導(dǎo)數(shù)中含參數(shù)單調(diào)性及取值范圍

1、.含參數(shù)函數(shù)求單調(diào)性(求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法:(1)確定函數(shù)定義域；(2)求導(dǎo)數(shù);(3)令導(dǎo)數(shù)大于0,解得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0,解得減區(qū)例1(2012西2)已知函數(shù)f(x)2ax2a之x1(I)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程;(H)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.2x工解當(dāng)a1時(shí)f(x)f(x)x1(x1)(x1)/22.2(x1)由f(0)2得曲線yf(x)在原點(diǎn)處的切線方程是2x(口)解:f(x)(xa)(ax1)當(dāng)a(x)2x2x-2x-.所以f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(,0)單調(diào)遞減*0f(x)(xa)(x1)2a3-x21當(dāng)a10時(shí)，令f(x)0,得x1ax2f

2、(x)與f(x)的情況如下1、，1、故f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(,a),(,)；單調(diào)增區(qū)間是(a,)aa當(dāng)a0時(shí)，f(x)與f(x)的情況如下：一、11所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(,一)；單調(diào)減區(qū)間是(一,a)(a,)aa''ax(，x1)x1(XE)*2M，)f(x)00f(x)f(X)仁)7分x(，x2)*2出得)x1(x,)f(x)00f(x)f%)f(x)9分(m)解：由()得，a0時(shí)不合題意.10分C、10時(shí)，由(n)得，f(X)在(0,)單調(diào)遞增，在'a)單調(diào)遞減，所以f(x)在(0,)上存在最大值1f(-)a2a20設(shè)Xo為f(x)的零點(diǎn)，易知X01a22a

3、，且x01一從而XX0時(shí)，f(x)0；XX0時(shí)，f(x)0a若f(x)在0,)上存在最小值，必有f(0)0,解得1a1所以a0時(shí)，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范圍是(0,112分)單調(diào)遞增，所以f(x)在(0,)上存在最小值當(dāng)a0時(shí)，由(n)得，f(x)在(0,a)單調(diào)遞減，在(a,f(a)1若f(x)在0,)上存在最大值，必有f(0)0，解得a1,或a1所以a0時(shí)，若f(x)在0,)上存在最大值和最小值，a的取值范圍是(,1.綜上，a的取值范圍是(,1U(0,114分例2設(shè)函數(shù)f(x)=ax(a+1)ln(解析】由已知得函數(shù)f(X)的定義域?yàn)?1,)，且X+1),其中a&

4、#39;ax1f(x)-(ax1-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.1),當(dāng)1a0時(shí)，f(x)0,函數(shù)(2)當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0,解得f(x)在(11)上單調(diào)遞減,1一,i1-X(1_!_)時(shí)，f(x)0,函數(shù)f(x)在(1_!_)上單調(diào)遞減.'a'aX(1,()1a1(-,)af(X)0+f(x)極小值Zf(X)、f(X)隨X的變化情況如下表從上表可知當(dāng)當(dāng)x(1)時(shí)，f'(x)0,函數(shù)f(x)在(1)上單調(diào)遞增.a'a'綜上所述：當(dāng)1a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1)上單調(diào)遞減.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)在(1)上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在()上單調(diào)遞,aa,增.3已知

5、函數(shù)f(x)X21,其中a0.(I)若曲線yf(x)在(1,f(1)處的切線與直線y1平行，求a的值;(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值333、2a2(xa).解f(x)2x-2x0.xx,23、(D由題意可得f(1)2(1a)0解得a1,3此時(shí)f(1)4,在點(diǎn)(1,f(1)處的切線為y4,與直線y1平行故所求a值為1，4分(ii)由f(x)0可彳#xa,a05分當(dāng)0a1時(shí)f(x)0在(1,2上恒成立，所以yf(x)在1,2上遞增，.6分一3所以f(x)在1,2上的最小值為f(1)2a2.當(dāng)1a2時(shí)，x(1,a)a(a,2)f(x)一0十f(x)極小«、r2d-,、-2由上

