振動和波動計算題及答案

1、振動和波動計算題1.一物體在光滑水平面上作簡諧振動振幅是12cm，在距平衡位置6cm處速度是24cm/s,求(1)周期T；(2)當速度是12cm/s時的位移.解：設振動方程為x二Acos®t，貝yv二Aesint(1) 在x=6cm，v=24cm/s狀態(tài)下有6=12coset24=12®sint解得®二43，.:T二2兀/®二j3兀/2s二2.72s2分(2) 設對應于v=12cm/s的時刻為t2，則由v=一A®sin®t得12=12x(4/p3)xsin®t,解上式得sin®12=-0.1875相應的位移為x=A

2、cos®t=±AV1sin2®t=±10.8cm3分2V22.一輕彈簧在60N的拉力下伸長30cm.現(xiàn)把質(zhì)量為4kg的物體懸掛在該彈簧的下端并使之靜止，再把物體向下拉10cm,然后由靜止釋放并開始計時求(1)物體的振動方程；物體在平衡位置上方5cm時彈簧對物體的拉力；(3)物體從第一次越過平衡位置時刻起到它運動到上方5cm處所需要的最短時間.解：k=f/x=200N/m，®=、：'k/mu7.07rad/s2分(1) 選平衡位置為原點，x軸指向下方(如圖所示)，t=0時，x0=10Acos©，v=0=-A®sinQ.

3、解以上二式得A=10cm,©=0.2分振動方程x=0.1cos(7.07t)(SI)1分(2) 物體在平衡位置上方5cm時，彈簧對物體的拉力f=m(g-a)，而a=-®2x=2.5m/s2f=4(9.82.5)N=29.2N3分(3) 設t1時刻物體在平衡位置，此時x=0，即卩0=Acos®或cos®=0.T此時物體向上運動，v<0®=冗/2,=冗/2®=0.222s再設t2時物體在平衡位置上方5cm處，此時x=-5,即-5=Acosw,cos®=1/23.一質(zhì)點作簡諧振動,其振動方程為x=6.0x10-2cos(兀t

4、-3(SI)當x值為多大時，系統(tǒng)的勢能為總能量的一半？（2）質(zhì)點從平衡位置移動到上述位置所需最短時間為多少？11解：（1）勢能w=kx2總能量E=怎kA2P221A由題意，kx2=kA2/4，x=±=±4.24x10-2m2邁（2）周期T=2k/w=6sA從平衡位置運動到x=±At為T/8.22分A=0.75s.3分4.一質(zhì)點作簡諧振動，其振動方程為x=0.24cos（2兀t+1兀）（SI）,試用旋轉(zhuǎn)矢量法求出質(zhì)點由初始狀態(tài)（/=0的狀態(tài)）運動到x-0.12m,v<0的狀態(tài)所需最短時間&解：旋轉(zhuǎn)矢量如圖所示由振動方程可得圖3分Ae1分1分-0.24-

5、0.12O0.120.24At=A©/®=0.667s5. 兩個物體作同方向、同頻率、同振幅的簡諧振動.在振動過程中，每當?shù)谝粋€物體經(jīng)過位移為A/、邁的位置向平衡位置運動時，第二個物體也經(jīng)過此位置,但向遠離平衡位置的方向運動.試利用旋轉(zhuǎn)矢量法求它們的相位差.解：依題意畫出旋轉(zhuǎn)矢量圖.13分由圖可知兩簡諧振動的位相差為兀x(cm)t(s)-16. 一簡諧振動的振動曲線如圖所示求振動方程解：(1)設振動方程為X二Acosgt+0)由曲線可知A=10cm,t=0,X=5=10cos0,v=-10®sin0<000解上面兩式，可得0=2冗/32分由圖可知質(zhì)點由位移為

6、x0=-5cm和v0<0的狀態(tài)到x=0和v>0的狀態(tài)所需時間t=2s，代入振動方程得0=10cos2®+2兀/3)(SI)則有2®+2冗/3二3冗/2=5冗/122分1分故所求振動方程為x=0.1cos(5兀t/12+2兀/3)(SI)7. 一質(zhì)點同時參與兩個同方向的簡諧振動,其振動方程分別為x、=5X10-2cos(4+k/3)(SI),x2=3X10-2sin(4/-k/6)(SI)12畫出兩振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖,并求合振動的振動方程解：x2=3X10-2sin(4t-冗/6)=3X10-2cos(4t-冗/6-冗/2)=3X10-2cos(4t-2冗.作兩振動

7、的旋轉(zhuǎn)矢量圖,如圖所示圖2分由圖得：合振動的振幅和初相分別為A=(5-3)cm=2cm,0=冗/3.2分合振動方程為x=2X10-2cos(4t+冗/3)(SI)1分8.兩個同方向的簡諧振動的振動方程分別為x1=4X10-2cos2(t+g)(SI),x2=3X10-2cos2冗(t+4)求合振動方程.解：由題意x1=4X10-2cos(2兀t+；)(SI)x2=3X10-2cos(2兀t+耳)(SI)22按合成振動公式代入已知量,可得合振幅及初相為A=y'42+32+24cos(兀/2一兀/4)x10-2m=6.48X10-2m0=arctg4血(兀/4)+3血(兀/2)4cos(兀

