昆明理工大學(xué)材料力學(xué)第五章 軸向拉壓桿的應(yīng)力及變形

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第五章第五章 軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形軸向拉壓桿的應(yīng)力與變形5-1 5-1 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念5-2 5-2 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力5-4 5-4 拉壓拉壓強度條件及應(yīng)用強度條件及應(yīng)用5-5 5-5 軸向軸向拉壓桿的變形拉壓桿的變形5-6 5-6 簡單拉壓超靜定問題簡單拉壓超靜定問題5-3 5-3 軸向拉壓桿的應(yīng)力軸向拉壓桿的應(yīng)力5-1 5-1 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念工程結(jié)構(gòu)及機械中常見的拉伸及壓縮變形的構(gòu)件：工程結(jié)構(gòu)及機械中常見的拉伸及壓縮變形的構(gòu)件：起重機的吊纜起重機的吊纜AB圖2-1-1桁架中的桿件桁架中的桿件連桿連桿

2、曲柄連桿機構(gòu)曲柄連桿機構(gòu)F特點：特點：連桿為直桿連桿為直桿外力大小相等外力大小相等 方向相反方向相反沿桿軸線沿桿軸線桿的變形為軸向伸長或縮短桿的變形為軸向伸長或縮短 以軸向伸長或軸向縮短為主要特征的變形形式稱以軸向伸長或軸向縮短為主要特征的變形形式稱為為軸向拉伸或軸向壓縮。軸向拉伸或軸向壓縮。拉（壓）桿拉（壓）桿:以軸向伸長或軸向縮短為主要變形的桿件。以軸向伸長或軸向縮短為主要變形的桿件。（1）受力特征）受力特征: 構(gòu)件是直桿；作用于桿件上的外力或外力合力構(gòu)件是直桿；作用于桿件上的外力或外力合力的作用線沿桿件的軸線。的作用線沿桿件的軸線。 （2）變形特點）變形特點: 桿件的桿件的主要變形主要變

3、形是沿軸線方向的伸長或縮短。是沿軸線方向的伸長或縮短。FFFF討論討論: 下列圖中哪些是軸向拉伸桿下列圖中哪些是軸向拉伸桿?F(a)F(b)FF(c)F(d)q5-2 5-2 軸向拉壓桿的內(nèi)力軸向拉壓桿的內(nèi)力一、用截面法求內(nèi)力一、用截面法求內(nèi)力FFmn求求mn橫截面上的內(nèi)力橫截面上的內(nèi)力?截面法的步驟：截面法的步驟： 1. 1.切：切： 2. 2.取：取： 3. 3.代：代： 4. 4.平：平：mnFFN FN =FmnF x = 0FN F = 0FFN NF 從二力平衡公理可知：從二力平衡公理可知： FN、 通過軸線，所以叫通過軸線，所以叫軸力軸力， 用用FN表示。表示。NF FFkk求求

4、kk橫截面上的內(nèi)力橫截面上的內(nèi)力?kkFFNk FNk =F x = 0FFNk = 0比較兩種受力后的內(nèi)力及變形情況比較兩種受力后的內(nèi)力及變形情況?FFmnmnFFN FN =F x = 0FN F = 0桿件拉伸時，桿件拉伸時，F(xiàn)N 為正為正拉力（方向：離開橫截面）拉力（方向：離開橫截面）; ;軸力軸力FN 的正負(fù)規(guī)定的正負(fù)規(guī)定: :F F mmF FN mmF FN mm FN 為為桿件壓縮時，桿件壓縮時，F(xiàn)N 為負(fù)為負(fù)壓力（方向：指向橫截面壓力（方向：指向橫截面 ）。）。軸力軸力FN 的正負(fù)規(guī)定的正負(fù)規(guī)定:F F mmF FN mmF FN mm FN 為為用用“設(shè)正法設(shè)正法”求軸力求

5、軸力: : 先假設(shè)欲求軸力為正，解得為正是拉力，解得先假設(shè)欲求軸力為正，解得為正是拉力，解得為負(fù)是壓力。為負(fù)是壓力。F F mmFN F mm FN = F x = 0FN +F = 0（壓力）（壓力）多力桿多力桿:F5 F4 F3 F2 F1 11求求1-1橫截面上的軸力。橫截面上的軸力。11F3 F2 F1 FN1 x = 0FN1 + F2+ F3 F1 = 0 FN1= F1F2 F322問：問：2-2橫截面上的軸力橫截面上的軸力?結(jié)論：兩力作用間各橫截面的軸力相等。結(jié)論：兩力作用間各橫截面的軸力相等。二、由外力直接求內(nèi)力二、由外力直接求內(nèi)力任意橫截面上的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)