6、表可得yf(x)在1,2上的最小值為f(a)3a111分當(dāng)a2時(shí)，f(x)0在1,2)上恒成立，所以yf(x)在1,2上遞減.12分«、r3d3_所以f(x)在1,2上的最小值為f(2)a5.13分3綜上討論，可知：當(dāng)0a1時(shí)，yf(x)在1,2上的最小值為f(1)2a2；當(dāng)1a2時(shí)，yf(x)在1,2上23一的最小值為f(a)3a1；當(dāng)a2時(shí)yf(x)在1,2上的最小值為f(2)a5.練習(xí)1已知函數(shù)f(x)alnx1,-(aR且a0).(2012海江一模)2(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)是否存在實(shí)數(shù)a,使得對(duì)任意的x1,，都有f(x)0?若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

7、理由2(2012順義2文)(.本小題共14分)已知函數(shù)f(x)(a1)x22lnx,g(x)2ax,其中a1(i)求曲線yf(x)在(1,f(1)處的切線方程；(n)設(shè)函數(shù)h(x)f(x)g(x),求h(x)的單調(diào)區(qū)間.3(2012朝1)18.(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)ax21ex,aR.(i)若函數(shù)f(x)在x1時(shí)取得極值，求a的值；(n)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.有單調(diào)性時(shí)分離常數(shù)法1 O7例(東2)已知函數(shù)f(x)-x22xaex.2(I)若a1,求f(x)在x1處的切線方程;(n)若f(x)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍/一、12cx、3解1)由a1,f(x)x2

8、xe,f(1)-e,1分2 2所以f(x)x2ex.3分又f(1)1e,3所以所求切線方程為y(一e)(1e)(x1)即2(1e)x2y10.21 2xx印)由已知f(x)x2xae,得f(x)x2ae.2因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在R上是增函數(shù)，所以f(x)0恒成立，即不等式x2aex0恒成立.9分整理得a令g(x),g(x)11分x,g(x),g(x)的變化情況如下表:由此得a3g(3)=e,即a的取值范x(,3)3(3,)g(x)0+g(x)極小值圍是13分練習(xí)1(2012懷柔2)設(shè)，函數(shù).(I)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(n)若函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：(工).因?yàn)槭呛瘮?shù)的

9、極值點(diǎn)，所以，即，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn).即6分(n)由題設(shè)，又，所以這等價(jià)于,不等式對(duì)恒成立.令。，則,10分所以在區(qū)間上是減函數(shù)，所以的最小值為.12分所以.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.13分22 (2012石景山1)已知函數(shù)f(x)x2alnx.(I)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2)處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；2(出)若函數(shù)g(x)f(x)在1,2上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x分類討論求參數(shù)1例2(2012昌平1)已知函數(shù).f(x)lnxax(a為實(shí)數(shù))(I)當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的最小值;(II)若f(x)在2,)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范

10、圍解：(I)由題意可知:當(dāng)a0時(shí)f(x)x0x12x.2分當(dāng)0x1時(shí)，f(x)1時(shí)，f(x)0.4分故f(x)minf(1).5分(n)由f(x)2ax由題意可知a0時(shí),f(x)x1上,在2,x)時(shí)，f(x)0符合要求.7分2當(dāng)a0時(shí)令g(x)ax故此時(shí)f(x)在2,)上只能是單調(diào)遞減f(2)04a21即40解彳導(dǎo)a.9分當(dāng)a0時(shí)，f(x)在2,)上只能是單調(diào)遞增八4a21c(2)0即0,得a4.11分1.13分,口0,4根據(jù)性質(zhì)求范圍)2(零點(diǎn)例(2012昌平2)已知函數(shù)f(x)4lnxax6xb(a,b為常數(shù))，且x2為f(x)的一個(gè)極值點(diǎn).(i)求a的值；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

11、(m)若函數(shù)yf(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.4解：(I)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,21分:f'(x)=一2ax62分xf(2)24a60,則a=1.4分(n)由(i)知f(x)4lnxx26xb4c-x)=2x6x22x6x4x2(x2)(x1)x由f'(x)>0可彳xx>2或x<1,由f'(x)<0可彳11<x<2.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+s),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)(明由(II)可知函數(shù)f(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(12)單調(diào)遞減，在(2,+»)單調(diào)遞增.且當(dāng)x=1或x=2

