第4章二階非線性光學(xué)效應(yīng)

1、第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.1 線性電光效應(yīng)線性電光效應(yīng) 4.2 光整流效應(yīng)光整流效應(yīng) 4.3 三波混頻及和頻、三波混頻及和頻、 差頻產(chǎn)生差頻產(chǎn)生 4.4 二次諧波產(chǎn)生二次諧波產(chǎn)生 4.5 參量轉(zhuǎn)換參量轉(zhuǎn)換 4.6 參量放大與參量振蕩參量放大與參量振蕩 習(xí)題習(xí)題 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.1 線性電光效應(yīng)線性電光效應(yīng) 線性電光效應(yīng)也叫做普克爾（Pockler）效應(yīng)。 當(dāng)沒(méi)有反演中心的晶體受到直流電場(chǎng)或低頻電場(chǎng)作用時(shí), 其折射率發(fā)生與外加電場(chǎng)成線性關(guān)系的變化。 應(yīng)當(dāng)指出的是, 這里所說(shuō)的低頻電

2、場(chǎng)是與光頻比較而言, 所以微波頻率也包括在內(nèi)。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 線性電光效應(yīng)是一種特殊的二階非線性光學(xué)效應(yīng)。 在這里, 作用于介質(zhì)的兩個(gè)電場(chǎng)， 一個(gè)是光電場(chǎng), 另一個(gè)是低頻場(chǎng)或直流場(chǎng), 在這兩個(gè)電場(chǎng)的作用下產(chǎn)生了二階非線性極化。 現(xiàn)在假定作用于介質(zhì)的直流場(chǎng)為E0、 光電場(chǎng)為E exp(-it)+c.c., 則根據(jù)極化強(qiáng)度的一般表示式（1.1-39）式和（1.1-40）式, 有.: ),(.: )0 ,(2: ),(2: )0 , 0()(.)()0()(20)2(00)2(0)2(000)2(0)2(00)1(0)1(cceEEcceEEEEEEtPccEeE

3、tPtititi(4.1-1) (4.1-2) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 因此, 相應(yīng)于頻率為的極化強(qiáng)度分量表示式為 .)0 ,(2)(.)0 ,(2.)(),(0)2()1(00)2(0)1(0cceEEcceEEcceEtPtititi(4.1-3) 由此可見, 直流電場(chǎng)的作用使得介質(zhì)對(duì)頻率為的極化率張量改變了 。 在這種情況下, 電位移矢量為 D=0E+PL+PNL=E+PNL0)2()0 ,(2E第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 或用分量形式表示為 EEEPEDeff)()0 ,(2(00)2(00(4.1-4)這里的是相對(duì)介電常數(shù)張量元素。 因

4、此, 由于直流電場(chǎng)的作用, 使頻率為的相對(duì)介電常數(shù)張量產(chǎn)生了一個(gè)變化量 : 0)2()0 ,(2E)(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 折射率橢球幾何法描述 在第三章, 我們利用折射率橢球詳細(xì)地討論了光波在介質(zhì)中的傳播特性。 在主軸坐標(biāo)系中的折射率橢球表示式為1222222xxxzzyynx第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由上面的討論已知, 由于直流電場(chǎng)E0的存在, 引起了介電常數(shù)張量的變化, 也就引起了折射率橢球方程的系數(shù)1/n2x、 1/n2y、 1/n2z發(fā)生變化。 因此, 在有直流電場(chǎng)存在時(shí), 應(yīng)將折射率橢球方程寫成如下一般的形式: 112121

5、2 111625242232222212xynzxnyznznynxn(4.1-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 當(dāng)直流電場(chǎng)為零, 且x、 y、 z軸分別平行于三個(gè)介電主軸時(shí), 有01,1101,1101,11062203205220220422012000000EzEEyEExEnnnnnnnnn(4.1-7) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1） KDP（KH2PO4）晶體中的線性電光效應(yīng) KDP晶體屬于42m對(duì)稱群, 其光軸取為z軸, 另外兩個(gè)對(duì)稱軸為x軸和y軸。 根據(jù)表4.1-1, 它的線性電光張量的非零元素只有41=52和63, 其矩陣形式為6

6、34141000000000000000(4.1-20) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 當(dāng)外加直流電場(chǎng)E0=0時(shí), KDP晶體的折射率橢球方程為 1222222eoonznynx(4.1-21) 晶體外加直流電場(chǎng)E0時(shí), 折射率橢球方程應(yīng)為1222262524232222212nxynzxnyznznynx(4.1-22) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由（4.1-19）式關(guān)系, 有 3636232241522214142121, 011, 011, 01EnnEnnEnn所以, E00時(shí), KDP晶體的折射率橢球方程為 1222063041041222

