初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練專題

1、初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題01二次根式的化簡與求值閱讀與思考二次根式的化簡與求值問題常涉及最簡根式、同類根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡與求值問題是代數(shù)變形的重點，也是難點，這類問題包含了整式、分式、二次根式等眾多知識，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：1、直接代入直接將已知條件代入待化簡求值的式子.2、變形代入適當?shù)刈儣l件、適當?shù)刈兘Y論，同時變條件與結論，再代入求值數(shù)學思想：數(shù)學中充滿了矛盾，如正與負，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無理數(shù)，常量與變量、有理式與無理式，相等與不等，正面與反面、有限與無限，

2、分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.想一想：若.x、yn（其中x,y,n都是正整數(shù)），則/x,jy,jn都是同類二次根式，為什么?例題與求解1.200232003【例1】當x-時，代數(shù)式（4x2005x2001）的值是（）A、0B、-1C、1D、22003（紹興市競賽試題）【例2】化簡a、bb、.a.b一abOTb-1-),ab（黃岡市中考試題）1014.1521;1014、1521（五城市聯(lián)賽試題）上6_4二3_3工2_(,.6.3)(.3.2)（北京市競賽試題）315102.63,32218.52、31（陜西省競賽試題）解題思路：若一開始把分母有理

3、化，則計算必定繁難，仔細觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點，通過分解、分析等方法尋找它們白聯(lián)系，問題便迎刃而解思想精髓：因式分解是針對多項式而言的，在整式，分母中應用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應用于解二次根式的問題中，恰當?shù)刈黝愃朴谝蚴椒纸獾淖冃危山档鸵恍┒胃絾栴}的難度【例3】比（而J5）6大的最小整數(shù)是多少?（西安交大少年班入學試題）解題思路：直接展開，計算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設x、6,一5,y65,想一想：設x4-3-2Cc三小x6x2x18x23田力士V198V3,求32的值.x7x5x15（“祖沖之杯”邀請賽試題）形如：JaJB的根式為復合二次根式,常用配方，引

4、入?yún)?shù)等方法來化簡復合二次根式【例4】設實數(shù)x,y滿足（xJx21）（y521）1,求x+y的值.（“宗瀘杯”競賽試題）解題思路：從化簡條件等式入手，而化簡的基本方法是有理化【例5】（1）代數(shù)式以24J（12x）29的最小值.（2）求代數(shù)式Jx28x41Jx24x13的最小值.（“希望杯”邀請賽試題）解題思路：對于（1）,目前運用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，Ja2b2的幾何意義是直角邊為a,b的直角三角形的斜邊長，從構造幾何圖形入手，對于（2）,設y7（x4）2527（x2）232，設A（x,0）,B（4,5）,C（2,3）相當于求AB+AC的最小值，以下可用對稱分析法解決.方法精髓：解決根

5、式問題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式【例6】設m4a_2Ja1Ta2n_1（1a2）,求m10m9m8m7m47的值.解題思路：配方法是化簡復合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對應式子的值能力訓練A級1.化簡:771004(3)220082008二)82008(“希望杯”邀請賽試題).-200820087352.若xy43而夜,xyJ3J2二百，則xy=（北京市競賽試題）,1997,19993計管(#997>999)(7199772001)(J199972001)(7199971997)_2001(,2001.1997)(,20011999

6、)(“希望杯”邀請賽試題)4 .若滿足0vxvy及J1088&J7的不同整數(shù)對（x,v）是（上海市競賽試題）5 .如果式子J（x1）2T（x2）2化簡結果為2x-3,則x的取值范圍是（）A.x<1B.x>2C.1<x<2D.x>06、計算Jl46#兇46君的值為（）A.1B.而C,275D,5（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）7.a,b,c為有理數(shù)，且等式ab，2C，3，52娓成立,則2a+999b+1001c的值是（）A.1999B.2000C.2001D.不能確定（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）8、有下列三個命題甲：若a,§是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；乙：若

7、a,§是不相等的無理數(shù)，則是無理數(shù)；丙：若a,B是不相等的無理數(shù)，則。是無理數(shù)；其中正確命題的個數(shù)是（）A.0個B.1個C.2個D.3個（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）9、化簡：X后座2庭x百yVX亞x0亞展幣5上74367"7-66、，42(4)_5、24103,615（天津市競賽試題）(5二53.6,10.15（“希望杯”邀請賽試題）（“希望杯”邀請賽試題）33510、設x，求代數(shù)式(x1)(x2)(x3)(x4)的值.211、已知v；7x29x13，7x25x137x,求x的值.12、設x.n1JnZn,x'n1_噌（n為自然數(shù)），當n為何值，代數(shù)式19x2123xy