6、和。任意橫截面上的軸力等于截面一側(cè)所有外力的代數(shù)和。F5 F4 F3 F2 F1 11看左側(cè)：看左側(cè)：FN1= F1F2 F322FN2= F1F2看右側(cè)：看右側(cè)：FN1= F4+F5規(guī)定規(guī)定（對外力）：離開截面?。▽ν饬Γ弘x開截面取 ，指向截面取，指向截面取 。三、軸力圖三、軸力圖用坐標(biāo)用坐標(biāo) （x，F(xiàn)N）來表示軸力沿桿件軸線的變化情況。來表示軸力沿桿件軸線的變化情況。 x 表示橫截面的位置；表示橫截面的位置； FN 表示軸力的大小。表示軸力的大小。FN圖圖FFN圖圖F F F F FxFNxFN例例1. 變截面直桿，求各段的軸力，并畫出軸力圖。變截面直桿，求各段的軸力，并畫出軸力圖。30

7、kN10kNCBAD軸力只與外力有關(guān)，軸力只與外力有關(guān)，而與桿件尺寸無關(guān)。而與桿件尺寸無關(guān)。解：解：（1 1）求各段軸力求各段軸力AB段段:11由由1-1右側(cè)右側(cè)FN1=30- -10=20kNBD段段:22由由2-2右側(cè)右側(cè)FN2= - -10kN（2 2）畫軸力圖畫軸力圖2010FN（kN）圖圖例例2. 等截面直桿，畫軸力圖。等截面直桿，畫軸力圖。分布載荷作用段的軸力圖是斜直線。分布載荷作用段的軸力圖是斜直線。AB段段:11FN1=2qaBC段段:22xFN2= qx軸力方程軸力方程解：解：（1 1）求各段軸力求各段軸力（2 2）畫軸力圖畫軸力圖2qaFN圖圖 ax20 F=2qa BCA

8、2aaq 例例3. 等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為桿長為l，材料的容重為，材料的容重為，F(xiàn)=2/3Al，畫軸力圖。，畫軸力圖。 l AlF 32 解：解：（1 1）求自重沿軸求自重沿軸 線的分布力線的分布力q AlAllGq q（2 2）畫軸力圖畫軸力圖 Al32 Al31FN圖圖5-3 5-3 軸向拉壓桿的應(yīng)力軸向拉壓桿的應(yīng)力一、一、 橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力問題：問題：1）橫截面上各點處產(chǎn)生何種應(yīng)力？）橫截面上各點處產(chǎn)生何種應(yīng)力？2）應(yīng)力的分布規(guī)律？）應(yīng)力的分布規(guī)律？3）應(yīng)力的數(shù)值？）應(yīng)力的數(shù)值？1、應(yīng)力的分布規(guī)律、應(yīng)力的分布規(guī)律實驗

9、：實驗：FFFF 各橫向線保持為直線，并仍垂直于軸線，但距離各橫向線保持為直線，并仍垂直于軸線，但距離增大了。增大了。 變形后原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。變形后原來的矩形網(wǎng)格仍為矩形。（1 1）變形現(xiàn)象：）變形現(xiàn)象：變形前的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。變形前的橫截面變形后仍保持為平面，且垂直于軸線。（2）平面截面假設(shè)：）平面截面假設(shè)：根據(jù)變形現(xiàn)象作假設(shè)根據(jù)變形現(xiàn)象作假設(shè)FFFF（3）推論）推論:無無切應(yīng)變，因此橫截面上沒有切應(yīng)力。切應(yīng)變，因此橫截面上沒有切應(yīng)力。 任意兩個橫截面之間各縱向纖維的伸長相同，任意兩個橫截面之間各縱向纖維的伸長相同，即各縱向纖維受力相等。即各縱向纖維受力相等。

