點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)(第一章11)

1、- -哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué)- - - -理理 學(xué)學(xué) 院院- - - -林林 錳錳- -點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)Department of Mathematics 本課程是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，介紹拓?fù)浔菊n程是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，介紹拓?fù)鋵W(xué)的比較容易掌握和比較有應(yīng)用價(jià)值的基礎(chǔ)概學(xué)的比較容易掌握和比較有應(yīng)用價(jià)值的基礎(chǔ)概念和基本方法。念和基本方法。 通過這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在掌握拓?fù)鋵W(xué)通過這門課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在掌握拓?fù)鋵W(xué)基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，掌握拓?fù)鋵W(xué)研究問題的整基本知識(shí)的基礎(chǔ)上，掌握拓?fù)鋵W(xué)研究問題的整體性、抽象性及高度概括性，力求活躍其數(shù)學(xué)體性、抽象性及高度概括性，力求活躍其數(shù)學(xué)思想，從而培

2、養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用較高層次的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)思想，從而培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用較高層次的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和數(shù)學(xué)知識(shí)，能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、歸納、和數(shù)學(xué)知識(shí)，能對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、歸納、提煉和解決，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。提煉和解決，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。課課 程程 要要 求求Department of Mathematics 掌握拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、掌握拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、性質(zhì)。掌握連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。性質(zhì)。掌握連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。掌握幾個(gè)重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性、可商性和遺傳性。掌握幾個(gè)重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性、可商性和遺傳性。拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映

3、射的定義、例子、性拓?fù)淇臻g、度量空間和連續(xù)映射的定義、例子、性質(zhì)。連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。幾個(gè)重質(zhì)。連通性，可數(shù)性，分離性，緊性等拓?fù)湫再|(zhì)。幾個(gè)重要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性和遺傳性。要的拓?fù)湫再|(zhì)的可積性和遺傳性。教教 學(xué)學(xué) 目目 標(biāo)標(biāo)教教 學(xué)學(xué) 要要 點(diǎn)點(diǎn)Department of Mathematics第三部分：幾類重要的拓?fù)湫再|(zhì)第三部分：幾類重要的拓?fù)湫再|(zhì)(28(28學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) ) 連通性連通性, 局部連通性局部連通性, 道路連通性道路連通性, 可數(shù)性公理可數(shù)性公理, 分離性公理分離性公理, 緊性緊性, 度量空間的緊性與可數(shù)性等內(nèi)容度量空間的緊性與可數(shù)性等內(nèi)容.教教 學(xué)學(xué) 安安

4、排排第一部分：預(yù)備知識(shí)第一部分：預(yù)備知識(shí)(4 (4學(xué)時(shí)）學(xué)時(shí)） 拓?fù)鋵W(xué)的起源拓?fù)鋵W(xué)的起源, 集合的運(yùn)算等預(yù)備知識(shí)集合的運(yùn)算等預(yù)備知識(shí).第二部分：第二部分： 拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射(16(16學(xué)時(shí)學(xué)時(shí)) ) 拓?fù)淇臻g拓?fù)淇臻g, 度量空間度量空間, 連續(xù)映射連續(xù)映射, 基基, 鄰域鄰域, 閉包、內(nèi)閉包、內(nèi)部與邊界部與邊界, 拓?fù)淇臻g中的序列拓?fù)淇臻g中的序列, 子空間拓?fù)渥涌臻g拓?fù)? 有限積拓?fù)溆邢薹e拓?fù)? 商映射等商映射等.Department of Mathematics教教 材材熊金城熊金城點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)講義 高等教育出版社高等教育出版社 參參 考考 資資 料料1 1、