8、19y2的,n1n值為1985?1.已知x1=,y2.3，貝1Jx312xyy32.3.（四川省競賽試題）2.已知實數(shù)x,y滿足(xJx22008)(yJy22008)2008,貝U3x22y23x3y2007=_（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）3.已知x4"，那么3x42xx21（重慶市競賽試題）4.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）5.a,b為有理數(shù),且滿足等式b3、.61：42.3則a+b=(6.7.8.A.2B.C.D.8（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）已知aAab已知1.XA.a1,b那么a,b,c的大小關系是B.b<a<cC.c<b<cD.ca<b（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試

9、題）1"a若a表示實數(shù)A.19.把(a1)C.a的整數(shù)部分，則B.2的值是（1,166.7C.3D.不能確定等于（）D.4（陜西省競賽試題）1，I,一，I,，L中根號外的因式移到根號內(nèi)，則原式應等于（A.1aB.aC.alD.J""a10、化簡:/.、19981999200020011°二413.22,31100x9999.100（武漢市調(diào)考題）（“希望杯”邀請賽試題）（新加坡中學生競賽試題）（山東省競賽試題）（太原市競賽試題）82.15.W.6532(4) 2(62325；15)11、設0x1,求證而7x21小(1x)21后.（“五羊杯”競賽試題）12

10、、求Jx28x41Jx24x13的最大值.b22cJ為整數(shù).3aba13、已知a,b,c為正整數(shù)，且岸b為有理數(shù),證明：一3bc初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題02從求根公式談起閱讀與思考一元二次方程是解數(shù)學問題的重要工具，在因式分解、代數(shù)式的化簡與求值，應用題，各種代數(shù)方程，幾何問題、二次函數(shù)等方面有廣泛的應用初學一元二次方程，需要注意的是：1、熟練求解解一般形式的一元二次方程，因式分解法是基礎，它體現(xiàn)了“降次求解”的基本設想，公式法具有一般性，是解一元二次方程的主要方法，對于各項系數(shù)較大的一元二次方程，可以先從分析方程的各項系數(shù)特征入手，通過探求方程的特殊根來求解，常用的兩個結論是：若a

11、bc0,則方程ax2bxc0（a0）必有一根為1.若abc0,則方程ax2bxc0（a0）必有一根為1.2、善于變形解有些與一元二次方程相關的問題時，直接求解常給解題帶來諸多不便，若運用整體思想，構造零值多項式，降次變形等相關思想方法，則能使問題獲得簡解思想精髓bb24ac一兀二次萬程的求根公式為x1,2這個公式形式優(yōu)美，內(nèi)涵豐富：公式展示了數(shù)學的抽象性，一般性與簡潔美；公式包含了初中階段所學過的全部六種代數(shù)運算；公式本身回答了解一元二次方程的全部的三個問題，方程有沒有實數(shù)根？有實根時共有幾個？如何求出實根？例題與求解例1閱讀下列的例題解方程：x2|x|20解：當x>0時，原方程化為x2

12、x20,解得x12,x21（舍）當x0時，原方程化為x2x20,解得x11（舍），x22請參照例題解方程：2x|x3|30,則方程的根是（晉江市中考試題）解題思路：通過討論，脫去絕對值符號，把絕對值方程轉化為一般的一元二次方程求解例2方程|x21|(42j3)(x2)的解的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個D、4個(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)解題思路：通過去絕對值，將絕對值方程轉化為一元二次方程求解例3已知m,n是二次方程x21999x70的兩個根，求(m2+1998m6)(n22000n8)的值.(“祖沖之杯”邀請賽試題)解題思路：若求出m,n值或展開待求式，則計算繁難，由方程根的定義可得關于m

13、,n的等式，不妨從變形等式入手.反思：一元二次方程常見的變形方法有：把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc把ax2bxc0(a0)變形為ax2bxc2c把axbxc0(a0)變形為ax-bx其中體現(xiàn)了“降次”代換的思想；則是構造倒數(shù)關系作等值代換例4解關于x的方程：(m1)x2(2m1)xm30解題思路：因未指明關于x的方程的類型，故首先分m10及m10兩種情況，當m10時，還考慮就b24ac的值的三種情況加以討論.例5已知三個不同的實數(shù)a,b,c滿足abc3,方程x2ax10和x2bxc0,有22一個相同的頭根，方程xxa0和xcxb0也有一個相同白實根，求a,b,c的值.解題思路：這是

