第3章流體運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、研究流體運(yùn)動(dòng)的方式和狀態(tài)，研究的是流體（速度、加速度、變形等運(yùn)動(dòng)參數(shù)隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律），由于不涉及力，故對(duì)理想流體、粘性流體均適用。 3.1.1 3.1.1 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange)Lagrange)法法拉格朗日法:屬于研究質(zhì)點(diǎn)的方法，以研究液流中每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)為對(duì)象，跟蹤質(zhì)點(diǎn)，把它們?cè)诹鲃?dòng)過(guò)程中的流動(dòng)狀態(tài)記錄下來(lái)，從而得出整個(gè)液體的運(yùn)動(dòng)情況。ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(:示為此質(zhì)點(diǎn)的跡線方程可表則在任一時(shí)刻t),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx速度階偏導(dǎo)數(shù)可得出該質(zhì)點(diǎn)將跡線方程對(duì)時(shí)間求一對(duì)速度表達(dá)式再求一次偏

2、導(dǎo)數(shù)可求得加速度: 222222222222( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuxx a b c tatttuyy a b c tatttuzz a b c tattt 各分量可表示為：方向的在質(zhì)點(diǎn)速度體這樣，任一空間點(diǎn)上液zyxu,),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxx壓強(qiáng)場(chǎng)可表示為：),(tzyxpp 同一時(shí)刻象，觀察過(guò)的空間點(diǎn)作為觀察對(duì)歐拉法以液體運(yùn)動(dòng)所經(jīng)刻點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，綜合不同時(shí)各固定空間點(diǎn)上液體質(zhì)故歐拉法亦得到整個(gè)流體的運(yùn)動(dòng)，所有空間點(diǎn)的情況，稱為流場(chǎng)法。3.1.2 3.1.2 歐拉（歐拉（L.Euler）法）法分量為：方向在度

3、可得該液體質(zhì)點(diǎn)的加速對(duì)速度求一階偏導(dǎo)數(shù)，xatzzutyyutxxututuaxxxxxxdddddddd應(yīng)等于質(zhì)點(diǎn)速度。時(shí)間的變化率，是液體質(zhì)點(diǎn)位置坐標(biāo)對(duì)其中tztytxdd,dd,ddtzutyutxuzyxdd,dd,dd加速度為：故液體質(zhì)點(diǎn)的zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx顯顯示示當(dāng)當(dāng)?shù)氐丶蛹铀偎俣榷蕊@顯示示遷遷移移加加速速度度3.2 3.2 液體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念液體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)基本概念3.2.13.2.1恒定流與非恒定流恒定流與非恒定流各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素都不隨時(shí)間變化的流動(dòng)稱為恒定流;反之稱為非恒定流。

4、),(),(),(zyxuuzyxuuzyxuuzzyyxx場(chǎng)：恒定流的流速場(chǎng)和壓強(qiáng)),(zyxpp 不存在當(dāng)?shù)丶铀俣龋?shù)為零運(yùn)動(dòng)要素對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)(0, 0 tptututuzyx例：速度場(chǎng)求（1）t=2s時(shí)，在(2，4)點(diǎn)的加速度；（2）是恒定流還是非恒定流；（3）是均勻流還是非均勻流。j txyi txyu)96()64(（1）將t=2，x=2，y=4代入得同理解：dtduaxx)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy2/4smax2/6smayjia64 2/smzuuyuuxuutuxzxyxxxjtuitutuyx（2）是非恒定流（3）是均勻流uu0)96()64(j

5、xyixy0yyxxxyxyuuuuuuiuujxyxy 3.3.3 3.3.3 流線與跡線流線與跡線流線是某一瞬時(shí)在流場(chǎng)中繪出的曲線，在此曲線上所有液體質(zhì)點(diǎn)的速度矢量都和該曲線相切。 流線的性質(zhì)：流線不能相交,不能轉(zhuǎn)折。恒定流時(shí)流線的形狀不隨時(shí)間改變，而非恒定流時(shí)流線隨時(shí)間改變。 流線微分方程：流線上任一點(diǎn)的切線方向與該點(diǎn)速度矢量一致zyxuuudzdydxkjiurdzyxudzudyudx流線微分方程0管道突擴(kuò)和突縮流譜圖有關(guān)。束水流的固體邊界形狀流線簇的整體形狀與約各點(diǎn)流速的大小。反映該時(shí)刻流場(chǎng)中流線簇的疏密程度直接跡線跡線段的運(yùn)動(dòng)軌跡。一個(gè)時(shí)出的，它是同一質(zhì)點(diǎn)在跡線是由拉格朗日法引重