5、陳奕培陳奕培. . 一般拓?fù)鋵W(xué)一般拓?fù)鋵W(xué), ,廈門大學(xué)出版社廈門大學(xué)出版社2 2、梁基華等梁基華等拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ), ,高等教育出版社高等教育出版社3 3、王敬庚王敬庚. . 直觀拓?fù)渲庇^拓?fù)? ,北京師范大學(xué)出版社北京師范大學(xué)出版社4 4、 美美 斯蒂芬斯蒂芬 巴爾巴爾. . 拓?fù)鋵?shí)驗(yàn)拓?fù)鋵?shí)驗(yàn) 上海教育出版社上海教育出版社 Department of Mathematics1. 端正學(xué)習(xí)態(tài)度端正學(xué)習(xí)態(tài)度,保證出勤保證出勤,不得無故曠課不得無故曠課.2. 認(rèn)真并按時(shí)完成作業(yè)認(rèn)真并按時(shí)完成作業(yè).3. 閱讀理解五篇左右本課程相關(guān)的論文閱讀理解五篇左右本課程相關(guān)的論文. (其中包括外文論文一篇其

6、中包括外文論文一篇).4. 平時(shí)表現(xiàn)以平時(shí)表現(xiàn)以20%記錄學(xué)期總成績(jī)。記錄學(xué)期總成績(jī)。5. 考試考試: 開卷考試，占學(xué)期總成績(jī)開卷考試，占學(xué)期總成績(jī)80%?？己艘罂己艘驞epartment of Mathematics哥尼斯堡哥尼斯堡七橋問題七橋問題 四色問題四色問題Mbius帶帶Euler示性數(shù)示性數(shù)1736年歐拉年歐拉解決七橋問題解決七橋問題1976年年9月四月四色問題得到解決色問題得到解決Department of Mathematics 哥尼斯堡哥尼斯堡是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋七座

7、橋，將河中間的兩個(gè)島和河，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題 一天有人提出：一天有人提出：能不能每座橋能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的都只走一遍，最后又回到原來的位置。位置。 這個(gè)問題看起來很簡(jiǎn)單這個(gè)問題看起來很簡(jiǎn)單,有很有趣的問題吸引了大家有很有趣的問題吸引了大家. 很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？春芏嗳嗽趪L試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€(gè)明確理想的答案還不那么容易來要得到一個(gè)明確理想的答案還不那么容易哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七橋問題 哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡七

8、橋問題 Department of Mathematics 1736年，有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家年，有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。了解答。 而把七座橋看而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線連線。那么這個(gè)問題就簡(jiǎn)化成，。那么這個(gè)問題就簡(jiǎn)化成，能不能用一能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來。筆就把這個(gè)圖形畫出來。 經(jīng)過進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論經(jīng)過進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有

9、能夠一筆畫出來的并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲先聲”。他把兩座小島和河的兩岸分別看作他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)四個(gè)點(diǎn)，Department of MathematicsEuler示性數(shù)示性數(shù) 對(duì)于一個(gè)多面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，對(duì)于一個(gè)多面體，假定它的面是用橡膠薄膜做成的，如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可如果充以氣體，那么它就會(huì)連續(xù)（不破裂）變形，最后可變?yōu)橐粋€(gè)球面。那么像這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蜃優(yōu)橐粋€(gè)球面。那么像這樣，表面經(jīng)過連續(xù)變形可變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w，叫做面的多面體，叫做簡(jiǎn)單

10、多面體簡(jiǎn)單多面體。棱柱、棱錐、正多面體等。棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體。一切凸多面體都是簡(jiǎn)單多面體。 歐拉定理告訴我們，歐拉定理告訴我們，簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)、棱數(shù)E及面數(shù)及面數(shù)F間間有關(guān)系：有關(guān)系：V+F-E=2。Department of Mathematics四色問題四色問題 四色問題又稱四色猜想，是世界四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一近代三大數(shù)學(xué)難題之一 ,四色問題的內(nèi)容是：四色問題的內(nèi)容是： “任何一張地圖只用四種顏色就能任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色。顏色?！?

