氣球的體積 V (單位：L)與半徑r (單位：dm)之間的 函數(shù)關(guān)系是V (r) =43兀r3;如果將半徑r 表示為體積V 的函數(shù)，那么 r( V ) =33V4兀.師： 當 V 從 0 增加到 1 時， 氣球半徑增加了多少？如何表示？生：r (1) -r (0)弋0.62 (dm).師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？生：r (1) -r (0) 1-00.62 (dm/L).師： 當 V 從 1 增加到 2 時， 氣球半徑增加了多少？如何表示？生：r (2) -r (1)0.16 (dm).師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？生：r (2) -r (1

8、) 2-10.16 (dm/L).師：非常好！可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了 .歸納到一般情形， 當空氣容量從V1 增加到 V2 時， 氣球的平均膨脹率是多少？生： r (V2 ) -r (V1 ) V2-V1.師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案. 評析通過熟悉的生活體驗，提 煉出數(shù)學模型，從而為歸納函數(shù)平均變化率概念提供具體背景 .自然合理地提出問題，讓學生體會“數(shù)學來源于生活”，創(chuàng)造和諧積極的學習氛圍，讓學生能通過感知表象后，學會進一步探討問題的本質(zhì)，學會使用數(shù)學語言和數(shù)學的觀點分析問題，避免淺嘗輒止和過分依賴老師.問題 2 高臺跳

9、水（觀看多媒體視頻）在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h （單位：m）與起跳后的時間t （單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h （t） =-4.9t2+6.5t+10. 如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗 略地描述其運動狀態(tài)？師：請同學們分組，思考計算：0wtw0.5和1wtw2的平均速度 .生：（第一組）在0wtw0.5這段時間里，=h （0.5） -h （0） 0.5-0=4.05 （ m/s） ；生：（第二組）在1wtw2這段時間里，=h （2） -h （1） 2-1=-8.2 （ m/s）師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題.對第（ 2）小題的答案說明其物理意義.評析高臺跳水展

10、示了生活中最常見的一種變化率運動速度，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數(shù)學知識學習的干擾 .通過計算為歸納函數(shù)平均變化率概念提供又一重要背景.師：（探究）計算運動員在0WtW6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：（ 1）運動員在這段時間內(nèi)是靜止的嗎？（ 2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題.對答案加以說明其物理意義（可以結(jié)合圖像說明） .評析通過計算得出平均速度只能粗略地描述運動狀態(tài)，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導數(shù)的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方

11、法 .（ 1）讓學生親自計算和思考，展開討論；（ 2）老師慢慢引導學生說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上；（ 3）得到結(jié)論是：平均速度只能粗略地描述運動員 的運動狀態(tài)，它并不能反映莫一刻的運動狀態(tài)；需要尋找 一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài).思考：當運動員起跳后的時間從t1 增加到 t2 時，運動員的平均速度是多少？師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.通過引導，使學生逐步歸納出問題1 、2 的共性 .評析把問題2 中的具體數(shù)據(jù)運算提升到一般的字母表示，體現(xiàn)從特殊到一般的數(shù)學思想，同時為歸納函數(shù)平均變化率概念作鋪墊2.3 知識遷移，把握本質(zhì)( 1) 上

12、述問題中的變化率可用式子f( x2 ) -f( x1 ) x2-x1表示，稱為函數(shù)f ( x )從x1 到 x2 的平均變化率.(2)若設 A x=x2-x1 , A y=f (x2) -f (x1).(這里 Ax 看作是對于x1的一個“增量”,可用x1+Ax代替x2).(3)則平均變化率為 AyAx=f (x2) -f (x1) x2-x1=f(x1+ Ax) -f (x1) Ax.思考：觀察函數(shù)f(x)的圖象，平均變化率AyAx=f (x2)-f ( x1 ) x2-x1 表示什么？生：曲線 y=f ( x )上兩點(x1 ， f ( x1 ) ) 、 ( x2 ， f ( x2 ) )連

13、線的斜率(割線的斜率) .生： (補充)平均變化率反映了函數(shù)在某個區(qū)間上平均變化的趨勢(變化快慢) ，即在某個區(qū)間上曲線陡峭的程度.師：兩位同學回答得非常好！那么，計算平均變化率的步驟是什么？生：求自變量的增量 A x=x2-x1 ;求函數(shù)的增量 A y=f (x2) -f (x1);求平均變化率 A y A x=f (x2) -f (x1) x2-x1.評析通過對一些熟悉的實例中變化率的理解，逐步推廣到一般情況，即從函數(shù)的角度去分析、應用變化率，并結(jié)合圖形直觀理解變化率的幾何意義，從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.為進一步加深理解變化率與導數(shù)作好鋪