14、一個一元二次方程有公共根的問題，可從求公共根入手方法指導：公共根問題是一元二次方程常見問題，解這類問題的基本方法是：若方程便于求出簡單形式的根，則利用公共根相等求解設出公共根，設而不求，消去二次項.例6已知a是正整數(shù)，如果關于x的方程x3（a17）x2（38a）x560的根都是整數(shù)，求a的值及方程的整數(shù)根.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：本題有兩種解法，由方程系數(shù)特點發(fā)現(xiàn)1為隱含的根，從而將試題進行降次處理，或變更主元，將原方程整理為關于a的較低次數(shù)的方程.能力訓練A級22一21、已知方程x6xq0可以配成xp7的形式，那么x6xq2可以配成的形式.（杭州市中考試題）x2x2,2、若分式的值

15、為0,則x的值等于.x22x1（天津市中考試題）3、設方程x21993x19940,和（1994x）219931995x10的較小的根分別為a,B,貝U4、方程|x24x5|62x的解應是（上海市競賽試題）5、方程（x2x1）x31的整數(shù)解的個數(shù)是.A、2個B、3個C、4個D、5個（山東省選拔賽試題）6、若關于x的一元二次方程（m1）x25xm23m20的常數(shù)項為0,則m的值等于A、1B、2C、1或2D、0（德州市中考試題）一-1117、已知a,b都是負實數(shù)，且ababA、1.52B、D、（江蘇省競賽試題）8、方程x2|x|10的解是（）C、3或D、222229、已知a是萬程x1999x1_.

16、20的一個根，求a1998a1999a21的值.10、已知a24a142amac32ama12a（荊州市競賽試題）11、是否存在某個實數(shù)m,使得方程x22mx20和x2xm0有且只有一個公共根？如果存在，求出這個實數(shù)m及兩方程的公共實根；如果不存在，請說明理由12、已知關于x的方程（4k)(8k)x2（8012k）x320的解都是整數(shù),求整數(shù)k的值.1、已知a、3是方程x2(m2)x12、若關于x的方程x2px0與x23、設a,b是整數(shù)，方程ax4、用x表示不大于x的最大整數(shù),5、A、1個已知1|a|aB、2個/F，一，11,那么代數(shù)式一a6、7、8、共實根,A、B、方程x|x|3|x|2A、

17、1個.2已知x5xA、1996已知三個關于22則a-bbccaA、0B、1991B、2、0的兩根，則（1m）（1mqxp0只有一個公共根，則（p則方程x22x0解的個數(shù)為C、|a|C、,5D、4個D、而0的實根的個數(shù)為（C、3個D、4個0,則代數(shù)式(x2)4(x1)21997.次方程ax22c的值為（）abB、1(xC、bx1)(x2)1998C、2D、1999c0,bx2cxa0,D、32cx22）的值為1999q)ax（全國通訊賽試題）b0恰有一個公（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）432“-fqx6x2x18x23鉆/古9、已知xJl98百,求2的值.x8x15(“祖沖之杯”邀請賽試題)、一、一2

18、一一,一一、一一、一10、設方程x|2x1|40,求滿足該方程的所有根之和(重慶市競賽試題)11、首項系數(shù)不相等的兩個二次方程22_2_(a1)x(a2)x(a2a)0及(b1)x2(b22)x(b22b)0(其中a,b為正整數(shù))有一個公共根，求ba的值.(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)12、小明用下面的方法求出方程2&30的解，請你仿照他的方法求出下面另外兩個方程的解,并把你的解答過程填寫在下面的表格中.方程換元法得新方程解新方程檢驗求原方程的解2H30令Vxt,則2t30t32t§02L3.9xx一,x24x2G30xx/x240初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題04根與系數(shù)關系