11、“將平面任意地細(xì)分為不相重迭將平面任意地細(xì)分為不相重迭的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同字之一來標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。的數(shù)字?！?Department of Mathematics 數(shù)學(xué)史上正式提出數(shù)學(xué)史上正式提出“四色問題四色問題”的時(shí)間是在的時(shí)間是在1852年。當(dāng)時(shí)年。當(dāng)時(shí)倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦的大學(xué)的一名學(xué)生法朗西斯向他的老師、著名數(shù)學(xué)家、倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解答，倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)教授莫根提出了這個(gè)問題，可是莫根無法解

12、答，求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)求助于其它數(shù)學(xué)家，也沒有得到答案。于是從那時(shí)起，這個(gè)問題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)問題便成為數(shù)學(xué)界的一個(gè)“懸案懸案”。 一直到二十年前的一直到二十年前的1976年年9月，月，美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)通告正式正式宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的宣布了一件震撼全球數(shù)學(xué)界的消息：美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了兩位教授阿貝爾和哈根，利用電子計(jì)算機(jī)證明了“四色問四色問題題”這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題這個(gè)猜想是完全正確的！他們將普通地圖的四色問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為2000個(gè)特殊圖的四色問題，然后在

13、電子計(jì)算機(jī)上計(jì)個(gè)特殊圖的四色問題，然后在電子計(jì)算機(jī)上計(jì)算了足足算了足足1200個(gè)小時(shí)，最后成功地證明了四色問題。個(gè)小時(shí)，最后成功地證明了四色問題。Department of MathematicsMbius帶帶 數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事：數(shù)學(xué)上流傳著這樣一個(gè)故事： 先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做先用一張長(zhǎng)方形的紙條，首尾相粘，做成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙成一個(gè)紙圈，然后只允許用一種顏色，在紙圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成一種顏色，不留下任何空白。一種顏色，不留下任何空白。 這個(gè)紙圈應(yīng)該怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙這個(gè)紙圈應(yīng)該

14、怎樣粘？如果是紙條的首尾相粘做成的紙圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合圈有兩個(gè)面，勢(shì)必要涂完一個(gè)面再重新涂另一個(gè)面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界涂抹的要求，能不能做成只有一個(gè)面、一條封閉曲線做邊界的紙圈兒呢？的紙圈兒呢？Department of Mathematics “麥比烏斯圈麥比烏斯圈”變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之變成了拓?fù)鋵W(xué)中最有趣的單側(cè)面問題之一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工一。麥比烏斯圈的概念被廣泛地應(yīng)用到了建筑，藝術(shù)，工業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建造立交橋和道業(yè)生產(chǎn)中。運(yùn)用麥比烏斯圈原理我們可以建

15、造立交橋和道路，避免車輛行人的擁堵。路，避免車輛行人的擁堵。 Department of Mathematics拓?fù)涞膩碓赐負(fù)涞膩碓?“拓?fù)洌ㄍ負(fù)洌═opology）”一次來自希臘文，它的一次來自希臘文，它的原意是原意是“形狀的研究形狀的研究”。拓?fù)鋵W(xué)時(shí)幾何學(xué)的一個(gè)分。拓?fù)鋵W(xué)時(shí)幾何學(xué)的一個(gè)分支，它研究在拓?fù)渥儞Q下能夠保持不變的幾何屬性支，它研究在拓?fù)渥儞Q下能夠保持不變的幾何屬性拓?fù)鋵傩?。拓?fù)鋵傩?。拓?撲撲 學(xué)學(xué) 的的 形形 成成 和和 發(fā)發(fā) 展展 拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)是研究圖形在保持連續(xù)狀態(tài)下變形時(shí)是研究圖形在保持連續(xù)狀態(tài)下變形時(shí)的那些不變的性質(zhì)，也成為的那些不變的性質(zhì)，也成為“橡皮板幾何學(xué)橡皮板幾

