第13講中位線

1、第13講中位線K學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索并證明三角形中位線定理.2能利用中位線進(jìn)行計(jì)算和證明.考情分析中位線是有平行四邊形性質(zhì)推導(dǎo)得出的一個(gè)結(jié)論，應(yīng)用它來證明線段的倍分關(guān)系和線段平行，比用全等和平行四邊形來得更方便.在中考試卷考查有兩種題型，一是直接考查中位線的質(zhì)量為位置關(guān)系，一般出現(xiàn)在填空或選擇中，相對比較容易；二是以中位線為手段證明其它結(jié)論，一般出現(xiàn)在解答題中.基礎(chǔ)知識輕松學(xué)、定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.精講：一個(gè)三角形有三條邊，三條邊上共有三個(gè)中點(diǎn)，每兩個(gè)中點(diǎn)的連線段共有三條,即有三條中位線，這三條中位線將原三角形分成四個(gè)全等的三角形.如圖13-1,連接三角形三邊中點(diǎn)的ADE

2、F稱為中點(diǎn)三角形，其周長是AABC周長的一半,面積是MBC面積的四分之一.ABDC圖13-1、三角形中位線定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.1符號語言：（如圖13-2）TDE是AABC的中位線，二DE/BC,且DE=BC2精講：三角形中位線定理的證明：已知：如圖13-2，在AABC中，D,E分別是AB,BC邊的中點(diǎn).1試說明：DE/BC,DE=丄BC2理由：如圖13-3，延長ED到點(diǎn)F，使得DF=DE,連接BF.易證：ABDFADE,/BF=AE,/F=ZAED,DF=DE.BF/CE,/DE是ABC的中位線，/AE=CE,/BF=CE1四邊形FBCE為平行四邊形，

3、EF/BC,EF=BC,DE/BC,DE=1BC三、推論如圖13-2，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，E為AC上一點(diǎn)，DE/BC,則點(diǎn)E為AC的中點(diǎn).精講：這個(gè)結(jié)論證明思路如圖13-3，過點(diǎn)B作BF/AC,交ED延長線于點(diǎn)|F.可證明ABDFADE，即BF=AE.再證明四邊形BFEC為平行四邊形，得BF=CE,即可得到點(diǎn)E為AC的中點(diǎn).重難疑點(diǎn)輕松破一、中位線反映了線段間的平行和數(shù)量關(guān)系三角形的中位線定理，反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關(guān)系：一是位置關(guān)系;是數(shù)量關(guān)系位置關(guān)系可證明兩直線平行；數(shù)量關(guān)系可證明線段的倍分關(guān)系.例1:如圖13-4,ABC中，D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，BF平分/ABC，交D

4、E于點(diǎn)F，若BC=6,則DF的長是（）D.4c.52圖13-4分析：由于D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，所以DE是ABC的中位線，根據(jù)中位線定理可知DE/AB,所以/BFD=ZABF;又由于BF又由于BF平分/ABC，所以/ABF=ZCBF,就可證得ABDF為等腰三角形，要求DF的長，只需求DF的長，只需求BD的長即可.1BC=3.解：D,E分別是BC,AC的中點(diǎn)，BD=-2DE/AB,./BFD=ZABF./BF平分/ABC，/ABF=ZCBF,/BFD=ZCBF,DF=BD=3.所以本題選B.點(diǎn)評：當(dāng)題中有中點(diǎn)時(shí)，特別是一個(gè)三角形中出現(xiàn)兩邊中點(diǎn)時(shí)，我們常?？紤]運(yùn)用三角形的中位線來解決問題.本

