振動(dòng)和波動(dòng)計(jì)算題及答案

1、振動(dòng)和波動(dòng)計(jì)算題1.一物體在光滑水平面上作簡諧振動(dòng)振幅是12cm，在距平衡位置6cm處速度是24cm/s,求(1)周期T；(2)當(dāng)速度是12cm/s時(shí)的位移.解：設(shè)振動(dòng)方程為x二Acos®t，貝yv二Aesint(1) 在x=6cm，v=24cm/s狀態(tài)下有6=12coset24=12®sint解得®二43，.:T二2兀/®二j3兀/2s二2.72s2分(2) 設(shè)對應(yīng)于v=12cm/s的時(shí)刻為t2，則由v=一A®sin®t得12=12x(4/p3)xsin®t,解上式得sin®12=-0.1875相應(yīng)的位移為x=A

2、cos®t=±AV1sin2®t=±10.8cm3分2V22.一輕彈簧在60N的拉力下伸長30cm.現(xiàn)把質(zhì)量為4kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體向下拉10cm,然后由靜止釋放并開始計(jì)時(shí)求(1)物體的振動(dòng)方程；物體在平衡位置上方5cm時(shí)彈簧對物體的拉力；(3)物體從第一次越過平衡位置時(shí)刻起到它運(yùn)動(dòng)到上方5cm處所需要的最短時(shí)間.解：k=f/x=200N/m，®=、：'k/mu7.07rad/s2分(1) 選平衡位置為原點(diǎn)，x軸指向下方(如圖所示)，t=0時(shí)，x0=10Acos©，v=0=-A®sinQ.

3、解以上二式得A=10cm,©=0.2分振動(dòng)方程x=0.1cos(7.07t)(SI)1分(2) 物體在平衡位置上方5cm時(shí)，彈簧對物體的拉力f=m(g-a)，而a=-®2x=2.5m/s2f=4(9.82.5)N=29.2N3分(3) 設(shè)t1時(shí)刻物體在平衡位置，此時(shí)x=0，即卩0=Acos®或cos®=0.T此時(shí)物體向上運(yùn)動(dòng)，v<0®=冗/2,=冗/2®=0.222s再設(shè)t2時(shí)物體在平衡位置上方5cm處，此時(shí)x=-5,即-5=Acosw,cos®=1/23.一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng),其振動(dòng)方程為x=6.0x10-2cos(兀t

4、-3(SI)當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？（2）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到上述位置所需最短時(shí)間為多少？11解：（1）勢能w=kx2總能量E=怎kA2P221A由題意，kx2=kA2/4，x=±=±4.24x10-2m2邁（2）周期T=2k/w=6sA從平衡位置運(yùn)動(dòng)到x=±At為T/8.22分A=0.75s.3分4.一質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為x=0.24cos（2兀t+1兀）（SI）,試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點(diǎn)由初始狀態(tài)（/=0的狀態(tài)）運(yùn)動(dòng)到x-0.12m,v<0的狀態(tài)所需最短時(shí)間&解：旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示由振動(dòng)方程可得圖3分Ae1分1分-0.24-

5、0.12O0.120.24At=A©/®=0.667s5. 兩個(gè)物體作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動(dòng).在振動(dòng)過程中，每當(dāng)?shù)谝粋€(gè)物體經(jīng)過位移為A/、邁的位置向平衡位置運(yùn)動(dòng)時(shí)，第二個(gè)物體也經(jīng)過此位置,但向遠(yuǎn)離平衡位置的方向運(yùn)動(dòng).試?yán)眯D(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖.13分由圖可知兩簡諧振動(dòng)的位相差為兀x(cm)t(s)-16. 一簡諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示求振動(dòng)方程解：(1)設(shè)振動(dòng)方程為X二Acosgt+0)由曲線可知A=10cm,t=0,X=5=10cos0,v=-10®sin0<000解上面兩式，可得0=2冗/32分由圖可知質(zhì)點(diǎn)由位移為

