探究應(yīng)用新思維數(shù)學(xué)級(jí)

1、1 .數(shù)形結(jié)合話數(shù)軸解讀課標(biāo)數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”和“形”的一門學(xué)科，從古希臘時(shí)期起，人們就已試圖把它們統(tǒng)一起來.在日常生活中我們通常對(duì)有形的東西認(rèn)識(shí)比較快，而對(duì)抽象的東西認(rèn)識(shí)比較慢，這正是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，以形助數(shù)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)重要方法.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形聯(lián)系的有力工具，主要反映在：1 .利用數(shù)軸形象地表示有理數(shù)；2 .利用數(shù)軸直觀地解釋相反數(shù)；3 .利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值有關(guān)的問題；4 .利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小.問題解決例1（1）已知a、b為有理數(shù)，且a>0,b<0,a+b<0,將四個(gè)數(shù)a、b、一a、b按由小到大的順序排列是

2、.（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）（2）已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是.（廣西克賽題）試一試對(duì)于（1）,賦值或借助數(shù)軸比較大?。粚?duì)于（2）確定A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，充分考慮A、B兩點(diǎn)的多種位置關(guān)系.例2如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1以$小"'個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且d-2a=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）.A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)（江蘇省競(jìng)賽題）試一試從尋找d與a的另一關(guān)系式入手.例3已知兩數(shù)a、b,如果a比b大，試判斷|a|與|b|的大小.試一試因a、b符號(hào)未定，

3、故a比b大有多種情形，借助數(shù)軸可直觀全面比較|a|與|b|的大小.例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K0,第一步從K0向左跳1個(gè)單位到K1,第二步由K1向右跳2個(gè)單位到K2,第三步由向左跳3個(gè)單位到K3,第四步由K3向右跳4個(gè)單位到K4,，按以上規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)K100所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤的初始位置K0點(diǎn)所表示的數(shù).（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）試一試設(shè)K。點(diǎn)表示的數(shù)為x,把K1、K2、K100點(diǎn)所表示的數(shù)用x的式子表示.例5已知數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為28個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)8個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊.求A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù).（2）

4、數(shù)軸上點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度出發(fā)問左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)C處追上了點(diǎn)A,求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).（3）已知在數(shù)軸上點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)線段NO的中點(diǎn)為P（O為原點(diǎn)），在運(yùn)動(dòng)的過程中線段PO-AM的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說明理由.分析與解對(duì)于（3）,設(shè)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，把PO-AM用2的式子表示.（1） A、B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為8,20;（2） C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為22;202t（3） AM=t,OP=10+t（為什么？），則PO-AM=10+t1=10,即PO-AM的2值不變

5、.生活啟示例6李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問題.如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段AB,對(duì)折后（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），固定左端向右均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段AB上的二，3均變成工；4421變成1；等等）.那么在線段AB上（除點(diǎn)A、點(diǎn)B外）的點(diǎn)中，在第二次操作后，求恰好2被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和.（浙江省紹興市中考題）分析捕捉問題所蘊(yùn)含的信息，閱讀理解“一次操作”的意義：將線段沿中點(diǎn)翻折，中點(diǎn)左側(cè)的點(diǎn)不動(dòng)，中點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)翻折到左側(cè)的對(duì)應(yīng)位置上，由原來的一個(gè)等分點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)等分點(diǎn).解故在第二次操作后，恰好被拉到與1重合

6、的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)字之和是1+a=1.44數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1 .數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是-2,且A、B兩點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是.2 .電影哈利波特中，小哈利，波特穿墻進(jìn)入“9且站臺(tái)”的鏡頭（如示意圖中的M站4臺(tái)），構(gòu)思奇妙，能給觀眾留下深刻的印象，若A、B站臺(tái)分別位于-2,-1處，AN=2NB,則N站臺(tái)用類似電影中的方法可稱為“站臺(tái)”.（“時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)”試題）3 .已知點(diǎn)A、B、P在數(shù)軸上，點(diǎn)B表示的數(shù)為6,AB=8,AP=5,那么點(diǎn)P表示的數(shù)是4 .如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半&一軸繞在一個(gè)圓（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周嫉）.7曲的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)