6、合。恒定流時(shí)，流線與跡線同的概念。它與流線是兩個(gè)完全不跡線微分方程：對(duì)任一質(zhì)點(diǎn)跡線微分方程dtudxxdtudzudyudxzyxdtudyydtudzz例：速度場(chǎng)ux=a，uy=bt，uz=0（a、b為常數(shù)）求:（1）流線方程及t=0、1、2時(shí)流線圖； （2）跡線方程及t=0時(shí)過(guò)（0，0）點(diǎn)的跡線。解：（1）流線： 積分：btdyadxcxabtyoyxc=0c=2c=1t=0時(shí)流線oyxc=0c=2c=1t=1時(shí)流線oyxc=0c=2c=1t=2時(shí)流線流線方程（2）跡線： 即dtbtdyadxdtadxdtbtdy222xaby 跡線方程（拋物線）oyx注意：流線與跡線不重合txatxad

7、tdx00tytbybtdtdy0202例：已知速度場(chǎng)ux=x+t，uy=y+t求：在t=0時(shí)過(guò)（1，1）點(diǎn)的流線和跡線方程。解：（1）流線： 積分： t=0時(shí)，x=1，y=1c=0tydytxdxctytx)(ln(流線方程（雙曲線）1xy（2）跡線：dttydydttxdxtydtdytxdtdx1121tecytecxtt由t=0時(shí)，x=1，y=1得c1=c2=0跡線方程（直線）2 yx11tytx（3）若恒定流：ux=x，uy=y 流線 跡線1xy1xy注意：恒定流中流線與跡線重合4.流管與流束流管在流場(chǎng)中任意取不與流線重合的封閉曲線，過(guò)曲線上各點(diǎn)作流線，所構(gòu)成的管狀表面5.過(guò)流斷面在

8、流束上作出與流線正交的橫斷面12注意：只有均勻流的過(guò)流斷面才是平面例：121處過(guò)流斷面2處過(guò)流斷面流束流管內(nèi)的流體6.元流與總流元流過(guò)流斷面無(wú)限小的流束總流過(guò)流斷面為有限大小的流束，它由無(wú)數(shù)元流構(gòu)成7.流量體積流量質(zhì)量流量不可壓縮流體AudAQAmudAQQQmsm /3skg /8.斷面平均流速AQv vAQ 實(shí)質(zhì)：質(zhì)量守恒1.連續(xù)性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt時(shí)間內(nèi)x方向：流入質(zhì)量流出質(zhì)量?jī)袅鞒鲑|(zhì)量dydzdtudmxxdydzdtdxxuudmxxx)(dxdydzdtxudmdmMxxxx)(流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程同理：dxdydzdtyuMyy)(dxdydzdt

9、zuMzz)(dt時(shí)間內(nèi)，控制體總凈流出質(zhì)量：zyxMMMMdxdydzdt)u(divdxdydzdtu由質(zhì)量守恒：控制體總凈流出質(zhì)量，必等于控制體內(nèi)由于密度變化而減少的質(zhì)量，即dxdydzdttdxdydzdtudiv)(dxdydzdtzuyuxuzyx)()()(0)(udivt連續(xù)性方程的微分形式不可壓縮流體即0udivc0zuyuxuzyx例：已知速度場(chǎng) 此流動(dòng)是否可能出現(xiàn)？221xyuxxyuy21tzuz212tzuyuxutzyx)()()(解：由連續(xù)性方程：滿足連續(xù)性方程，此流動(dòng)可能出現(xiàn)0)2(2)2(2txxt例：已知不可壓縮流場(chǎng)ux=2x2+y，uy=2y2+z，且在z