10、（4）結(jié)論）結(jié)論: 橫截面上只有正應(yīng)力，并均勻分布，用橫截面上只有正應(yīng)力，并均勻分布，用s s 表示。表示。2、正應(yīng)力計算公式、正應(yīng)力計算公式AFN s s軸力與應(yīng)力的關(guān)系：軸力與應(yīng)力的關(guān)系：AAFAssdNs sFNF 注意注意: s s 的符號與的符號與FN一致，正一致，正稱為拉應(yīng)力，稱為拉應(yīng)力， 負(fù)負(fù)稱為壓應(yīng)力。稱為壓應(yīng)力。正應(yīng)力計算公式：正應(yīng)力計算公式：AFN s ss sFNF 公式的限制條件公式的限制條件: 上述計算正應(yīng)力的公式對橫截面的形式?jīng)]有限制，但對上述計算正應(yīng)力的公式對橫截面的形式?jīng)]有限制，但對于某些特殊形式的橫截面，如果在軸向載荷作用時不能滿于某些特殊形式的橫截面，如果在

11、軸向載荷作用時不能滿足平面假設(shè)，則公式將不再有效。足平面假設(shè)，則公式將不再有效。 試驗和計算表明，該公式不能描述載荷作用點附近截面試驗和計算表明，該公式不能描述載荷作用點附近截面上的應(yīng)力情況，因為這些區(qū)域的應(yīng)力變化比較復(fù)雜，截面上的應(yīng)力情況，因為這些區(qū)域的應(yīng)力變化比較復(fù)雜，截面變形較大。變形較大。該公式不能描述載荷作用點附近的應(yīng)力情況。該公式不能描述載荷作用點附近的應(yīng)力情況。 AFN s s公式的限制條件公式的限制條件:圣維南原理圣維南原理: 力作用于桿端的方式不同，只會使與桿端距離不力作用于桿端的方式不同，只會使與桿端距離不大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。大于桿的橫向尺寸的范圍內(nèi)受到影響。

12、FFFF影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)影響區(qū)2F2F2F2F 例例1. 等截面直桿，已知橫截面面積等截面直桿，已知橫截面面積A=500mm2。(1)(1)畫軸力圖畫軸力圖; (2)(2)求各段橫截面上的正應(yīng)力。求各段橫截面上的正應(yīng)力。A 50kN 80kN 30kN B C D 解：解：（1 1）求各段軸力求各段軸力AB段段:FN1=80- -50+30 =60kNBC段段: 由由2-2右側(cè)右側(cè)FN2= 30- -50 =- -20kN1122由由1-1右側(cè)右側(cè)CD段段:33由由3-3右側(cè)右側(cè)FN2=30kN（2 2）畫軸力圖畫軸力圖FN（kN）圖圖602030橫截面面積橫截面面積A=500mm2。A 5

13、0kN 80kN 30kN B C D (3)(3)求各段橫截面上的求各段橫截面上的正應(yīng)力。正應(yīng)力。602030FN（kN）AFN s sAFN11 s s50010603 MPa120 AFN22 s s50010203 MPa40 AFN33 s s50010303 MPa60 二、二、 斜截面上的應(yīng)力斜截面上的應(yīng)力混凝土圓柱混凝土圓柱重物重物圓柱是怎樣斷裂的？圓柱是怎樣斷裂的？ 為什么圓柱會沿此斜為什么圓柱會沿此斜截面斷裂？截面斷裂？ 鋁板的拉伸實驗：鋁板的拉伸實驗：45o沿與軸線成沿與軸線成45o角左右的斜截面破壞。角左右的斜截面破壞。1、斜截面上應(yīng)力的分布規(guī)律、斜截面上應(yīng)力的分布規(guī)律

14、 變形現(xiàn)象變形現(xiàn)象: : 變形前平行的兩條斜直線變形后仍變形前平行的兩條斜直線變形后仍保持為直線并相互平行。保持為直線并相互平行。 推論推論: : 在相互平行的兩個斜截面之間的各縱向在相互平行的兩個斜截面之間的各縱向纖維的變形相同，說明斜截面上各點的應(yīng)力也是均纖維的變形相同，說明斜截面上各點的應(yīng)力也是均勻分布的。勻分布的。F F 實驗：實驗：2、斜截面上應(yīng)力的計算、斜截面上應(yīng)力的計算kka aF F Aa aA(1)(1) 斜截面定位：以橫截面與斜截面的夾角斜截面定位：以橫截面與斜截面的夾角a a 定位。定位。 (2)(2) a a 角的正負(fù)規(guī)定：從橫截面轉(zhuǎn)到斜截面，逆時角的正負(fù)規(guī)定：從橫截面