7、222xyEzxEyzEnxnynxxyxeoo(4.1-23) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.1-1 坐標(biāo)變換關(guān)系 xxyz,zyO45 45 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 43m類晶體的線性電光效應(yīng)（橫向運(yùn)用） 43m類晶體為立方晶系類, 屬于這類晶系的晶體有CuCl、 ZnS、 GaAs、 ZnTe等。 這類晶體未加電場(chǎng)時(shí), 光學(xué)性質(zhì)是各向同性的, 其折射率橢球?yàn)樾D(zhuǎn)球面, 方程式為 x2+y2+z2=n20 (4.1-30) 式中, x、 y、 z取晶軸方向, 它們的線性電光張量矩陣為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng)

8、 因此, 外加直流電場(chǎng)E0后的折射率橢球方程為414141000000000000000(4.1-31) 1)(200041202202202xyEzxEyzEnznynxzyx(4.1-32) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 麥克斯韋方程解析法描述 如前所述, 線性電光效應(yīng)是一種二階非線性光學(xué)效應(yīng), 由于直流電場(chǎng)的作用, 使介質(zhì)對(duì)頻率為光波的相對(duì)介電常數(shù)張量變?yōu)?)2(2)(Eeff(4.1-40) 將變化后的介電常數(shù)張量代入描述晶體光學(xué)性質(zhì)的基本方程（3.1-9）式, 得EEkkEcnDeff)(202(4.1-41) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效

9、應(yīng) 1） KDP晶體的線性電光效應(yīng) 假定外加直流電場(chǎng)平行于光軸（z軸）, 并且根據(jù) 42m類晶體的二階極化率張量形式zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000KDP晶體的有效相對(duì)介電張量元素可表示為 ozzozeffEE)2()2(22)(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 寫成矩陣的形式為 zzxxozxyzozxyzxxeffrEE000202)()2()2(將(r)eff代入（4.1-41）式, 得 )()()(000000)()()(0002022222)2()2(zyxzyxzzzzxxozxyzozxyzxxEEEnnnEEEnkk

10、EE (4.1-42) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2） 43m類晶體的電光效應(yīng)（橫向運(yùn)用） 43m類晶體的二階非線性極化率張量的形式為 zxyzxyxyzxzyxzyxyz000000000000000000000這里的二階非線性極化率張量元素有如下的對(duì)稱性: )2()2()2()2()2()2(yxzyzxzyxzxyxzyxyz第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 假設(shè)外加直流電場(chǎng)的方向?yàn)閦方向, 光波在xOy平面內(nèi)沿著x、 y軸的對(duì)角線方向傳播, 因而有2/245sin2/245coskkkkyx 式中, k表示光波傳播方向的單位矢量, 所以有效相對(duì)介

11、電張量為rrzxyzzxyzreffrEE000202)(0)2(0)2(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.1-2 4 43m晶體橫向運(yùn)用時(shí)的本征矢示意 zykxO本征矢E2本征矢E1第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.2 光光 整整 流流 效效 應(yīng)應(yīng) 若令光波電場(chǎng)的空間變化部分為 rkcniaeEE0(4.2-1) 式中, E0為光波電場(chǎng)的振幅, a為光振動(dòng)方向的單位矢量, k為光波傳播方向的單位矢量, 則由于二次非線性效應(yīng)產(chǎn)生的直流極化強(qiáng)度為aaEEEP: ),(2: ),(2)2(200)2(00(4.2-2) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階

12、非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)上面的假定, 光波在KDP晶體中傳播時(shí), 其尋常光分量有ax0, ay0, az=0, 非常光分量有ax=ay=0, az0。 又根據(jù)KDP晶體(2)的空間對(duì)稱性, 只有 中三個(gè)腳標(biāo)都不相同的元素才不為零。 所以, 如對(duì)于尋常光和非常光分別按（4.2-2）式展開, 就可以得到它們的P0 x和P0y分量皆為零, 但對(duì)P0z分量?jī)烧卟煌? 非常光的P0z=0, 尋常光的P0z0。 對(duì)于尋常光來(lái)說(shuō), ),()2(yxzxyyxzyxyxzxyzaaEaaaaEP),(4),(),(2)2(200)2()2(2000(4.2-3) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng)