10、=0處uz=0，求uz。0zuyuxuzyx解：由得yxzuz44 積分czyxuz)(4由z=0，uz=0得c=0zyxuz)(42.連續(xù)性方程的積分形式A1A212v1v2在dt時(shí)間內(nèi)，流入斷面1的流體質(zhì)量必等于流出斷面2的流體質(zhì)量，則dtQdtQ2211222111AvAv連續(xù)性方程的積分形式不可壓縮流體21QQ c2211AvAv分流時(shí)合流時(shí)iQQQQi2211QQ剛體平移、旋轉(zhuǎn)流體平移、旋轉(zhuǎn)、變形（線變形、角變形）平移線變形旋轉(zhuǎn)角變形流體微元的運(yùn)動(dòng)分析流體微元的速度：1.平移速度：ux，uy，uz2.線變形速度：xuxxyuyyzuzzx方向線變形xdtxdtxudtudtxxuux

11、xxxx是單位時(shí)間微團(tuán)沿x方向相對(duì)線變形量（線變形速度）同理存在各質(zhì)點(diǎn)在連線方向的速度梯度是產(chǎn)生線變形的原因3.旋轉(zhuǎn)角速度：角平分線的旋轉(zhuǎn)角速度dtxuxxdtxuxAAyydtyuyydtyuyBBxx逆時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角為正順時(shí)針?lè)较虻霓D(zhuǎn)角為負(fù)zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21urotukjizyx2121dtdtyuxuzxy2121是微團(tuán)繞平行于oz軸的旋轉(zhuǎn)角速度同理微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)：4.角變形速度：直角邊與角平分線夾角的變化速度微團(tuán)的角變形：dtdtyuxuzxy2121zuyuyzx21xuzuzxy21yuxuxyz21存在不在質(zhì)點(diǎn)連線方向的速度梯度是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)和角變形的

12、原因是微團(tuán)在xoy平面上的角變形速度同理例：平面流場(chǎng)ux=ky，uy=0（k為大于0的常數(shù)），分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征解：流線方程：線變形：角變形：旋轉(zhuǎn)角速度：cy 0 xuxx0yuyy221kyuxuxyz221kyuxuxyzxyo（流線是平行與x軸的直線族）（無(wú)線變形）（有角變形）（順時(shí)針?lè)较驗(yàn)樨?fù)）例：平面流場(chǎng)ux=ky，uy= kx （k為大于0的常數(shù)），分析流場(chǎng)運(yùn)動(dòng)特征解：流線方程：cyxkxdykydx22（流線是同心圓族）線變形：0yx（無(wú)線變形）角變形：0z（無(wú)角變形）旋轉(zhuǎn)角速度：kkkz21（逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)）剛體旋轉(zhuǎn)流動(dòng)1.有旋流動(dòng)2.無(wú)旋流動(dòng)00即：0 x0y0zzuyuyzxuz

13、uzxyuxuxy有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)例：速度場(chǎng)ux=ay（a為常數(shù)），uy=0，流線是平行于x軸的直線，此流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)？解：是有旋流zxyoux021)0(21aayuxuxy21相當(dāng)于微元繞瞬心運(yùn)動(dòng)例：速度場(chǎng)ur=0 ，u=b/r（b為常數(shù)），流線是以原點(diǎn)為中心的同心圓，此流場(chǎng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)？解：用直角坐標(biāo)：xyoruxuyupsinuuxcosuuy021yuxuxyz是無(wú)旋流（微元平動(dòng)）小結(jié)：流動(dòng)作有旋運(yùn)動(dòng)或無(wú)旋運(yùn)動(dòng)僅取決于每個(gè)流體微元本身是否旋轉(zhuǎn)，與整個(gè)流體運(yùn)動(dòng)和流體微元運(yùn)動(dòng)的軌跡無(wú)關(guān)。22yxbyryrb22yxbxrxrb無(wú)旋有勢(shì)1.速度勢(shì)函數(shù)類比：重力場(chǎng)、靜

14、電場(chǎng)作功與路徑無(wú)關(guān)勢(shì)能無(wú)旋條件：由全微分理論，無(wú)旋條件是某空間位置函數(shù)(x,y,z)存在的充要條件函數(shù)稱為速度勢(shì)函數(shù)，無(wú)旋流動(dòng)必然是有勢(shì)流動(dòng)zuyuyzxuzuzxyuxuxydzudyudxuzyxdzyx),(速 度 勢(shì) 函 數(shù)0由函數(shù)的全微分：得：dzzdyydxxdxuxyuyzuzgradu（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可壓縮流體的連續(xù)性方程將代入得即拉普拉斯方程0zuyuxuzyxxuxyuyzuz0222222zyx022為拉普拉斯算子， 稱為調(diào)和函數(shù)不可壓縮流體無(wú)旋流動(dòng)的連續(xù)性方程注意：只有無(wú)旋流動(dòng)才有速度勢(shì)函數(shù)，它滿足拉普拉斯方程3.極坐標(biāo)形式（二維）),(rrurru01