5、題是采用中位線來證明兩直線平行.變式練習(xí)1:如圖13-5,D是AABC內(nèi)一點(diǎn)，BD丄CD,AD=6,BD=4,CD=3,E,F,G,H分別是AB,AC,CD,BD的中點(diǎn)，則四邊形EFGH的周長是（）D.11D.11C.10A13-5例2:如圖13-6，已知E為平行四邊形ABCD中DC邊延長線上一點(diǎn)，且CE=DC,連接AE，分別交BC，BD于點(diǎn)F，G，連接AC交BD于點(diǎn)0,連接0F.求證:AB=20F.13-6分析：點(diǎn)0是平行四邊形兩條對角線的交點(diǎn)，所以點(diǎn)0是線段AC的中點(diǎn),=20F，我們只需證明點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即證明0F是ABC的中位線，證明要證明ABF是BC的中點(diǎn)有兩種方法，方法一是證明四

6、邊形ABEC是平行四邊形，利用平行四邊形的對角線互相平分來證明；方法二是證明ABFECF，利用全等三角形對應(yīng)邊相等來證明.解：四邊形ABCD為平行四邊形，AB/CD,AB=CD，點(diǎn)0是AC的中點(diǎn)CE=DC,四邊形ABEC是平行四邊形.點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，0F是ABC的中位線，AB=20F.點(diǎn)評：由于中位線等于三角形第三邊長的一半，因此當(dāng)需要證明某一線段是另一線段的半或兩倍時(shí)，且題中出現(xiàn)中點(diǎn)的時(shí)候，常?？紤]使用中位線定理.變式練習(xí)2:已知：在如圖13-7的口ABCD中，M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，AN與圖13-7圖13-7DM相交于P,BN與CM相交于Q.求證：PQ與MN互相平分.、補(bǔ)全三角形，

7、使得中點(diǎn)連線段成為中位線當(dāng)一個(gè)圖形中出現(xiàn)具有公共端點(diǎn)的兩條線段的中點(diǎn)時(shí)，可考慮連接另外兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)造三角形，使得中點(diǎn)連線段成為中位線.例3:如圖13-8，已知M,N,P,Q分別為線段AB,BD,CD,AC的中點(diǎn)，四邊形MNPQ是平行四邊形嗎？為什么？13-81分析：由于P,N分別是CD，BD的中點(diǎn)，考慮使用中位線定理，得到PN-BC，21運(yùn)用同樣的方法可證明QMBC,然后通過一組對邊平行且相等，即可證明四邊形MNPQ2是平行四邊形.答：四邊形MNPQ是平行四邊形理由：連結(jié)BC.vM,N,P,Q分別為線段AB,BD,CD,AC的中點(diǎn),PN,QM分別為BCD和厶ABC的中位線PN二-BC,QM二1

8、BC.22PN二QM.四邊形MNPQ是平行四邊形.點(diǎn)評：點(diǎn)P,點(diǎn)N分別是CD,BD的中點(diǎn)，很顯然PN是厶BCD的中位線，所以考慮連接BCD補(bǔ)全，然后運(yùn)用中位線定理解決問題.變式練習(xí)3:如圖13-9，在ABC中，E,F分別是AB,BC的中點(diǎn)，M,N是AC的三等分點(diǎn)，EM,FN的延長線相交于點(diǎn)D.求證：四邊形ABCD是平行四邊形.圖13-9三、構(gòu)造具有公共端點(diǎn)的線段，借用三角形中位線解決問題例4:如圖13-10，四邊形ABCD中,例4:如圖13-10，四邊形ABCD中,則線段MN的取值范圍是（AB=2,CD=3,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn),13-1013-10分析：M,N雖然是AD,BC的中點(diǎn)，

9、但分析：M,N雖然是AD,BC的中點(diǎn)，但MN卻不是三角形的中位線，可考慮連接BD,).A.1vMNv5B.1vMNAC,=12,AC=10,求DE的長.C. 挑戰(zhàn)題組7.在ABC中,BCAC,動點(diǎn)D繞AABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),且AD=BC,連結(jié)DC.過AB,DC的中點(diǎn)E,F作直線，直線EF與直線AD,BC分別相交于點(diǎn)M,N.(1)如圖13-18，當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長線上時(shí)，點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合，取AC的AMF=ZBNEAMF=ZBNE中點(diǎn)H，連結(jié)HE,HF，根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì)，可得結(jié)論/(不需證明).(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖13-19或圖13-20中的位置時(shí)，/AMF與/BNE有