19、閱讀與思考根與系數(shù)的關系稱為韋達定理，其逆定理也成立，是由16世紀的法國數(shù)學家韋達所發(fā)現(xiàn)的.韋達定理形式簡單而內(nèi)涵豐富，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，主要體現(xiàn)在：1 .求方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；2 .求代數(shù)式的值；3 .結合根的判別式，判斷根的符號特征；4 .構造一元二次方程；5 .證明代數(shù)等式、不等式.當所要求的或所要證明的代數(shù)式中的字母是某個一元二次方程的根時，可先利用根與系數(shù)的關系找到這些字母間的關系，然后再結合已知條件進行求解或求證，這是利用根與系數(shù)的關系解題的基本思路，需要注意的是，應用根與系數(shù)的關系的前提條件是一元二次方程有兩個實數(shù)根，所以，應用根與系數(shù)的關系解題時，必須滿足判

20、別式4>0.例題與求解【例1】設關于x的二次方程（m24）x2（2m1）x10（其中m為實數(shù)）的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和為s,則s的取值范圍是.2_【例2】如果方程(x1)(x2xm)值范圍是.3A.0m1B.m-40的三個根可以作為一個三角形的三邊長，那么，實數(shù)m的取3,3,C.-m1D.-m144【例3】已知，是方程x27x80的兩根，且.不解方程，求232的值.st4s1.【例4】設實數(shù)s,t分別?t足19s99s10,t99t190并且st1,求的值.b1a1,【例5】(1)若實數(shù)a,b滿足a258a,b258b,求代數(shù)式的值；a1b13x2vza(2)關于x,y,z的萬程組y有實數(shù)解

21、(x,y,z),求正實數(shù)a的最小值；xy2yz3zx6(3)已知x,y均為實數(shù)，且滿足xyxy17,x2yxy266,求x4x3yx2y2xy3y4的值.【例6】a,b,c為實數(shù)，ac0,且信點bJ5c0,證明一元二次方程ax2bxc0有大于3而小于1的根.能力訓練A級1 .已知m,n為有理數(shù)，且方程x2mxn0有一個根是痣2,那么mn=2 .已知關于x的方程x23xm0的一個根是另一個根的2倍，則m的值為.223.當m=時，關于x的方程8x(2mm6)x2m10的兩根互為相反數(shù)；2一2時，關于X的方程x2mxm40的兩根都是正數(shù)；當時，關于m的方程3x22xm80有兩個大于2的根.4.對于一

22、切不小于222的自然數(shù)n.關于x的一兀二次萬程x(n2)x2n0的兩根記為an,bn(n2)則(a22)(b22)(a32)(b32)1(a20072)(b20072)5.設xi,x2是方程x22(k1)x(k22)0的兩個實根，且(xi1)(x>1)8,則k的值為()A.M1B.C.D.k1_一的一切實數(shù)26.設x1,x2是關于次方程2mx的兩個實數(shù)根，且0,x23x10,則m1B.C.A.n27.設x1，x2是方程2xk0的兩個不等的實數(shù)根，則2Xi2x22是(C.負數(shù)A.正數(shù)8.如圖，菱形ABCD的邊長是5,兩對角線交于。點，且2_x(2m1)x0的根，那么m的值是(A.3B.5C

23、.5或39.已知關于x的方程:2/x(m2)x2m0.4(1)求證：無論m取什么實數(shù)值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根;AO,(2)若這個方程的兩個根是xi,x2,且滿足x2x,2,求m的值及相應的xi,x2.24x30的兩個不相等的實數(shù)根.10.已知Xi,X2是關于x的一兀二次萬程kx(1)求k的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)k,使2x12x2二一2成立？若存在，求k的值；若不存在，說明理x/x2由.11.如圖，已知在ABC中，/ACB=90°,過C點作CDLAB于D,設AD=m,BD=n,且AC2：BC2=2:1;又關于x的方程2(n1)x120兩實數(shù)根的差的平方小于192,求整

24、數(shù)m、n的值.0有正整數(shù)解，求m,n的值.212.已知m,n是正整數(shù)，關于x的方程xmnx(mn)B級2一一3.21 .設為，x2是二次萬程xx30的兩根，則X4x219=2一一一一2一一一一a2 .已知ab1,且有5a1995a80及8b1995b50貝Ub，一.一.、一一2一22_一.3 .已知關于x的一兀二次方程x6xk10的兩個實數(shù)根是x1，x2,且xix224,則4.已知Xi,X2是關于X的2二次萬程xaXa2的兩個實數(shù)根，則(Xi2X2)(X22xi)的最大值為5.如果方程X2pX10(p>0)的兩根之差為1,那么p等于(B.4二次方程mX2m10的兩個實數(shù)根分別是X1,X2

