導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題課

1、 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題課一、教學(xué)要求1.理解導(dǎo)體靜電平衡的條件。2.掌握導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡后，導(dǎo)體電荷分布的計(jì)算。surfaceEsurface導(dǎo)體表面鄰近處的場(chǎng)強(qiáng)必定和導(dǎo)體表面垂直。0insideE導(dǎo)體內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零 或: 導(dǎo)體是等勢(shì)體。導(dǎo)體表面是等勢(shì)面。導(dǎo)體內(nèi)處處凈電荷為零，0insideqoE導(dǎo)體表面鄰近處的場(chǎng)強(qiáng)，3.掌握有導(dǎo)體存在時(shí)的電場(chǎng)分布的計(jì)算。計(jì)算有導(dǎo)體存在時(shí)的靜電場(chǎng)分布的基本依據(jù)：導(dǎo)體靜電平衡條件；電荷守恒定律；高斯定理。對(duì)各向同性電介質(zhì)：0(1)rPE nP4.理解電位移矢量 的定義。D0DEP0rDE 5.確切理解有電介質(zhì)的高斯定理，并能利用它求解有電介質(zhì)存在時(shí)具有一

2、定對(duì)稱性的電場(chǎng)問題。平行板電容器：0eSSVD dSqdV靜電場(chǎng)有電介質(zhì)時(shí)的高斯定理6.理解電容的定義，掌握計(jì)算簡(jiǎn)單電容器的電容的方法。電容的定義：UqC 并聯(lián)電容器組0rSCd 串聯(lián)電容器組iiCCiiCC117.掌握電容器的電能公式并能計(jì)算電容器的能量。8.理解電場(chǎng)能量密度的概念并會(huì)計(jì)算電荷系的靜電能。電容器的能量：2211222eQWCUQUC201122erwED E 電場(chǎng)的能量密度：電荷系的靜電能：202reeEWw dVdV 二、討論題：1.將一個(gè)帶電+q半徑為RB的大導(dǎo)體球B移近一個(gè)半徑為RA而不帶電的小導(dǎo)體球A，試判斷下列說法是否正確？并說明理由。 (1)B球電勢(shì)高于A球。對(duì)。

3、不帶電的導(dǎo)體球A在帶電+q的導(dǎo)體球B的電場(chǎng)中，將有感應(yīng)電荷分布于表面。定性畫出電場(chǎng)線，在靜電場(chǎng)的電力線方向上電勢(shì)逐點(diǎn)降低，又由圖看出電場(chǎng)線自導(dǎo)體球B指向?qū)w球A，故B球電勢(shì)高于A球。(2)以無限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，A球的電勢(shì): UA RB ，必有 r RA ，因?yàn)锳在B附近，這時(shí)可將B球看成點(diǎn)電荷q，A球的感應(yīng)電荷也可看成點(diǎn)電荷，而A球的感應(yīng)電荷等量異號(hào)，它們?cè)赑點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等方向相反，不必計(jì)算。201 4PqEr(3)帶電的B球在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小等于 ，r為P點(diǎn)距B球球心的距離，且 r RB 。 201 4PqEr所以，P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)：不一定正確。(4)在B球表面附近任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)等于BoE其中：2

4、 4BBqR2 4BBqRBo導(dǎo)體球B表面附近的場(chǎng)強(qiáng)雖等于但 B球表面電荷不一定是均勻分布的。2 4BooBqER2 4BBqR若是均勻分布的，若不是均勻分布的，2 4BooBqER2.怎樣能使導(dǎo)體凈電荷為零 ，而其電勢(shì)不為零?3.怎樣使導(dǎo)體有過剩的正(或負(fù))電荷，而其電勢(shì)為零？4.怎樣使導(dǎo)體有過剩的負(fù)電荷，而其電勢(shì)為正？ 將不帶電的絕緣導(dǎo)體(與地絕緣并與其它任何帶電體絕緣)置于某電場(chǎng)中，則該導(dǎo)體有q0而導(dǎo)體的電勢(shì)U0。將不帶電的導(dǎo)體置于負(fù)電荷(或正電荷)的電場(chǎng)中，再將該導(dǎo)體接地，然后撤除接地線。則該導(dǎo)體有正電荷(或負(fù)電荷)，并且電勢(shì)為零。將一帶少量負(fù)電荷-q的導(dǎo)體置于另一正電荷Q(Qq)的電

