隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)變化率ppt課件

1、31xy 假設(shè)由方假設(shè)由方程程0),( yxF可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,由由)(xfy 表示的函數(shù)表示的函數(shù) , 稱為顯函數(shù)稱為顯函數(shù)(Explicit function) .例如例如,013 yx可確定顯函數(shù)可確定顯函數(shù)03275 xxyy可確定可確定 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù) ,但此隱函數(shù)不易顯化但此隱函數(shù)不易顯化 .那么稱此函數(shù)為隱函數(shù)那么稱此函數(shù)為隱函數(shù)(Implicit function) . 3 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方 程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(Implicit Differentiation)0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化. .

2、問(wèn)題問(wèn)題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo) ?用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo).隱函數(shù)求導(dǎo)方法隱函數(shù)求導(dǎo)方法: 0),( yxF兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo)0),(dd yxFx(含導(dǎo)數(shù)含導(dǎo)數(shù) 的方程的方程)yEg.1Eg.1.xydyComputefor the equation xyeedx Sol.,.We consider y to be a function of xdifferentiate each term of the equation withrespect to x,xydydyyxeedxdx(

3、),yxdyxeeydx ,0.xyydyeyif xedxxe Eg.2Eg.2333.dyComputefor the equation xyxydx Sol.,On differentiating each term of theequation with respect to x we get223333,xy yyxy222,0.yxyif yxyx 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法察看函數(shù)察看函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: : 先在方程兩邊取對(duì)數(shù)先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).-對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍:

4、 :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函多個(gè)函數(shù)相乘和冪指函xvxuEg.3Eg.3Sol.142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxxxy 4ln21ln311lnln求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) x142)1(3111 xxxyy32(1)1.(4)xxxFind yif yxe uuu )ln(Eg.4Eg.4解法一解法一sin(0).xFind yifyxx 等式兩邊取對(duì)數(shù)得等式兩邊取對(duì)數(shù)得xxylnsinln 求求導(dǎo)導(dǎo)得得上上式式兩兩邊邊對(duì)對(duì) xxxxxyy1sinlncos1 )sinln(cosxxxxyy )si

5、nln(cossinxxxxxx 解法二解法二)()(lnsinsin xxxex)sinln(coslnsinxxxxexx )sinln(cossinxxxxxx )ln(sinlnsin xxexxGenerally,)0)()()( xuxuyxv)()()()(ln)()(ln)(xuxuxvxuxveyxuxv )()()()(ln)()()(xuxuxvxuxvxuxv )(ln)()()(xuxvxvexu tan2(sin )cos.xFind y if yxx 1y2y解法一解法一:.,21yy )(cos)(2sinlntan xeyxx)sincostansinln(s

6、ec2sinlntanxxxxxexx )sin(cos2xx Eg.5 解法二解法二: xxxxx2sin)1sinln(sec)(sin2tan 分別求分別求二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: : 消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)消參困難或無(wú)法消參如何求導(dǎo)? ?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(構(gòu)構(gòu)成成復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)且且

7、其其能能與與ty , 0)(,)(),( ttytx 且且都都可可導(dǎo)導(dǎo)再再設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法那么得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法那么得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ).(1xy 則則Eg.6Eg.6Sol.)()(txtydxdy ,cos1sintt taatacossin . 12 tdxdy(sin ).(1cos )2xa tttyat 求求擺擺線線在在處處的的切切線線方方程程.),12(,2ayaxt 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( ax

8、y即即Eg.7Eg.7Sol.)2(;)1(,21sin,cos,2000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻的的運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方向向炮炮彈彈在在時(shí)時(shí)刻刻求求其其運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計(jì)計(jì)空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v則則是切線的傾角是切線的傾角設(shè)設(shè)時(shí)刻的切線方向時(shí)刻的切線方向軌跡在軌跡在時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向即在在,)(.)1(ttt )cos()21sin()(tan020 tvgttvdxdyt cossin00vgtv 軸軸方方向向的的分分速速度度為為時(shí)時(shí)刻刻沿沿炮炮彈彈在在yxt,)2()cos(

9、0 tvdtdxvx cos0v )21sin(20 gttvdtdyvy gtv sin0時(shí)時(shí)刻刻炮炮彈彈的的速速度度為為在在 t22yxvvv 22020sin2tggtvv , 求求 01sin232ytettxy.dd0 txySol. )(txttyeysin)( )(ty0dd txy方程組兩邊同時(shí)對(duì)方程組兩邊同時(shí)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得26 t0)( tyteycos teteyysin1cos 0)()( ttxty0)26)(sin1(cos tyyttete2e Eg.8 設(shè)設(shè) 三、相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率)(, )(tyytxx 都為可導(dǎo)函數(shù)都為可導(dǎo)函數(shù)yx ,之間有聯(lián)絡(luò)