15、轉(zhuǎn)到斜截面，逆時 針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。針轉(zhuǎn)為正，順時針轉(zhuǎn)為負(fù)。A橫截面面積，橫截面面積，Aa akk斜截面面積，斜截面面積，Aa a=A/cosa a 。其中其中 s s0 0 是橫截面上的正應(yīng)力。是橫截面上的正應(yīng)力。a aa aa aAFp a aa acosAFcos/AF a as scos0 F kkpa aa aFa a kkF a a斜截面上的內(nèi)力（用截面法）：斜截面上的內(nèi)力（用截面法）： Fa a=F 斜截面上各點應(yīng)力均勻分布。斜截面上各點應(yīng)力均勻分布。a as sa as sa aa a20coscosp a a a aa asinp a as s220sin a aa a

16、s ssincos0 結(jié)論：軸向拉（壓）時斜截面上既有正應(yīng)力，還有結(jié)論：軸向拉（壓）時斜截面上既有正應(yīng)力，還有 切應(yīng)力。切應(yīng)力。pa a kkF a as sa a a a pa a 是斜截面上任意點的全應(yīng)力，通常將其分解為是斜截面上任意點的全應(yīng)力，通常將其分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力。正應(yīng)力和切應(yīng)力。 討論討論: （2）當(dāng)當(dāng)a a 00時，時， s s max= s s 0。即橫截面上的正應(yīng)力為最大。即橫截面上的正應(yīng)力為最大正應(yīng)力。此時切應(yīng)力為正應(yīng)力。此時切應(yīng)力為0 0 。pa a kkF a as sa a a aa as ss sa a20cos a as s a a220sin （1）。)(

17、),(a a a as sa aa aff s s0 0、a a 的符號代入計算。的符號代入計算。 （3）當(dāng)當(dāng)a a 4545o時，時， 4545o = max s s 0/2。即最大切應(yīng)力發(fā)。即最大切應(yīng)力發(fā)生在與軸線成生在與軸線成4545o角的斜截面上。此時正應(yīng)力為角的斜截面上。此時正應(yīng)力為s s 0/2 。 （4）當(dāng)當(dāng)a a 9090o時，時， s s a a = 0 0 ， a a 0 0。即縱截面上無任何。即縱截面上無任何應(yīng)力。應(yīng)力。 正應(yīng)力正應(yīng)力s sa a 和切應(yīng)力和切應(yīng)力 a a 正負(fù)號的規(guī)定：正負(fù)號的規(guī)定：（1 1）正應(yīng)力）正應(yīng)力s sa a ：離開截面（拉）為正，：離開截面（

18、拉）為正， 指向截面（壓）為負(fù)。指向截面（壓）為負(fù)。（2 2） 切應(yīng)力切應(yīng)力 a a ：對保留段內(nèi)任一點之矩，順時針：對保留段內(nèi)任一點之矩，順時針 轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)。轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)。 例例2. 計算階梯狀方形柱體的最大正應(yīng)力，已知計算階梯狀方形柱體的最大正應(yīng)力，已知載荷載荷F =50 kN。 F C BA F F 40003000370240III解：解：（1 1）畫軸力圖畫軸力圖FN（kN）50150FN1= - -50kNFN2= -1-150kN(2)(2)求各段橫截面上的正應(yīng)力求各段橫截面上的正應(yīng)力1 11AFN s s24024010503 MPa8680. 2 22AFN

19、 s s370370101503 MPa11. AB段段:BC段段:MPa11.max s s 例例3. 圖示軸向受壓矩形等截面直桿，其橫截圖示軸向受壓矩形等截面直桿，其橫截面尺寸為面尺寸為40mm10mm，載荷，載荷F50kN。試求斜。試求斜截面截面m-m上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。 mmF F 40解：解：（1 1）求軸力求軸力FN= - -50kN(2)(2)求橫截面上的正應(yīng)力求橫截面上的正應(yīng)力 AFN s s104010503 MPa125 (3)(3)求求m-m斜截面上的應(yīng)力，斜截面上的應(yīng)力，a as ss sa a2cos a as s a a22sin 501252c