25、,且X12，、2一(X1X2)的值是A.1B.12C.13D.257.在RtAABC中,的方程X27xc70的兩根,a、那么b、c分別是/A、AB邊上的中線長是b是關于B.C.58.設a2b213b且aC.91的值為(b2D.11a,b為整數(shù)，且方程3x23(ab)X4ab0的兩個根滿足關系式1)(1)(1)(1).試求所有整數(shù)點對(a,b).10.若方程X23x10的兩根也是方程x6px2q0的兩根，其中p,q均為整數(shù)，求p,q的值.11.設a,b是方程x23x10的兩根，是方程x24x20的兩根，已知2/、a(1)bcdb2cda2cdabd2abc7M7;3(2)bcdb3cda3cda

26、bd349Mabc12.設m是不小于1的實數(shù)，使得關于x的一元二次方程x22(m2)xm23m10有兩個不相等實數(shù)根x1,x2.(1)若x；x226,求m的值;22求必義的最大值.1x11x22213.已知關于x的一兀二次方程xcxa0的兩個整數(shù)根恰好比方程xaxb0的兩個根都大1,求abc的值.初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題06轉化與化歸-特殊方程、方程組閱讀與思考特殊方程、方程組通常是指高次方程（組）（次數(shù)高于兩次）、結構巧妙而富有規(guī)律性的方程、方程組.降次與消元是解特殊方程、方程組的基本策略，而降次與消元的常用方法是：1、因式分解；2、換元；3、平方；4、巧取倒數(shù)；5、整體疊加、疊乘

27、等.轉化是解各類特殊方程、方程組的基本思想，而化歸的途徑是降次與消元，而化歸的方向是一元二次方程，這也可以說是“九九歸宗”例題與求解【例1】已知方程組3Xx2yy523的兩組解是（X，y1）與（x2,y2）,則x1y2x2yl的值是（北東市競賽題）解題思路：通過消元，將待求式用同一字母的代數(shù)式表示，運用根與系數(shù)的關系求值【例2】方程組xzyz63的正整數(shù)解的組數(shù)是（A.1組B.2組C.3組D.4組解題思路：原方程組是三元二次，不易消元降次，不妨從分析常數(shù)的特征入手.【例3】解下列方程13xx,13x、(x)42；x1x12-2，/x3xxx411_2_2_2x22x83x29x12(3)(19

28、99x)3(x1998)31；(4)2_2_2(x3x4)(2x7x_2_2_26)(3x4x2)（“祖沖之杯”邀請賽試題）（河南省競賽試題）（山東省競賽試題）（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：注意到方程左邊或右邊項與項的結構特點、內(nèi)在聯(lián)系，利用換元法求解【例4】（1）（2）（3）解題思路:解下列方程組1-.x-.xy3.3,y12xy6;yx(x1)(3x5y)144,2x4x5y24;23o2yx3x2x,232xy3y2y.（山東省競賽試題）（西安市競賽試題）（全蘇數(shù)學奧林匹克試題）觀察發(fā)現(xiàn)方程組中兩個方程的特點和聯(lián)系，用換元法求解或整體處理【例5】的解.例6若關于x的方程上二-p-x

29、1xxkx1只有一個解（相等的解也算一個）x.試求k的值與方程（江蘇省競賽試題）方程2x2xy3xy20060的正整數(shù)解有多少對?（江蘇省競賽試題）解題思路：確定主元，綜合利用整除及分解因式等知識進行解題能力訓練21.萬程2(x1、1、,2）3（x）1的實數(shù)根是xx_222一一2.x3x42x7x6一22、人、-I，一，3x24x2,這個方程的解為3.實數(shù)x,y,z滿足63y,3y2xy2則x2yz的值為2z0,（上海市競賽題）2,/-axbx10,bx2xa0,有實數(shù)解，則ab12xaxb0（武漢市選拔賽試題）5.使得x24x21x23x2x28x7成立的x的值得個數(shù)為（A.4個B.3個C.