5、場(chǎng)中，由于Qq ，帶負(fù)電荷的導(dǎo)體并未明顯改變?cè)妶?chǎng)，這時(shí)該導(dǎo)體有過剩的負(fù)電荷，而其電勢(shì)為正。舉例說明：則導(dǎo)體球電勢(shì):PRQO-q= PQqUUU1144ooQqaRaqQ0PU設(shè)正電荷Q處于O點(diǎn)，將帶-q的導(dǎo)體球置于P點(diǎn)，導(dǎo)體球半徑為R，如圖5.已知無限大均勻帶電平板，面電荷密度為 ，其兩側(cè)的場(chǎng)強(qiáng)為/20 ，這個(gè)公式對(duì)于有限大的均勻帶電面的兩側(cè)緊鄰處的電場(chǎng)強(qiáng)度也成立。又已知靜電平衡的導(dǎo)體表面某處面電荷密度為 ，在表面外緊靠該處的場(chǎng)強(qiáng)等于/0 。為什么前者比后者小一半，說明之。 S /2 0 / 0 /2 06.在一個(gè)絕緣的不帶電的導(dǎo)體球周圍做一同心球面的高斯面，定性討論將一正電荷q移向高斯面上

6、A點(diǎn)的過程， （1）A點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向怎樣變化？ （2）B點(diǎn)處的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向怎樣變化？ （3）過S面的電通量怎樣變化？oBAq電通量不變+7.一不接地的球形金屬殼不帶電，現(xiàn)球心處放一正電荷q1，在球殼外放一點(diǎn)電荷q2，問： （1） q2能否感受q1的場(chǎng)的作用； （2） q1能否感受電場(chǎng)力的作用； （3） q1在球殼內(nèi)運(yùn)動(dòng)， q2能否感受得到？ 若q1數(shù)值變化時(shí)又如何？ （4） 若將球殼接地以上三問的答案又如何？q1q2（1）能（2）不能（3）不能，能（1）不能（2）不能（3）都不能(4)8. 如圖，在電量為q的點(diǎn)電荷附近，有一細(xì)長(zhǎng)的圓柱形均勻電介質(zhì)棒，則由高斯定理：qPrr214qDr可

7、算出P點(diǎn)的電位移矢量的大小： 所以，P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小為：0rDE 討論以上解法是否正確？為什么？214ooDqEr 不正確。因?yàn)樽杂呻姾墒屈c(diǎn)電荷，介質(zhì)棒在該電場(chǎng)中極化，極化電荷分布在棒的兩端面上，不是對(duì)稱分布，故不能用高斯定理求出D，也求不出E。只有當(dāng)自由電荷及介質(zhì)分布有一定的對(duì)稱性，應(yīng)用高斯定理，使面積分 中的 能以標(biāo)量形式提出來，即可求出D。SDdSD另一部分高斯面上 DdS 高斯面上 處處相等D/dSD再由 求出E。0rDE 選取高斯面S的原則：9.電介質(zhì)在外電場(chǎng)中極化后，兩端出現(xiàn)等量異號(hào)電荷，若把它截成兩半后分開，再撤去外電場(chǎng)，問這兩個(gè)半截的電介質(zhì)上是否帶電?為什么?不帶電。因?yàn)閺碾娊橘|(zhì)極

8、化的微觀機(jī)制看有兩類：非極性分子在外電場(chǎng)中沿電場(chǎng)方向產(chǎn)生感應(yīng)電偶極矩；極性分子在外電場(chǎng)中其固有電偶極矩在該電場(chǎng)作用下沿著外電場(chǎng)方向取向。其在外電場(chǎng)中極化的宏觀效果是一樣的，在電介質(zhì)的表面上出現(xiàn)的電荷是束縛電荷，這種電荷不象導(dǎo)體中的自由電荷那樣能用傳導(dǎo)的方法引走。當(dāng)電介質(zhì)被裁成兩段后撤去電場(chǎng)，極化的電介質(zhì)又恢復(fù)原狀，仍各保持中性。qCV10.同心金屬球殼A和B分別帶有電荷q和Q，已測(cè)得A、B間電勢(shì)差為V，問由A、B組成的球形電容器的電容值為何? 據(jù)導(dǎo)體靜電平衡條件及高斯定理可知金屬球殼B的內(nèi)表面有-q電荷，外表面有電荷(Q+q)。AqBQ由電容器定義可求：1.一絕緣導(dǎo)體球不帶電，距球心 r 處放