6、x0=-5cm和v0<0的狀態(tài)到x=0和v>0的狀態(tài)所需時(shí)間t=2s，代入振動(dòng)方程得0=10cos2®+2兀/3)(SI)則有2®+2冗/3二3冗/2=5冗/122分1分故所求振動(dòng)方程為x=0.1cos(5兀t/12+2兀/3)(SI)7. 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng),其振動(dòng)方程分別為x、=5X10-2cos(4+k/3)(SI),x2=3X10-2sin(4/-k/6)(SI)12畫出兩振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖,并求合振動(dòng)的振動(dòng)方程解：x2=3X10-2sin(4t-冗/6)=3X10-2cos(4t-冗/6-冗/2)=3X10-2cos(4t-2冗.作兩振動(dòng)

7、的旋轉(zhuǎn)矢量圖,如圖所示圖2分由圖得：合振動(dòng)的振幅和初相分別為A=(5-3)cm=2cm,0=冗/3.2分合振動(dòng)方程為x=2X10-2cos(4t+冗/3)(SI)1分8.兩個(gè)同方向的簡諧振動(dòng)的振動(dòng)方程分別為x1=4X10-2cos2(t+g)(SI),x2=3X10-2cos2冗(t+4)求合振動(dòng)方程.解：由題意x1=4X10-2cos(2兀t+；)(SI)x2=3X10-2cos(2兀t+耳)(SI)22按合成振動(dòng)公式代入已知量,可得合振幅及初相為A=y'42+32+24cos(兀/2一兀/4)x10-2m=6.48X10-2m0=arctg4血(兀/4)+3血(兀/2)4cos(兀

8、/4)+3cos(兀/2)(SI)=1.12rad2分2分合振動(dòng)方程為X=6.48X10-2cos(2冗t+1.12)(SI)1分9.一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅為A,頻率為v，波速為“.設(shè)t=/時(shí)刻的波形曲線如圖所示求(1)x=0處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程；(2)該波的表達(dá)式解：(1)設(shè)x=0處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為y二Acos2(ivt+0)由圖可知，t=t時(shí)y=Acos(2兀vt'+©)=0dy/dt-一2兀vAsin(2兀vt'+0)<0所以2兀vt'+0二兀/2,x=0處的振動(dòng)方程為1y=Acos2兀v(t-1')+兀21分1分2分1分(2)該波的

9、表達(dá)式為1y=Acos2兀v(t一t'一x/u)+兀23分(SI)2分波的表達(dá)式為y=2x10-2cos1兀(t一x/5)一兀),2(SI)x=25m處質(zhì)元的振動(dòng)方程為1=2x10-2cosq兀t一3兀),(SI)振動(dòng)曲線見圖(a)(2)t=3s時(shí)的波形曲線方程y二2x10-2cos(兀一kx/10),(SI)2分2分2分2分波形曲線見圖10.一列平面簡諧波在媒質(zhì)中以波速u=5m/s沿x軸正向傳播，原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)曲線如圖所示求解并畫出x=25m處質(zhì)元的振動(dòng)曲線.求解并畫出t=3s時(shí)的波形曲線.解：(1)原點(diǎn)O處質(zhì)元的振動(dòng)方程為11y=2x10-2cos(兀t一兀)，2211.已知一

10、平面簡諧波的表達(dá)式為y二0.25cos(125t-0.37x)(SI)(1) 分別求x1=10m,x2=25m兩點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 求X,x2兩點(diǎn)間的振動(dòng)相位差；求X點(diǎn)在t=4s時(shí)的振動(dòng)位移.解:(1)x1=10m的振動(dòng)方程為1分y|=0.25cos(125t-3.7)(SI)x=10x2=25m的振動(dòng)方程為y|=0.25cos(125t9.25)(SI)1分x=25(2) x2與x1兩點(diǎn)間相位差0=%-%=-5.55rad1分(3) X點(diǎn)在t=4s時(shí)的振動(dòng)位移y=0.25cos(125X43.7)m=0.249m2分12.如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速u=20m/s沿x軸負(fù)方向傳播，已

