線性代數(shù)典型例題

1、一、計算排列的逆序數(shù)一、計算排列的逆序數(shù)二、計算（證明）行列式二、計算（證明）行列式三、克拉默法則三、克拉默法則1. 行列式的定義行列式的定義 1212()122)1;nnp ppppp nDaaa 1212()121)1;nnp ppppnpDaaa 1 21 21 12 2()()3)1.nnn ni iij jji ji ji jDaaa 二、行列式的計算（證明）二、行列式的計算（證明）2. 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)以同一數(shù)k，等于用

2、數(shù)，等于用數(shù)k乘此行列式乘此行列式性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素對應(yīng)成比行列式中如果有兩行（列）元素對應(yīng)成比例，則此行列式為零例，則此行列式為零性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和，之和，則則D等于兩個行列式之和等于兩個行列式之和性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行一數(shù)然后加到另一列（行）對應(yīng)的元素上去，行列式不變列式不變性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列），行列式變號互換行列式的兩行（列），行列式變號3. 代數(shù)余子式的性質(zhì)代數(shù)余子式的性質(zhì) ;,

3、0,1jijiDDAaijnkkjki當當當當 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik當當當當 .,0,1jijiij當當，當當其中其中4. 典型的行列式典型的行列式1112122211220.00nnnnnnaaaaaa aaa 1）上三角行列式）上三角行列式 112122112212000.nnnnnnaaaa aaaaa 2）下三角行列式）下三角行列式1111111111110000rrrrrsssrsssaaaaccbbccbb 1111rrrraaaa1111;ssssbbbb 3）1111111111110000rsrrrrrsssssaaccaaccbbbb 1111rrrr

4、aaaa1111.ssssbbbb 4）5）范德蒙德范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD1. 定義法定義法 利用定義計算（證明）利用定義計算（證明） 2. 化三角形法化三角形法 利用行列式的性質(zhì)將行列式化利用行列式的性質(zhì)將行列式化為三角形行列式為三角形行列式5. 降階法降階法 利用按行（列）展開法則，化行列式利用按行（列）展開法則，化行列式為較低階行列式為較低階行列式6. 遞推法遞推法 利用行列式的性質(zhì)，把一個行列式表利用行列式的性質(zhì)，把一個行列式表示為具有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系，示為具

5、有相同結(jié)構(gòu)的較低階行列式的線性關(guān)系，再根據(jù)此關(guān)系式遞推求得行列式的值再根據(jù)此關(guān)系式遞推求得行列式的值7. 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法4. 目標法目標法 利用已知行列式進行計算其中最重利用已知行列式進行計算其中最重要的行列式是范德蒙德行列式要的行列式是范德蒙德行列式3. 化簡法化簡法 利用行列式性質(zhì)化簡利用行列式性質(zhì)化簡 注意注意: : 一個行列式的計算方法往往不是唯一的，有一個行列式的計算方法往往不是唯一的，有時甚至需多種方法綜合使用時甚至需多種方法綜合使用 由于由于行列式行列式的計算方法很多，但具體到一個題的計算方法很多，但具體到一個題目用什么方法求解往往不是一件容易決定的事情目用什么方法求解往往

6、不是一件容易決定的事情應(yīng)注意應(yīng)注意行列式的特征行列式的特征，掌握了行列式的特征，也就掌握了行列式的特征，也就自然找到了求解方法自然找到了求解方法解題提示解題提示1. 定義法定義法 用定義計算（證明）用定義計算（證明）例例1 計算計算121321222324253132333435542435253000.000000aaaaaaaaaaaaDaaaa 特征特征 行列式中零元素比較多行列式中零元素比較多.解解123452,3;1,2,3,4,5;1,2,3,4,5;2,3;2,3.ppppp. 05,554321 Dppppp故故元元排排列列也也不不能能組組成成，一一個個在在上上述述可可能能取取