13、這表示在z方向有一個(gè)恒定的極化強(qiáng)度分量P0z。 假設(shè)光波的傳播方向k與晶軸x之間的夾角為, 則有cos,sinyxa將其代入（4.2-3）式, 便得 2sin),(2)2(2000zxyzEP(4.2-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3 三波混頻及和頻、三波混頻及和頻、 差頻產(chǎn)生差頻產(chǎn)生 4.3.1 三波混頻的耦合方程組 由二階非線性極化強(qiáng)度的一般表示式（1.2-36）式, 可以得到三波混頻中任何一對(duì)光波所感應(yīng)的非線性極化強(qiáng)度復(fù)振幅為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)（3.3-23）式, 三個(gè)頻率1、 2和3的光電場(chǎng)標(biāo)量復(fù)振幅E(1,z)， E(

14、2,z)和E(3,z)滿足的微分方程分別為),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(),(),(: ),(2)(2121)2(03)2(1*313)2(02)2(2*323)2(01)2(zEzEPzEzEPzEzEP(4.3 - 1)(4.3 - 2)(4.3 - 3)第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) zikNLzikNLzikNLezPakidzzdEezPakidzzdEezPakidzzdE321),()(2),(),()(2),(),()(2),(333023322202221110211(4.3-4) (4.3-5) (4.3-6) 第第4章章 二階非

15、線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中的PNL (,z)為zkkiNLzkkiNLzkkiNLezEzEaazPezEzEaazPezEzEaazP)(212121)2(01)(131313)2(02)(232323)2(01231323),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(),(),()()(: ),(2),(將（4.3-7）式（4.3-9）式分別代入（4.3-4）式（4.3-6）式, 并令第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) kziezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(2121321)2(23233kzikz

16、iezEzEaaackidztdEezEzEaaackidztdE),(),()()()(: ),(),(),(),()()()(: ),(),(1313213)2(222222323123)2(21211 (4.3-11) (4.3-12) (4.3-13) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.2 曼利-羅關(guān)系 現(xiàn)將（4.3-16）式乘 , （4.3-17）式乘 , （ 4 . 3 - 1 8 ） 式 的 復(fù) 數(shù) 共 軛乘 , 再將所得三式相加, 可得),(111zEk),(222zEk),(333zEk0),(),( ),(),(),(),(323322221111d

17、zzdEzEkdzzdEzEkdzzdEzEk(4.3-19) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在得到上式時(shí)已利用了關(guān)系1+2=3。 現(xiàn)再取（4.3-19）式的復(fù)數(shù)共軛并與（4.3-19）式相加, 有常數(shù)233322222111233322222111),(),(),(0),(),(),(zEkzEkzEdzdkzEdzdkzEdzdkzEdzdk對(duì)該式積分, 得 (4.3-20) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 因?yàn)槟芰髅芏萐的表示式為202)(2)(221EkES所以（4.3-20）式可表示為 常數(shù)321SSS(4.3-21) 第第4章章 二階非線性光學(xué)

18、效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.3 和頻產(chǎn)生 上面給出的方程組（4.3-16）（4.3-18）是討論非線性介質(zhì)中三波(1,2,3=1+2)混頻的基本耦合波方程組。 現(xiàn)在我們首先討論和頻產(chǎn)生的情況。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 小信號(hào)近似理論處理 在滿足相位匹配條件下, 即k=0時(shí), 方程（4.3-18）式的解為zEEckizEeff)0 ,()0 ,(),(21)2(23233(4.3-31) 這就是在小信號(hào)近似和滿足相位匹配條件下所得到的和頻光電場(chǎng)E(3,z)的變化規(guī)律。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 大信號(hào)理論處理 在1和2入射光電場(chǎng)振

19、幅為E0(1,0)和E0(2,0)的情況下, （4.3-16）式（4.3-18）式的一般解為3)0 ,()0 ,()0 ,(21),()0 ,(),(10202112222110)2(213223222202122323230EEkkkZEkkcukusnEkkzEeff(4.3-35) (4.3-36) (4.3-37) 式中 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在這里, 頻率為2的光場(chǎng)分量已表示為入射光頻率為1 和2兩個(gè)分量中強(qiáng)度較弱的一個(gè)。 sn(u,k)是以u(píng)和k為參變量的雅可比橢圓函數(shù), 它是由第一類橢圓積分逆變換得來(lái)的。 已知第一類橢圓積分為ukdkF022sin1)