30、2個D.1個6已知方程組xy:I有實數(shù)根，那么它有（）（“五羊杯”競賽試題）A.一組解B.二組解7.設a213a,b213b且aA.5B.7C.三組解1b,則代數(shù)式aC.9D.無數(shù)組解（“祖沖之杯”邀請賽試題）1、,2的值為（）b2D.11228.已知實數(shù)x,y滿足xyxy9,xyxy2220,則xy的值為（A.6B.17C.19.已知關于x,y的方程組22xyp,3xyp(xy)2有整數(shù)解x,y,求滿足條件的質(zhì)數(shù)PP.（四川省競賽試題）10.已知方程組xy/c20,的兩個解為xt1,xx且x1,x2是兩個不等的正數(shù)xy0yy1,yy2.（1）求a的取值范圍；若x12x23x1x28a26a1

31、1,試求a的值.（南通市中考試題）211.已知a,b是萬程t0的兩個實根，解方程組y-by-a1x,1y.（“祖沖之杯”邀請賽試題）12.已知某二次項系數(shù)為1的一元二次方程的兩個實數(shù)根為p,q,且滿足關系式p2qp21c5,試求pqpq6,這個一元二次方程.（杭州市中考試題）B級xyz.xyz151.方程組xyz的解是2342.已知17x29x13V7x25x137x,貝Ux的值為3.已知實數(shù)xo,y0是方程組yy的解，則xo1y。.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）xy9,4.方程組工工x.y4的解是（“希望杯”邀請賽試題）5.若二元二次方程組1,21有唯一解,則k的所有可能取

32、值為（學習報公開賽試題）6.正數(shù)Xi,X2,X3,X4,X5,X6同時滿足X2X3X4X5X6X1X3X4X5X6I,X1X2X4X5X63,X1X2X3X5X6X1X2X3X4X66,7.8.9.X4X5方程A.XiX2X3X1X2X3X4X5X69.則X2X3X4X6的值為（上海市競賽試題）6x20的所有根的積是（B.-3C.-6E.以上全不對（美國猶他州競賽試題）設x,y為實數(shù)，且滿足A.B.-1已知xyzX2X1,z2,2zB.3,110.對于實數(shù)只有和.xy個實數(shù)值1999x1999yC.yzC.x滿足等式11.解方程,x2x1x2x11則xy1,D.-2（武漢市選拔賽試題）zxD.

33、312xa2X1X210，試求所有這樣的實數(shù)a的（江蘇省競賽試題）Ja,其中a0,并就正數(shù)a的取值，討論此方程解的情況.（陜西省競賽試題）已知a,b,c三數(shù)滿足方程組工,8,8房48試求方程bx2exa°的根.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）13.解下列方程（組）(1)9x216;（武漢市競賽試題）2一(2)6x73x4x16；（湖北省競賽試題）y,z,x,4x2(3)14x24y”14y24z214z2（加拿大數(shù)學奧林匹克競賽試題）初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題08二次函數(shù)閱讀與思考二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，既有著應用非常廣泛的豐富性質(zhì)，又是進一步學習的基礎，主要知識與方法有：1

34、.二次函數(shù)解析式y(tǒng)ax2bxc的系數(shù)符號，確定圖象的大致位置.2bb4acb2 .二次函數(shù)的圖象是一條拋物線，拋物線的形狀僅僅與a有關，與（一,）決定拋2a2a4a物線對稱軸與頂點的位置.3 .二次函數(shù)的解析式通常有下列三種形式：一般式：yax2bxc；頂點式y(tǒng)a（xm）2n：；交點式：ya（xx1）（xx2）,其中x1,x2為方程ax2bxc0的兩個實根.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，根據(jù)不同條件采用不同的設法，可使解題過程簡捷例題與求解【例1】二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結論：abc0；bac；4a2bc0；2c3b；abmambm1.其中正確的結論有（A.1個B.2個C

35、.3個D.4個（天津市中考試題）解題思路：由拋物線的位置確定a,b,c的符號，解題關鍵是對相關代數(shù)式的意義從函數(shù)角度理解并能綜合推理.【例2】若二次函數(shù)yax2bxc（aw0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0,1）和（一1,0）,則Sabc的值的變化范圍是（）A.0vS<1B.0<Sv2C.1vSv2D.1vSv1（陜西省競賽試題）解題思路：設法將S表示為只含一個字母的代數(shù)式，求出相應字母的取值范圍，進而確定S的值的變化范圍.【例3】某跳水運動員進行10米跳臺跳水訓練時，身體（看成一點）在空中的運動路線是如圖所示的坐標系下經(jīng)過原點O的一條拋物線（圖中標出的數(shù)據(jù)為已知條件）2在跳某

