計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)(第5章 MATLAB的符號計(jì)算)

1、q 教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)u 介紹符號運(yùn)算的概念和使用介紹符號運(yùn)算的概念和使用q 學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)要求u 掌握使用符號運(yùn)算解決符號推導(dǎo)、掌握使用符號運(yùn)算解決符號推導(dǎo)、微積分微積分、方程等、方程等問題的方法。問題的方法。q 數(shù)值數(shù)值運(yùn)算和符號運(yùn)算運(yùn)算和符號運(yùn)算u 數(shù)值運(yùn)算數(shù)值運(yùn)算在運(yùn)算前必須先對變量賦值，再參加運(yùn)算在運(yùn)算前必須先對變量賦值，再參加運(yùn)算。例例：（：（1 1） sinsin（a a* *x+bx+b* *y y） （2 2）a a* *x2+bx2+b* *x+cx+c （3 3）1/1/（4+cos4+cos（t t） （4 4）4 4* *x/y x/y 當(dāng)我們做如下操作時(shí)：當(dāng)我們做如下操

2、作時(shí)： 4 4* *x/y x/y 提示提示：? Undefined function or variable x.q 數(shù)值數(shù)值運(yùn)算和符號運(yùn)算運(yùn)算和符號運(yùn)算u 符號符號運(yùn)算運(yùn)算不需要對變量賦值就可運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)不需要對變量賦值就可運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號形式表達(dá)。的符號形式表達(dá)。例題：哥哥弟弟年齡例題：哥哥弟弟年齡問題（哥哥比弟弟大問題（哥哥比弟弟大1919歲，哥歲，哥哥的年齡比弟弟的哥的年齡比弟弟的3 3倍還多倍還多1 1歲，求哥哥弟弟的年歲，求哥哥弟弟的年齡）。齡）。 解答命令文件解答命令文件gegedidi.mgegedidi.m： clear; syms g d; x,y=so

3、lve(g-d=19,g-3*d=1,g,d) q 符號符號變量的定義變量的定義u 調(diào)用命令調(diào)用命令： symsym，symssymsu 調(diào)用格式調(diào)用格式： a=a=symsym(a);(a);b=b=symsym(b); (b); c=c=symsym(c); (c); symssyms a b c a b c; ;u 幾種典型的錯(cuò)誤命令幾種典型的錯(cuò)誤命令： x=x=symsym x; x; x=x=symsym x;x; symssyms x,y,zx,y,z; ;q 符號表達(dá)式的定義：符號表達(dá)式的定義：symsymu 調(diào)用調(diào)用格式格式：f=f=symsym（ 符號表達(dá)式符號表達(dá)式 ），定

4、義），定義符號表達(dá)符號表達(dá)式，并將它賦值給變量式，并將它賦值給變量f f。q 建立符號表達(dá)式有以下建立符號表達(dá)式有以下3 3種方法種方法：u (1)(1)利用單引號來生成符號表達(dá)式利用單引號來生成符號表達(dá)式。f=f=x+yx+y u (2)(2)用用symsym函數(shù)建立符號表達(dá)式函數(shù)建立符號表達(dá)式。 f=f=symsym(a(a* *x2+bx2+b* *x+cx+c););u (3) (3) 使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。使用已經(jīng)定義的符號變量組成符號表達(dá)式。 symssyms x x y; f=y; f=x+yx+yq 提問：誰是自變量提問：誰是自變量？u 自變量的確定：自變量的確

5、定： 方法一方法一：事先明確指定。：事先明確指定。 方法二方法二：MATLABMATLAB自行默認(rèn)確定自行默認(rèn)確定。u MATLABMATLAB自變量自變量確定原則確定原則: : （2 2）x x被視為默認(rèn)的自變量被視為默認(rèn)的自變量。（1 1）若沒有）若沒有x x，則，則字母字母位置最接近位置最接近x x的小寫字母的小寫字母； （。（。u,v,w,x,y,zu,v,w,x,y,z。）。）q 默認(rèn)默認(rèn)自變量實(shí)例自變量實(shí)例 （1） sin(a*x+b*y) （2）a*x2+b*x+c （3）1/(4+cos(t) （4）4*x/y （5）2*a+b （6）2*i+4*jq 獲取系統(tǒng)定義的獲取系統(tǒng)定