12、時(shí)，f'(x)=0.10分f(x)的極大值為f(1)4ln116bb511分f(x)的極小值為f(2)4ln2412b4ln28b12分由題意可知f(1)b50f(2)4ln28b則5b84ln2014分最值例(2012海2)已知函數(shù)f(x)xa2-2x3a(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(n)當(dāng)a1時(shí)，若對(duì)任意xi,X23,)，有f(Xi)f(x2)m成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.解：f'(x)(xa)(x3a)(x23a2)2令f'(x)0,解得xa或x3a(I)當(dāng)a0時(shí)，f'(x),f(x)隨著x的變化如下表x(,33a(3a,a)a(af'(x)00f

13、(x)極小值極大值函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(3a,a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，3a)(a,).4分當(dāng)a0時(shí)，f'(x),f(x)隨著x的變化如下表x(,a)a(a,3a)3a(3a,f'(x)00f(x)極小值極大值函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(a,3a)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，a)(3a,).6分5)當(dāng)a1時(shí)，由(I)得f(x)是(3,1)上的增函數(shù)，是(1,)上的減函數(shù)./x1-又當(dāng)x1時(shí)，f(x)-0.8分x231、1所以f(x)在3,)上的取小值為f(3),最大值為f(1)10分62所以對(duì)任意x1,X23,)，f(xjfd)f(1)f(3)2.3

14、2所以對(duì)任意x1,x23,)，使f(xjf(x2)m恒成立的實(shí)數(shù)m的最小值為一.13分31。C不等式例3(2012房山1)設(shè)函數(shù)f(x)-x2ax3axa(aR).3(i)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)3,f(3)處的切線方程；(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(出)若對(duì)于任意的x(3a,a),者B有f(x)a1,求a的取值范圍.132極值例4(2012豐臺(tái)1)已知函數(shù)f(x)-xax1(aR).(I)若曲線y=f(x)在(1,f(1)處的切線與直線x+y+1=0平行，求a的值;(n)若a>0,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,a2-3)上存在極值，求a的取值范圍；(出)若a>2,求

15、證：函數(shù)y=f(x)在(0,2)上恰有一個(gè)零點(diǎn).1。(單倜性)已知函數(shù)f(x)-xmx3mx1(m0).3(i)若m1,求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程;m的取值范圍.(n)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2m1,m1)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)解：(I)當(dāng)m1時(shí)，f(x)13285-xx3x1,f(2)-461333f'(x)x22x3,f'(2)44355所以所求切線方程為y35(x2)即15x3y25022(口)f'(x)x2mx3m.令f'(x)0,得x3m£xm.由于m0,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(,3m)3m(3m,m)m(m,)

16、f'(x)+00+f(x)單調(diào)增極大值單調(diào)減極小值單調(diào)增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,3m)和(m,).9分要使f(x)在區(qū)間(2m1,m1)上單調(diào)遞增,應(yīng)有m1v3m或2m1>m解得m«一或m“1.11分又m0且m12m112分所以1m2即實(shí)數(shù)m的取值范圍m1m213分基本性質(zhì)(2012朝2)設(shè)函數(shù)f(x)aln”(a0).(D已知曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線l的斜率為23a,求實(shí)數(shù)a的值;(n)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(出)在(I)的條件下，求證：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x)3x.單調(diào)區(qū)間(2012門頭溝2)已知函數(shù)在處有極值.(I)求

17、實(shí)數(shù)的值；(II)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2012東1)已知x1是函數(shù)f(x)(ax2)ex的一個(gè)極值點(diǎn).(I)求實(shí)數(shù)a的值；(n)當(dāng)x1,x20,2時(shí)，證明：f(x1)f(x2)e實(shí)用(2012西城一模)如圖，拋物線yx29與x軸交于兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)C,D在拋物線上(點(diǎn)C在第一象限)，CD/AB.記|CD|2x,梯形ABCD面積為S.(I)求面積S以x為自變量的函數(shù)式；(n)若LCDJk,其中k為常數(shù)，且0k1,求S的最大值.|AB|2(I)解：依題意，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為yCx91分點(diǎn)B的橫坐標(biāo)Xb滿足方不§xB90,解得Xb3，舍去Xb3.2分c1-122所以S-(|CD|AB|)Vc-(2x23)(x29)(x3)(x29)4分由點(diǎn)C在第一象bs,得0x32所以S關(guān)于x的函數(shù)式為S(x3)(x9