微積分與矩陣

1、微積分學（Calculus,拉丁語意為用來計數的小石頭）是研究極限、微分學、積分學和無窮級數等的一個數學分支，并成為了現代大學教育的重要組成部分。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統(tǒng)一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的數學領域中，高等微積分學通常被稱為分析學，并被定義為研究函數的科學，是現代數學的主要分支之一。早在古代，人們就會積分思想，如阿基米德用積分法算出了球的表面積，中國古代數學家劉微運用割元法求出圓周率3.1416,這也是用正多邊形逼近圓，任何求出近似圓周率。J割圓法也是積分思想。我們最偉大

2、的古代數學家（現在是華羅庚）祖沖之也是利用積分算出了圓周率后7位數。和球的體積。但是正正系統(tǒng)提出微積分的是牛頓和萊布尼茨，他們?yōu)檎l先發(fā)明微積分掙得頭破血流。牛頓是三大數學家之一，也是第一位劃時代的物理學家，晚年從事神學和煉金學，它創(chuàng)立了整個經典力學體系和幾何光學，這幾乎成為了整個中學的必修部分，初中的力學和光學默認為幾何光學，力學默認為簡單的經典力學。高中開始正式學習經典力學。這里有一個非常之大的錯誤就是初中里為了方便或簡單，用平均速率來代替平均速度，也就是速度公式v=x/t在初中里用速率公式v=s/t代替。速度和速率一個是矢量，一個是標量，這里差距巨大，不知道編寫初中課本（人教版是這樣）的編

3、者是學歷太低，還是別有用心？這里我們講微積分，之所以提起這個事情，就是為了突出一個名詞一一平均速度。牛頓發(fā)明微積分（暫且認為是他和萊布尼茨共同發(fā)明的）的目的是為了研究物理學,因為微積分能解決很多普通數學不能解決的物體，如求曲邊梯形面積。實際上，我們初中是速度公式是速率公式，即v=s/t高中的速度公式實際上是平均速度公式，即v=x/t這里的念德耳塔，表示變化率，這里當然不是用去乘x了，*是一個整體，就像漢字一樣。實際上，每一個認真觀察課本的人都會發(fā)現，課本上說，在at很小的時候，也就是一瞬間，那么此時的速度叫瞬時速度。課本上并沒有給出瞬時速度的詳細公式，它應該是這樣的：dr是d和r相乘。這里的d

4、和一樣，都是一個符號，而不是一個代數，千萬不要認為上述方程也不能約分為v=r/t。不然的話，難倒一片人的薛定謂方程在小學生的眼里豈不是可以由i)=育中i)化簡為h=H?這里為什么是d,而不是,我們先來看一個微積分的概念一一導數：首先是平均變化率，如果一個自變量x在x0上有增量*,則x的函數f(x)也有變化量f(x0+x)-f(xO)我們把函數的變換量簡記為y,則y=f(x0+x)-f(xO)牛頓(或萊布尼茨)把Ay與*的比值，即y/Ax=f(x0+x)-f(xO)/Ax叫做平均變化率，如果x表示時間，那么位移是時間的函數，滿足x=vt,也就是一個正比例函數如果你知道正比例函數，說明你讀了初二，

5、下面的內容不會很難。但*無窮趨于0的時候，我們記做x-O那么我們得到平均變化率就變成了瞬時變化率，用公式表達是：liinxn=L這里我們用Xn表示平均變化率f(x0+Ax)-f(x0)/AxL用F(x)表示，叫做函數f(x)在x=x0處的導數，或微分，也可以是瞬時變化率。但x-O,我們可以把換成d,那么dx=意我們把dx叫做Ax的微分。那么我們就能明白瞬時速度公式:drV=dt我們現在知道了什么是微分一一x在趨于無限小的時候，dx=X,dx就是*的微分。所謂微分，就是把一個東西放大。如一條曲線，放大后不那么陡峭，再放大就是近似于直線，再放大就是與直線沒什么兩樣了。但放大到無限小的時候，曲線就越

6、接近直線。那么就是當變化量*無限小的時候，dx就叫它的微分。一個函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為limy/x其實lim下面有一個x-O表示*趨于無限小。這個瞬時變化率叫做函數y=f(x)在x=x0處的導數或微分。記做f(x),在關系f上加上一點。即f(x)=limf(x0+x)-f(x0)/Ax這就是導數的定義，求導數的過程叫求導，即微分。函數y=f(x)在x=x0處的導數f(x0)是一個常數，那么，當自變量x變化時,導數f(x)也是x的一個函數。我們稱之為導函數，簡稱導數。記做y'°即y'=f(x)導數f(x0)實際上就是函數y=f(x)在點(x0,f(x