11、知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為y=3x10-2co4兀t(SI)(1) 以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)寫出波的表達(dá)式；u*(2) 以距A點(diǎn)5m處的B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，寫出波的表達(dá)式.BA"解：(1)坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為et+0=4兀t+(x/u)=4兀t+(x/u)=4兀t+(x/20)2分波的表達(dá)式為y=3x10-2cos4兀t+(x/20)(SI)2分(2)以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則坐標(biāo)為x點(diǎn)的振動(dòng)相位為t+0'=4兀t+x520(SI)2分波的表達(dá)式為xy=3x10-2cos4兀(t+)一兀20(SI)2分13.平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和e，波速為u,設(shè)t=0時(shí)的波形曲線如圖所示

12、.(1) 寫出此波的表達(dá)式.求距O點(diǎn)分別為九/8和3/8兩處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程.求距O點(diǎn)分別為九/8和3/8兩處質(zhì)點(diǎn)在t=0時(shí)的振動(dòng)速度.解：(1)以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).由圖可知，該點(diǎn)振動(dòng)初始條件為y=Aco0s=00v=-A®sii0<00所以波的表達(dá)式為1y=Acos($t一x/u)+兀24分(2)x=九/8處振動(dòng)方程為1y=Acost一(2兀九/8九)+兀=Acos®t+兀/4)21分x=3九/8的振動(dòng)方程為(3)人Rc3九/81.人/，八y=Acos($t一2兀九+2兀=Acoso(t一兀/4)1dy/dt=一Asin(t一2兀x/九+兀)21分t=0，x=九/8處質(zhì)

13、點(diǎn)振動(dòng)速度1l1分1分dy/dt二一Asin（2兀九/8九）+兀=_壬2A&/22<t=0,x二3九/8處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)速度1dy/dt=一Asin（一2兀x3九/8九）+兀=J2Aw/2<14.如圖，一平面簡諧波沿Ox軸傳播，波動(dòng)表達(dá)式為y=Acos2兀(vt-x/九)+0(SI),求(1) P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 該質(zhì)點(diǎn)的速度表達(dá)式與加速度表達(dá)式解：(1)振動(dòng)方程y=Acos2兀vt-(-L)/九+©P=Acos2兀(vt+L/九)+02分(2)速度表達(dá)式v=-2兀vAsin2兀(vt+L/九)+02分P加速度表達(dá)式a=-4兀2V2Acos2|7i(vt+L/九

14、)+01分P15.t=0時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)恰好處在負(fù)向最大位某質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，周期為2s，振幅為0.06m,移處，求(1)該質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；此振動(dòng)以波速u=2m/s沿x軸正方向傳播時(shí),形成的一維簡諧波的波動(dòng)表達(dá)式,(以該質(zhì)點(diǎn)的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn))；(3)該波的波長2兀t解：（1）振動(dòng)方程y0=0.06cos（2+兀）=0.06cos（兀t+兀）（2）波動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=0.06cosift一x/u）+兀1=0.06cosi（tx）+兀（SI）2九=uT=4m(3)波長（SI）3分3分2分16.如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸的負(fù)方向傳播，波速大小為u，若P處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為打=Acos(wt+0)，求(1

15、) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式；(3) 與P處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些點(diǎn)的位置解：（1）O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為y0=acose（t+-）+00uy=Acos（$（t+X+L）+0u(2)波動(dòng)表達(dá)式為（3）x=-L土k（k=1，2，3,）2分2分1分17如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波速大小為u,若P處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為yp=Acos®t+e)，求卜厶、彳u一二:(1) O處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程；POx(2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式；(3) 與P處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)狀態(tài)相同的那些質(zhì)點(diǎn)的位置解：(1)O處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)方程y二Acos(t+L)+e2分0uxL(2)波動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)二Acos(t)