9、一點(diǎn)電荷q，求導(dǎo)體電勢(shì)。導(dǎo)體為等勢(shì)體，能求得球心o處的電勢(shì)即可。導(dǎo)體上感應(yīng)電荷都在球表面，距球心Rr4qR4qr4qU00i0o 電荷守恒0qsi 解：qroR三、計(jì)算題2.一球形電容器內(nèi)、外導(dǎo)體球殼A和B的半徑R1和R3，兩球殼間充滿兩層球殼形的均勻各向同性介質(zhì)1、 2，兩介質(zhì)分層處半徑R2，內(nèi)球殼帶電Q，外球殼接地，求： （1）兩介質(zhì)區(qū)的電場(chǎng)E=？ （2）四個(gè)界面上的束縛面電荷密度=？ （3）電容C=？R3R2R121ABQ（1）sD dSQ24rQDer2224rQEer1214rQEer解：R3R2R1 2 1ABQ（2）0()PE0()P nE 101211()4QR 204223(

10、)4QR203222()4QR 102212()4QR1 2 3 4 （3） C=Q/U2312121122231111()()44RRRRUE drE drQQrrrr1122234111111()()CrrrrR3R2R1 2 1ABQ3 . 在均勻外電場(chǎng) 處，一介質(zhì)球，半徑為R，相對(duì)介電常數(shù)為r，被均勻極化，求：（1）極化面電荷密度；（2）極化球的內(nèi)部電場(chǎng)；（3）極化強(qiáng)度 （4）中垂線距球心r處電場(chǎng)。0EPEPRP n cosP(1)(2)0 EEE球心處由極化電荷產(chǎn)生電場(chǎng)方向如圖。EPPn n + - E Ed 2000 cossin23PPEd 003PEE2202012sin co

11、s4sincos2RddERPd E Ed 0EE（3）0003(1)rPPEE003(1)2rrPE032rEE(1)orPE（4）30333030rrP3RrPR3441rp41E 3030rP3REE Rr等于球內(nèi)電場(chǎng)rEPRr r pr 3pr41E30 qqlrrPr特殊情況連線上，正電荷右側(cè)一點(diǎn) P 的場(chǎng)強(qiáng)Ppp r30r4p2E 垂直連線上的一點(diǎn)0 p r30r4pE P rP rlqp 4.帶電為Q的導(dǎo)體薄球殼（可看成球面） 半徑為R，殼內(nèi)中心處有點(diǎn)電荷q，已知球殼電勢(shì)為Ua，則殼內(nèi)任一點(diǎn)P 的電勢(shì)為rqUUaP04 對(duì)不對(duì)？【解】 根據(jù)電勢(shì)疊加原理0044PqQUrRqQRP

12、rP點(diǎn)的電勢(shì)為qQRPr0044PqQUrR0044aQqURR球殼的電勢(shì)為0044PaqqUUrR04PaqUUr0044aqQURR為什么不對(duì)？原來Ua并不是Q單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)。0044aqQURR?Q 04aQURq電勢(shì)疊加：00000004444444PaaqQUrRURqqrRqqUrR（結(jié)果一樣）方法二：方法三：RPPrRUE dlE dlE dl204RarqdrUr0044aqqUrR0044PaqqUUrR結(jié)論是（結(jié)果相同）5.今有兩個(gè)電容值均為C的電容器，其帶電量分別為Q和2Q，求兩電容器在并聯(lián)前后總能量的變化？CC+Q+2Q-2Q-Q前C+3Q-3QC后【解】 并聯(lián)前22

