學(xué)生4份第5講用列舉法求概率與利用頻率估計(jì)概率

1、第5講用列舉法求概率與利用頻率估計(jì)概率學(xué)習(xí)目標(biāo)。在具體情境中了解概率的意義，體會(huì)概率是描述不確定現(xiàn)象的規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解概率的取值范圍的意義，發(fā)展隨機(jī)觀念。能夠運(yùn)用列舉法(包括列表、畫樹形圖)計(jì)算簡(jiǎn)單事件發(fā)生的概率.學(xué)習(xí)重點(diǎn)1.運(yùn)用列表法或樹形圖法計(jì)算事件的概率.2.利用穩(wěn)定后的頻率值來估計(jì)概率的大小.學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.列表法與樹形圖法的選擇使用.2.利用穩(wěn)定后的頻率值來估計(jì)概率的大小.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一、等可能事件概率一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為".這一規(guī)律稱之為等可能事件概率，即概率的古

2、典定義.要點(diǎn)：1 .古典概型的特點(diǎn)：(1) 一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有限多個(gè)；(2) 一次試驗(yàn)中，各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等.2 .對(duì)于隨才事件A總有。<洌<用，所以0<PA)<1；對(duì)于必然事件A總有陽(yáng)二隊(duì)所以P二1；對(duì)于不可能事件A,總有加二。，所以?(')=。.知識(shí)點(diǎn)二、用列舉法求概率常用的兩種列舉法：1 .列表法：當(dāng)事件中涉及兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，用表格不重不漏地列出可能的結(jié)果，這種方法叫列表法.2 .樹形圖法：當(dāng)事件中涉及的有兩個(gè)以上的因素時(shí)，用樹形圖的形式不重不漏地列出所有可能的結(jié)果的方法叫樹形圖法.要點(diǎn)：當(dāng)事件的發(fā)生只經(jīng)過兩個(gè)步驟時(shí)

3、，一般用列表法就能將所有的可能結(jié)果列舉出來，當(dāng)經(jīng)過多個(gè)步驟時(shí)，表格就不夠清晰，而樹形圖法的適用面較廣，特別是對(duì)多個(gè)步驟時(shí)，層次清楚，一目了然.知識(shí)點(diǎn)三、利用頻率估計(jì)概率當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果無限多個(gè)，或者各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等，我們一般通過統(tǒng)計(jì)頻率來估計(jì)概率.三、方法指導(dǎo)1 .列舉法.(1)當(dāng)一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個(gè)，并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時(shí)，可以用被關(guān)注的結(jié)果在全部試驗(yàn)結(jié)果中所占的比分析出事件中該結(jié)果發(fā)生的概率，此時(shí)可采用列舉法.(2)列舉法就是把要數(shù)的對(duì)象一一列舉出來分析求解的方法.但有時(shí)一一列舉出的情況數(shù)目很大，此時(shí)需要考慮如何去排除不合理的情況，盡可能減少

4、列舉的問題可能解的數(shù)目(3)利用列舉法求概率的關(guān)鍵在于正確列舉出試驗(yàn)結(jié)果的各種可能性，而列舉的方法通常有直接分類列舉、列表、畫樹形圖等.(4)當(dāng)試驗(yàn)包含兩步時(shí)，列表法比較方便，當(dāng)然也可以用樹形圖法，當(dāng)試驗(yàn)在三步或三步以上時(shí)用樹形圖法方便，此時(shí)難以用列表法.2.利用頻率估計(jì)概率疑難分析.(1)當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概率.(2)利用頻率估計(jì)概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個(gè)數(shù)值P附近擺動(dòng).這個(gè)穩(wěn)定值巳叫做隨機(jī)事件A的概率，并記為P(A)=P.(3)利用頻率估計(jì)出的概率是近似值.經(jīng)典例題類型一

5、、列舉法求概率例1.一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅土和3個(gè)黃球，從中隨機(jī)摸出一個(gè)，則摸到黃球的概率是()33A.9B.;C._D.。舉一反三：【變式1】一個(gè)均勻的立方體各面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,6,8,其表面展開圖如圖所示，拋擲這個(gè)立方體，則朝上一面的數(shù)字恰好等于朝下一面上的數(shù)字的2倍的概率是()212211a.3B.2C.3D.6例2.水果種植大戶小方，為了吸引更多的顧客，組織了觀光采摘游活動(dòng).每一位來采摘水果的顧客都有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)：在一只不透明的盒子里有且&CD四張外形完全相同的卡片，抽獎(jiǎng)時(shí)先隨機(jī)抽出一張卡片，再?gòu)暮凶又惺Ｏ碌?張中隨機(jī)抽取第二張.同(1)請(qǐng)