7、的的代代碼碼中中因因為為評注評注 從一般項入手，首先確定所有的非零項，從一般項入手，首先確定所有的非零項，然后確定每一項的符號，最后給出代數(shù)和然后確定每一項的符號，最后給出代數(shù)和. 這是這是用定義計算行列式的一般步驟用定義計算行列式的一般步驟.展開式中項的一般形式是展開式中項的一般形式是1234512345pppppaaaaa例例2 設(shè)設(shè)1112121222112nnnnnnaaaaaaD,aaa 111112122121221212nnnnnnnnnnaa ba ba baa bD,a ba ba 12.DD 證證明明證明證明由行列式的定義，有由行列式的定義，有1211212 ( 1),.n

8、tppnpnDaaatp pp 其其中中 是是排排列列的的逆逆序序數(shù)數(shù)1212121212212(1 2) ()1212 ( 1) ()()() =( 1),.nnnnnppptppnpnppptppnpnDabababaaabtp pp 其其中中 是是排排列列的的逆逆序序數(shù)數(shù),212npppn 而而122121( 1).ntppnpDaaaD 所所以以評注評注 本題證明兩個行列式相等，即證明兩點本題證明兩個行列式相等，即證明兩點: : 一、兩個行列式有完全相同的項；一、兩個行列式有完全相同的項； 二、每一項所帶的符號相同二、每一項所帶的符號相同. .2. 化三角形法化三角形法特征特征1 行列

9、式各行（列）元素的和都相同行列式各行（列）元素的和都相同例例3 計算計算12312312311234.nnnnxaaaaaxaaaaaxaaDaaaax 分析分析 行列式行列式的特點是各行元素的和都相等，遇的特點是各行元素的和都相等，遇到這種情況，常常把各列都加到第一列，提取公到這種情況，常常把各列都加到第一列，提取公因子后再化簡因子后再化簡 解解列列都都加加到到第第一一列列，得得將將第第1, 3 , 2 n12121121231nininininnininiixaaaaxaxaaDxaaxaxaaax 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得121()21()3,1()naaa 將將第第

10、 列列的的倍倍加加到到第第 列列，將將第第 列列的的倍倍加加到到第第 列列，將將第第 列列的的倍倍加加到到最最后后一一列列，得得12221123111()1nnnnniiaaaxaaaxaDxaaax 提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得12221123111()1nnnnniiaaaxaaaxaDxaaax 21 132 11121212132100010010()1=nnca cca cniica cnxaaaxaxaaaaaxa 11()().nniiiixaxa提取第一列的公因子，得提取第一列的公因子，得12221123111()1nnnnniiaaaxaaaxaDxaaax

11、xaaaaaxaaaD.aaxaaaaaxa練習(xí)練習(xí)計算計算nccc 21)2(anx aaaxaaaaxaaaaxa111121311 nrrrrrr )2(anx aaaxaxaxa10200002000021(2) (2 ).nxnaxa D特征特征2 第一行、第一列及對角線元素除外，其余第一行、第一列及對角線元素除外，其余元素全為零的行列式元素全為零的行列式階行列式階行列式設(shè)設(shè)n12312001030100nnD,n求第一行各元素的代數(shù)余子式之和求第一行各元素的代數(shù)余子式之和.11211nAAA 例例4解解 第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示為第一行各元素的代數(shù)余子式之和可以表示為n

12、AAA11211 n111112001030100目標目標: 把第一列化為把第一列化為1100a “箭箭”型行列式型行列式12112ncccn 21111102000030000nkkn21! 1.nknk 01211122101000000 .000(0)nnnnnnabbbbcacaDcaa aa 一般地一般地1231111111111111116(4).11111naaaDa 123123123123+6(3)+nnnnabaaaaabaaDaaabaaaaab可化為可化為“箭箭”型行列型行列式式123123123123+6(3)+nnnnabaaaaabaaDaaabaaaaab113

13、12 rrrrrrn 123+000000nabaaabbbbbb 123123123123+6(3)+nnnnabaaaaabaaDaaabaaaaab1223()000000000nnaaabaaabbb11nniiab bnccc 216(1) 計算行列式計算行列式122222222232222D.n112()nnaaab b122,1;22nD 100022222,00100002nDn 1000020000100002n -2(2)!.n 解解3. 化簡法化簡法例例5 計算計算22222222422222222(1)(2)(3)(1)(2)(3).(1)(2)(3)(1)(2)(3)

