第二章復(fù)變函數(shù)的積分

1、第二章復(fù)變函數(shù)的積分第1頁，共57頁。2、1 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分1 1、復(fù)變函數(shù)的積分定義、復(fù)變函數(shù)的積分定義f( (z) )在復(fù)平面內(nèi)的在復(fù)平面內(nèi)的l分段光分段光滑曲線上連續(xù)滑曲線上連續(xù), ,在在l上取一上取一系列分點系列分點nzz0將將l分成分成n小段在每一小段上任取一點小段在每一小段上任取一點k。則有下式復(fù)變函數(shù)積分。則有下式復(fù)變函數(shù)積分nkkkknzzf11)(lim存在，存在，ldzzf)(nkkkknzzf11)(lim且值與且值與k點的選取無關(guān)。稱該和的極限為函數(shù)點的選取無關(guān)。稱該和的極限為函數(shù)B B的路積分，記作的路積分，記作f( (z) )沿曲線沿曲線l從從A AA

2、z1z1z2z2z3z3.zk1zkzkDzkBxyO積分函數(shù)積分函數(shù)積分路徑積分路徑一般來說一般來說, ,復(fù)變函數(shù)的積分值與復(fù)變函數(shù)的積分值與積分路徑積分路徑有關(guān)有關(guān). .第2頁，共57頁。1）將復(fù)變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的線積分）將復(fù)變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的線積分),(),(),(yxivyxuyxfkkkiyxz111kkkiyxzldzzf)(nkkkknzzf11)(lim)()(,(),(111limkkkkkkknkknyyixxyxivyxuldzzf)(nkkkknzzf11)(lim2 2、復(fù)變函數(shù)積分計算方法、復(fù)變函數(shù)積分計算方法第3頁，共57頁。)(,(1

3、1limkkknkkxxxyxu)(,(11limkkknkkxyyyxv)(,(11limkkknkkxyyyxui)(,(11limkkknkkxxxyxvildxyxu),(ldyyxv),(ldxyxui),(ldyyxvi),( dyyxvdxyxul),(),(dyyxudxyxvil),(),(可見可見 將復(fù)變函數(shù)的路積分轉(zhuǎn)化為兩個實變函數(shù)的線積將復(fù)變函數(shù)的路積分轉(zhuǎn)化為兩個實變函數(shù)的線積分，因此分，因此實變函數(shù)的線積分性質(zhì)實變函數(shù)的線積分性質(zhì)對復(fù)變函數(shù)而言均成立對復(fù)變函數(shù)而言均成立。)()(,(),(111limkkkkkkknkknyyixxyxivyxu( )()()llll

4、f z dzudxvdyi vdxudyuiv dxidy第4頁，共57頁。應(yīng)學(xué)會利用應(yīng)學(xué)會利用y y與與x x關(guān)系（關(guān)系（y y和和x x的關(guān)系顯式的關(guān)系顯式, ,即積分路即積分路徑表示式）將復(fù)函數(shù)線積分化為定積分或不定積徑表示式）將復(fù)函數(shù)線積分化為定積分或不定積分計算分計算注：注：第5頁，共57頁。例例1 1：沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)：沿圖所示的三條曲線分別計算復(fù)變函數(shù)l l Re(Re(z)z) dzdz從從O O到到B B（1 1，1 1）的定積分。）的定積分。解：分析積分式與路徑解：分析積分式與路徑( ) Re :Re,0f zz uz xv（1）路徑）路徑OAB：路徑：路

5、徑OA+OB 對對OA：x=0,dx=0,y:01Re()llllzdzxdx idyxdx i xdyRe0OAOAOAzdzxdx i xdy對對AB：y=1,dy=0,x:01101Re2ABABABzdzxdx i xdyxdx（2）同理可求另一條路徑）同理可求另一條路徑ODB的積分為：的積分為：1/2+iOBDA（3）路徑：）路徑：y=x，則：，則：1100Re1122OBOBOBzdzxdx iydyxdx i ydyi1ReReRe2lOAABzdzzdzzdz第6頁，共57頁。計算計算lzdz，l 為從原點到為從原點到3+i43+i4的三條直線段。的三條直線段。 例例解：解：分

6、析：積分式為：分析：積分式為： 復(fù)積分化為：復(fù)積分化為：iyxzidydxdzOBDA()()llllzdzx iy dx idyxdx ydy i ydx xdy（1 1）路徑）路徑OABOAB：路徑：路徑OA+OBOA+OB 對對OAOA：x=0,dx=0,y:04x=0,dx=0,y:04408OAzdzydy對對ABAB：y=4,dy=0,x:03y=4,dy=0,x:0333009122ABzdzxdxi ydxi 7122lOAABzdzzdzzdzi （2）同理可求另）同理可求另一條路徑一條路徑ODB的積的積分也分也為此數(shù)為此數(shù)第7頁，共57頁。（3）路徑：）路徑：lzdzydy