6、義的自變量：自變量：findsymfindsymu 函數(shù)函數(shù)findsymfindsym幫助我們獲取系統(tǒng)定義的自變量幫助我們獲取系統(tǒng)定義的自變量u 格式格式：findsymfindsym（f f）表示獲取所有變量）表示獲取所有變量; ; findsymfindsym（f f，2 2）表示獲取）表示獲取2 2個(gè)自變量個(gè)自變量 例如例如：f f= = symsym(sin(a(sin(a* *x+bx+b* *y);y); findsymfindsym(f(f) ) findsymfindsym(f,1)(f,1) findsymfindsym(f,2)(f,2) q 符號方程的定義符號方程的定義

7、u 符號表達(dá)式和符號方程符號表達(dá)式和符號方程的區(qū)別的區(qū)別：符號表達(dá)式符號表達(dá)式是由數(shù)字、函數(shù)和變量組成的代數(shù)式；是由數(shù)字、函數(shù)和變量組成的代數(shù)式；符號方程符號方程是由是由函數(shù)函數(shù)和和等號等號組成的等式組成的等式。如如：f f=x+y=x+y；% %為符號表達(dá)式為符號表達(dá)式 x,y=solvex,y=solve(g-3(g-3* *d=1,g-d=19,g,d)d=1,g-d=19,g,d)% %為符號方程為符號方程 q 符號方程的定義：符號方程的定義：symsymu 調(diào)用命令調(diào)用命令： symsymu 調(diào)用格式調(diào)用格式： symsym(符號方程式符號方程式)u 例如例如： equation=e

8、quation=symsym(sin(x(sin(x)+)+coscos(x)=(x)=1)1)q 初等代數(shù)初等代數(shù)運(yùn)算運(yùn)算u （1 1）符號加減乘除符號加減乘除冪次方冪次方運(yùn)算運(yùn)算： + - + - * * / / u （2 2）符號表達(dá)式的常用運(yùn)算符號表達(dá)式的常用運(yùn)算函數(shù)函數(shù): :+ + - - * * / / numdennumden（獲取分子分母）（獲取分子分母）, , sym2polysym2poly, ,（獲取多項(xiàng)（獲取多項(xiàng)式時(shí)系數(shù)）式時(shí)系數(shù)）poly2sympoly2sym（根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)獲得符號表達(dá)式）（根據(jù)多項(xiàng)式系數(shù)獲得符號表達(dá)式） n,dn,d=numdennumden(

9、(symsym(x(x* *x+yx+y)+)+symsym(y2)(y2) p=p=symsym(2(2* *x3+3x3+3* *x2+4); x2+4); sym2poly(psym2poly(p) ) x=2,3,0,4x=2,3,0,4; ; poly2sym(x)poly2sym(x)q 符號表達(dá)式化簡符號表達(dá)式化簡u collectcollect ：合并同類項(xiàng)：合并同類項(xiàng)u expandexpand：展開多項(xiàng)式：展開多項(xiàng)式u hornerhorner: : 分解成嵌套形式分解成嵌套形式u factorfactor： 因式分解因式分解u simplifysimplify: : 對表

10、達(dá)式化對表達(dá)式化簡簡q 合并同類項(xiàng)：合并同類項(xiàng)：collectcollect例例： f=f=symsym(x2(x2* *y+yy+y* *x-x2-2x-x2-2* *x); x); collect(fcollect(f) )symssyms x yx y; collect(x2; collect(x2* *y+yy+y* *x-x2-2x-x2-2* *x x) ) %(%(找不同找不同) ) collectcollect(x+y)(x+y)* *(x2+y2+1), (x2+y2+1), y y) ) % %（找不同）找不同）第三次課到此q 展開多項(xiàng)式：展開多項(xiàng)式：expandexpan

11、d例例： f=f=symsym( a3-1); ( a3-1); expand(fexpand(f) )symssyms x y a b; x y a b;expandexpand(x-2)(x-2)* *(x-4)(x-4)expand(expand(coscos( (x+yx+y)expand(expand(expexp(a+ba+b)2)2)q 分解分解成嵌套成嵌套形式：形式： hornerhorner 例例：symssyms x;hornerx;horner(x3-6(x3-6* *x2+11x2+11* *x-6)x-6)q 因式分解因式分解： factor factor 例：例：s

12、ymssyms x;factorx;factor(x3-6(x3-6* *x2+11x2+11* *x-6)x-6)q 對對表達(dá)式化表達(dá)式化簡簡: :simplify simplify 例例：symssyms x;simplifyx;simplify(sin(x)2 + (sin(x)2 + coscos(x)2)(x)2)symssyms x;simplifyx;simplify(x2+5(x2+5* *x+6)/(x+2)x+6)/(x+2)symssyms x;simplifyx;simplify( (sqrtsqrt(16)(16)q symsym函數(shù)函數(shù) u 功能功能：定義符號表達(dá)式

