高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題5.5 圓錐曲線（解析版）新課標(biāo)試卷

1、專題5.5 圓錐曲線題組一、 圓錐曲線中的直線問題-試卷1-1、（2022·江蘇通州·高三期末）已知雙曲線的兩條漸近線方程為，直線l交C于A，B兩點.(1)若線段AB的中點為，求l的方程；(2)若以線段AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點O，且O到l的距離為，求C的方程.【解析】(1)依題意，雙曲線的漸近線方程為，所以.設(shè)，則，兩式相減并化簡得，由于線段的中點為，所以，所以直線的方程為.(2)結(jié)合（1）可知雙曲線的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時，由于到的距離為，所以直線的方程為，不妨設(shè)直線的方程為，由于以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點，結(jié)合對稱性可知點在雙曲線上，所以，所以雙曲線的方程為.當(dāng)直

2、線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，到的距離為.由消去并化簡得，.由于以線段為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，由得，將代入得，.所以，雙曲線方程為.綜上所述，雙曲線方程為.1-2、（2022·江蘇常州·高三期末）已知橢圓的左焦點坐標(biāo)為，離心率點是橢圓上位于軸上方的一點，點，直線、分別交橢圓于異于的點、(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)若直線平行于軸，求點的橫坐標(biāo)【解析】解：由題意知，橢圓的方程為.(2)解：設(shè)點、，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，即，由韋達(dá)定理可得，則，直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定理可得，可得，因為軸，則，即，解得.1-3、（2022·廣東東莞

3、3;高三期末）已知點為橢圓的左頂點，點為右焦點，直線與軸的交點為，且，點為橢圓上異于點的任意一點，直線交于點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：.【解析】(1)由題知，得，又因為右焦點為，則，解得，所以，所以橢圓的方程為.(2)設(shè)點的坐標(biāo)為，則，所以直線的方程是，當(dāng)時，所以點的坐標(biāo)為，所以，所以.因為點在橢圓上，所以，即，所以，又因為和是銳角，所以.1-4、（2022·廣東佛山·高三期末）已知雙曲線C的漸近線方程為，且過點.(1)求C的方程；(2)設(shè)，直線不經(jīng)過P點且與C相交于A，B兩點，若直線與C交于另一點D，求證：直線過定點.【解析】：因為雙曲線C的漸近線方程為，則可

4、設(shè)雙曲線的方程為，將點代入得，解得，所以雙曲線C的方程為；(2)解：顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線為，聯(lián)立，消整理得，依題意得且，即且，直線的方程為，令，得.所以直線過定點.1-5、（2022·湖南婁底·高三期末）已知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，右焦點為F，離心率為，橢圓C上一點為直線AB的方程為，交橢圓C于A，B兩點，M為AB中點(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過F且與AB垂直的直線與直線OM交于P點，過O點作一條與AB平行的直線l，過F作與MO垂直的直線m，設(shè)，求證：直線軸【解析】(1)依題意得，解得，所以橢圓C的方程為(2)聯(lián)立橢圓C的方程，與直線AB的方程，消去y得，設(shè)，得，

5、設(shè)，所以，所以直線MO的斜率為，MO的方程為，F(xiàn)的坐標(biāo)為，過F且與AB垂直的直線方程為，由與聯(lián)立消去y得，P點的橫坐標(biāo)為4，直線m的方程為，直線l的方程為，由與聯(lián)立消去y得，Q點的橫坐標(biāo)也為4，所以直線軸1-6、（2022·湖北武昌·高三期末）已知橢圓的離心率為，短軸長為(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點、是雙曲線的兩個實軸頂點，點是雙曲線上異于、的任意一點，直線交于，直線交于，證明：直線的傾斜角為定值【解析】解：由題意得，解得，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)解：由（1）知，雙曲線方程為設(shè)，則，則，因為、，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由韋達(dá)定理可得，則，直線的方程為，

6、聯(lián)立，消去可得，由韋達(dá)定理可得，則，所以，直線的傾斜角為.題組二、 圓錐曲線中的最值與范圍問題-試卷2-1、（2022·江蘇如皋·高三期末）設(shè)橢圓經(jīng)過點M，離心率為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓E的右頂點為A，過定點且斜率不為0的直線與橢圓E交于B，C兩點，設(shè)直線AB，AC與直線的交點分別為P，Q，求面積的最小值.【解析】(1)由題意知，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè)過點的直線方程為，代入橢圓的方程，整理得，因為，設(shè)，則，由（1）得，則直線的方程為，令，得，同理可得將，代入，把式代入，整理得，由，知所以面積的最小值為2-2、（2022·江蘇無錫