8、/4)+3cos(兀/2)(SI)=1.12rad2分2分合振動方程為X=6.48X10-2cos(2冗t+1.12)(SI)1分9.一平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅為A,頻率為v，波速為“.設t=/時刻的波形曲線如圖所示求(1)x=0處質(zhì)點振動方程；(2)該波的表達式解：(1)設x=0處質(zhì)點的振動方程為y二Acos2(ivt+0)由圖可知，t=t時y=Acos(2兀vt'+©)=0dy/dt-一2兀vAsin(2兀vt'+0)<0所以2兀vt'+0二兀/2,x=0處的振動方程為1y=Acos2兀v(t-1')+兀21分1分2分1分(2)該波的

9、表達式為1y=Acos2兀v(t一t'一x/u)+兀23分(SI)2分波的表達式為y=2x10-2cos1兀(t一x/5)一兀),2(SI)x=25m處質(zhì)元的振動方程為1=2x10-2cosq兀t一3兀),(SI)振動曲線見圖(a)(2)t=3s時的波形曲線方程y二2x10-2cos(兀一kx/10),(SI)2分2分2分2分波形曲線見圖10.一列平面簡諧波在媒質(zhì)中以波速u=5m/s沿x軸正向傳播，原點O處質(zhì)元的振動曲線如圖所示求解并畫出x=25m處質(zhì)元的振動曲線.求解并畫出t=3s時的波形曲線.解：(1)原點O處質(zhì)元的振動方程為11y=2x10-2cos(兀t一兀)，2211.已知一

10、平面簡諧波的表達式為y二0.25cos(125t-0.37x)(SI)(1) 分別求x1=10m,x2=25m兩點處質(zhì)點的振動方程；(2) 求X,x2兩點間的振動相位差；求X點在t=4s時的振動位移.解:(1)x1=10m的振動方程為1分y|=0.25cos(125t-3.7)(SI)x=10x2=25m的振動方程為y|=0.25cos(125t9.25)(SI)1分x=25(2) x2與x1兩點間相位差0=%-%=-5.55rad1分(3) X點在t=4s時的振動位移y=0.25cos(125X43.7)m=0.249m2分12.如圖，一平面波在介質(zhì)中以波速u=20m/s沿x軸負方向傳播，已

11、知A點的振動方程為y=3x10-2co4兀t(SI)(1) 以A點為坐標原點寫出波的表達式；u*(2) 以距A點5m處的B點為坐標原點，寫出波的表達式.BA"解：(1)坐標為x點的振動相位為et+0=4兀t+(x/u)=4兀t+(x/u)=4兀t+(x/20)2分波的表達式為y=3x10-2cos4兀t+(x/20)(SI)2分(2)以B點為坐標原點，則坐標為x點的振動相位為t+0'=4兀t+x520(SI)2分波的表達式為xy=3x10-2cos4兀(t+)一兀20(SI)2分13.平面簡諧波沿x軸正向傳播，其振幅和角頻率分別為A和e，波速為u,設t=0時的波形曲線如圖所示

12、.(1) 寫出此波的表達式.求距O點分別為九/8和3/8兩處質(zhì)點的振動方程.求距O點分別為九/8和3/8兩處質(zhì)點在t=0時的振動速度.解：(1)以O點為坐標原點.由圖可知，該點振動初始條件為y=Aco0s=00v=-A®sii0<00所以波的表達式為1y=Acos($t一x/u)+兀24分(2)x=九/8處振動方程為1y=Acost一(2兀九/8九)+兀=Acos®t+兀/4)21分x=3九/8的振動方程為(3)人Rc3九/81.人/，八y=Acos($t一2兀九+2兀=Acoso(t一兀/4)1dy/dt=一Asin(t一2兀x/九+兀)21分t=0，x=九/8處質(zhì)

13、點振動速度1l1分1分dy/dt二一Asin（2兀九/8九）+兀=_壬2A&/22<t=0,x二3九/8處質(zhì)點振動速度1dy/dt=一Asin（一2兀x3九/8九）+兀=J2Aw/2<14.如圖，一平面簡諧波沿Ox軸傳播，波動表達式為y=Acos2兀(vt-x/九)+0(SI),求(1) P處質(zhì)點的振動方程；(2) 該質(zhì)點的速度表達式與加速度表達式解：(1)振動方程y=Acos2兀vt-(-L)/九+©P=Acos2兀(vt+L/九)+02分(2)速度表達式v=-2兀vAsin2兀(vt+L/九)+02分P加速度表達式a=-4兀2V2Acos2|7i(vt+L/九

14、)+01分P15.t=0時刻，質(zhì)點恰好處在負向最大位某質(zhì)點作簡諧振動，周期為2s，振幅為0.06m,移處，求(1)該質(zhì)點的振動方程；此振動以波速u=2m/s沿x軸正方向傳播時,形成的一維簡諧波的波動表達式,(以該質(zhì)點的平衡位置為坐標原點)；(3)該波的波長2兀t解：（1）振動方程y0=0.06cos（2+兀）=0.06cos（兀t+兀）（2）波動表達式y(tǒng)=0.06cosift一x/u）+兀1=0.06cosi（tx）+兀（SI）2九=uT=4m(3)波長（SI）3分3分2分16.如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸的負方向傳播，波速大小為u，若P處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程為打=Acos(wt+0)，求(1