13、：定義符號表達(dá)式; ; 或或?qū)⒎栔当硎緸閷?yīng)的將符號值表示為對應(yīng)的數(shù)值表示數(shù)值表示，或，或設(shè)定變量類型。設(shè)定變量類型。u 格式格式：symsym(a) (a) ; ; symsym(A)(A) symsym(A(A, , real), real), symsym(A, (A, unreal),unreal), symsym(A(A，flag) flag) 例如例如： s s= = symsym(sin(x(sin(x)2+ )2+ coscos(x)(x)2) 2) A=0.25 A=0.25 symsym(A(A) ) symsym(A) %(A) %(找不同找不同) ) q symsym

14、函數(shù)函數(shù) 例如例如： symsym(1/3(1/3,f); ,f); symsym(1/3(1/3,e),e) symsym(1/3,r); (1/3,r); symsym(1/3(1/3,d),d) symsym(x, real); (x, real); symsym(y, real)(y, real) symssyms x y x y real; real; conjconj(x)(x) symsym(x, unreal); (x, unreal); conjconj(x)(x) q 求求反函數(shù)反函數(shù): :finversefinverse u 功能功能：求得符號函數(shù)的反函數(shù)。：求得符號函數(shù)

15、的反函數(shù)。u 格式格式：finversefinverse(f)(f) finversefinverse( (f,vf,v),f),f: : 符號符號表達(dá)式表達(dá)式,v,v：獨(dú)立變量。：獨(dú)立變量。 syms x syms x y; finverse(1/tan(xy; finverse(1/tan(x) f= f= x2+y; x2+y; finverse(f,finverse(f,y y) ) finverse(f finverse(f) ) % %（找不同）找不同）q 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù) compose compose u 功能功能：求符號函數(shù)的復(fù)合函數(shù)：求符號函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。u 格式格式：

16、compose(compose(f,gf,g);compose();compose(f,g,zf,g,z) ) compose( compose(f,g,x,zf,g,x,z); compose(); compose(f,g,x,y,xf,g,x,y,x) ) symssyms x y z t u; x y z t u; f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = f = 1/(1 + x2); g = sin(y); h = xtxt; p = ; p = expexp(-y/u);(-y/u); compose( compose(f,gf,g) returns 1/(s

17、in(y)2 + 1) returns 1/(sin(y)2 + 1) compose( compose(f,g,tf,g,t) returns 1/(sin(t)2 + 1) returns 1/(sin(t)2 + 1) compose( compose(h,g,x,zh,g,x,z) returns sin(z)t) returns sin(z)t compose( compose(h,g,t,zh,g,t,z) returns ) returns xsinxsin(z)(z) compose( compose(h,p,x,y,zh,p,x,y,z) returns (1/) retur

18、ns (1/expexp(z/u)t(z/u)t compose( compose(h,p,t,u,zh,p,t,u,z) returns x(1/) returns x(1/expexp(y/z)(y/z)q 求復(fù)合函數(shù)求復(fù)合函數(shù) composecompose例題例題 u 已知已知f=1/(1+x2),g=sin(y),f=1/(1+x2),g=sin(y),求求復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù) f(g(y).f(g(y).clearclear; ;syms syms x y;x y;f=1f=1/(1+x2);/(1+x2);g=sin(yg=sin(y););h=compose(f,gh=compose

19、(f,g) )q 表達(dá)式替換表達(dá)式替換 subs subs u 功能功能：表達(dá)式替換。：表達(dá)式替換。u 格式格式： subs(s)subs(s)； subs(subs(s,news,new) )；subs(subs(s,old,news,old,new) )例題例題：a=5;c=10; a=5;c=10; y=y=symsym(a(a* *x2+bx2+b* *x+cx+c);subs(y);subs(y) )symssyms a a b;subsb;subs(a+b,a,4)(a+b,a,4)subs(a+b,4) subs(a+b,4) subs(subs(coscos(a(a)+sin(

