一羅爾中值定理ppt課件

1、一、羅爾中值定理一、羅爾中值定理引理引理( (費(fèi)馬費(fèi)馬):):設(shè)設(shè)y =f (x)y =f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)有內(nèi)有定義定義. . 在在x0 x0(a, b)(a, b)處獲得最大處獲得最大值值( (最小值最小值), ), 且且 f (x)f (x)在在x0 x0處可處可導(dǎo)導(dǎo), , 那么那么 f (x0) = 0.f (x0) = 0.證證: : 因因f (x)f (x)在在x0 x0處可導(dǎo)處可導(dǎo). .),()()(lim 0000存在故xfxxfxxfx4 45 5 微分中值定理微分中值定理xxfxxfxxfxxfxx)()(lim)()(lim 000000從

2、而)(0 xf 設(shè)f (x0)為f (x)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)的最大值, 即, x(a, b), 有 f (x) f (x0).故當(dāng)|x|充分小時(shí), 有x0+x (a, b),從而 f (x0+x) f (x0) 0因x0(a, b),(1)當(dāng)x 0時(shí), 0)()(00 xxfxxf由保號性定理,. 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0+,(2)當(dāng)x 0時(shí), 0)()(00 xxfxxf由保號性定理,. 0)()(lim)(0000 xxfxxfxfx令x 0,綜合(1),(2)有0 f (x0) 0,故 f (x0) = 0,類似可證f (x)在x0取最小值的情形.注注

3、1. 1. 因因f (x0)f (x0)表示曲線表示曲線y =f (x)y =f (x)上點(diǎn)上點(diǎn)M(x0, f M(x0, f (x0)(x0)處切線斜率處切線斜率. .而f (x0)=0表示該點(diǎn)處切線斜率為0.因此, 引理在幾何上表示: 假設(shè)y =f (x)在(a, b)內(nèi)部某點(diǎn)x0處取最大(小)值, 且在x0可導(dǎo), 那么在M(x0, f (x0)處的切線平行于x軸.如圖bMax0y x0M x0y =f (x)注注2. 2. 假設(shè)假設(shè)f (x)f (x)在區(qū)間在區(qū)間a, ba, b的端點(diǎn)的端點(diǎn)a(a(或或b)b)處獲得最大處獲得最大( (小小) )值值. . 不能保證不能保證f (a)(f

4、 (a)(或或 f (b)=0.f (b)=0.即, 在端點(diǎn)M(a, f (a)或M(b, f (b)處切線不一定平行于x 軸.如圖.0abxyy = f (x)定理定理1. (1. (羅爾中值定理羅爾中值定理). ). 假設(shè)假設(shè)y=f (x)y=f (x)在在a, ba, b上延續(xù)上延續(xù), , 在在(a, b)(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , 且且f (a) = f f (a) = f (b). (b). 那么在那么在(a, b)(a, b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , , 使得使得 f f . .證證: : 因因f (x)f (x)在在a, ba, b上延續(xù)上延續(xù), , 從而可獲得從而可

5、獲得最大值最大值M = f (x0)M = f (x0)和最小值和最小值m = f (x1). m = f (x1). 其中其中, x0, x1, x0, x1 a, b a, b(1) 假設(shè) m=M ,因m f (x) M. 即, M f (x) M, 所以f (x)=M.有f x , 故 (a, b)有 f .(2) 假設(shè) mb, 還是ab.但 介于a, b之間.注注2. 2. 假設(shè)假設(shè)y = f (x)y = f (x)在在a, ba, b上滿足拉格朗日定上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件理?xiàng)l件. .x(a, b), y = f (x +x)f (x) = f x= f x +x) x其中| x |

6、充分小, 介于x 和x之間.0 1. 使得 = x +x,. xx即如圖xabx+xx注注3. 3. 定理的條件定理的條件f (x)f (x)在在a, ba, b上延上延續(xù)續(xù), , 在在(a, b)(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo) 不能減弱不能減弱. . 推論推論1. 1. 假設(shè)假設(shè) f (x) f (x)在在(a, b)(a, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒為0, 0, 即即x x(a, b). (a, b). 有有f f x x=0. =0. 那么那么 f (x) f (x)在在(a, b)(a, b)內(nèi)是一個(gè)常數(shù)內(nèi)是一個(gè)常數(shù). . 即即x x(a, b), (a, b), f (x) = C(f (

7、x) = C(常數(shù)常數(shù)).).證證: : 取定取定x0 x0(a, (a, b). b). 只須證明x(a, b), 有 f (x)=f (x0)即可. 因f (x)在(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 從而在(a, b)內(nèi)延續(xù).故 f (x)在x0, x (a, b)(或x, x0 (a, b)上滿足拉格朗日定理的條件.f (x)f (x0) = f (x x0)=0, 介于x 和x0之間.即, x(a, b), 有f (x)=f (x0)例例2. 2. ) 11( .2cosarcarcsinxxx證明證證: : 記記 f (x) = arcsinx+arccosx. f (x) = arcsinx+a