15、) O處質(zhì)點的振動方程；(2) 該波的波動表達式；(3) 與P處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的那些點的位置解：（1）O處質(zhì)點的振動方程為y0=acose（t+-）+00uy=Acos（$（t+X+L）+0u(2)波動表達式為（3）x=-L土k（k=1，2，3,）2分2分1分17如圖所示，一平面簡諧波沿Ox軸正向傳播，波速大小為u,若P處質(zhì)點的振動方程為yp=Acos®t+e)，求卜厶、彳u一二:(1) O處質(zhì)點的振動方程；POx(2) 該波的波動表達式；(3) 與P處質(zhì)點振動狀態(tài)相同的那些質(zhì)點的位置解：(1)O處質(zhì)點振動方程y二Acos(t+L)+e2分0uxL(2)波動表達式y(tǒng)二Acos(t)

16、+02分u”t2兀u(3)x二L土x二L土k(k=0，1，2，3,)1分w18. 圖示一平面余弦波在t=0時刻與t=2s時刻的波形圖已知波速為u,求(1) 坐標原點處介質(zhì)質(zhì)點的振動方程解：(1)可知此波向左傳播.在t=0時刻，O處質(zhì)點比較t=0時刻波形圖與t=2s時刻波形圖,0=Acos0,10=兀2.1又t=2s,O處質(zhì)點位移為A/2二Acos（4兀v-兀）0<v_二一Awsi10,2分所以1一一兀4二4兀v-兀,v=1/16Hz22分振動方程(2)波速波長波動表達式1y=Acos?（t/8兀）（SI）02u=20/2m/s=10m/s尢=u/v=160mtx1y二Acos2兀（+）兀

17、（SI）1616021分2分3分(2) 該波的波動表達式.19. 如圖所示，兩相干波源在x軸上的位置為片和S2,其間距離為d=30m,斗位于坐標原點O設波只沿x軸正負方向傳播，單獨傳播時強度保持不變=9m和x2=12m處的兩點是相鄰的兩個因干涉而靜止的點求兩波的波長和兩波源間最小相位差.解：設S和S2的振動相位分別為01和02在工點兩波引起的振動相位差02兀d.“102兀二=(2K+1)兀2九1九d2x(©_©)-2兀-二(2K+1)兀21九在x2點兩波引起的振動相位差2分得由©2兀2-©2兀L二(2K+3)兀2九1九d2x(©©)2

18、兀,亠=(2K+3)兀21九4兀(x一x)/九=2兀21九=2(x一x)=6m21d2x©©=(2K+1)兀+2兀-=(2K+5)兀21九當K=-2、-3時相位差最小©一©=±兀213分2分2分1分20. 兩波在一很長的弦線上傳播，其表達式分別為：(SI)y=4.00x10-2cos3兀(4x24t)1y=4.00x10-2cos兀(4x+24t)(SI)23求：(1)兩波的頻率、波長、波速；(2) 兩波疊加后的節(jié)點位置；(3) 疊加后振幅最大的那些點的位置解：與波動的標準表達式y(tǒng)=acos2兀(vtx/九)對比可得：各1分1分3分2分v=4H

19、z,尢=1.50m,波速u=尢v=6.00m/s1(2) 節(jié)點位置4兀x/3=±(n兀+兀)21x=±3(n+q)m,n=0,1,2,3,(3) 波腹位置4冗x/3=±n兀x=±3n/4m,n=0,1,2,3,xt21.設入射波的表達式為y1=Acos2K(-+T)，在x=0處發(fā)生反射，反射點為一固定端設反射時無能量損失,求(1)反射波的表達式；(2)合成的駐波的表達式；(3) 波腹和波節(jié)的位置3分3分解：(1)反射點是固定端，所以反射有相位突變?nèi)?，且反射波振幅為A,因此反射波的表達式為y=Acos2兀(x/-t/T)+兀2(2)駐波的表達式是y=y+y

20、1211=2Acos(2兀x/-+兀)cos(2兀t/T兀)(3)波腹位置：2nx/-+2分211x=2（n一2“，n=1,2,3,4,波節(jié)位置：112兀x/九+兀二n兀+兀222分y-2Acos（wt+2分1n=1,2,3,4,x二一n九222.如圖所示，一平面簡諧波沿x軸正方向傳播，BC為波密媒質(zhì)的反射面.波由P點反射,OP=3/4,DP=九/6.在t=0時，O處質(zhì)點的合振動是經(jīng)過平衡位置向負方向運動.求D點處入射波與反射波的合振動方程.(設入射波和反射波的振幅皆為A,頻率為V.)入射解：選O點為坐標原點，設入射波表達式為=AcoS2憂(Vt-x/九)+»2分.一，OP+DP-x則反射波的表達式是y2=Acos2兀