10、何數(shù)量關(guān)系?請分別寫出猜想，并任選一種情況證明.圖13-18圖13-19圖13-20K中考試題初體驗(yàn)1.(2013黑龍江綏化，14,1.(2013黑龍江綏化，14,3分)如圖13-21，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,AD,AB的中點(diǎn)，EF交AC于點(diǎn)H，則如的值為(HCBD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F分別是邊C第14題圖2.(2013山東濱州，17,是邊CD的中點(diǎn)，且AB=6,BC=10,貝UOE=五、我的錯(cuò)題本圖13-214分)在ABCD中，點(diǎn)O是對角線AC，BD的交點(diǎn),參考答案變式練習(xí)1. D解析：BD丄CD,BD=4,CD=3，根據(jù)勾股定理可知BC=5,又E,F,G,H15分別是AB,AC,

11、CD,BD的中點(diǎn)，所以EH=FG=AD=3,EF=HG=BC=，所以22四邊形EFGH的周長是11.2. v四邊形ABCD是平行四邊形，AB/CD且AB=CD11M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)，DN=NC=-CD,BM=AM=AB.22DN/BM且DN=BM,DN/AM且DN=AM,NC/BM且NC=BM,四邊形DMBN,ADNM,MNCB是平行四邊形.11 PM/BN,DM=BN,PM=DMNQ=一NB22 PM/NQ且PM=NQ,四邊形PMQN是平行四邊形，PQ與MN互相平分3連接BM,BN,BD,BD交AC于點(diǎn)O/EM是AABN的中位線，EM/BN同理：FN/BM,四邊形BMDN是平行四邊

12、形，OB=OD,OM=ON.AM=CN,OA=OC,四邊形ABCD是平行四邊形.4找到BC的中點(diǎn)H，連接MH,NH.1/M,H為BE,BC的中點(diǎn)，MH/EC,且MH=EC21/N,H為CD,BC的中點(diǎn)，NH/BD，且NH=BD2/BD=CE,MH=NH.HMN=ZHNM;/MH/EC,：/HMN=ZPQA，同理/HNM=ZQFA.AFQ為等腰三角形，AF=AQ.課堂作業(yè)1.平行四邊形解析：HG,EF分別是ACD,1.平行四邊形解析：HG,EF分別是ACD,ABC的中位線，可證AC,BD.DE是厶ABF的中位線.3.TEF是厶ABC的中位線,/MN是厶BCF的中位線,MN/-BC.21EF/AC

13、_2ACE=/FCEIEC=ECAEC=/FECDE=-BF=-(BC-CF)=-(BC-AC)=-(20-14)=3.2222EF/MN，四邊形MNFE是平行四邊形.BC和AD的一半，EF等4. B解析：EG,FG分別為BCD,ACD的中位線，分別等于于兩底差的一半.5. 延長CD交AB于點(diǎn)F./AD平分/BAC,CD丄AD,111AF=AC=10,CD=DF,DE=BF=(AB-AF)=(AB-AC)=1.2226.延長AD,BC交于F./DAC=/BAC,AC=AC，/ACB=/ACF=90ABCAFC, BC=FC,/F=/ABC=50/E為BD的中點(diǎn)，EC/AF,/BCE=/F=50 /ACE=40圖13-22:/AMF=/BNENDF汕C;FHHaNDVXAEBAEB圖13-22圖13-23圖13-23:/AMF=ZBNE證明：如圖13-22,圖13-23，取AC的中點(diǎn)H，連結(jié)HE,HF1F是DC的中點(diǎn)，H是AC的中點(diǎn)，HF/AD,HF=-ADAMF=ZHFE.21同理，HE/CB,HE=-CB，