7、83;高三期末）已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，點是軸正半軸上的一點，過橢圓的右焦點和點的直線與橢圓交于兩點.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求的取值范圍.【解析】(1)解：由題意知，橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：設(shè)直線的方程為，其中，若，則，若，則，令，因為在單調(diào)遞減，所以綜上：的取值范圍為.2-3、（2022·湖北·高三期末）已知點為拋物線的焦點，如圖，過點的直線交拋物線于兩點（點在軸右側(cè)），點在拋物線上，直線交軸的正半軸于點且，設(shè)直線與拋物線相切于點，直線與軸相交于點(1)設(shè)點，；求證：；求證：直線與平行；(2)求使面積取最小值時點的坐標(biāo)【解析】解：由拋物線的焦點為，得，所

8、以拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為聯(lián)立得，所以， 由于，所以直線的斜率由得，即，所以直線的斜率，所以，即直線與平行(2)解：直線l的方程為，即令得，所以直線l與y軸的交點，所以又由（1）知，所以 令則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增故當(dāng)時，有最小值，即當(dāng)時，面積取最小值，此時A點坐標(biāo)為 2-4、（2022·山東棗莊·高三期末）如圖，為橢圓的左頂點，過原點且異于軸的直線與橢圓交于兩點，直線與圓的另一交點分別為(1)設(shè)直線的斜率分別為，證明：為定值；(2)設(shè)與的面積分別為，求的最大值【解析】(1)因為A為橢圓的左頂點，故設(shè)，則，故直線AM的斜率，直線AN的斜率，故又是上的點，故，即

9、，故(2)設(shè)，直線AM的方程為代入得于是有，或，故將AM的方程代入，得，于是有，或，故所以設(shè)直線AN的方程為，同理可得又，故，即故所以令，則當(dāng)時，即，即，即時，取得最大值2-5、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知橢圓：的左右焦點分別為，離心率為，且過點22,32.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點的直線與橢圓相交于，兩點，求F2AF2B的最大值；【解析】由e=ca=22，得a2=2c2=2b2，橢圓方程為x22b2+y2b2=1，又橢圓過點22,32，2222b2+322b2=1，解得b2=1，.所以橢圓的方程為.(2)由（1）得F11,0，F(xiàn)21,0，當(dāng)直線斜率存在時，

10、設(shè)直線的方程為y=kx+1，設(shè)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程得x22+y2=1,y=kx+1,消去得2k2+1x2+4k2x+2k22=0，=16k442k2+12k22=8k2+8>0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k222k2+1由已知得F2AF2B=x11,y1x21,y2=x11x21+y1y2=x1x2x1+x2+1+k2x1+1x2+1=x1x2x1+x2+1+k2x1x2+x1+x2+1=1+k2x1x2+k21x1+x2+k2+1=1+k22k222k2+1+k214k22k2+1+k2+1=1+k22k222k2+1+k214k22k2+1+k2

11、+12k2+12k2+1=2k4+2k22k224k4+4k2+2k4+2k2+k2+12k2+1=7k212k2+1=72922k2+1<72當(dāng)直線斜率不存在時，直線的方程為，此時不妨設(shè)點在第二象限，則A1,22，B1,22，F(xiàn)2A=2,22，F(xiàn)2B=2,22，F(xiàn)2AF2B=2,222,22=412=72，綜上所述，F(xiàn)2AF2B的最大值為72.題組三、圓錐曲線中的定點、定值問題-試卷3-1、（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知拋物線y22px（p0）的焦點F到準(zhǔn)線的距離為2(1)求拋物線的方程；(2)過點P（1，1）作兩條動直線l1，l2分別交拋物線于點A，B，C，

12、D設(shè)以AB為直徑的圓和以CD為直徑的圓的公共弦所在直線為m，試判斷直線m是否經(jīng)過定點，并說明理由【解析】當(dāng)直線l1， l2的斜率都存在時，設(shè)直線l1：，直線l2：y1k2（x1），由，消去y得，顯然，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2， ，則以AB為直徑的圓的方程為：，即0， 同理，以CD為直徑的圓的方程為：0，以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：令，解得，所以直線恒過定點(，) 當(dāng)直線l1，l2的斜率中有一個不存在時，由對稱性不妨設(shè)l1的斜率不存在，l2的斜率為k2，則以AB為直徑的圓的方程為：，以CD為直徑的圓的方程為：0，所以兩圓公共弦所在的直線m的方程為：，此時直

13、線m恒過定點（，），綜上得：直線m恒過定點（，）3-2、（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點，直線過坐標(biāo)原點且斜率不為，與雙曲線交于，兩點，直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，與直線，分別交于（不在坐標(biāo)軸上）兩點，若直線，的斜率之積為定值，求點的坐標(biāo)【解析】(1)由可得漸近線方程為：，因為兩條漸近線互相垂直，所以，可得，又因為，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，由（1）知：，設(shè)直線，的斜率分別為，因為三點共線，所以，即，因為直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補(bǔ)，所以，