20、os MPa651. 5022125 sinMPa661. =50o5-4 5-4 拉壓強度條件及應(yīng)用拉壓強度條件及應(yīng)用一、名詞介紹一、名詞介紹:1. 工作應(yīng)力工作應(yīng)力: 桿件實際上所承受的應(yīng)力。桿件實際上所承受的應(yīng)力。2. 極限應(yīng)力極限應(yīng)力: 材料破壞時的應(yīng)力。用材料破壞時的應(yīng)力。用o o表示。表示。3. 許用應(yīng)力許用應(yīng)力:工作應(yīng)力允許的最大值。用工作應(yīng)力允許的最大值。用 表示。表示。nos ss s n安全因數(shù)。安全因數(shù)。1n 為保證構(gòu)件能正常工作并具有足夠的安全儲備，為保證構(gòu)件能正常工作并具有足夠的安全儲備，將極限應(yīng)力除以一個大于將極限應(yīng)力除以一個大于1 1的系數(shù)的系數(shù)n（安全系數(shù)也稱（

21、安全系數(shù)也稱為安全因數(shù)），便得到許用應(yīng)力為安全因數(shù)），便得到許用應(yīng)力 ，即，即二、二、強度條件強度條件:s ss s max或或Ns s maxAF桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力 不得超過材料的許用應(yīng)力。不得超過材料的許用應(yīng)力。maxs三、三、強度條件的應(yīng)用強度條件的應(yīng)用:(1) (1) 強度校核強度校核 已知外力，桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。已知外力，桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。驗算桿件是否安全。驗算桿件是否安全。Ns ss s maxmaxAF(2)(2) 設(shè)計橫截面尺寸設(shè)計橫截面尺寸(3)(3) 確定許可載荷確定許可載荷Ns smaxFA Ns sAFmax 注意：工程上，注意

22、：工程上， 是允許的。是允許的。5s ss ss s%max 已知外力，材料，桿件橫截面的形狀。設(shè)計桿已知外力，材料，桿件橫截面的形狀。設(shè)計桿件橫截面的尺寸。件橫截面的尺寸。 已知桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。求桿件已知桿件橫截面的形狀和尺寸，材料。求桿件所能承受的最大載荷。所能承受的最大載荷。 例例1.1. 已知一圓桿受拉力已知一圓桿受拉力F = =25kN，直徑，直徑d = =14mm，材料的材料的許用應(yīng)力為許用應(yīng)力為 s s = =170MPa。試校核此桿是否滿足。試校核此桿是否滿足強度要求。強度要求。解：解： (1)(1)求軸力求軸力FN= 25kN(2)(2)求最大的正應(yīng)力求最大的正

23、應(yīng)力 AFNmax s s414102523 MPa162 (3)(3)校核強度校核強度 s ss s MPa162 max故拉桿安全。故拉桿安全。 例例2. 2. 曲柄連桿機構(gòu)。當(dāng)連桿接近水平時，曲柄連桿機構(gòu)。當(dāng)連桿接近水平時，F(xiàn)=3780kN,=3780kN,連桿橫截面為矩形，連桿橫截面為矩形，h/b=1.4,=1.4,材料的許用材料的許用應(yīng)力為應(yīng)力為 s s = =90MPa。試設(shè)計連桿的橫截面尺寸。試設(shè)計連桿的橫截面尺寸h和和b。連桿連桿FFFhbF=3780kN=3780kN，h/b=1.4,=1.4, s s = =90MPa。FFhb解：解： (1)(1)求軸力求軸力FN= -

24、-3780kN(2)(2)求橫截面面積求橫截面面積A s ss s AFN s sNFA 390103780 23mm1042 (3)(3)求尺寸求尺寸h、b241 b.hbA m3 .Abmm245173411.4 .bh。，故故取取173mmmm245 bh 例例3 3. 兩桿桁架如圖所示，桿件兩桿桁架如圖所示，桿件AB 由兩個由兩個10號工號工字鋼桿構(gòu)成，桿字鋼桿構(gòu)成，桿 AC 由兩個截面為由兩個截面為80mm80mm 7mm 的等邊角鋼構(gòu)成，的等邊角鋼構(gòu)成， 所有桿件材料均為鋼所有桿件材料均為鋼 Q235， s s =170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷試確定結(jié)

