同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)-2-7節(jié)函數(shù)的微分ppt課件

1、第七節(jié)函數(shù)的微分 微分的意義與近似計算函數(shù)的微分的定義問題的提出問題的提出實例實例: :正方形金屬薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量. .20 xA 0 x0 x,00 xxx 變到變到設(shè)邊長由設(shè)邊長由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數(shù)數(shù)Ax .,很很小小時時可可忽忽略略當(dāng)當(dāng)?shù)牡母吒唠A階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函數(shù)的改變量求函數(shù)的改變量時時為為處的改變量處的改變量在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)30

2、30)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小時時當(dāng)當(dāng) x .320 xxy ),()2(xox 的高階無窮小的高階無窮小是是既容易計算又是較好的近似值既容易計算又是較好的近似值問題問題: :這個線性函數(shù)這個線性函數(shù)( (改變量的主要部分改變量的主要部分) )是否是否所有函數(shù)的改變量都有所有函數(shù)的改變量都有? ?它是什么它是什么? ?如何求如何求? ?1.微分的概念y =Ax + o(x)此時, 稱 f (x) 在點 x0 處可微 。設(shè) y = f (x) 在 U(x0) 有定義, 給 x0 以增量x , 且 x0+x U(x0) 。如果函數(shù)相應(yīng)的增量可表示為則

3、稱 y 的線性主部為 f (x)在點 x0 處的微分,記為 d y =Ax , 其中, A 叫微分系數(shù) 。2.可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理 ).( , )( )(000 xfAxxfxxf且處可導(dǎo)在點處可微在點y = f (x0)x + o(x)dy = f (x0)x 也就是說 , f (x) 在點 x0 處的可微性與可導(dǎo)性是等價的 , 且 f (x) 在點 x0 處可微 , 那么.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或記記作作微微分分稱稱為為函函數(shù)數(shù)的的的的微微分分在在任任意意點點函函數(shù)數(shù)解解.d , yxy求什么意思？例例1 1自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成:該

4、例說明:xxdxxfyd)(dxxfxfd)()(d 或此外, 當(dāng) x 為自變量時, 還可記. )( d , d22等Znxxxxnn ,1)(dxxxxy , 故得由于xy .ddxxy. dd)( , d)(d xyxfxxfy有時當(dāng)即函數(shù) f (x) 在點 x 處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分 d y 與自變量的微分 d x 的商, 故導(dǎo)數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法, 這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導(dǎo)公式就好理解了.解解xxxxyd3d)(d231 . 0221 . 02d3dxxxxxxy)d( 2 . 11 . 0232xx 故xxxyxxd12d3d222 . 2 , 1 . 0 ,

5、2 3處的微分在時以及當(dāng)處的微分在求xxxxy例例2 2)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 幾何意義幾何意義:(如圖如圖).,對應(yīng)的增量對應(yīng)的增量就是切線縱坐標就是切線縱坐標坐標增量時坐標增量時是曲線的縱是曲線的縱當(dāng)當(dāng)dyy xx0 P .,MNMPMx可可近近似似代代替替曲曲線線段段切切線線段段的的附附近近在在點點很很小小時時當(dāng)當(dāng) 3. 微分的幾何意義 ddtan xy 幾何上, 函數(shù) y = f (x) 在點 x 處的微分表示為: 相應(yīng)于自變量 x 的改變量 x, 曲線y = f (x) 在點 P(x, y) 的切線上縱坐標的改變量.4. 微分的求法微分的求法dxxfd

6、y)( 求法求法: : 計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù), , 乘以自變量的微分乘以自變量的微分. .1.基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函數(shù)和、差、積、商的微分法則

7、函數(shù)和、差、積、商的微分法則2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例3 3解解.),ln(2dyexyx求求設(shè)設(shè) ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例4 4解解.,cos31dyxeyx求求設(shè)設(shè) )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 六、微分形式的不變性六、微分形式的不變性;)(,)1(dxxfdyx 是是自自變變量量時時若若則則微函數(shù)微函數(shù)的可的可即另一變量即另