20、b),)+sin(b),a,ba,b,symsym(alpha),(alpha),2 2)subssubs(x2+2(x2+2* *y,y,x,yx,y,3,4),3,4)q 任意精度任意精度計(jì)算計(jì)算 u 問題問題： 積少成多的累計(jì)誤差積少成多的累計(jì)誤差？( 1/3+1/3)=?u 幾個(gè)控制精度計(jì)算的函數(shù)：幾個(gè)控制精度計(jì)算的函數(shù)：digits(n):digits(n):設(shè)置缺省的精度；設(shè)置缺省的精度；vpavpa( (S,nS,n):):將將S S表示為表示為n n位有效位數(shù)的形式。位有效位數(shù)的形式。double(s):double(s):將將s s轉(zhuǎn)換成雙精度型轉(zhuǎn)換成雙精度型 。例題例題：s

21、=sym(1/3+1/3) digits(2) vpa(s) double(s) q 極限：極限：limit limit u 函數(shù)函數(shù)： limitlimitu 調(diào)用調(diào)用格式格式：g=limit g=limit (f(f); ); g=limit (f, a)g=limit (f, a) g=limit g=limit（f f，x x，a a） g=limit g=limit（f f，x x，a a，leftleft） g=limitg=limit（f f，x x，a a，rightright）例題例題：symssyms x h t; x h t;limit(sin(xlimit(sin(x)

22、/x) )/x) limit(x-2)/(x2-4),2) limit(x-2)/(x2-4),2) limit(1+2limit(1+2* *t/x)(3t/x)(3* *x),x,inf) x),x,inf) limit(1/x,x,0limit(1/x,x,0,right),right)q 注意：如果注意：如果自變量不是自變量不是x x，最好顯示說明，最好顯示說明！q 例題：求極限：例題：求極限： 解解 symssyms a x; a x; limit limit(x+ax+a)/(x-a)/(x-a)x,infx,inf) )lim()xxx ax a1ln( )0lim(tan( )

23、xxx q 練習(xí)練習(xí)：求極限：求極限： symssyms x xlimitlimit(tan(x)(1/log(x),x,0(tan(x)(1/log(x),x,0,right),right)21( )lim (1)txxf ttx q 微分：微分：diff diff u 調(diào)用調(diào)用格式格式：diff(f)diff(f)；diff(f, diff(f, t t) )；diff(diff(f,nf,n) ) diff(diff(f,t,nf,t,n) t) t表示對表示對t t微分，微分，n n表示微分的階數(shù)表示微分的階數(shù)例題例題：已知：已知f(x)=ax2 +f(x)=ax2 +bx+cbx+c

24、, ,求求f(x)f(x)的的微分微分symssyms a b c a b c x;fx;f= =symsym(a(a* *x2+bx2+b* *x+cx+c)diff(fdiff(f) )diff(f,2diff(f,2) )diff(diff(f,af,a) ) diff(f,a,2diff(f,a,2) ) diff(diff(fdiff(diff(f),a),a) ) q 積分積分：intint u 調(diào)用格式調(diào)用格式：intint(f(f) )；intint(f(f, t, t) )；intint( (f,a,bf,a,b) () (a,ba,b 為為數(shù)值式數(shù)值式) )；intint(

25、 (f,t,a,bf,t,a,b) )；intint( (f,m,nf,m,n) () (m,nm,n為符號式為符號式) )例題例題：已知：已知f(x)=ax2 +f(x)=ax2 +bx+cbx+c, ,求求f(x)f(x)的積分。的積分。symssyms a b c xa b c xf=f=symsym(a(a* *x2+bx2+b* *x+cx+c)intint(f(f) )intint(f,x,0,2(f,x,0,2) )intint( (f,af,a) )intint( (intint( (f,af,a),x),x)21xdx1 x（+ ）q 例題：例題：求積分求積分 u 解答解答：

26、syms x; int(sqrt(x)/(1+x)2),1, inf)q 聯(lián)系聯(lián)系：求積分求積分 u 解答解答：syms syms x y x y z z; ; R1=int(x R1=int(x/(1+z2),z/(1+z2),z) )R1=int(xR1=int(x/(1+z2),z,1,inf) /(1+z2),z,1,inf) R2=int(xR2=int(x* *log(1+xlog(1+x),0,1),0,1)21xdz1 z+10 xln(1 x)dxq 例題：例題：intint與與quadquad的區(qū)別的區(qū)別u int為為符號積分，符號積分，quad為為數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分u qu