15、222222rrrr不可壓縮平面流場(chǎng)滿足連續(xù)性方程：0yuxuyx即：yuxuyx由全微分理論，此條件是某位置函數(shù)（x，y）存在的充要條件dxudyudyx函數(shù)稱為流函數(shù)有旋、無(wú)旋流動(dòng)都有流函數(shù)流函數(shù)由函數(shù)的全微分： 得：dyydxxdyuxxuy流函數(shù)的主要性質(zhì)：（1）流函數(shù)的等值線是流線；c0d0dxudyuyxyxudyudx證明：流線方程（2）兩條流線間通過(guò)的流量等于兩流函數(shù)之差；證明：dlynudlxnudlnudqyx),cos(),cos(ddxudyuyxABBAdq（3）流線族與等勢(shì)線族正交；0dxudyudyxxyuudxdym10dyudxudyxyxuudxdym212

16、1yxxyuuuumm斜率：斜率：等流線等流線等勢(shì)線等勢(shì)線利用（2）、（3）可作流網(wǎng)（4）只有無(wú)旋流的流函數(shù)滿足拉普拉斯方程證明：021yuxuxyz0yuxuxyxuyuyx,02222yx02則：將代入也是調(diào)和函數(shù)得：在無(wú)旋流動(dòng)中例：不可壓縮流體，ux=x2y2，uy= 2xy，是否滿足連續(xù)性方程？是否無(wú)旋流？有無(wú)速度勢(shì)函數(shù)？是否是調(diào)和函數(shù)？并寫出流函數(shù)。解：022xxyuxuyx（1） 滿足連續(xù)性方程021yuxuxyz（2） 是無(wú)旋流（3）無(wú)旋流存在勢(shì)函數(shù)：dyudxudyxdyyxudxyxuyyyxxx),(),(000?。▁0，y0）為（0，0）23002312),(xyxdyx

17、ydxxyxyx（4） 滿足拉普拉斯方程， 是調(diào)和函數(shù)2222yx0)2(2xxyuxuyx（5）流函數(shù)xydxdyyxdxudyudyx222?。▁0，y0）為（0，0）3),(32022yyxdyyxyxy1.均勻平行流速度場(chǎng)（a,b為常數(shù)）速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線auxbuybyaxdyudxuyxccxbaybxaydxudyuyxccxabyuxyo112323幾種簡(jiǎn)單的平面勢(shì)流當(dāng)流動(dòng)方向平行于x軸當(dāng)流動(dòng)方向平行于y軸如用極坐標(biāo)表示：0yuaxay0 xubybx11221122cosrx sinry sinbrby cosbrbx2.源流與匯流（用極坐標(biāo)）（1）源流：1122o3

18、4ur源點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 ur速度場(chǎng)速度勢(shì)函數(shù)等勢(shì)線流函數(shù)流線直角坐標(biāo)rQur20urQrdudrurln22Qdrurdur22ln2yxQxyarctgQ2ccr cc（2）匯流 流量1122o34匯點(diǎn)o是奇點(diǎn)r0 urrQur2rQln22QQQ（3）環(huán)流勢(shì)渦流（用極坐標(biāo)）注意：環(huán)流是無(wú)旋流！0ruru22rdudrurrlndrurdur2速度勢(shì)函數(shù)流函數(shù)速度場(chǎng)環(huán)流強(qiáng)度常數(shù)rurdu220逆時(shí)針為正1122o34u也滿足同理，對(duì)無(wú)旋流：勢(shì)流疊加原理012022210202勢(shì) 流 疊 加 原 理（1）半無(wú)限物體的繞流（用極坐標(biāo)）模型：水平勻速直線流與源流的疊加（河水流過(guò)橋墩）流函數(shù)：速度勢(shì)函數(shù)：即視作水平流與源點(diǎn)o的源流疊加u02sin021QrurQruln2cos021S幾個(gè)常見(jiàn)的勢(shì)流疊加的例子作流線步驟：找駐點(diǎn)S：rQurur2cos0sin10uru, 00u0ru將代入（舍去）將代入得