8、rccosx. 在在(1, 1)(1, 1)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). . 且且從而在(1, 1)內(nèi), f (x) = C.(常數(shù)).取 x=0, 得. 01111)(22xxxf.220)0( fC故 當(dāng)1 x 0 x 0時(shí)時(shí), , .)1ln(1xxxx證證: : 改寫原式改寫原式, ,. 1)1ln(11xxx利用公式)()()(fabafbf證不等式時(shí), 往往要把待證式中的一部分寫成的方式, 以便構(gòu)造函數(shù) f (x).abafbf)()(0) 01ln()1ln(00)1ln()1ln(xxxxxx所以, 記 f (t) = ln(1+t), 知f (t)在0, x上滿足拉格朗日中值定理的條件.且

9、0)01ln()1ln()1ln(xxxx)(f ), 0( ,11x因)0( 1111)( , 111)(xxff)0( . 1)1ln(11xxxx故三、柯西中值定理三、柯西中值定理定理定理3. 3. 假設(shè)假設(shè)f (x), g(x)f (x), g(x)都在都在a, ba, b上延續(xù)上延續(xù), , 在在(a, b)(a, b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , 且且 g(x) g(x) 0. 0. 那么那么至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)(a, b),(a, b),使得使得.) () ()()()()(gfagbgafbf分析: 假設(shè)分別對f (x), g(x)用拉格朗日中值定理, 可得上式左端.) () (21g

10、f但1, 2不一定一樣, 故不能用這一方法.,) () ()()()()( gfagbgafbf要證只須證0) ()()()()() (gagbgafbff即. 0) ()()()()() (xxgagbgafbfxf證證: : )()()()()()()(xgagbgafbfxfx記知(x)在a, b上延續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo).且)()()()()()()(bgagbgafbfbfb)()()()()()()(agagbgafbfafa從而(b)(a)=0. 由羅爾中值定理, (a, b),使() = 0,).,( .)()()()()()(,bagfagbgafbf即例例5. 5. 設(shè)

11、設(shè) f (x) f (x)在在(, +, +) )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). f (0)=0. . f (0)=0. 證明證明 ( (, +, +), ), 使得使得 2f 2f ( () f () f () = 3) = 32 f 2(1)2 f 2(1)證證: : 這一類問題這一類問題, , 往往可思索用中值定理處理往往可思索用中值定理處理. .變形.3)()(2) 1 (22fff留意到, xxxxfff3223 ,)()()(2左端, .01)0() 1 () 1 (33222fff.3)()(2) 1 (22fff從而, 待證式為.)()(01)0() 1 (323322xxxfff故, 記F(

12、x) = f 2(x), g(x) = x3在0, 1上延續(xù), 在(0,1)內(nèi)可導(dǎo).由柯西中值定理, (0, 1), 使得.3)()(2) 1 (22fff假設(shè)修正例5為: f (0)=0, f (1)=0, 證明, (, +), 使得f () f () =0.那么可用羅爾定理證.四、泰勒中值定理四、泰勒中值定理在近似計(jì)算和實(shí)際分析中, 對于復(fù)雜函數(shù)f (x). 常希望用一個(gè)多項(xiàng)式P(x) = a0+a1x+a2x2 + anxn 來近似表示 f (x).比如, 當(dāng)|x|很小時(shí), ex 1+x, sin x.111xnxn都是用一次函數(shù)表示函數(shù) f (x)的例子.缺陷缺陷: (1): (1)精

13、度不高精度不高, , 誤差僅為誤差僅為o(x)o(x)(2)沒有誤差估計(jì)式.從幾何上看, 缺陷(1)是由于我們在x=0附近用直線替代曲線, 精度當(dāng)然不高.能否改用二次曲線, 三次曲線, , 替代? 精度能否能提高, 或者說, 曲線的吻合程度能否會更好些呢? y=ex1y=1+x2211xxy看圖.1x0y21我們要處理的問題是: 設(shè)f (x)在x=x0的某鄰域內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù).(1)試求一個(gè)關(guān)于xx0的n次多項(xiàng)式Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示 f (x).即, f (x)和Pn(x)在x=x0處的函數(shù)值以及k

14、階(kn)導(dǎo)數(shù)值都相等.即, f (x0)=Pn(x0), f (x0)= Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0) = P(n)n(x0).(2)誤差 f (x)Pn(x)的表達(dá)式.首先處理問題(1), 即設(shè)f (x)在x=x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有直到n+1階導(dǎo)數(shù).求Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n. 滿足f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (x0) = Pn(x0), f (n)(x0)= P(n)n(x0).將x=x0代入Pn(x), 得Pn(x0)= a0= f (x0) ,