20、,(第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 該橢圓積分的逆變換sin是u和k的函數(shù), 用sn(u,k)表示, 即為雅可比橢圓函數(shù), 所以有 sn(u,k)=sin (4.3-38) 因?yàn)閟in是周期函數(shù), 所以sn(u,k)也是周期函數(shù), 而且最大值等于1。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.3-1 在相位匹配條件下, N隨z變化規(guī)律 N0p/2pz)0(2 N)0(1 N第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.3.4 差頻產(chǎn)生 1. 小信號(hào)近似理論處理 在z很小的情況下, 可以將E(3,z)和E(1,z)看作常數(shù), 在完全相位匹配條件下直接積分

21、（4.3-17）式, 可得zEEckzEeff)0 ,()0 ,(21),(1030)2(222220以及 02321(4.3-44) (4.3-45) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, lM就是由（4.3-）式定義的用來(lái)表征混頻過(guò)程速率的特征長(zhǎng)度, 用lM表示（4.3-44）式時(shí), 有2)0()(32MlzNzN(4.3 - 46)MlzzEkkzE),(),(30212322230(4.3-47) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 大信號(hào)理論處理 差頻光波的光子通量 的一般解形式為2N,)0()0()0(,)0()0()0()0()0()0()

22、0()(2121231313131312MMlzNNNlzNNNfNNNNzN(4.3-48) 式中, 函數(shù)f(u,k)是雅可比橢圓函數(shù)sn(u,k)和dn(u,k)之比, 即),(1),(),(),(),(22kusnkkudnkudnkusnkuf(4.3-49) (4.3-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.3-2 在相位匹配條件下N隨z的變化規(guī)律 N0p/2pz)0(1 N)0(3 N第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.4 二次諧波產(chǎn)生二次諧波產(chǎn)生 4.4.1 理想均勻平面波的二次諧波產(chǎn)生 1. 二次諧波產(chǎn)生 二次諧波產(chǎn)生是和頻產(chǎn)生的特殊

23、情況, 但不能簡(jiǎn)單地將1=2代入上節(jié)對(duì)和頻產(chǎn)生討論所得到的結(jié)果中, 這是因?yàn)楫?dāng)1=2時(shí), 除由1和2產(chǎn)生和頻外, 還分別有1和2的二次諧波產(chǎn)生的過(guò)程, 但在上節(jié)討論和頻產(chǎn)生規(guī)律時(shí), 并沒(méi)有考慮這些二次諧波產(chǎn)生過(guò)程。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 對(duì)于二次諧波產(chǎn)生過(guò)程, 假設(shè)k2和k分別表示頻率為2和的光波傳播常數(shù), 則按（3.3-23）式, 二次諧波產(chǎn)生過(guò)程中的耦合方程為kzikziezEzEaaackidzzdEezEaaackidzzdE),(),2()()2()(),2(),(),()()()2(),(2),2()2(222)2(222(4.4-1) (4.4-2)

24、式中 22kkk(4.4-3) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 方括號(hào)中點(diǎn)乘的定義見（4.3-14）式。 和論證（4.3-15）式類似, 如果介質(zhì)在頻率和2處是無(wú)耗的, 則張量(2)(,)是實(shí)數(shù), 就有 ),2(),2(),()2()2()2(4.4-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 上式中最后一個(gè)等式已利用了極化率張量的時(shí)間反演對(duì)稱性。 因此, （4.4-1）式和（4.4-2）式中方括號(hào)相等, 并令其等于 , 即有)2(effkzieffkzieffezEzEckidzzdEezEckidzzdE),(),2(),(),(2),2()2(222)2(2

25、22(4.4-5) (4.4-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在上二式中消去 , 可以得到 )2(eff常數(shù)222),(),2(21zEkzEk(4.4-7) 或用能流密度表示時(shí), 可得如下關(guān)系式 常數(shù)SS2(4.4-8) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-1 相位匹配條件下二次諧波產(chǎn)生規(guī)律00.51.012E0(2, z) / E0(, 0)基波二次諧波SHlz第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 有效非線性光學(xué)系數(shù) 1) 有效非線性極化率 在前面求解三波混頻的耦合波方程時(shí), 引入了有效非線性極化率 。 例如, 對(duì)于頻率為

26、3的光電場(chǎng)有)2(eff)()()(),()()(: ),()(21321)2(2121)2(3)2(aaaaaaeff(4.4-26) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-2 o光與e光偏振在各晶軸上的投影 zko偏振e偏振yxO第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2） 有效非線性光學(xué)系數(shù) 在非線性光學(xué)中, 除了采用非線性極化率張量(2)描述非線性作用外, 習(xí)慣上, 特別是實(shí)驗(yàn)工作者, 更常采用非線性光學(xué)系數(shù)d描述非線性相互作用。 d與(2)有如下關(guān)系6: ),(2),(),(),()2(2121)2(dd(4.4-30) (4.4-31) 第第4章章