7、0)處的切線的斜率。即tana=k=f(x0)這里tan”叫傾斜角的正切值，k為切線(直線)的斜率也就是傾斜角的正切是這條直線的斜率。這里涉及到最基本的解析幾何。【一個直線與x軸交于一點，那么x軸正方向與這條直線組成的向上的夾角，就是這條直線的傾斜角，而這條直線傾斜角的正切就是斜率，由于90度的角沒有正切值，所以直線與y軸平行，與x軸垂直時，它沒有斜率,但是有傾斜角=90度。所以導數f(x0)實際上就是函數y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線的斜率。當然，求導數不僅僅只有定義，還有以下求導公式：(c)'=0c為常數，也就是常數的導數為0(xAn)'=nxA(n-1)(si

8、nx)'=cosx(cosx)'=-sinx(aAx)'=aAxlna(eAx)'=eAx|(logaX)'=1/xIna(inx)'=1/x這里sin叫正弦、cos叫余弦Ing是對數符號。如aAx=N那么X=logna這里N叫真數，a叫對數的底數，X叫對數。:當a=10時，就表示為lgN當無理數e(歐拉常數)為底的對數，表示被lnN其中e=2.71828這里對數不多講，我們講的是微積分。導數再扯遠了就和物理關系不大了。由于這里是物理吧，而不是數學吧，我們先拋開導數和微分。來看看微分的逆運算一一積分。積分中最基本的是定積分。假設說有一個曲線f(x

9、)和兩條直線*=2和*=屋這兩條直線與x軸交于點a、b我們把這兩點a、b組成一個閉區(qū)間【a、b】就是這個區(qū)間內的點是a<x<b我們把閉區(qū)間【a,b等分為n個小區(qū)間。即a=x0<x1<<x(i-1)vXiv<Xn=b那么每一個小區(qū)間的長度是(b-a)/n在每個小區(qū)間【X(i-1),Xi上取一點(其實就是自變量x的一個取值)3i其中(i=1.2.3n)求和n52g其中Ax是每個小區(qū)間的長度，就是(b-a)/n(b-a)/nf)用通俗點的話說，就是一個曲線f(x)和三個直線x=ax=bx軸組成了一個曲邊梯形。把曲邊梯形的腰一一區(qū)間【a.b1分成n部分。然后每一部分

10、上某一點對應的函數值f(x)就是從這條腰作一條垂線，交于曲線上一點，然后以這個小區(qū)間為寬，做一個長方形。然后(b-a)/n和f(x)的乘積就是這個長方形的面積。而這樣的長方形有n個，于是n個長方形的面積近似于梯形的面積。如下圖:當n一無限大的時候，長方形就會越來越細，也會越來越接近梯形的面積。于是表示為：nlim"Ifx)dx.這個和式我們用一個新的符號：Ja表示。這就是函數f(x)在區(qū)間a,b上的定積分其中，a與b分別叫做積分下限和積分上限，區(qū)間【a,b叫做積分區(qū)間,函數f(x)叫做被積函數，x叫積分變量，f(x)dx叫被積式。我們可以利用定積分做很多普通數學不能完成的事情，如計算

11、曲邊梯形的面積：由y=f(x),x=a,x=b和x軸圍成的曲邊梯形的面積為f(x)dw.其實微分算符位后的f(x)dx應該打上絕對彳1號，就是1f(x)dx1因為梯形的面積是正數，但如果曲線在X軸下面，定積分算出來的結果是負的。另外，我們還可以用定積分求出變速(注意，沒有勻！)直線運動的位移或路程。f/(x)dx.位移X='其中f(x)中的自變量x應該是t,關系式f應該是速度滿足的函數關系式v那么從手打出來是：X=/v(t)dt同樣，路程是：S=/1v(t)dt1(這里v是速率，而1是絕對值號，請原諒我)如果是做功呢？我們知道做功的定義式是作用在物體上面的力使物體在力的方向上移動一段距

12、離。初中的表達式是：W=Fs(這里s還是指路程，實際上應該是位移)高中學了三角函數就是：W=Flcosa而這里F默認為一個常數，但是如果是變力做功呢？那么請定積分來幫忙：W=fF(x)dx其中F(x)是表示變力。復習一下，我們用微積分做了些什么:dr瞬時速度公式.a.瞬時加速度公式變速直線運動位移公式X=/v(t)dt路程公式S=/1v(t)dt1變力做功W=fF(x)dx順帶一提的是，定積分也可以求曲線的長度，在曲線可以很長無限個線段，我們知道畢達哥拉斯定理(勾股定理)那么其中一個線段的長度是：V(Ax)2+(Ay)2求和，有匯U(Ax)2+(Ay)2當x-O時，結果就是/EMdx)2+(d

