點集拓?fù)鋵W(xué)(第一章11)

1、- -哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué)- - - -理理 學(xué)學(xué) 院院- - - -林林 錳錳- -點集拓?fù)鋵W(xué)點集拓?fù)鋵W(xué)Department of Mathematics 本課程是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，介紹拓?fù)浔菊n程是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，介紹拓?fù)鋵W(xué)的比較容易掌握和比較有應(yīng)用價值的基礎(chǔ)概學(xué)的比較容易掌握和比較有應(yīng)用價值的基礎(chǔ)概念和基本方法。念和基本方法。 通過這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在掌握拓?fù)鋵W(xué)通過這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在掌握拓?fù)鋵W(xué)基本知識的基礎(chǔ)上，掌握拓?fù)鋵W(xué)研究問題的整基本知識的基礎(chǔ)上，掌握拓?fù)鋵W(xué)研究問題的整體性、抽象性及高度概括性，力求活躍其數(shù)學(xué)體性、抽象性及高度概括性，力求活躍其數(shù)學(xué)思想，從而培

2、養(yǎng)學(xué)生運用較高層次的數(shù)學(xué)觀點思想，從而培養(yǎng)學(xué)生運用較高層次的數(shù)學(xué)觀點和數(shù)學(xué)知識，能對實際問題進行分析、歸納、和數(shù)學(xué)知識，能對實際問題進行分析、歸納、提煉和解決，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。提煉和解決，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。課課 程程 要要 求求Department of Mathematics 掌握拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、掌握拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、性質(zhì)。掌握連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。性質(zhì)。掌握連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。掌握幾個重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性、可商性和遺傳性。掌握幾個重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性、可商性和遺傳性。拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映

3、射的定義、例子、性拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、性質(zhì)。連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。幾個重質(zhì)。連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。幾個重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性和遺傳性。要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性和遺傳性。教教 學(xué)學(xué) 目目 標(biāo)標(biāo)教教 學(xué)學(xué) 要要 點點Department of Mathematics第三部分：幾類重要的拓?fù)湫再|(zhì)第三部分：幾類重要的拓?fù)湫再|(zhì)(28(28學(xué)時學(xué)時) ) 連通性連通性, 局部連通性局部連通性, 道路連通性道路連通性, 可數(shù)性公理可數(shù)性公理, 分離性公理分離性公理, 緊性緊性, 度量空間的緊性與可數(shù)性等內(nèi)容度量空間的緊性與可數(shù)性等內(nèi)容.教教 學(xué)學(xué) 安安

4、排排第一部分：預(yù)備知識第一部分：預(yù)備知識(4 (4學(xué)時）學(xué)時） 拓?fù)鋵W(xué)的起源拓?fù)鋵W(xué)的起源, 集合的運算等預(yù)備知識集合的運算等預(yù)備知識.第二部分：第二部分： 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射(16(16學(xué)時學(xué)時) ) 拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g, 度量空間度量空間, 連續(xù)映射連續(xù)映射, 基基, 鄰域鄰域, 閉包、內(nèi)閉包、內(nèi)部與邊界部與邊界, 拓?fù)淇臻g中的序列拓?fù)淇臻g中的序列, 子空間拓?fù)渥涌臻g拓?fù)? 有限積拓?fù)溆邢薹e拓?fù)? 商映射等商映射等.Department of Mathematics教教 材材熊金城熊金城點集拓?fù)鋵W(xué)講義點集拓?fù)鋵W(xué)講義 高等教育出版社高等教育出版社 參參 考考 資資 料料1 1、

5、陳奕培陳奕培. . 一般拓?fù)鋵W(xué)一般拓?fù)鋵W(xué), ,廈門大學(xué)出版社廈門大學(xué)出版社2 2、梁基華等梁基華等拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ), ,高等教育出版社高等教育出版社3 3、王敬庚王敬庚. . 直觀拓?fù)渲庇^拓?fù)? ,北京師范大學(xué)出版社北京師范大學(xué)出版社4 4、 美美 斯蒂芬斯蒂芬 巴爾巴爾. . 拓?fù)鋵嶒炌負(fù)鋵嶒?上海教育出版社上海教育出版社 Department of Mathematics1. 端正學(xué)習(xí)態(tài)度端正學(xué)習(xí)態(tài)度,保證出勤保證出勤,不得無故曠課不得無故曠課.2. 認(rèn)真并按時完成作業(yè)認(rèn)真并按時完成作業(yè).3. 閱讀理解五篇左右本課程相關(guān)的論文閱讀理解五篇左右本課程相關(guān)的論文. (其中包括外文論文一篇其