27、 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 若用d替代三波混頻耦合波方程中的(2), 同樣可以得到有效非線性光學(xué)系數(shù)deff: )()(: ),()(21213aadadeff(4.4-32) 它是一個(gè)標(biāo)量, 同樣表征了光混頻中的光波耦合。 表 4.4-1 某些晶類的dl(2)獨(dú)立分量數(shù)目( 略）. 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.4.2 高斯光束的二次諧波產(chǎn)生 假設(shè)基波TEM00模高斯光束的電場(chǎng)由下式表示: .)(21),(1011ccerEtrEti(4.4-42) 式中 )1()arctan(2110)1(110011121111121111),(ibrkzkiibrk

28、zikeeiEeeiEzyxE(4.4-43) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-3 高斯光束 光束軸光軸xzf晶體lmo第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1) 近場(chǎng)(11)、 不考慮走離效應(yīng)此時(shí), TEM00模高斯光束電場(chǎng)表達(dá)式可簡(jiǎn)化為zikbrkeeEzyxE11211001),(4.4-44) 該式表明, 在近場(chǎng)區(qū)高斯光束的波陣面為平面, 因此可以利用平面波情況下的耦合波方程（4.4-1）進(jìn)行討論, 只是在這里應(yīng)以 代替方程中的E(1,z), 以2deff代替 。 于是, 耦合波方程為)2(eff12110brkeEkzibrkeffeeEdc

29、nidzdE1212210202(4.4-45) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在小信號(hào)近似情況下可得 2/)2/sin(2222101202121klkleeEnldiEklibrkeff(4.4-46) 基波高斯光束功率為 222)(22101021021001201020011IEcnrdrdrEcnP(4.4-47) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2221021021221222202020022)2/()2/(sin82klklPcnndlrdrdEcnPeff(4.4-48) 因此, 二次諧波產(chǎn)生效率為 2221012122122212)2/

30、()2/(sin8klklPcnndlPPeff(4.4-49) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由（4.4-46）式可以看出, 二次諧波也是高斯光束, 它的束腰半徑w20為22101120kb(4.4-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 近場(chǎng)(11)、 考慮走離效應(yīng)7 為討論簡(jiǎn)單起見, 假定滿足相位匹配條件(k=0), 并假定走離發(fā)生在xOz平面內(nèi)（見圖4.4-4）, 走離角為。 我們?nèi)灾挥懻撔⌒盘?hào)近似。 由于考慮的是近場(chǎng)情況, 所以仍可采用平面波耦合方程（4.4-45）, 但是在計(jì)算晶體輸出面上的總諧波場(chǎng)時(shí), 積分路徑必須沿著能量傳播方向（與z

31、軸夾角為）。 在這種情況下, 晶體輸出面上某點(diǎn)B(x,y,l)的二次諧波場(chǎng)幅度E02(x,y,l), 應(yīng)是虛線AB上各點(diǎn)的非線性極化發(fā)射的二次諧波場(chǎng)的疊加。 因此, 對(duì)方程（4.4-45）式的積分為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-4 考慮走離效應(yīng)時(shí)諧波場(chǎng)的積分路線 OlzAx2B(x,y,l )(x , y , z )第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, x, y, z是積分路徑AB上各點(diǎn)的坐標(biāo), zdeEdcnilyxElyxbkeff0)(22102022211),(4.4-51) yyzlxx)( (4.4-52) 將（4.4-52）式代

32、入（4.4-51）, 可得 zdeEdcnilyxElybkzlxbkeff02)(2210202211211),(4.4-53) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 引入歸一化坐標(biāo)8 allbkltbkzbklxu222)(2111111(4.4-54) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, la是高斯光束的走離長(zhǎng)度, 定義為 1011kbla(4.4-55) 并且定義積分deltuFtu0)(21),(4.4-56) 則（4.4-53）式可表示為 ),(),(2112210202tulFeEdcnilyxEybkeff(4.4-57) 第第4章章 二階非線

33、性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 3) 一般情況 對(duì)于既包括雙折射引起的走離效應(yīng), 又包括高斯光束發(fā)散影響的一般情況, 不能直接采用平面波耦合波方程求解。 博伊德(Boyd)和克萊曼(Kleinman)經(jīng)過(guò)詳細(xì)證明9, 給出了遠(yuǎn)場(chǎng)情況下高斯光束二次諧波產(chǎn)生的效率表示式為),(811021221212BhlkPcnndPPmeff(4.4 - 62)第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 式中, B是雙折射參量, 其表示式為211)(21lkB(4.4-63) 是聚焦參數(shù), 表示式為 1bl (4.4-64) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-5 不同t值下,

34、函數(shù)F2(u,t)的變化曲線 1.00.80.60.40.2010 8 6 4 20 2t =1052.51t =0.5F 2(u, t)u第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-6 函數(shù)G(t)變化曲線7 10.001.000.100.010.11.010.0100.0G(t)a21/)2(llt第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.4-7 函數(shù)hm(B,)在各種B值下與的關(guān)系曲線 1.39168421B02.841010210310 110 2110 30.010.11.010hm(B, )第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.