13、y)2】dx實際上，稍微變形就可以得到/E11+(dy/dx)2dx/(x)dx.如果改變定積分Ja的上限b時，每對應一個b就有一個積分值。f/(z)dx.也就是說，Ja決定于b,把它表示為一個一元函數【PS:本貼討論的函數默認為一元函數】就是/(x)dx.Ja=F(b)那么久有了一個新的函數關系F。_|由于b的定義域是R(暫時不考慮復數)，所以b可以換成自變量x,這函數F(b)就是F(x)/(x)dx.函數F(b)就是省略了積分上限和下限的定積分Ja寫為：/fx)dx=F(x)那么從函數f(x)求F(x)的這種計算叫不定積分”想想也是，省去積分下限的定積分命名為不定積分”設在x與x+x之間，

14、函數f(x)的最大值為兀，最小值為e。(兀和e僅僅表示紀念)那么兀xvF(x+x)<ex除*得到兀vF(x+Ax)-F(x/Ax<e曲x的微分即當x-O的時候，兀和e趨于f(x),表示為：dF(x)/dx=f(x)而F(x)是不定積分，即/f(x)dx=F(x)所以d/f(x)dx/dx=f(x)所以，由/f(x)dx=F(x)得dF(b)/dx=f(x)或/f(x)dx=F(b)于是我們得到結論:不定積分與微分是互為逆運算，即所以不定積分和微分是可以轉換的。于是牛頓和萊布尼茨有話說了：如果f(x)是區(qū)間a.b上連續(xù)的函數，并且F'(x)=f(x)那么roI/(x)dz=F

15、(6)F(a)這就是牛頓-萊布尼茨公式，也叫微積分基本定理。它說明了不定積分和微分是可以轉換的。什么是矩陣？把數字列在一個矩形的表里，如19-13205-6這是一個3x2的矩陣(橫著的叫行，豎著的叫列)只有一行或一列的矩陣叫向量。如15或231是一個向量。如xy是一不三維向量xyz是一個三維向量矩陣允許存在很高維度的向量。18世紀中葉，隨著自然科學的極大發(fā)展，原有的數學模式作為一種工具，無疑已經落后了。自萊布尼茨從形式邏輯中發(fā)展出數理邏輯，數學符號和公式便成為了微積分誕生的有力土壤。微積分可分為微分學和積分學兩類。微分學始于牛頓對勻變速直線運動和他的第二定律的研究，一個重要的問題就是如何把握當

16、一個變量隨自變量變化而呈現出復雜甚至是無序變化時的狀態(tài)。所以，唯一行之有效的方法就是先使自變量取很小值，計算出當下因變量所對應的點值，然后將這些點值加起來。當然，加起來的工作是屬于積分學范疇的。微分的最初形式是牛頓和萊布尼茨分別各自研究出的導數形式，即f(x+x)-f(x)/*形式，但是這一形式誕生之初就遭到了經驗主義哲學家貝克萊主教的詰難，他無法忍受一個概念上的偷換，即：假設有y=sinx,對兩邊求導有y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax=2cos(x+x/2)sin(x/2)/Ax=cosx令貝克萊不解的是牛頓開始說一*明明是一個小增量，但是為什么在結論中又突然等于一0了呢？對

17、于這個問題的解釋，牛頓本人也是無從厘清。最終在主教神學角度”的猛烈攻擊下，釀成了數學的第二次危機(第一次危機是負數的發(fā)現，第三次危機是集h論悖論)，這一危機最終在萊布尼茨提出極限理論和洛必達寫出第一部微積分教程后才得以解決。所以，我們必須要從極限來探討微積分的意義。(一)極限、兩個重要極限之一與高階無窮小：1 .極限首先是一種函數關系在某一點上的反應，因此必須要用變量的語言來描述極限的含義，即：設f(x)在x0|a-n<x0<a+n)(領域)內有定義，當A為某個常數時，如果對于任意給定正數m,都存在一個正數n,使得一切屬于0<|x-x0|<n的自變量x,都有|f(x)-

18、A|<m,這時，稱A為f(x)的極限。(這是最嚴謹的邏輯語言)以上，n-m'語言可以簡化為：當自變量x趨于某一定值時，因變量y也無限接近某個定值，則稱這一定值為y的極限。我們有了極限的定義，那么我們終于可以寫出導數的標準形式了，以上式為例：y'=sin(x+Ax)-sinx/Ax應改為y'=dy/dx=lim(Ax0)sin(x+Ax)-sinx/x2 .兩個重要極限之一：lim(x一0)sinx/x=1,這是一個，0/0循式的極限，可用洛必達法則(1)證明：lim(x一0)sinx/x=lim(x0)(sinx)'/(x)'=lim(x-0)cosx/1=1從而，我們終于可以毫無漏洞地寫出sinx的導數公式：y'=dy/dx=lim(*一0)sin(x+Ax)-sinx/Ax=lim(Ax0)cos(x+x/2)sin(x/2)/(x/2)因為lim(Ax0)(Ax/2)=0所以，原式=lim(x/2)<0cos(x+Ax/2)sin(x/2)/(Ax/2)=lim(x/2)0cosxsin(x/2)/(x/2)