10、之間有聯(lián)絡(luò)tytxdd,dd之間也有聯(lián)絡(luò)之間也有聯(lián)絡(luò)稱為相關(guān)變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題的解法相關(guān)變化率問(wèn)題的解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率求出未知的相關(guān)變化率Eg.9Eg.9?,500./140,500率率是是多多少少觀觀察察員員視視線線的的仰仰角角增增加加米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)氣氣球球高高度度為為分分米米其其速速率率為為上上升升米米處處離離地地面面鉛鉛直直一一汽汽球球從從離離開(kāi)開(kāi)觀觀察察員員500tanh dtdhdtd 5001sec2 ,/140分分米米 dtdh2sec,5002 米米時(shí)

11、時(shí)當(dāng)當(dāng) h)/(14. 0140500121分分弧度弧度 dtd 仰角添加率仰角添加率 米米500hSol. 設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升 t 分后其高度為分后其高度為h , 仰角為仰角為 ,那么那么兩邊對(duì)兩邊對(duì) t 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得Eg.10Eg.10Sol.?,20,120,4000,/803水水面面每每小小時(shí)時(shí)上上升升幾幾米米米米時(shí)時(shí)問(wèn)問(wèn)水水深深的的水水槽槽頂頂角角為為米米形形狀狀是是長(zhǎng)長(zhǎng)為為水水庫(kù)庫(kù)秒秒的的體體流流量量流流入入水水庫(kù)庫(kù)中中米米河河水水以以則則水庫(kù)內(nèi)水量為水庫(kù)內(nèi)水量為水深為水深為設(shè)時(shí)刻設(shè)時(shí)刻),(),(tVtht234000)(htV 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)tdtdhh

12、dtdV 38000,/288003小小時(shí)時(shí)米米 dtdV小小時(shí)時(shí)米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米米時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) h四、小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法那么隱函數(shù)求導(dǎo)法那么: : 直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo)直接對(duì)方程兩邊求導(dǎo); ;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法: : 對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù), ,按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法那么求導(dǎo)導(dǎo)法那么求導(dǎo); ;參數(shù)方程求導(dǎo)法參數(shù)方程求導(dǎo)法: 參數(shù)方程求導(dǎo)公式參數(shù)方程求導(dǎo)公式;相關(guān)變化率問(wèn)題相關(guān)變化率問(wèn)題: :列出依賴于列出依賴于 t 的相關(guān)變量關(guān)系式的相關(guān)變量關(guān)系式對(duì)對(duì) t 求導(dǎo)求導(dǎo)相關(guān)變化率之間的關(guān)系式相關(guān)變化率之間的關(guān)系式思索題思索

13、題 解答解答:不對(duì)不對(duì))(sinln xxey)sinln(sinln xxexx)sincossin(ln)(sinxxxxxx 一、一、 填空題：填空題：1 1、 設(shè)設(shè)01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._.2 2、 曲線曲線733 xyyx在點(diǎn)在點(diǎn)（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._.3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方程處的法線方程_._.4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則dxdy=_=_；3 tdxdy=_.=_.5 5、 設(shè)設(shè)yx

14、exy , ,則則dxdy=_.=_.練練 習(xí)習(xí) 題題二二、 求求下下列列方方程程所所確確定定的的隱隱函函數(shù)數(shù) y y 的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三三、 用用對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)求求導(dǎo)導(dǎo)法法則則求求下下列列函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)22dxyd：1 1、 tbytaxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設(shè)設(shè)

15、)(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù)33dxyd . .六、設(shè)六、設(shè))(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .七、七、 在中午十二點(diǎn)正甲船的在中午十二點(diǎn)正甲船的 6 6 公里公里/ /小時(shí)的速率向小時(shí)的速率向東行駛，乙船在甲船之北東行駛，乙船在甲船之北 1616 公里，以公里，以 8 8 公里公里/ /小小時(shí)的速率向南行駛， 問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距的速時(shí)的速率向南行駛， 問(wèn)下午一點(diǎn)正兩船相距的速率為多少？率為多少？ 八、八、 水注入深水注入深8 8 米， 上頂直徑米， 上頂直徑8 8 米的正圓錐形容器中，米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘其速率為每分鐘 4 4 立方米，當(dāng)水深為立方米，當(dāng)水深為 5 5 米時(shí)，其米時(shí)，其表面上升的速率為多少？表面上升的速率為多少？ 一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232yx