6、利用樹狀圖(或列表)的方法，表示前后兩次抽得的卡片所有可能的情況；(2)如果抽得的兩張卡片是同一種水果圖片就可獲得獎(jiǎng)勵(lì)，那么得到獎(jiǎng)勵(lì)的概率是多少？例3.小穎和小紅兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)“概率”時(shí)，做投擲骰子(質(zhì)地均勻白正方體)實(shí)驗(yàn)，他們共做了60次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的結(jié)果如下：國(guó)朝上的點(diǎn)數(shù)123456出現(xiàn)的次數(shù)79j682010(1)計(jì)算“3點(diǎn)朝上”的頻率和“5點(diǎn)朝上”的頻率；(2)小穎說：“根據(jù)實(shí)驗(yàn)，一次實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)5點(diǎn)朝上的概率最大”；小紅說：“如果投擲600次，那么出現(xiàn)6點(diǎn)朝上的次數(shù)正好是100次.”小穎和小紅的說法正確嗎？為什么?(3)小穎和小紅各投擲一枚骰子，用列表或畫樹狀圖的方法求出兩枚骰子朝上的點(diǎn)

7、數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率.舉一反三：【變式1】同時(shí)擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，計(jì)算下列事件的概率：(1)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和是12;(2)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和至少是9點(diǎn);(3)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)相同；(4)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù)；(5)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和為1;(6)兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)和小于13.【變式2】在體育器材室內(nèi)有一個(gè)暗箱，內(nèi)放有2個(gè)排球，2個(gè)籃球，2個(gè)足球，讓你隨機(jī)3再放回暗箱，問兩次拿到足球的概率是多地連續(xù)拿兩次，并且每一次只拿一個(gè)球記下結(jié)果,少？拿到1個(gè)排球和1個(gè)籃球的概率是多少？例4.“石頭、剪刀、布”是一個(gè)廣為流傳的游戲，游戲時(shí)甲乙雙方每次做“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢(shì)中的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪

8、刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢(shì)不分勝負(fù)需繼續(xù)比賽.假定甲乙兩人每次做這三種手勢(shì)都是等可能的，那么一次比賽時(shí)兩人做同種手勢(shì)(即不分勝負(fù))的概率是多少？包舉一反三：【變式1】“石頭、剪刀、布”是廣為流傳的游戲，游戲時(shí)比賽各方做“石頭”、“剪刀”、“布”中手勢(shì)的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢(shì)或三種手勢(shì)循環(huán)不分勝負(fù)繼續(xù)比賽，假定甲、乙、丙三人都是等可能的做這三種手勢(shì)，那么：(1)一次比賽中三人不分勝負(fù)的概率是多少？(2)比賽中一人勝，二人負(fù)的概率是多少？【變式2】隨意從放有4個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球的口袋中摸出一個(gè)球，再放回袋中攪勻后再摸出一個(gè)球

9、，求兩次摸到的球都為紅球的概率【變式3】經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn).如果這三種可能性大小相同，三輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口，求下列事件的概率：(1)三輛車全部直行；(2)兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)；(3)至少有兩輛車向左轉(zhuǎn).【變式4】小明對(duì)小紅說：“我們來做一個(gè)游戲，我向空中扔3個(gè)硬幣，如果它們落地后全是正面朝上，你就得10分；如果它們?nèi)欠疵娉希阋驳?0分；但是，如果它們落地時(shí)是其他情況，我就得5分，得分多者獲勝，好不好？”小紅說，“讓我考慮一分鐘，至少有兩枚硬幣必定情況相同，因?yàn)槿绻袃擅肚闆r不同，則第三枚一定會(huì)與這兩枚硬幣之一情況相同；而如果兩枚情況相同，

10、則第三枚與其它兩枚情況相同或情況不同的可能性一樣.因此，3枚硬幣情況完全相同或情況不完全相同的可能性是一樣的.但是小明是用5分來賭它們的不完全相同，這分明對(duì)我有利，好吧，小明，我和你做這個(gè)游戲！”請(qǐng)問：小紅的推理正確嗎？類型二、用頻率估計(jì)概率例5.某籃球運(yùn)動(dòng)員在最近的幾場(chǎng)大賽中罰球投籃的結(jié)果如下：投籃次數(shù)n8101291610進(jìn)球次數(shù)m6897127m進(jìn)球頻率也(1)計(jì)算表中各次比賽進(jìn)球的頻率；(2)這位運(yùn)動(dòng)員投籃一次，進(jìn)球的概率約為多少?舉一反三：【變式1】某商場(chǎng)設(shè)立了一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(如圖)，并規(guī)定：顧客購(gòu)物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得

11、相應(yīng)的獎(jiǎng)品，下表是活動(dòng)進(jìn)行中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：(1)計(jì)算并完成表格：轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701m落在“鉛筆”的頻率四(2)請(qǐng)估計(jì)，當(dāng)月很大時(shí)，頻率將會(huì)接近多少？(3)轉(zhuǎn)動(dòng)該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？(4)在該轉(zhuǎn)盤中，標(biāo)有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1。)例5.小明在操場(chǎng)上做游戲，他發(fā)現(xiàn)地上有一個(gè)不規(guī)則的封閉圖形ABC.為了知道它的面積,小明在封閉圖形內(nèi)劃出了一個(gè)半徑為1米的圓，在不遠(yuǎn)處向圈內(nèi)擲石子，且記錄如下：L若擲石子次數(shù)子落在的區(qū)域日0次150次300次石子落在舊。內(nèi)(含0上)的次數(shù)說144393七子洛在封閉圖形內(nèi)的次數(shù)n1985186你能否求出封閉圖形ABC的面積？試試看舉一反三：【變式1】小紅