16、+02分u”t2兀u(3)x二L土x二L土k(k=0，1，2，3,)1分w18. 圖示一平面余弦波在t=0時(shí)刻與t=2s時(shí)刻的波形圖已知波速為u,求(1) 坐標(biāo)原點(diǎn)處介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程解：(1)可知此波向左傳播.在t=0時(shí)刻，O處質(zhì)點(diǎn)比較t=0時(shí)刻波形圖與t=2s時(shí)刻波形圖,0=Acos0,10=兀2.1又t=2s,O處質(zhì)點(diǎn)位移為A/2二Acos（4兀v-兀）0<v_二一Awsi10,2分所以1一一兀4二4兀v-兀,v=1/16Hz22分振動(dòng)方程(2)波速波長波動(dòng)表達(dá)式1y=Acos?（t/8兀）（SI）02u=20/2m/s=10m/s尢=u/v=160mtx1y二Acos2兀（+）兀

17、（SI）1616021分2分3分(2) 該波的波動(dòng)表達(dá)式.19. 如圖所示，兩相干波源在x軸上的位置為片和S2,其間距離為d=30m,斗位于坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)波只沿x軸正負(fù)方向傳播，單獨(dú)傳播時(shí)強(qiáng)度保持不變=9m和x2=12m處的兩點(diǎn)是相鄰的兩個(gè)因干涉而靜止的點(diǎn)求兩波的波長和兩波源間最小相位差.解：設(shè)S和S2的振動(dòng)相位分別為01和02在工點(diǎn)兩波引起的振動(dòng)相位差02兀d.“102兀二=(2K+1)兀2九1九d2x(©_©)-2兀-二(2K+1)兀21九在x2點(diǎn)兩波引起的振動(dòng)相位差2分得由©2兀2-©2兀L二(2K+3)兀2九1九d2x(©©)2

18、兀,亠=(2K+3)兀21九4兀(x一x)/九=2兀21九=2(x一x)=6m21d2x©©=(2K+1)兀+2兀-=(2K+5)兀21九當(dāng)K=-2、-3時(shí)相位差最小©一©=±兀213分2分2分1分20. 兩波在一很長的弦線上傳播，其表達(dá)式分別為：(SI)y=4.00x10-2cos3兀(4x24t)1y=4.00x10-2cos兀(4x+24t)(SI)23求：(1)兩波的頻率、波長、波速；(2) 兩波疊加后的節(jié)點(diǎn)位置；(3) 疊加后振幅最大的那些點(diǎn)的位置解：與波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式y(tǒng)=acos2兀(vtx/九)對比可得：各1分1分3分2分v=4H

19、z,尢=1.50m,波速u=尢v=6.00m/s1(2) 節(jié)點(diǎn)位置4兀x/3=±(n兀+兀)21x=±3(n+q)m,n=0,1,2,3,(3) 波腹位置4冗x/3=±n兀x=±3n/4m,n=0,1,2,3,xt21.設(shè)入射波的表達(dá)式為y1=Acos2K(-+T)，在x=0處發(fā)生反射，反射點(diǎn)為一固定端設(shè)反射時(shí)無能量損失,求(1)反射波的表達(dá)式；(2)合成的駐波的表達(dá)式；(3) 波腹和波節(jié)的位置3分3分解：(1)反射點(diǎn)是固定端，所以反射有相位突變?nèi)撸曳瓷洳ㄕ穹鶠锳,因此反射波的表達(dá)式為y=Acos2兀(x/-t/T)+兀2(2)駐波的表達(dá)式是y=y+y

20、1211=2Acos(2兀x/-+兀)cos(2兀t/T兀)(3)波腹位置：2nx/-+2分211x=2（n一2“，n=1,2,3,4,波節(jié)位置：112兀x/九+兀二n兀+兀222分y-2Acos（wt+2分1n=1,2,3,4,x二一n九222.如圖所示，一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面.波由P點(diǎn)反射,OP=3/4,DP=九/6.在t=0時(shí)，O處質(zhì)點(diǎn)的合振動(dòng)是經(jīng)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng).求D點(diǎn)處入射波與反射波的合振動(dòng)方程.(設(shè)入射波和反射波的振幅皆為A,頻率為V.)入射解：選O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)入射波表達(dá)式為=AcoS2憂(Vt-x/九)+»2分.一，OP+DP-x則反射波的表達(dá)式是y2=Acos2兀