13、2025222QQQWCCC并聯(lián)后電容為2C, 帶電量為3QC+Q-QC+2Q-2Q后221319224QQWCC2220159244QQQWWWCCC為什么能量減少了？能量到哪里去了？問題是：并聯(lián)以后兩個(gè)電容器上的電量還是原來的分布嗎？設(shè)C+q1-q1C+q2-q2C+q1-q1C+q2-q2求 q1,q2:123(1)qqQ12(2)qqCC由（2）得1232qqQ由（1）得12qqC+1.5Q-1.5QC+1.5Q-1.5Q原來是在電量的流動(dòng)過程中，電場(chǎng)的能量損失掉了一些。R銅球r6.(P97 習(xí)題9-17)黃銅球浮在相對(duì)介電常數(shù)為r=3.0 的大油槽中，球的一半浸在油中，球的上半部在空

14、氣中,如圖所示。已知球上凈電荷為 Q =2.010-6C，（1）求球的上、下部分各有多少自由電荷？ （2）求下半球表面附近極化電荷的、q?R銅球r因?yàn)殂~球是等勢(shì)體，所以可以看成是空氣中的半球電容器和油為介質(zhì)的半球電容器并聯(lián)：RC012 RCr 012 21UU 21CQCQ下下上上 RQRQr 0022下下上上 （1）求球的上、下 部分各有多少 自由電荷？【解】QQQ 下下上上(2)上上下下QQr (1)得可以解得CQQr6105 . 01 上上C105 . 1QQ6r 上上下下 （2）求下半球表面附近極化電荷的、q?D)11(D)1(E)1(PPrr0r0r0n rR銅球S作半球形高斯面 S

15、 如圖： S2Qr2DSdD下下 2r2QD 下下 2rrR2Q)11(D)11( 下下 高斯定理22r2R2R2Q)11(R2q 下下下下Q)11(r 此 、q 即為所求。2rR2Q)11( 下下 就有下下Q)11(qr rrQQ)11(QqQ 下下下下下下下下 可知qQQ 下下上上RQ上Q下 +q討論：即把極化電荷也算上，球的上、下部分帶電情況是相同的。上上下下QQr 對(duì)比上半空間電場(chǎng)的分布可等效為均勻帶電2Q上的整個(gè)球面在空氣中的電場(chǎng)分布，R銅球rQ上Q下 +q= Q上R4Q2U0上上上上 上半球的電勢(shì)為20r4Q2E上上上上 R4Q2R4Q2Ur00 下下上上下下 下半空間電場(chǎng)的分布可

16、等效為均勻帶電2Q下的整個(gè)球面浸在油中的電場(chǎng)分布，即由下半球的電勢(shì)分布公式，還可以看出：下半球的電勢(shì)是一樣的：2r0r4Q2E 下下下下 有下下上上上上Er4Q2E20 7.(P95 習(xí)題9-6)一絕緣導(dǎo)體球不帶電，距球心 r 處放一點(diǎn)電荷+q，金屬球半徑R,求:(1)金屬球上感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度及 此時(shí)導(dǎo)體球的電勢(shì)。 (2)若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？導(dǎo)體為等勢(shì)體，能求得球心o處的電勢(shì)即可。o解：(1) 如圖，+q+qrqEE0qEE20 4qrqEEer q-導(dǎo)體上感應(yīng)電荷都在球表面，距球心R:000444ioqqqUrRr電荷守恒qis 0o+q+qrqEq-E04400rqRqqrRq 接地 即0U 設(shè):感應(yīng)電量為o點(diǎn)的電勢(shì)為0 則q(2) 若將金屬球接地，球上的凈電荷為何？o+qrq-9。(P97習(xí)題9-16類似)一球形電容器內(nèi)、外導(dǎo)體球殼A和B的半徑R1和R2，兩球殼間充滿兩層球殼形的均勻各向同性介質(zhì)r1、 r2，兩介質(zhì)分層處半徑R，內(nèi)球殼帶電Q。求：（1）兩介質(zhì)區(qū)的 （2）介質(zhì)區(qū)的電能密度？ (3) 四個(gè)界面上的束縛面電荷密度=？分布。、 UPEDR2RR1r2r1ABQ（1）介質(zhì)區(qū)：QSdDS24rQDer22202 RrR4rrQEer 11201 RrR4rrQEer R2RR1r2r