35、4-8 函數(shù)hmm(B)與B的關(guān)系曲線 1.00.80.60.40.20021345678hmm(B)B第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 最后, 我們列出各種極限情況下的效率公式: )()()()(),(75. 4482222101021221212fafaafaffaffafaeffllllllllllllllllllllllPcnndPP(4.4-65) 式中, lf稱為高斯光束的有效焦長(zhǎng), 12blf(4.4-66) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.5 參參 量量 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 換換 4.5.1 參量轉(zhuǎn)換的理論分析 在實(shí)際情況中, 起頻率轉(zhuǎn)換作用的強(qiáng)光波E(

36、1)（有時(shí)稱為泵浦光）通常都比弱光波（有時(shí)稱為信號(hào)光）強(qiáng)得多, 所以在頻率轉(zhuǎn)換過(guò)程中, 泵浦光所損失或得到的功率與其總功率相比很小, 因此可忽略其強(qiáng)度的變化, 認(rèn)為E(1)為常數(shù)。 這種近似不僅適用于小的z值, 對(duì)所有的z值都適用。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)上面所給出的近似, 我們可以一般地求解 （4.3-17）式和（4.3-18）式。 將（4.3-17）式對(duì)z求導(dǎo), 得kzieffkzieffkeEzEckeEdzzdEckidzzEd)(),()(),(),(13)2(222213)2(2222222(4.5-1) 由（4.3-17）式可以求得 kzieffe

37、dzzdEEickzE),()(),(21)2(22223(4.5-2) 式中, lM是由（4.3-41）式定義的特征長(zhǎng)度。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.5.2 參量上轉(zhuǎn)換 參量上轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)裝置的示意圖如圖4.5-1所示。 第一個(gè)觀察到參量上轉(zhuǎn)換的實(shí)驗(yàn)所利用的非線性晶體是KDP, 紅寶石激光器發(fā)出的激光作為泵浦光, 光脈沖的平均功率為1 kW, 信號(hào)光是用水銀燈發(fā)出的譜線, 每條譜線的功率大約為10 mW量級(jí), 所以信號(hào)光的強(qiáng)度比泵浦光強(qiáng)度小得多（相差約105倍）。 在實(shí)驗(yàn)中盡可能使之達(dá)到相位匹配條件, 得到大約10-9 W的產(chǎn)生波功率, 可見其上轉(zhuǎn)換效率是很低的。 在

38、這樣小的轉(zhuǎn)換輸出強(qiáng)度情況下, 上轉(zhuǎn)換輸出強(qiáng)度與輸入信號(hào)強(qiáng)度之間存在著線性關(guān)系, 這種關(guān)系也正是（4.5-8）式所預(yù)示的情況。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.5-1 參量上轉(zhuǎn)換實(shí)驗(yàn)示意圖 非線性晶體輸入信號(hào)21，211，2，33部分反射鏡濾波器第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.5-2 參量上轉(zhuǎn)換過(guò)程的波矢關(guān)系 kIRvkLkIRkvIR第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4.6 參量放大與參量振蕩參量放大與參量振蕩 4.6.1 參量放大 首先應(yīng)當(dāng)明確, 在激光放大器和激光振蕩器中, 增益是由原子或分子能級(jí)之間的粒子數(shù)反轉(zhuǎn)提供的,

39、而在參量放大器和參量振蕩器中, 增益則是由非線性介質(zhì)中光波之間的相互作用產(chǎn)生的。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在4.5節(jié)中我們已經(jīng)知道, 參量上轉(zhuǎn)換過(guò)程中, 原來(lái)信號(hào)光(2)的強(qiáng)度 限制了從泵浦光(1)輸送到轉(zhuǎn)換光(3)的功率 。 但是在參量放大的情況下, 限制功率輸送的是泵浦光強(qiáng)度, 因而在參量放大中, 有可能輸送更大的能量。 )0(2N)(3zN第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)以上的說(shuō)明可以看到, 在耦合波方程(4.3-16)(4.3-18)中的任何一個(gè)光電場(chǎng)振幅E(1,z)、 E(2,z)和E(3,z)都不能認(rèn)為是不變的, 即使是泵浦光E(3,