15、對Pn(x)求導(dǎo), 再將x0代入, 得Pn(x0) = a1 = f (x0)對Pn(x)求二次導(dǎo), 將x0代入, 得Pn(x0)= 2!a2 = f (x0).(! 2102xfa Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)n同理, ),( ! 3)(0)3(30)3(xfaxPn).(! 310)3(3xfa 得普通, ),( !)(0)(0)(xfanxPnnnn得)()(!)( )(! 2)()(! 1)()()(00200000 xfxxnxfxxxfxxxfxfxpnnn Pn(x) = a0+a1(xx0)+a2 (xx0)2+ an (xx0)

16、n).(!10)(xfnann得定理定理4.(4.(泰勒中值定理泰勒中值定理) ) 假設(shè)假設(shè)f (x)f (x)在含在含x0 x0的的某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間(a, b)(a, b)內(nèi)有直到內(nèi)有直到n+1n+1階的導(dǎo)數(shù)，階的導(dǎo)數(shù)，那么對那么對x x(a, b)(a, b)，有，有).()(!)( )(! 2)( )(! 1)( )()(00200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn其中,)()!1()()(10) 1(nnnxxnfxR是介于x0與x之間的一個(gè)值.).()()(xpxfxRnn記只須證明.)( ,)()!1()()(010)1(即可之間與介于xxxxnfxRnnn或.)

17、!1()()()()1(10nfxxxRnnn證證: :由于f (x)和Pn(x)在(a, b)內(nèi)有直到 n+1 階導(dǎo)數(shù), 從而 Rn(x) 在 (a, b)內(nèi)有直到 n+1 階導(dǎo)數(shù).留意到, 0)()( )()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn).()()1()1(xfxRnnn).()()(),(),(,),(1000顯然滿足定理?xiàng)l件用柯西中值定理和對兩函數(shù)上，或在區(qū)間nnxxxRbaxxxxbax)()()(),()()(0)(0)(0)(xPxfxRxPxfxRknkknnn有10)()(nnxxxR0)()()(100nnnxxxRxRnnxnR)(1()(0110)(1()

18、()(0101nnnxnxRR1介于x0與x之間.對函數(shù)Rn(x)和(n+1)(xx0)n在x0, 1或1, x0上用柯西中值定理.有0)(1()()()()(010110nnnnnxnxRRxxxR1022)() 1()( nnxnnR0)() 1()()( 1020 2nnnxnnxRR2介于x0與1 之間.繼續(xù)下去, 經(jīng)n次后,有)()!1()()()(0)(10 xnRxxxRnnnnnn0)()!1()()(00)()(xnxRRnnnnnn)!1()(1)1(nRnnn.)!1()()1(nfnn其中 =n+1介于x0與n 之間, 從而介于x0與x之間.注注1. 1. 公式公式)(

19、)(!)()(000)(xRxxkxfxfnknkk稱為 f (x) 按(xx0)的冪, 展開到n階的泰勒公式. .)()!1()()(010)1(之間與介于xxxxnfxRnnn稱為拉格朗日型余項(xiàng).也可寫成10 .)()!1()()(1000) 1(nnnxxnxxxfxR注注2. 2. 當(dāng)當(dāng)n n0 0時(shí)，泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄倒綍r(shí)，泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄倒? ),)( )()(000之間與介于xxxxfxfxf注注3. 3. 假假設(shè)設(shè).| )(| .) ,()()1()1(Mxfbaxfnn即內(nèi)有界在10) 1()()!1()(| )(| )()(| nnnnxxnfxRxPxf

20、則.|)!1(10nxxnM且. 0)()!1()(lim)()(lim0)1(000 xxnfxxxRnxxnnxx可是, 誤差Rn(x)是(xx0)n的高階無窮小(當(dāng)xx0時(shí)).即 Rn(x)=0(xx0)n ). 稱為皮亞諾余項(xiàng).注注4. 4. 假設(shè)在泰勒中值定理中取假設(shè)在泰勒中值定理中取x0=0. x0=0. 那么公式那么公式為為)(!) 0(! 2) 0(! 1) 0() 0()()(2xRxnfxfxffxfnnn .)!1()()1()()(1)1(1)1(nnnnnxnxfxnfxR其中 介于x與0之間, 01.稱為馬克勞林公式.例例6. 6. 寫出寫出 f (x) = exf (x) = ex展開到展開到n n階的馬克勞階的馬克勞林公式林公式. .解：解： f (n)(x) = ex, f (n)(x)