14、aaaabbbbDccccdddd 解解21314122422214469214469214469214469ccccccaaaabbbbDccccdddd 32422222322126212621262126ccccaabbccdd 0. 4. 目標行列式法目標行列式法例例6 計算計算 (1) 利用范德蒙行列式計算行列式利用范德蒙行列式計算行列式. 根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式化為范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果范德蒙行列式，然后根據(jù)范德蒙行列式計算出結(jié)果.nnnnD.nnn 222111222333解解nnnnDn!.nnn 21

15、212111111222133311!()ijnijnxx !(21)(31)(1)(32)(2)(1)nnnnn !(1)!(2)!2!1!n nn1!.nkk 計算行列式計算行列式abcDabc.bccaab222解解將將D的第的第1行加到第行加到第3行，得行，得abcDabcabcabcabc222abcabcabc222111()abc ba ca cb()()()().1242034601001010001200321 D例例7 計算計算解解 1 1 1 1 1 3 2 2 14 1 3 2 1234101012321 D .1226 (2) 利用典型行列式利用典型行列式. 5降階法

16、降階法 利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行利用行列式的性質(zhì)將所給行列式的某行( (列列) )化成只含有一個非零元素，然后按此行化成只含有一個非零元素，然后按此行( (列列) )展開，展開，每展開一次，行列式的階數(shù)可降低每展開一次，行列式的階數(shù)可降低1 1 階，如此繼階，如此繼續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止續(xù)進行，直到行列式能直接計算出來為止 ( (一般一般展開成二階行列式）展開成二階行列式）. . 這種方法對階數(shù)不高的數(shù)這種方法對階數(shù)不高的數(shù)字行列式比較適用字行列式比較適用. .6遞推法遞推法 行列式某一行（列）至多有兩個非零元素行列式某一行（列）至多有兩個非零元素一般按此行（列）展開一

17、般按此行（列）展開例例1-17 計算行列式計算行列式2000000000000000000000000nabababDcdcdcd 解解 按第按第1行展開，得行展開，得2000000000000000000000nababDacdcdd 000000000000000000000ababbcdcdc 22nadD 22nbcD 22()nadbc D 即即22(1)()nnDadbc D 222(1)2(2)()()nnnDadbc DadbcD12()nadbcD 1()()nnabadbcadbccd 6(5)計算計算122110000100.0001nnnnxxDxaaaaxa 解解 按

18、第按第1列展開列展開 110001001001nnxax 1221100001nnnxDxxaaax a 111111nnnnnnxDaxDa , nnnDxDan, ,n .11 2 以此作遞推公式，可得以此作遞推公式，可得21nnnxxDaanD122122112212211221221nnnnnnnnnnnnnnnnxDa xaxaxaxxaa xaxaxaxa xa xaxaxa .221nnnx Daxa2321nnnnxxDaaxa32321nnnnx Daxaxa評注評注1 111 1nnnnnDn,DnD.nDnn.本本題題是是利利用用行行列列式式的的性性質(zhì)質(zhì)把把所所給給的的

19、階階行行列列式式用用同同樣樣形形式式的的階階行行列列式式表表示示出出來來 建建立立了了與與階階行行列列式式之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系 有有時時，還還可可以以把把給給定定的的 階階行行列列式式用用同同樣樣形形式式的的比比階階更更低低階階的的行行列列式式表表示示，建建立立比比階階行行列列式式更更低低階階行行列列式式之之間間的的遞遞推推關(guān)關(guān)系系7用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法例例8 證明證明cos100012cos100012cos000002cos100012coscos.nDn 證證對階數(shù)對階數(shù)n用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法122 cos,cos12cos1cos2 ,12cos,1,2,.DDnn 因因為為所所以以 當當時時 結(jié)結(jié)論論成成立立,.nn假假設(shè)設(shè)對對階階數(shù)數(shù)小小于于 的的行行列列式式結(jié)結(jié)論論成成立立 下下證證對對于于階階數(shù)數(shù)等等于于 的的行行列列式式也也成成立立122cos.