14、墊2.4 知識應用，提高能力例 1 已知函數(shù) f （x） =-x2+x 圖象上的一點 A （-1 ， -2） 及臨近一點 B （-1+Ax, -2+Ay）,則 AyAx=.例 2 求 y=x2 在 x=x0 附近的平均變化率.2.5 課堂練習，自我檢測（1）質(zhì)點運動規(guī)律為s=t2+3,則在時間（3, 3+At）中 相應的平均速度為.（ 2）物體按照s（ t） =3t2+t+4 的規(guī)律作運動，求在 4s附近的平均變化率.（3）過曲線 f （x） =x3 上兩點 P （1, 1）和 P （ 1+Ax, 1 + Ay）作曲線的割線，求由當 Ax=0.1時割線的斜率.評析概念的簡單應用，體現(xiàn)了由易到難

15、，由特殊到一般的數(shù)學思想，符合學生的認知規(guī)律.1.6 課堂小結(jié)，知識再現(xiàn)（ 1）函數(shù)平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結(jié)出來的？（ 2）求函數(shù)平均變化率的一般步驟是怎樣的？（ 3）這節(jié)課主要用了哪些數(shù)學思想？師生活動：最后師生共同歸納總結(jié)：函數(shù)平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數(shù)平均變化率的一般步驟、主要的數(shù)學思想有：從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合.評析復習重點知識、思想方法，完善學生的認知結(jié)構(gòu) .1.7 布置作業(yè)，課后延伸（ 1）課本第 10 頁：習題 A 組：第 1 題 .（ 2）課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態(tài)，那么該量應如何定義？3 教學反

16、思在教學設計時，我把“平均變化率”當成本節(jié)課的核心概念.教學的預設目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率.根據(jù)這一節(jié)課的內(nèi)容特點以及學生的實際情況，在教學過程中讓學生自己去感受問題情境中提出的問題，并以此作為突破口，啟發(fā)、引導學生得出函數(shù)的平均變化率.成功之處：通過生活中的實例，引導學生分析和歸納，讓學生在已有認知結(jié)構(gòu)的基礎上建構(gòu)新知識，從而達到概念的自然形成，進而從數(shù)學的外部到數(shù)學的內(nèi)部，啟發(fā)學生運用概念探究新問題 .這樣學生不會感到突兀， 并能進一步感受到數(shù)學來源于生活，生活中處處蘊含著數(shù)學化的知識，同時可以提高他們學習數(shù)學的主觀能動

17、性.教學的預設目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率 .改進之處：課堂實施過程中，雖然在形式上沒有將知識直接拋給學生，但自己的“引導”具有明顯的“牽”的味道在教學過程中，雖然能關(guān)注到適當?shù)挠嬎懔?，但激發(fā)學生思維的好問題不多.整堂課學生的思維量不夠，學生缺少思辯，同時留給學生判斷和分析的成分、時間都不夠 .4 教學點評采用相互討論、探究規(guī)律和引導發(fā)現(xiàn)的教學方法，通過不斷出現(xiàn)的一個個問題，一步步創(chuàng)設出使學生有興趣探索知識的“情境” ，營造生動活潑的課堂教學氣氛，充分發(fā)揮學生的主體地位，通過實例，引導學生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從而

18、更好地理解變化率問題 .4.1 注重情境創(chuàng)設，適度使數(shù)學生活化、情境化注重情境創(chuàng)設，適度使數(shù)學生活化、情境化而又不失濃厚的數(shù)學味，可以激發(fā)學生學習的內(nèi)在需要，把學生引入到身臨其境的環(huán)境中去， 自然地生發(fā)學習需求. 因此， 本節(jié)課以兩個實際問題（吹氣球和高臺跳水）為情景，在激發(fā)主體興趣的前提下，引導學生在生活感受的基礎之上從數(shù)學的角度刻畫“吹氣球”和“高臺跳水” ，并注重數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透 .4.2 準確定位，精心設問，注重學生合作交流教師的角色始終是數(shù)學活動的組織者，參與并引導學生從事有效的學習活動，并在學生遇到困難時，適時點撥，讓學生體會到學習數(shù)學的過程是人生的一種有意義的經(jīng)歷和體驗， 從而發(fā)揮學生學習數(shù)學的能動性和創(chuàng)造性 .教師精心設計好問題，從而更好地激發(fā)每個