27、ad(fun,a,b,tol) % 采用遞推自適應(yīng)采用遞推自適應(yīng)Simpson法法計(jì)算計(jì)算積分積分u dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) % 矩形區(qū)矩形區(qū)域上的域上的二重積分二重積分 q 級數(shù)：級數(shù)：symsum,taylorsymsum,taylor u 函數(shù)函數(shù)：symsum,tayloru 調(diào)用調(diào)用格式格式：symsum(s,v,a,b)； taylor(F,v,n)例題例題：求級數(shù)：求級數(shù)symssyms k ksymsumsymsum(1/k,k,1,inf(1/k,k,1,inf) )symsumsymsum(1(1/(k/(k* *(k+1),k,1

28、,inf)(k+1),k,1,inf)11111111.23k22x33x4k(k+1)和的和。 q 練習(xí)：求練習(xí)：求sin(x)sin(x)的泰勒的泰勒1010階階展開式，并展開式，并求求x=pi/2x=pi/2的的值。值。symssyms x xtaylortaylor(sin(x(sin(x),x,10),x,10)subs(subs(ans,x,pians,x,pi/2/2) )2kkxk!k 0q 習(xí)題習(xí)題1 1：計(jì)算級數(shù)：計(jì)算級數(shù) q 方程方程求解：求解：solve solve u 函數(shù)函數(shù)：solve 解符號方程式解符號方程式fu 調(diào)用調(diào)用格式格式：sovle(f1,f2,fn,

29、 v1,v2,v3,vn) f為為符號多項(xiàng)式或者符號方程，當(dāng)為為符號多項(xiàng)式或者符號方程，當(dāng)f為符號多項(xiàng)為符號多項(xiàng)式時(shí)，式時(shí)，matlab會(huì)自動(dòng)添加會(huì)自動(dòng)添加”=0”變?yōu)榈仁?。變?yōu)榈仁健＠}例題：求一元二次方程：求一元二次方程f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax2+bx+c的根。的根。f=f=symsym(a(a* *x2+bx2+b* *x+cx+c);solve(f);solve(f) )symssyms a;solvea;solve( (f,af,a) )xyz10 xyz02xyz4 q 例題：方程求解例題：方程求解 f1=f1=symsym(x+y+z-10=0);(x+y+z-1

30、0=0);f2=f2=symsym(x-y+zx-y+z=0);=0);f3=f3=symsym(2(2* *x-y-z+4=0);x-y-z+4=0);solve(f1,f2,f3solve(f1,f2,f3);); x,y,zx,y,z=solve(f1,f2,f3)=solve(f1,f2,f3)2xay0bx2q 例題：方程求解（例題：方程求解（a,ba,b為系數(shù)）為系數(shù)） syms x y a b;syms x y a b;x,y=x,y=solvesolve(x2-a(x2-a* *y=0,by=0,b* *x=2,x=2,x,y)x,y) q 解微分符號解微分符號方程式：方程式：

31、dsolvedsolve u 調(diào)用格式調(diào)用格式： dsolve(f,cond,v) dsolve(f1,f2,fn,cond1,cond2,condn,v1,v2,vn)dsolve(f1,f2,fn)u 注意事項(xiàng)注意事項(xiàng)：Dy代表代表dy/dt, D2y代表代表d2y/dt2 。如果沒有初始條件，則求微分方程的通解。如果沒有初始條件，則求微分方程的通解。系統(tǒng)默認(rèn)變量系統(tǒng)默認(rèn)變量t q 例題：方程求解例題：方程求解求微分方程求微分方程y=y=5 5的通解。的通解。求微分方程求微分方程y=y=x x的通解，指定的通解，指定x x為自變量。為自變量。求微分方程求微分方程y=1+yy=1+y的的通解

32、。通解。求微分方程求微分方程y=1+yy=1+y的的解，解，y|ty|t=0=1,dy/=0=1,dy/dt|tdt|t=0=0=0=0。解解：dsolvedsolve(DyDy=5)=5) dsolvedsolve(DyDy= =x,xx,x) dsolvedsolve(D2y=1+Dy)(D2y=1+Dy) dsolvedsolve(D2y=1+Dy,y(0(D2y=1+Dy,y(0)=)=1,Dy(01,Dy(0)=)=0)0)dxdtdydtyx2x q 例題：方程組求解例題：方程組求解 x,y=dsolvex,y=dsolve(Dx=y+x(Dx=y+x, , Dy=2Dy=2* *x)x)初始條件初始條件x|t=0=0，y|t=0=1dxdtdydtyx2xq 例題：方程組求解例題：方程組求解x,y=dsolvex,y=dsolve(Dx=x+y(Dx=x+y, , Dy=2Dy=2* *x,x(0 x,x(0)=)=0,y(00,y(0)=)=1)1) q 符號變量符號變