7、xdxlxdyydxil30 xdx40ydy3034xdxi4034iydy22224214332134421321ii)1212(21)169(21i7122i 4; :0 3,:0 43yx xyOBDA第8頁，共57頁。OB（1，1）DA1;21Re;211;22lOABzdzi ODBi OB路徑路徑路徑OB（3，4）DA712 ;2712 ;2712 ;2li OABzdzi ODBi OB 路徑路徑路徑思考：思考： 究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？第9頁，共57頁。2 2）參數(shù)積分法）參數(shù)積分法若積分曲線的參數(shù)方

8、程若積分曲線的參數(shù)方程z=z( (t) )dttzdz)( ),(則則ldzzf)(dttztzf)( )(（極坐標(biāo)法，通常用來計算積分路徑為（極坐標(biāo)法，通常用來計算積分路徑為圓弧圓弧時的情況）時的情況）0zz0izze通常思路：通常思路：積分路徑積分路徑l為圓?。簽閳A?。鹤诹坑弥笖?shù)形式表示：宗量用指數(shù)形式表示：第10頁，共57頁。計算積分計算積分11|dzz積分路徑是（積分路徑是（1 1）直線段）直線段例例2 2（2 2）單位圓周的上半（）單位圓周的上半（3 3）單位圓周的下半）單位圓周的下半（1 1）在）在-1-1到到1 1的直線段上的直線段上0l路徑方程為路徑方程為y=0解：解：|22x

9、yxzdz=dx+idy=dx 所以所以11|dzz=11|dzx1210 xdxxy第11頁，共57頁。2 2）在單位圓上半周上：）在單位圓上半周上：則則11|dzz02dieiiez 令令3) 3) 在單位圓下半圓周上在單位圓下半圓周上: :11|dzz=02diei可見可見000)2(2|dzzdzz xy第12頁，共57頁。例：計算圓弧積分：例：計算圓弧積分：izaren為整數(shù)為整數(shù)第13頁，共57頁。22100cos( -1)sin( -1)nindindr 第14頁，共57頁。3 3、復(fù)積分的性質(zhì)、復(fù)積分的性質(zhì)111( )( )( )nnnkkkkkkkkklllc fz dzc

10、fz dzcfz dz11( )( );knnkkkllf z dzf z dz ll( )( )ABBAllf z dzf z dz22( );( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的長度用來求積分的估計值用來求積分的估計值1212zzzz第15頁，共57頁。320lim01zrrzdzz試證：試證：證明：要證上式，只需證明證明：要證上式，只需證明320lim01zrrzdzz3322 111zrzrzzdzdzzz（ ）3333322222( )11111zzzzrf zMzrrzzQ又32 21zrzrzrzdzMdzMdsMsz（ ）22( );

11、( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的長度第16頁，共57頁。3322 111zrzrzzdzdzzz（ ）32 21zrzrzrzdzMdzMdsMsz（ ）由（由（1 1）（）（2 2）式，得：）式，得：321zrzdzMsz321rMr2zrsdsr3422211zrzrdzzr22( );( );( ) ,llf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsl的長度第17頁，共57頁。3422211zrzrdzzr4202lim01rrrQ又320lim01zrrzdzz320lim01zrrzdzz即得證得證第18頁，共57頁。復(fù)習(xí)：1

12、）將復(fù)變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的線積分）將復(fù)變函數(shù)的路積分化為兩個實變函數(shù)的線積分2 2、復(fù)變函數(shù)積分計算方法、復(fù)變函數(shù)積分計算方法( )()()llllf z dzudxvdyi vdxudyuiv dxidy2 2）參數(shù)積分法）參數(shù)積分法0izze0zz積分路徑積分路徑l為圓?。簽閳A?。鹤诹坑弥笖?shù)形式表示：宗量用指數(shù)形式表示：002 1; :0 1()nCindzczzrnzz 3 3、復(fù)積分的性質(zhì)、復(fù)積分的性質(zhì)22( );( );( ) ,lllf zdzdzdxdydsf z dzMs Mf zsldz的長度320lim01zrrzdzz試證：試證：試證：試證：ldzzf)(nk

13、kkknzzf11)(lim積分函數(shù)積分函數(shù)積分路徑積分路徑第19頁，共57頁。OB（1，1）DA1;21Re;211;22lOABzdzi ODBi OB路徑路徑路徑OB（3，4）DA712 ;2712 ;2712 ;2li OABzdzi ODBi OB 路徑路徑路徑思考：思考： 究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？究竟哪些函數(shù)積分與路徑有關(guān)，哪些無關(guān)？有什么規(guī)律？解析？解析？第20頁，共57頁。2、2 CauchyCauchy定理定理主要討論復(fù)變函數(shù)滿足什么條件其路積分值才能不決定于積分路徑，主要討論復(fù)變函數(shù)滿足什么條件其路積分值才能不決定于積分路徑，而只與始末位置有關(guān)。而