6、中包括外文論文一篇).4. 平時表現(xiàn)以平時表現(xiàn)以20%記錄學(xué)期總成績。記錄學(xué)期總成績。5. 考試考試: 開卷考試，占學(xué)期總成績開卷考試，占學(xué)期總成績80%?？己艘罂己艘驞epartment of Mathematics哥尼斯堡哥尼斯堡七橋問題七橋問題 四色問題四色問題Mbius帶帶Euler示性數(shù)示性數(shù)1736年歐拉年歐拉解決七橋問題解決七橋問題1976年年9月四月四色問題得到解決色問題得到解決Department of Mathematics 哥尼斯堡哥尼斯堡是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋七座

7、橋，將河中間的兩個島和河，將河中間的兩個島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時經(jīng)常在這上邊散步哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題 一天有人提出：一天有人提出：能不能每座橋能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的都只走一遍，最后又回到原來的位置。位置。 這個問題看起來很簡單這個問題看起來很簡單,有很有趣的問題吸引了大家有很有趣的問題吸引了大家. 很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確理想的答案還不那么容易來要得到一個明確理想的答案還不那么容易哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題 哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七

8、橋問題 Department of Mathematics 1736年，有人帶著這個問題找到了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家年，有人帶著這個問題找到了當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家歐拉歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。了解答。 而把七座橋看而把七座橋看作這四個點之間的作這四個點之間的連線連線。那么這個問題就簡化成，。那么這個問題就簡化成，能不能用一能不能用一筆就把這個圖形畫出來。筆就把這個圖形畫出來。 經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論經(jīng)過進一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有

9、能夠一筆畫出來的并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲先聲”。他把兩座小島和河的兩岸分別看作他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點四個點，Department of MathematicsEuler示性數(shù)示性數(shù) 對于一個多面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，對于一個多面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（不破裂）變形，最后可如果充以氣體，那么它就會連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€球面。那么像這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蜃優(yōu)橐粋€球面。那么像這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做面的多面體，叫做簡單

10、多面體簡單多面體。棱柱、棱錐、正多面體等。棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡單多面體。一切凸多面體都是簡單多面體。 歐拉定理告訴我們，歐拉定理告訴我們，簡單多面體的頂點數(shù)簡單多面體的頂點數(shù)V、棱數(shù)、棱數(shù)E及面數(shù)及面數(shù)F間間有關(guān)系：有關(guān)系：V+F-E=2。Department of Mathematics四色問題四色問題 四色問題又稱四色猜想，是世界四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一近代三大數(shù)學(xué)難題之一 ,四色問題的內(nèi)容是：四色問題的內(nèi)容是： “任何一張地圖只用四種顏色就能任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的使具有共同邊界的國家著上不同的顏色。顏色?！?

11、“將平面任意地細(xì)分為不相重迭將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用的區(qū)域，每一個區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個數(shù)這四個數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個區(qū)域得到相同的數(shù)字。的數(shù)字?！?Department of Mathematics 數(shù)學(xué)史上正式提出數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題四色問題”的時間是在的時間是在1852年。當(dāng)時年。當(dāng)時倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解答，倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個問題，可是莫根無法解

12、答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時起，這個問題便成為數(shù)學(xué)界的一個問題便成為數(shù)學(xué)界的一個“懸案懸案”。 一直到二十年前的一直到二十年前的1976年年9月，月，美國數(shù)學(xué)會通告美國數(shù)學(xué)會通告正式正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國伊利諾斯大學(xué)的宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計算機證明了“四色問四色問題題”這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題這個猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為2000個特殊圖的四色問題，然后在

13、電子計算機上計個特殊圖的四色問題，然后在電子計算機上計算了足足算了足足1200個小時，最后成功地證明了四色問題。個小時，最后成功地證明了四色問題。Department of MathematicsMbius帶帶 數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個故事：數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個故事： 先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做先用一張長方形的紙條，首尾相粘，做成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙成一個紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成圈上的一面涂抹，最后把整個紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。一種顏色，不留下任何空白。 這個紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙這個紙圈應(yīng)該

14、怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合圈有兩個面，勢必要涂完一個面再重新涂另一個面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界涂抹的要求，能不能做成只有一個面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？的紙圈兒呢？Department of Mathematics “麥比烏斯圈麥比烏斯圈”變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道業(yè)生產(chǎn)中。運用麥比烏斯圈原理我們可以建