40、z)， 原則上也可以減小到零, 而同時(shí)信號(hào)光E(1)和空閑光E(2)得到不斷地增大。但是, 如果只限定討論z值足夠小的情況, 這時(shí)雖然信號(hào)光和空閑光已可能發(fā)生了顯著的變化, 但泵浦光還未發(fā)生顯著的減小, 則此時(shí)仍可把泵浦光E(3)看作常數(shù)。 利用這種近似, 我們可以求解方程(4.3-17)式和(4.3-16)式。 消去E(1,z)后, 可以得到E(2,z)的微分方程為第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 0),(1),(),(222222zEldzzdEkidzzEdPA(4.6-1) 式中 130)2(212122212)(21EkkcleffPA(4.6-2) 第第4章章 二階

41、非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) zkleklEEckizEPAkziPAeff21222212231)2(2222221sin211)0 ,()0 ,(),(4.6-3) 和 PAPAPAlzlkshlkNzN212222121)0()(12(4.6-4) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 再由曼利-羅關(guān)系得到 )0()0(2121NNNN常數(shù)(4.6-4) 假定開始時(shí), , 則信號(hào)光的光子通量為 0)0(2N)0(212121)()0()(1211221222NlklzlkshlkzNNzNPAPAPAPA(4.6-6) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4

42、.6.2 參量振蕩 圖4.6-1示出了一種對(duì)信號(hào)光和空閑光雙共振的參量振蕩器的原理結(jié)構(gòu)。 圖中頻率為3的激光作為參量振蕩器的泵浦光, 總的增益將使1和2光波在含有非線性晶體的光學(xué)諧振腔內(nèi)產(chǎn)生振蕩。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-1 雙共振參量振蕩器示意圖 激光介質(zhì)非線性晶體泵浦激光器振蕩器R1R21R3 0R1R21R3 0第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1. 參量放大基本方程的另一種形式因?yàn)閔EnhSNEnEnS200020002020)(21)(21)(21因而(n|E0()|2/)與頻率為的光子通量成正比。 令 2220)(4)(EnAE

43、n第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 就有關(guān)系 AnE21)(4.6-10) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2. 參量振蕩的自洽條件 分析參量振蕩的基本模型如圖4.6-2所示。 為簡(jiǎn)單起見, 假定非線性晶體本身作為一個(gè)光學(xué)諧振腔, 其兩端對(duì)信號(hào)光和空閑光的反射率為R1,2=|r1,2|2, r為反射系數(shù)。 腔鏡對(duì)泵浦光是透明的。 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-2 推導(dǎo)參量振蕩條件的模型 AaAbAcAdAe泵浦參考平面Aa第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 在腔中任一平面z處的信號(hào)光可以用下面的行“矢量” 描述:

44、zikzikezAezAzA21)()()(21(4.6-21) 式中, ki=ini/c, A上面的“”表示此矢量是人為假定的。 按(4.6-17)式、 (4.6-19)式和(4.6-21)式, 在非線性晶體內(nèi)通過(guò)腔長(zhǎng)l時(shí)的 (l)為A第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) )0()0()(2)()()()(2)()()()(21)2(0)2(0)2()2(21221121AAlshkilchelshielshielshkilcheelAelAlAlkkilkkilkkilkkiliklik(4.6-22) 如果 (z)在諧振腔內(nèi)往返一周保持不變, 就表示信號(hào)光和空閑光處于穩(wěn)定的振

45、蕩狀態(tài)。 現(xiàn)在就來(lái)推導(dǎo)參量振蕩器的振蕩條件。 A第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 3. 參量振蕩器的閾值條件 1) 雙共振參量振蕩器的閾值條件 所謂雙共振參量振蕩器, 就是對(duì)頻率為1的信號(hào)光和頻率為2的空閑光都有高Q值的振蕩器。 將(4.6-31)式和(4.6-30)式代入(4.6-29)式后, 便得到雙共振情況下的參量振蕩條件為 1)()()( 1)(1)(2102102210201RRlchRRlshRRlchRlchR即 (4.6-32) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 再利用泵浦強(qiáng)度表示式 )1)(1 ()(210RRlth(4.6-33) 23023