8、一變量是中間變量時是中間變量時若若),(,)2(txtx ),()(xfxfy 有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)dttxfdy)()( ,)(dxdtt .)(dxxfdy 結(jié)論：結(jié)論：的微分形式總是的微分形式總是函數(shù)函數(shù)是自變量還是中間變量是自變量還是中間變量無論無論)(,xfyx 微分形式的不變性微分形式的不變性dxxfdy)( 例例6 6解解.,sindybxeyax求求設(shè)設(shè) )(sin)(cosaxdebxbxbxdedyaxax dxaebxbdxbxeaxax)(sincos .)sincos(dxbxabxbeax 例例5 5解解.),12sin(dyxy求求設(shè)設(shè) . 12,sin xu

9、uyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例7 7解解在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd );sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 七、小結(jié)七、小結(jié)微分學(xué)所要解決的兩類問題微分學(xué)所要解決的兩類問題:函數(shù)的變化

10、率問題函數(shù)的變化率問題函數(shù)的增量問題函數(shù)的增量問題微分的概念微分的概念導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念求導(dǎo)數(shù)與微分的方法求導(dǎo)數(shù)與微分的方法,叫做微分法叫做微分法.研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué)研究微分法與導(dǎo)數(shù)理論及其應(yīng)用的科學(xué),叫做微分學(xué)叫做微分學(xué).導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系導(dǎo)數(shù)與微分的聯(lián)系:.可可微微可可導(dǎo)導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別導(dǎo)數(shù)與微分的區(qū)別:.,)(),()(. 10000它是無窮小它是無窮小實際上實際上定義域是定義域是它的它的的線性函數(shù)的線性函數(shù)是是而微分而微分處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)處的導(dǎo)數(shù)是一個定數(shù)在點在點函數(shù)函數(shù)Rxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,(

11、)()()(,)(,()()(,. 20000000的的縱縱坐坐標標增增量量方方程程在在點點處處的的切切線線在在點點是是曲曲線線而而微微處處切切線線的的斜斜率率點點在在是是曲曲線線從從幾幾何何意意義義上上來來看看xxfxxfyxxxfdyxfxxfyxf 思考題思考題 因因為為一一元元函函數(shù)數(shù))(xfy 在在0 x的的可可微微性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性是是等等價價的的，所所以以有有人人說說“微微分分就就是是導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是微微分分”，這這說說法法對對嗎嗎？思考題解答思考題解答說法不對說法不對. 從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引從概念上講，微分是從求函數(shù)增量引出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)

12、變化出線性主部而得到的，導(dǎo)數(shù)是從函數(shù)變化率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比率問題歸納出函數(shù)增量與自變量增量之比的極限，它們是完全不同的概念的極限，它們是完全不同的概念. 一、一、 填空題：填空題：1 1、 已知函數(shù)已知函數(shù)2)(xxf 在點在點x處的自變量的增量為處的自變量的增量為0.20.2，對應(yīng)的函數(shù)增量的線性全部是，對應(yīng)的函數(shù)增量的線性全部是dy=0.8=0.8，那，那么自變量么自變量x的始值為的始值為_._.2 2、 微分的幾何意義是微分的幾何意義是_._.3 3、 若若)(xfy 是可微函數(shù)，則當(dāng)是可微函數(shù)，則當(dāng)0 x時，時， dyy 是關(guān)于是關(guān)于x 的的_無窮小無窮小. .4 4

13、、 xdxd sin_ . .5 5、 dxedx2_ . .6 6、 xdxd3sec_2 . .7 7、 xexY22 , ,_22dxdedYx . .8 8、 _)2(arctan2 xed， _ xde. .練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 求下列的函數(shù)的微分：求下列的函數(shù)的微分：1 1、 12 xxy；2 2、 2)1ln(xy ；3 3、 21arcsinxy ；4 4、2211arctanxxy ； 5 5、xeyx3cos3 ，求，求3 xdy； 6 6、求由方程、求由方程22)cos(yxxy 所確定的所確定的 y微分微分. .一、一、1 1、-2-2；2 2、曲線的切線上點的縱坐標的相應(yīng)增