25、構(gòu)的許可載荷 F 。F1m30ACBAB桿桿10號工字鋼，號工字鋼， AC桿桿80mm80mm7mm等等邊角鋼邊角鋼， s s =170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷 F 。F1m30ACB解：解： (1)(1)求軸力求軸力30FAFN2FN103012 cosFFNN0 yF 0 xF0301 FsinFNFFFFNN3221 AB桿桿10號工字鋼，號工字鋼， AC桿桿80mm80mm7mm等等邊角鋼邊角鋼， s s =170MPa。試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷試確定結(jié)構(gòu)的許可載荷 F 。(2)(2)確定兩桿的面積確定兩桿的面積30FAFN2FN1查表得：查表得：21 cm7221

26、28610.A 22 cm682823414.A (3)(3)確定確定許可載荷許可載荷 F FFFFNN3221 由由AC桿桿確定確定： s ss s 1 11AF.F184.6kNN184620 F由由AB桿桿確定確定： s ss s 2 22AF.FkN5812N1052813.F 。故故取取kN6184 .F 5-5 5-5 軸向軸向拉壓桿的變形拉壓桿的變形 實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下，沿軸實驗表明，桿件在軸向拉力或壓力的作用下，沿軸線方向?qū)l(fā)生伸長或縮短，同時，橫向（垂直的方向）線方向?qū)l(fā)生伸長或縮短，同時，橫向（垂直的方

27、向）必發(fā)生縮短或伸長，如所示。必發(fā)生縮短或伸長，如所示。FFll1aa1一、軸向（或縱向）變形，橫向變形一、軸向（或縱向）變形，橫向變形絕對變形：絕對變形： 線應(yīng)變（正應(yīng)變）線應(yīng)變（正應(yīng)變） lll-1 ll 相對變形：單位長度上的變形相對變形：單位長度上的變形; 無量綱量。無量綱量。長度變化的測量長度變化的測量1. 軸向（或縱向）變形軸向（或縱向）變形2. 橫向變形橫向變形aa 絕對變形絕對變形:aaa-1 橫向線應(yīng)變：橫向線應(yīng)變： 與與恒為異號恒為異號。FFll1aa1或或 - 泊松比泊松比二、泊松比二、泊松比 在線彈性范圍內(nèi)，橫向正應(yīng)變在線彈性范圍內(nèi)，橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變之

28、之比的絕對值是一個常數(shù)。比的絕對值是一個常數(shù)。 、與與 都是無量綱的量。都是無量綱的量。 (應(yīng)力不超過比例極限應(yīng)力不超過比例極限) 試驗表明：試驗表明： 當(dāng)拉（壓）桿內(nèi)的正應(yīng)力小于某一當(dāng)拉（壓）桿內(nèi)的正應(yīng)力小于某一極限值（極限值（比例極限比例極限）時，桿的伸長（或縮短）時，桿的伸長（或縮短）l與與軸力軸力FN及桿長及桿長l 成正比，而與橫截面面積成正比，而與橫截面面積A成反比。成反比?；⒖硕ɡ砘⒖硕ɡ砣?、三、虎克定理虎克定理EAlFlN AlFlN （引入一比例常數(shù)得等式）（引入一比例常數(shù)得等式）E 拉、壓彈性模量拉、壓彈性模量;反映材料抵抗彈性變形的能力。反映材料抵抗彈性變形的能力。具有與應(yīng)

29、力相同的量綱具有與應(yīng)力相同的量綱, , 常用單位常用單位GPa。注意：注意：E、 是是材料固有的彈性常數(shù)。材料固有的彈性常數(shù)。EAlFlN EA 抗拉（壓）剛度?？估▔海﹦偠?。反映構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。反映構(gòu)件抵抗彈性變形的能力。EAlFlN 變換變換 的形式：的形式：EAFll1N E1 s s s s E（虎克定理的另一表達形式）（虎克定理的另一表達形式）表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。表明：當(dāng)應(yīng)力不超過比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。注意：注意：EAlFlN （1 1） ，F(xiàn)N 要代入符號計算。要代入符號計算。 伸長；伸長； 縮短。縮短。（2 2）FN、A或或E分段變化