14、只與始末位置有關(guān)。1 1、單連通區(qū)域的柯西、單連通區(qū)域的柯西(Cauchy)(Cauchy)定理定理llldyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf0),(),(),(),()(B如果函數(shù)在閉連通區(qū)域如果函數(shù)在閉連通區(qū)域B上上解析解析，則沿，則沿上任一分段光滑閉合曲線上任一分段光滑閉合曲線L L （L也可以是也可以是B的境界線），有的境界線），有BL在定義域上處處可導(dǎo)的函在定義域上處處可導(dǎo)的函數(shù)，在此區(qū)域上積分與路數(shù)，在此區(qū)域上積分與路徑無關(guān)徑無關(guān)第21頁，共57頁。( )lllf z dzudxvdyivdxudy證明：證明：() (GreenxylBPdxQdyQP dxdy由公式

15、）()0 ()xyxylBudxvdyvudxdyvu()0 ()xyxylBvdxudyuvdxdyuv( )0lllf z dzudxvdyivdxudyBL下一頁下一頁第22頁，共57頁。附：格林公式附：格林公式() xylBPdxQdyQP dxdyl：B的邊界線的邊界線若函數(shù)若函數(shù)P（x，y）、）、Q（x，y）在閉域）在閉域 上具有連續(xù)的一階偏微商，則：上具有連續(xù)的一階偏微商，則：BBL第23頁，共57頁。2 2、復(fù)連通區(qū)域的柯西定理、復(fù)連通區(qū)域的柯西定理CauchyCauchy定理定理1)1)復(fù)通區(qū)域境界線：復(fù)通區(qū)域境界線：外境界線：逆時針為正方向外境界線：逆時針為正方向 區(qū)域在行

16、走的左側(cè)區(qū)域在行走的左側(cè)內(nèi)境界線：順時針為正方向內(nèi)境界線：順時針為正方向 區(qū)域在行走的左側(cè)區(qū)域在行走的左側(cè)2)2)復(fù)通區(qū)域的復(fù)通區(qū)域的CauchyCauchy定理：定理：如果如果f(z)f(z)是閉合復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則是閉合復(fù)通區(qū)域上的單值解析函數(shù)，則lnidzzf1)(ildzzf0)(l為區(qū)域的外邊界，為區(qū)域的外邊界，il是。是。區(qū)域的內(nèi)邊界區(qū)域的內(nèi)邊界Bll1l2l3第24頁，共57頁。ll1AABB證明：證明：1( )( )( )( )0ABB Allllf z dzf z dzf z dzf z dz1( )( )0inillf z dzf z dz1( )( )0llf

17、z dzf z dz第25頁，共57頁。1 1 閉單通閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線或區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線或區(qū)域內(nèi)任一分段光滑閉合曲線區(qū)域內(nèi)任一分段光滑閉合曲線l積分為零積分為零BL( )0lf z dz 相關(guān)推論：相關(guān)推論：（2）單通區(qū)域）單通區(qū)域B上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)f（z）沿）沿B上任一路上任一路徑徑l的積分值的積分值 只與只與l的起點和終點有關(guān)，與路的起點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)徑無關(guān)( )lf z dzDCl1（3）區(qū)域）區(qū)域B上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)f（z），設(shè)），設(shè)B內(nèi)二點內(nèi)二點C、D，連接兩點的任一條曲線，連接兩點的任一條曲線l（在（在B內(nèi)且只內(nèi)且只經(jīng)過經(jīng)過f（z）的解析

18、區(qū)），）的解析區(qū)）， 只與只與l的起的起點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)點和終點有關(guān)，與路徑無關(guān)( )lf z dz（1） f（z）在單通區(qū)域）在單通區(qū)域B上解析，在上解析，在 上連續(xù)，上連續(xù)，仍有仍有( )0lf z dz B（條件放寬了）（條件放寬了）第26頁，共57頁。2 2 閉復(fù)通閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線界線正方向正方向積分和為零積分和為零（1 1） 閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時針逆時針方向積分方向積分等于沿所有內(nèi)境界線等于沿所有內(nèi)境界線逆時針逆時針方向積分之和方向積分之和Bll1l2l31( )( )0nill

19、f z dzf z dzij11( )( )( )iinnliillf z dzf z dzf z dz iji相關(guān)推論：相關(guān)推論：（2 2） 設(shè)設(shè)f f（z z）是閉區(qū)域（單通區(qū)域或復(fù)通區(qū)域）是閉區(qū)域（單通區(qū)域或復(fù)通區(qū)域）B+LB+L上的解析函數(shù)，上的解析函數(shù)，B B內(nèi)任一條閉曲線內(nèi)任一條閉曲線l可以在可以在B B內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)變形（只要不跨過非連通區(qū)域）而積分值變形（只要不跨過非連通區(qū)域）而積分值 保持保持不變。不變。( )lf z dz 第27頁，共57頁。1 1、不定積分的定義、不定積分的定義及證明及證明 2、3 不定積分不定積分原函數(shù)：原函數(shù)： 若函數(shù)若函數(shù)F(z)滿足滿足)()( z