16、何學(xué)”。Department of Mathematics例子：例子： 設(shè)想一塊高質(zhì)量的橡皮，它的表面是歐幾里的平面，這塊設(shè)想一塊高質(zhì)量的橡皮，它的表面是歐幾里的平面，這塊橡皮可以任意被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉(zhuǎn)或折疊。在橡皮可以任意被拉伸、壓縮，但是不能夠被扭轉(zhuǎn)或折疊。在橡皮的表面上有由結(jié)點(diǎn)、弧、環(huán)、面組成的可能任意圖形。橡皮的表面上有由結(jié)點(diǎn)、弧、環(huán)、面組成的可能任意圖形。 我們對(duì)橡皮進(jìn)行拉伸、壓縮，在橡皮進(jìn)行這些變換的過程我們對(duì)橡皮進(jìn)行拉伸、壓縮，在橡皮進(jìn)行這些變換的過程中，圖形的一些屬性消失，一些屬性將繼續(xù)保持存在。設(shè)想中，圖形的一些屬性消失，一些屬性將繼續(xù)保持存在。設(shè)想象皮表面有一個(gè)

17、多邊形，里面有一個(gè)點(diǎn)。象皮表面有一個(gè)多邊形，里面有一個(gè)點(diǎn)。 當(dāng)拉伸、壓縮橡皮時(shí)，點(diǎn)依舊在多邊形中，點(diǎn)和多邊形的當(dāng)拉伸、壓縮橡皮時(shí)，點(diǎn)依舊在多邊形中，點(diǎn)和多邊形的位置關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，但是多邊形的面積會(huì)發(fā)生變化。所位置關(guān)系不會(huì)發(fā)生變化，但是多邊形的面積會(huì)發(fā)生變化。所以：以：“點(diǎn)的內(nèi)置點(diǎn)的內(nèi)置”是拓?fù)鋵傩?，而是拓?fù)鋵傩?，而面積面積不是拓?fù)鋵傩裕觳皇峭負(fù)鋵傩?，拉伸和壓縮就是和壓縮就是拓?fù)渥儞Q。拓?fù)渥儞Q。Department of Mathematics 在地圖上僅用距離和方向參數(shù)描述地圖上的目標(biāo)之在地圖上僅用距離和方向參數(shù)描述地圖上的目標(biāo)之間的關(guān)系總是不圓滿的。間的關(guān)系總是不圓滿的。 因?yàn)閳D上兩

18、點(diǎn)之間的距離和方向會(huì)隨著地圖投影的不因?yàn)閳D上兩點(diǎn)之間的距離和方向會(huì)隨著地圖投影的不同而發(fā)生變化，故僅用距離和方向參數(shù)還不能夠確切地表同而發(fā)生變化，故僅用距離和方向參數(shù)還不能夠確切地表示它們之間的空間關(guān)系。（如下圖）示它們之間的空間關(guān)系。（如下圖）拓?fù)溥€是描述目標(biāo)間關(guān)系需要拓?fù)溥€是描述目標(biāo)間關(guān)系需要Longitude/Latitude投影Gauss-Krivger投影Department of Mathematics 從上圖可以看出，用拓?fù)潢P(guān)系表示，不論怎從上圖可以看出，用拓?fù)潢P(guān)系表示，不論怎么變化，其鄰接、關(guān)聯(lián)、包含等關(guān)系都不改變。么變化，其鄰接、關(guān)聯(lián)、包含等關(guān)系都不改變。拓?fù)潢P(guān)系能夠從拓?fù)潢P(guān)系能夠從質(zhì)質(zhì)的方面和的方面和整體整體的概念上反映空的概念上反映空間實(shí)體的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。間實(shí)體的空間結(jié)構(gòu)關(guān)系。 研究拓?fù)潢P(guān)系對(duì)于地圖數(shù)據(jù)處理和正確顯示將研究拓?fù)潢P(guān)系