30、：分段變化： iiiiiAElFllNFN或或A沿軸線連續(xù)變化沿軸線連續(xù)變化 : lilEAdxxFldlN2FFqF 例例1. 臺階形桿件受載如圖所示，已知臺階形桿件受載如圖所示，已知AB和和BC段段的截面面積為的截面面積為 A1=400mm2、A2=250mm2。 材料的彈材料的彈性模量為性模量為 E=210GPa。試計算。試計算AB段、段、BC段和整個桿段和整個桿件的伸長量；并計算截面件的伸長量；并計算截面C相對于截面相對于截面B的位移的位移CB以以及截面及截面C的絕對位移的絕對位移C 。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200A1=400mm2、A2=250mm2。 E=

31、210GPa。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200解：解： (1)(1)求軸力求軸力FN1= 40kNFN2= 40kNAB段段:BC段段:(2)(2)求各段的變形及桿的總變形求各段的變形及桿的總變形AB段段:11N11EAlFl 40010210300104033 mm1430. BC段段:22N22EAlFl 25010210200104033 mm1520. A1=400mm2、A2=250mm2。 E=210GPa。F=40kN C BA BCl1 =300l2=200FN1= 40kNFN2= 40kN(2)(2)求各段的變形及桿的總變形求各段的變形及桿的總變形mm

32、14301.l mm15202.l 總總l(3)(3)求求截面截面C相對于截面相對于截面B的位移的位移CB以及以及 截面截面C的絕對位移的絕對位移C mm15202.lCB mm2950.lC 總總mm95.2052.10143021 .ll l 例例2. 等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為等截面直桿考慮自重，已知橫截面面積為A，桿長為桿長為l，材料的容重為，材料的容重為，桿的總重為，桿的總重為G，求桿的變，求桿的變形量形量l。解：解：(1)(1)求自重沿軸線的分布力求自重沿軸線的分布力q AlAllGq q(2)(2)畫軸力圖畫軸力圖 Al x dx(3)(3)求微段求微段dx的變形量的變

33、形量 dxxA )( dxxA llEAdxxFldl0N)(EAdxxFld)()(N xAxF )(N (4)(4)求桿的總變形量求桿的總變形量 lEAxdxA0 EAlA2 2 EAGl2 四、四、桁架節(jié)點的位移計算桁架節(jié)點的位移計算變形變形：指構(gòu)件的尺寸和形狀的改變。：指構(gòu)件的尺寸和形狀的改變。位移位移：指構(gòu)件上的點或者截面由于變形而引起的位：指構(gòu)件上的點或者截面由于變形而引起的位 置的改變。置的改變。A問問：A截面有沒有變形？有沒有位移？截面有沒有變形？有沒有位移？ 例例3.3. 圖示受力鉸接三角架圖示受力鉸接三角架( (桁架），已知：桁架），已知：F= =9.8kN, 1, 1桿的

34、桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m, 2 2桿的桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1m 。試求節(jié)點。試求節(jié)點A的的水平及垂直位移。水平及垂直位移。A12F30解：解： (1)(1)求兩桿的軸力求兩桿的軸力A12F30N1FN2F03012 cosFFNN0 Y 0X0301 FsinFNFFFFNN3221 F= =9.8kN, 1, 1桿的桿的E1=200GPa，A1=127mm2，l1=1.15m, 2 2桿的桿的E2=70GPa，A2=101mm2，l2=1mA12F30(2)(2)計算兩桿的變形量計算兩桿的變形量FFN32 FFN21 111N1

35、1AElFl 127102001015110892333 .mm8910. 222N22AElFl 101107010110893333 .mm42. 1112AEFl 2223AEFl (3)(3)假想打開假想打開A鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來確定節(jié)點作圖來確定節(jié)點A的新位置的新位置A1230mm89101.l mm422.l A12301l2lA Bx y 1l2lA BCx y mm89101.l mm422.l A12301l2lA BCx y 30(3)(3)假想打開假想打開A鉸使桿件自由鉸使桿件自由變形，用切線代圓弧作圖來變形，用切線代圓弧作圖