46、003)(21EnS(4.6-34) 及0的定義(4.6-12)式, 可以得到雙共振參量振蕩器的閾值泵浦強(qiáng)度為)1)(1 ()(2)(212)2(022132123003RRlnnnSeffth(4.6-35) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 單共振參量振蕩器的閾值條件 所謂單共振參量振蕩器， 是指只有一個(gè)頻率的光波（如頻率為1的信號(hào)光）在腔鏡處被反射返回形成振蕩, 而空閑光2只能在一個(gè)方向上傳播的振蕩器, 它的典型原理裝置如圖4.6-3所示。 這是一種非共線相位匹配的情況, 三個(gè)波的方向各不相同, 可以將信號(hào)光與空閑光分開來(lái)。 這樣的非共線相位匹配條件要求213kkk

47、(4.6-39) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-3 單共振參量振蕩器結(jié)構(gòu)示意 M1(R1)M2(R2)k1k3k2非線性晶體棱鏡棱鏡泵浦第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 根據(jù)參量振蕩器的振蕩條件(4.6-29)式, 令r2=0, 就有 1)(12021lkielchr(4.6-40) 這就是單共振參量振蕩器的閾值條件。 考慮到(4.6-30)式, 我們又可以把(4.6 - 40)式分解為相位條件mlk2211(4.6-41) 和振幅條件 1)(01lchR(4.6-42) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 由此可見, 單共振參量振

48、蕩器振蕩的相位條件(4.6-41)式與雙共振參量振蕩的相位條件(4.6-31)式是相同的, 只是對(duì)空閑光的相位2沒(méi)有限制。 對(duì)于R11的情況, 閾值條件(4.6-42)式又可寫成)1 (2)(10Rlth(4.6-43) 可見, 單共振參量振蕩器的閾值泵浦相對(duì)于雙共振參量振蕩器增大了, 且有 20012)()(Rllthth雙單(4.6-44) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 4. 參量振蕩器的頻率調(diào)諧 光參量振蕩器的最大特點(diǎn)是其輸出頻率可以在一定范圍內(nèi)連續(xù)改變, 不同的非線性介質(zhì)和不同的泵浦源, 可以得到不同的調(diào)諧范圍。 當(dāng)泵浦光頻率3固定時(shí), 參量振蕩器的振蕩頻率應(yīng)同時(shí)滿

49、足頻率和相位匹配條件213213kkk(4.6-45) (4.6-46) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 若三波波矢共線, 則有 221133nnn(4.6-47) 將(4.6-45)式代入, 得 2211213)(nnn因而有 133221nnnn(4.6-48) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 1) 角度調(diào)諧 在共線相位匹配的情況下, 假定頻率為3的泵浦光是非常光, 1和2光波是尋常光, 又假定晶體光軸與諧振腔軸之間的夾角為某一角度0時(shí), 在10和20處發(fā)生振蕩, 其折射率分別為n1o和n2o, 則按(4.6-47)式應(yīng)有 3n3e(0)=10n1o+2

50、0n2o (4.6-49) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)晶體使晶體相對(duì)原來(lái)的方向轉(zhuǎn)過(guò)角度, 就引起折射率n3e()變化。 為滿足相位匹配條件(4.6-47)式, 1和2必須稍有改變, 這又導(dǎo)致折射率n1o和n2o的改變。 這樣, 相對(duì)于0時(shí)的振蕩, 新舊振蕩之間有如下的改變: 33n3e(0)n3e(0)+n3n1on1o+n1n2on2o+n21010+12020+2第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 并且, 根據(jù)能量守恒條件(4.6-45)式, 有 -2=1 因?yàn)楝F(xiàn)在要求新的一組頻率滿足(4.6-47)式, 故應(yīng)有 3(n3e(0)+n3)=(20

51、+2)(n2o+n2) +(10+1)(n1o+n1) 略去n的二階小量, 并利用(4.6-45)式, 可得oonnnnn21220110331(4.6-50) 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 圖 4.6-4 信號(hào)光頻率1隨的變化曲線 450500600 70010001500波長(zhǎng) / nm024682.52.01.51.0光子能量 / eV0.60.40.200.2 0.4 0.6頻率偏移量 轉(zhuǎn)動(dòng)角度/ 第第4章章 二階非線性光學(xué)效應(yīng)二階非線性光學(xué)效應(yīng) 2) 溫度調(diào)諧 在非臨界相位匹配(m=90)的情況下, 可以通過(guò)改變溫度來(lái)改變光的折射率, 從而使振蕩頻率發(fā)生變化。 在這種情況下, (4.6-50)式仍然適用, 只不過(guò)折射率的改變n1、 n2和n3是由溫度變化T引起的, 且有TTnnnTnnnnTTnnTT