14、即，所以，由可得，所以，同理可得，因為直線，的斜率之積為定值，設(shè)定值為，則，整理可得：，其中，因為上式對任意的都成立，所以，可得，所以點的坐標(biāo)為.3-3、（2022·江蘇如東·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線的左右焦點分別為F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0)，離心率為e，且點(e，3)，(，b)都在雙曲線C上.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若A，B是雙曲線C上位于x軸上方的兩點，且AF1/BF2.證明：為定值.【解析】(1)由點在上，有，解得由點在上，有，即，即所以 所以雙曲線的方程為：(2)由AF1/BF2，設(shè)直線的傾斜角為，如圖，連接 由雙曲線的定義可得，

15、又 在中由余弦定理可得： 即所以 在中，同理可得所以所以為定值.3-4、（2022·江蘇蘇州·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線與直線的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線(1)求曲線的方程；(2)若點為曲線上的任意一點（不含短軸端點），點，直線與直線交于點，直線與軸交于點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值【解析】(1)設(shè)，曲線的方程為(2)設(shè)，直線方程為直線方程為：，方程為：在方程中令，聯(lián)立，為定值3-5、（2022·廣東羅湖·高三期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點在橢圓上，過點的直線l與C交于M，N兩點（異于點A），記直線AM，AN的斜率分別為

16、，當(dāng)時，(1)求C的方程；(2)證明：為定值【解析】(1)在上， 當(dāng)時，直線的方程為：，將代入，并整理得，解得，或， ，解得，橢圓的方程為：.(2)由題意知，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，且， ，即為定值.3-6、（2022·湖南常德·高三期末）已知橢圓C：的離心率為，橢圓C的左、右頂點分別為A、B，直線l：經(jīng)過橢圓C的右焦點F，且與橢圓交于M，N兩點(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線BM，AN的斜率分別為，若，求證：為定值【解析】(1)由題意知右焦點F(1，0)，又，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；(2)設(shè)，由可得，則，又，B（2，0），法一：，由得，即為定

17、值法二：即為定值題組四、 圓錐曲線中的探索性問題-試卷4-1、（2022·廣東揭陽·高三期末）已知橢圓為橢圓的左右焦點，焦距為，點在上，且面積的最大值為.(1)求橢圓的方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，以為直徑的圓是否恒過軸上的定點？若存在該定點，請求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】(1)解：由橢圓的焦距為，可得，即.設(shè)點的縱坐標(biāo)為的面積，其中，根據(jù)面積的最大值為，可得.由橢圓的性質(zhì)可得：.于是橢圓的方程為.(2)解：當(dāng)直線的斜率為0時，以為直徑的圓的方程為圓與軸的交點為當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線.將直線與橢圓聯(lián)立，可得.設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則有以為直徑的圓的方程為

18、令，可得：.其中，.代入可得.式子可變換為.當(dāng)，且時，式成立，可解得.綜上可得，以為直徑的圓恒過軸上的定點.4-2、（2022·廣東潮州·高三期末）已知橢圓的離心率為，以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點A，B為動直線y=k(x-2)(k0)與橢圓C的兩個交點，問：在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出點E的坐標(biāo)和定值；若不存在，請說明理由【解析】解：由離心率為，得，及，又以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓為，且與直線相切，所以，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)解：假設(shè)存在，設(shè)，聯(lián)立,消整理得，設(shè)

19、，則，由，則，要使上式為定值，即與無關(guān)，則應(yīng)，即，此時為定值，所以在x軸上存在定點，使得為定值.4-3、（2022·廣東汕尾·高三期末）已知點M為直線：x=-2上的動點，N（2，0），過M作直線的垂線l，l交線段MN的垂直平分線于點P，記點P的軌跡為C(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點，A，B是曲線C上的兩個動點，且，試問直線AB是否過定點？若不過定點，請說明理由；若過定點，請求出定點坐標(biāo)【解析】解：由已知可得，即點P到定點N的距離等于它到直線的距離，故點P的軌跡是以N為焦點，為準(zhǔn)線的拋物線，曲線C的方程為.(2)解：設(shè)直線的方程為聯(lián)立，得，解得所以直線過定點4-4

20、、（2022·湖北襄陽·高三期末）已知橢圓的左、右頂點分別為，上下頂點分別為，四邊形的面積為4，且該四邊形內(nèi)切圓的方程為(1)求橢圓的方程；(2)直線(,均為常數(shù))與橢圓相交于，兩個不同的點(,異于,)，若以為直徑的圓過橢圓的右頂點，試判斷直線能否過定點？若能，求出該定點坐標(biāo)；若不能，請說明理由【解析】四邊形的面積為4，且可知四邊形為菱形，即由題意可得直線方程為：，即，四邊形內(nèi)切圓方程為圓心到直線的距離為，即由：，橢圓的方程為：；(2)設(shè)，由得：，直線與橢圓相交于，兩個不同的點，即由韋達(dá)定理得以為直徑的圓過橢圓的右頂點，由于，所以，即，從而，即，或適合當(dāng)時，直線，所以恒過定點，當(dāng)時，直線，過定點，舍去綜上可知：直線過定點，該定點為4-5、（2022·山東淄博·高三期