36、個規(guī)定動作時，正常情況下，該運動員在空中的最局處距水面10米，入水處距池邊的距離3為4米，同時，運動員在距水面高度5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動作，并調(diào)整好入水姿勢，否則就會失誤.（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測得運動員在空中的運動路線是（1）中的拋物線，且運動員在空中調(diào)整好入水姿3勢時，距池邊的水平距離為3-米.此次跳水會不會失誤？并通過計算說明理由.（河北省中考試題）53解題思路：對于（2）,判斷此次跳水會不會失誤，關鍵時求出距池邊的水平距離為3±米時，該運動員5與跳臺的垂直距離.跳臺支柱mOdi【例4】如圖，在直角坐標xOy中，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（4,

37、J3）,且在x軸上截得的線段AB的長為6.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在y軸上求作一點P（不寫作法），使PA+PC最小，并求P點坐標；（3）在X軸的上方的拋物線上，是否存在點Q,使得以Q,A,B三點為頂點的三角形與ABC相似?如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由（泰州市中考試題）解題思路：對于（1）、（2）,運用對稱方法求出A,B,P點坐標；對于（3）,由于未指明對應關系，需分類討論.【例5】如圖，已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=1.試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.(遼寧省中考試題)解題思路：設DN=PM=值點不一定是拋物

38、線的頂點,Ax,矩形PNDM的面積為y,建立y與x的函數(shù)關系式.解題的關鍵是：最應注意自變量的取值范圍值；若不存在，請說明理由解題思路：把相應點的坐標用關鍵是分類討論.y【例6】將拋物線01:y1J3x2v'3沿x軸翻折，得拋物線C2,如圖所示.(1)請直接寫出拋物線c2的表達式.(2)現(xiàn)將拋物線ci向左平移m個單位長度，平移后得到白新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A,B；將拋物線C2向右也平移移m個單位長度，平移后得到的新拋物線的頂點為N,與x軸的交點從左到右依次為D,E.當B,D是線段AE的三等分點時，求m的值；在平移過程中，是否存在以點A,N,E,M為頂點的四邊形是

39、矩形的情形？若存在，請求出此時m的(江西省中考試題)m的代數(shù)式表示，由圖形性質(zhì)建立m的方程.因m值不確定，故解題的能力訓練1.已知拋物線2/x(a2)x9的頂點在坐標軸上，則a的值為2.已知拋物線2,xbxC與y軸交于點A,與x軸正半軸交于B,C兩點，且BC=2,SABC=3,ABCc的圖象如圖所示y3xyx12axyyyyyOOOOxxxxCABDy2對稱yE6m4m8mO-1AOyoBE,則下列關系式不能總成立的是根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)圖象不具有的性質(zhì)是B.頂點是（2,2）D.與y軸的交點是（0A.過點（3,0）C.在x軸上截得的線段長度是2bxc的圖象過點（1A.b0D.ac0C.

40、ac112xBx27.如圖，拋物線yaxbxc與兩坐標軸的父點分別是A,B,EB.SABEc1一、一一，一,、-），且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1,則該42x（四川省中考試題）則b=iL第7題圖8.如圖，某中學的校門是第8題圖拋物線形水泥建筑物，大門的地面寬度為8米，兩側距地面4米處高各有一個掛校名橫匾用的鐵環(huán)，兩鐵環(huán)的水平距離為6米，則校門的高為（精確到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不計）（）A. 9.2米B. 9.1米C.9米D.5.1米（吉林省中考試題）9.如圖，是某防空部隊進行射擊訓練時在平面直角坐標系中的示意圖.在地面O,A兩個觀測點測得空中固定目標C的仰角分別為a和B,OA=

41、1千米，tana=2,tan§=3,位于O點正上方5千米D2883點處的直升機向目標C發(fā)射防空導彈，該導彈運行到達距地面最大高度3千米時，相應的水平距離為4千米（即圖中E點）.（1）若導彈運行為一拋物線，求拋物線的解析式；（2）說明按（1）中軌道運行的導彈能否擊中目標的理由.（河北省中考試題）10 .如圖，已知ABC為正三角形，D,E分別是邊AC、BC上的點（不在頂點），/BDE=60°.（1）求證：DECsBDA;（2）若正三角形ABC的邊長為6,并設DC=x,BE=y,試求出y與x的函數(shù)關系式，并求BE最短時，BDE的面積.11 .如圖，在平面直角坐標系中，OBLOA且