15、造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。路，避免車輛行人的擁堵。 Department of Mathematics拓?fù)涞膩碓赐負(fù)涞膩碓?“拓?fù)洌ㄍ負(fù)洌═opology）”一次來自希臘文，它的一次來自希臘文，它的原意是原意是“形狀的研究形狀的研究”。拓?fù)鋵W(xué)時幾何學(xué)的一個分。拓?fù)鋵W(xué)時幾何學(xué)的一個分支，它研究在拓?fù)渥儞Q下能夠保持不變的幾何屬性支，它研究在拓?fù)渥儞Q下能夠保持不變的幾何屬性拓?fù)鋵傩?。拓?fù)鋵傩?。拓?撲撲 學(xué)學(xué) 的的 形形 成成 和和 發(fā)發(fā) 展展 拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)是研究圖形在保持連續(xù)狀態(tài)下變形時是研究圖形在保持連續(xù)狀態(tài)下變形時的那些不變的性質(zhì)，也成為的那些不變的性質(zhì)，也成為“橡皮板幾何學(xué)橡皮板幾

16、何學(xué)”。Department of Mathematics例子：例子： 設(shè)想一塊高質(zhì)量的橡皮，它的表面是歐幾里的平面，這塊設(shè)想一塊高質(zhì)量的橡皮，它的表面是歐幾里的平面，這塊橡皮可以任意被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉(zhuǎn)或折疊。在橡皮可以任意被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉(zhuǎn)或折疊。在橡皮的表面上有由結(jié)點、弧、環(huán)、面組成的可能任意圖形。橡皮的表面上有由結(jié)點、弧、環(huán)、面組成的可能任意圖形。 我們對橡皮進行拉伸、壓縮，在橡皮進行這些變換的過程我們對橡皮進行拉伸、壓縮，在橡皮進行這些變換的過程中，圖形的一些屬性消失，一些屬性將繼續(xù)保持存在。設(shè)想中，圖形的一些屬性消失，一些屬性將繼續(xù)保持存在。設(shè)想象皮表面有一個

17、多邊形，里面有一個點。象皮表面有一個多邊形，里面有一個點。 當(dāng)拉伸、壓縮橡皮時，點依舊在多邊形中，點和多邊形的當(dāng)拉伸、壓縮橡皮時，點依舊在多邊形中，點和多邊形的位置關(guān)系不會發(fā)生變化，但是多邊形的面積會發(fā)生變化。所位置關(guān)系不會發(fā)生變化，但是多邊形的面積會發(fā)生變化。所以：以：“點的內(nèi)置點的內(nèi)置”是拓?fù)鋵傩?，而是拓?fù)鋵傩?，而面積面積不是拓?fù)鋵傩裕觳皇峭負(fù)鋵傩?，拉伸和壓縮就是和壓縮就是拓?fù)渥儞Q。拓?fù)渥儞Q。Department of Mathematics 在地圖上僅用距離和方向參數(shù)描述地圖上的目標(biāo)之在地圖上僅用距離和方向參數(shù)描述地圖上的目標(biāo)之間的關(guān)系總是不圓滿的。間的關(guān)系總是不圓滿的。 因為圖上兩

18、點之間的距離和方向會隨著地圖投影的不因為圖上兩點之間的距離和方向會隨著地圖投影的不同而發(fā)生變化，故僅用距離和方向參數(shù)還不能夠確切地表同而發(fā)生變化，故僅用距離和方向參數(shù)還不能夠確切地表示它們之間的空間關(guān)系。（如下圖）示它們之間的空間關(guān)系。（如下圖）拓?fù)溥€是描述目標(biāo)間關(guān)系需要拓?fù)溥€是描述目標(biāo)間關(guān)系需要Longitude/Latitude投影Gauss-Krivger投影Department of Mathematics 從上圖可以看出，用拓?fù)潢P(guān)系表示，不論怎從上圖可以看出，用拓?fù)潢P(guān)系表示，不論怎么變化，其鄰接、關(guān)聯(lián)、包含等關(guān)系都不改變。么變化，其鄰接、關(guān)聯(lián)、包含等關(guān)系都不改變。拓?fù)潢P(guān)系能夠從拓?fù)潢P(guān)系能夠從質(zhì)質(zhì)的方面和的方面和整體整體的概念上反映空的概念上反映空間實體的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。間實體的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。 研究拓?fù)潢P(guān)系對于地圖數(shù)據(jù)處理和正確顯示將研究拓?fù)潢P(guān)系