36、來確定節(jié)點確定節(jié)點A的新位置的新位置(4)(4)計算節(jié)點計算節(jié)點A的的水平及垂直位移水平及垂直位移x 2l )( mm42 .y BCAC 303021tglsinl 3042308910tg.sin. mm945. 例例4.4. 已知已知F及及CD桿的桿的EA, ,AB桿為剛性桿。求節(jié)桿為剛性桿。求節(jié)點點A的垂直位移。的垂直位移。FABCD60aa5-6 5-6 簡單拉壓超靜定問題簡單拉壓超靜定問題 超靜定（靜不定）超靜定（靜不定）僅僅依靠靜力平衡方程不僅僅依靠靜力平衡方程不能求解所有未知力的問題（或未知力的個數(shù)大于獨能求解所有未知力的問題（或未知力的個數(shù)大于獨立平衡方程的個數(shù)。）立平衡方程

37、的個數(shù)。）一、基本概念一、基本概念例如：外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。例如：外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。CFABDaa12平衡方程平衡方程: :FAaaFN1FN2( (用截面法取用截面法取A A點研究點研究) )0 012 a aa asinFsinFXNN0 021 FcosFcosFYNNa aa a兩個平衡方程可以求解兩個未知力，屬于靜定問題。兩個平衡方程可以求解兩個未知力，屬于靜定問題。CFABDaa123平衡方程：平衡方程：剛才的結(jié)構(gòu)，加上第剛才的結(jié)構(gòu)，加上第3 3根桿，求各桿的軸力。根桿，求各桿的軸力。FAaaFN1FN3FN20 012 a aa asinFsinFXNN0

38、0321 FFcosFcosFYNNNa aa a 兩個平衡方程，有三個未知力，無法求解，屬于兩個平衡方程，有三個未知力，無法求解，屬于靜不定問題。靜不定問題。為什么會從靜定變成靜不定呢？為什么會從靜定變成靜不定呢？因為有了多余的約束。因為有了多余的約束。（要求解這三個未知力，必須補充方程。）（要求解這三個未知力，必須補充方程。）要通過變形的協(xié)調(diào)關(guān)系來建立補充方程。要通過變形的協(xié)調(diào)關(guān)系來建立補充方程。靜不定度（次數(shù)）靜不定度（次數(shù)）= =未知力的數(shù)目未知力的數(shù)目- -有效平衡方程的數(shù)目有效平衡方程的數(shù)目 例例1. 1. 設(shè)設(shè)1 1、2 2、3 3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各三桿用鉸鏈連接如圖，

39、已知：各桿長為：桿長為：l1=l2、 l3 =l ；各桿截面面積相等為；各桿截面面積相等為A ；各桿；各桿彈性模量相等為彈性模量相等為E。外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。外力沿鉛垂方向，求各桿的軸力。解：解： (1)(1)幾何關(guān)系幾何關(guān)系給結(jié)構(gòu)一個假象的變形位置，給結(jié)構(gòu)一個假象的變形位置，找變形的諧調(diào)關(guān)系。找變形的諧調(diào)關(guān)系。CFABDaa123l求解前先作靜不定次數(shù)的判定。求解前先作靜不定次數(shù)的判定。CABDaa123A CABDaa123A 原則一原則一：由節(jié)點新位置作原：由節(jié)點新位置作原 桿軸線的垂線確定桿軸線的垂線確定 桿的變形量。桿的變形量。1l2l3la acosll31 變形諧調(diào)關(guān)系

40、變形諧調(diào)關(guān)系1l2l3lA 1l2l3la acosll31 變形諧調(diào)關(guān)系變形諧調(diào)關(guān)系解：解： (1)(1)幾何關(guān)系幾何關(guān)系(2)(2)通過物理關(guān)系，建立補充方程通過物理關(guān)系，建立補充方程a acosEAlFEAlFlNN1111 EAlFEAlFlNN3333 a aa acosEAlFcosEAlFNN31 CABDaa123l(1) 231a acosFFNN 補充方程補充方程CFABDaa123FAaaFN1FN3FN2(2) 0 012 a aa asinFsinFXNN(3) 0 0321 FFcosFcosFYNNNa aa a(3)(3)列靜力平衡列靜力平衡方程方程(1) 231a acosFFNN (4)(4)聯(lián)立（聯(lián)立（1 1）（）（2 2）（）（3 3）式求解）式求解 21NNFF 3NF注意注意: : 求解靜不定問題時，求解靜不定問題時，“設(shè)正法設(shè)正法”不能用，不能用， 要按要按“原則二原則二”畫受力圖。畫受力圖。原則二原則二：列靜力平衡方程，畫受力圖時，應(yīng)保證變：列靜力平衡方程，畫受力圖時，應(yīng)保證變