42、OB=2OA,點A的坐標是（一1,2）.（1）求點B的坐標；（2）求過點A,O,B的拋物線的解析式；（3）連結AB,在（2）中的拋物線上求出點P,使SabpSabo.（陜西省中考試題）212 .如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yxmxn經(jīng)過點A(3,0),B(0,3)兩點，點P是直線AB上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于點這條拋物線的解析式；(2)若點P在第四象限，連結BM,AM,當線段PMM.設點P的橫坐標為t;(1)分別求直線AB和最長時，求ABM的面積;(3)是否存在這樣的點P,使得以點P,M,B,O為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點P的橫坐標；若不存在，請說明理由(南

43、寧市中考試題)5,則C=1 .已知二次函數(shù)yx26xc的圖象頂點與坐標原點的距離為x26x上.設2 .如圖，四邊形ABCD是矩形，A,B兩點在x的正半軸上，C,D兩點在拋物線yOA的長為m(0vmV3).矩形ABCD的周長為l,則l與m的函數(shù)解析式為(昆明市中考試題)第2題圖3 .如圖，在。O的內(nèi)接ABC中,A當AB的長等于時，OOAB+AC=12,ADXBC,垂足為D(點D在邊BC上)，且AD=3,的面積最大，最大面積為.4 .如圖，已知二次函數(shù)y12axbxc(a0)與一次函數(shù)y2kxm(k0)的圖象相交于點A(杭州市中考試題)2,4),B(8,2),則能使y1y成立的x的取值范圍時5.已

44、知函數(shù)y2axbxc的圖象如下圖所示，則函數(shù)yaxc的圖象只可能是（重慶市中考試題）yCABD6.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列6個代數(shù)式:ab,ac,abc,abc,2ab,2aA.2個b中，其值為正的式子個數(shù)為（）B.3個C.4個D.4個以上（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）7.已知拋物線2axbxcA.1B.08.已知二次函數(shù)八2uyaxbx函數(shù)y的值分別時yi,y2,y3,a.yy2y3B.9.已知拋物線y2mx（3m形，求拋物線的解析式.10.如圖，已知點M,N（aw0）的對稱軸是xC.1c（a0）的對稱軸是2,那么y1，y2,y的大小關系是（yy2y3且經(jīng)過點2,且當C.y

45、2y1y3P（3,0）則aD.2Xi2,x2D.y2bc的值為（）,X30時，二次yy34、-）x4與x軸交于兩點a,B,與y軸交于C點，若ABC是等腰二角（“新世紀杯”初中數(shù)學競賽試題）的坐標分別為（0,1）,（0,1）,點P是拋物線y12,x上的一個動點.4（1）判斷以點P為圓心，PM為半徑的圓與直線y1的位置關系;12（2）設直線PM與拋物線yx的另一個交點為Q,連結NP,NQ,求證:4/PNM=/QNM.（全國初中數(shù)學競賽試題）11.已知函數(shù)yx2x12的圖象與x軸相交于相異兩點A,B,另一拋物線yax2bxc過點A,(天津市競賽試題)B,頂點為P,且APB是等腰直角三角形，求a,b,

46、c的值.2.12.如圖1,點P是直線l:y2x2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線yx于a,B兩點.13(1)右直線m的解析式為y-x,求A,B兩點的坐標；22(2)如圖2,若點P的坐標為(2,t),當PA=AB時，請直接寫出點A的坐標；試證明：對于直線l上任意給定的一點P,在拋物線上都能找到點A,使得PA=AB成立；(3)如圖3,設直線l交y軸于點C,若4AOB的外心在邊AB上，且/BPC=/OCP,求點P的坐標.(武漢市中考試題)圖1初中九年級數(shù)學培優(yōu)訓練（奧數(shù)）專題09特殊與一般二次函數(shù)與二次方程閱讀與思考二次函數(shù)的一般形式是yax2bxca0,從這個式子中可以看出，二次函數(shù)的解析式實際上是關于x的二次三項式，若令y=0,則得ax2bxc0這是一個關于1 .當0時,次方程，因此,二次函數(shù)與方程有兩個不相等實數(shù)根，拋物線與二次方程有著密切的聯(lián)系，表現(xiàn)為:x軸有兩個不同的交點，設為A(xi,0),B(x2,0）,其中xi,x2是方程兩相異實根,ABb24ac；;2 .當0時,3 .當0時,方程有兩個相等實數(shù)根，拋物線與x軸只有一個交點；方程沒有實數(shù)根，拋物線與x軸沒有交點.由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題相互轉化，是解相關問