20、fzF，則，則F( (z) )稱為稱為f(z)的原函數(shù)的原函數(shù)f( (z) )的所有原函數(shù)僅相差一個復(fù)常數(shù)的所有原函數(shù)僅相差一個復(fù)常數(shù) F( (z)+)+c )()( zfzF 第28頁，共57頁。不定積分定義：不定積分定義：所有所有f( (z) )的原函數(shù)的集合稱為的原函數(shù)的集合稱為f( (z) )的不定的不定積分。即積分。即cdfzFzz0)()(zz求解復(fù)函數(shù)定積分的另一個方法：由原函數(shù)求解求解復(fù)函數(shù)定積分的另一個方法：由原函數(shù)求解( )( )bbaaf z dzF z第29頁，共57頁。例2 求積分 的值izzz0dcos.1e12ee2ee1cossincossindcos11100

21、iiiiizzzzzzii解 函數(shù)zcos z在全平面內(nèi)解析, 容易求得它有一個原函數(shù)為zsin z+cos z. 所以第30頁，共57頁。例例3 試沿區(qū)域試沿區(qū)域Im(z) 0, Re(z) 0內(nèi)的圓弧內(nèi)的圓弧|z|=1, 計算積分計算積分的值izzz1d1) 1ln(1)1ln(zz 解解 函數(shù)函數(shù) 在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析在所設(shè)區(qū)域內(nèi)解析.|1212) 1(ln21d1) 1ln(),1(ln21iizzzzz所以它的一個原函數(shù)為第31頁，共57頁。iiizzzzii82ln2ln83322ln42ln2121)2(ln)1 (ln21) 1(ln21d1) 1ln(222222121|第32頁

22、，共57頁。計算積分：計算積分：()(nlIzdz n 整數(shù)）整數(shù)）l 為任意閉合曲線為任意閉合曲線例例1 1點點, ,則由則由CauchyCauchy定理知積分為零。定理知積分為零。1) 若若l 不包圍不包圍點點, ,則有由則有由CauchyCauchy定理知定理知f(z)f(z)在在B上有可能不解析上有可能不解析2) 若若l 包圍包圍解解圓周圓周的方程可寫為：的方程可寫為： )20(Reiz 0 時不解析，時不解析， 解析。解析。n0n xylcn0n1.CzCzzzzzd) 1(e)2;d) 1(cos) 12255)1(coszz.12)(cos)!15(2d) 1(cos51)4(5

23、|izizzzzCdzzzfinflnn1)()()(2!)(第48頁，共57頁。.,.,.) 1()2212122析的所圍成的區(qū)域內(nèi)是解和則此函數(shù)在由為中心作兩個正向圓周和內(nèi)以在我們處不解析內(nèi)的在函數(shù)CCCCCiiCizCzezOC1C2Ciixy第49頁，共57頁。根據(jù)復(fù)通區(qū)域柯西定理,21d) 1(ed) 1(ed) 1(e222222CzCzCzzzzzzz)41sin(2d)1(e.2)1(d)1(e,.2)1()(e)!12(2d)()(ed)1(e222222222211izzeizzeiizizizizzzCziCziizzCzCz因此同樣OC1C2Ci ixy第50頁，共57

24、頁。2156zzeIdzzz 例：計算例：計算1(2)(3)zzedzzz 11/(2)/(3)(3)(2)zzzzezezdzdzzz蜒322223zzzzeeiizz3222ieie？23第51頁，共57頁。2156zzeIdzzz 例：計算例：計算1(2)(3)zzedzzz 積分函數(shù)積分函數(shù) 在積分回路在積分回路 內(nèi)解析，內(nèi)解析，( )(2)(3)zef zzz1z 因此有單通區(qū)域的柯西定理可知因此有單通區(qū)域的柯西定理可知2156zzeIdzzz 0在使用柯西公式之前，一定先在使用柯西公式之前，一定先要判斷被積函數(shù)的奇點在不在要判斷被積函數(shù)的奇點在不在閉合曲線內(nèi)閉合曲線內(nèi)23作圖！作圖！第52頁，共57頁。例例2 已知函數(shù)已知函數(shù))1/(),()1/(texttxtx把把 當(dāng)作參數(shù)，當(dāng)作參數(shù)，把把t t 認為是復(fù)變數(shù)，試應(yīng)用認為是復(fù)變數(shù)，試應(yīng)用