7、上了數(shù)字0、1、2）人上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針方向繞在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1、2、0、1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合.這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系.（1）圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對(duì)應(yīng)，則a=;（2）數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是（用含n的代數(shù)式表示）.（江西省中考題）1 itini.±.i45 .有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示：Q12占，則下列各式正確的是（）.A.ab0B.ab0C.|a|b：；0D.a-b0（2012年湖南省常

8、德市中考題）6 .文具店、書店、玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西20米，玩具店位于書店?yáng)|100米處.小明從書店沿街向東走了40米，接著又向東走了-60米，此時(shí)小明的位置在（）.A.文具店B.玩具店C.文具店西邊40米D.玩具店?yáng)|-60米7 .將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm）,刻度尺上的“0cm”“15cm”分別對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的-3.6和x,則（）.A.9x二10B.10<x二11C.11<x<12D.12：x<13（浙江省紹興市中考題）8 .在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為19991的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)9數(shù)是（）

9、.A.1998B.1999C.2000D.2001（重慶市競(jìng)賽題）9 .一個(gè)跳蚤在一條直線上，從。點(diǎn)開始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次晾左跳2個(gè)單位，第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位依此規(guī)律劇下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí)，求落點(diǎn)處離。點(diǎn)的距離（用單位表示）.（江蘇省無(wú)錫市中考題）10 .已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)。的距離為3,求所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)。的距離的和.（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）-思維方法天地-11.在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示和1，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是3512.在數(shù)軸上，表示數(shù)（旦十2），的點(diǎn)M與表示數(shù)（-+3），的點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)

10、對(duì)稱，則a的值為2313 .數(shù)形相伴dp（1）如圖所示:3i：3/工一，點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為-1,2,在數(shù)軸上畫出與A、B兩點(diǎn)的距離和為5的點(diǎn)（并標(biāo)上字母）.（2）若數(shù)軸上點(diǎn)A、B所代表的數(shù)分別為a、b,則A、B兩點(diǎn)之間的距離可表示為AB=|ab|,那么，當(dāng)|x+1|+|x2|=7時(shí)，x=;當(dāng)|x+1|+|x2|>5時(shí)，數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置是在:（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）14 .點(diǎn)A、B分別是數(shù)-3、1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)為AB且線2段AB的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是3,則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是,點(diǎn)A移動(dòng)的距離是.（江蘇省競(jìng)賽題）15 .點(diǎn)A、A2、A3、An（n為正整數(shù)

11、）都在數(shù)軸上，點(diǎn)Ai在原點(diǎn)O的左邊，且A1O=1,點(diǎn)A在點(diǎn)A的右邊，且A2A=2;點(diǎn)A3在點(diǎn)A2的左邊，且A3A2=3,點(diǎn)A4在點(diǎn)A的右邊，且A4A3=4,依照上述規(guī)律，點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為（）.A.2008,-2009B.-2008,2009C.1004,-1005D.1004,-1004（福建省泉州市中考題）16 .如圖：；G'，數(shù)軸一上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn),每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)a、b、c、d,且b-2a=9,那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（）.A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)17 .有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，式子|a|+|b|+

12、|a+b|+|b-c|化簡(jiǎn)結(jié)果為（）.A.2a3b-cB.3b-cC.bcD.c-b18 .不相等的有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B、C,若|a-b|+|b-c|=|a-c|那么點(diǎn)B（）.A.在A、C點(diǎn)右邊B.在A、C點(diǎn)左邊C.在A、C點(diǎn)之間D.以上均有可能（“希望杯”邀請(qǐng)賽題）19 .在數(shù)軸上，N點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是N點(diǎn)與30所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的4倍，那么N點(diǎn)表示的數(shù)是多少？（"CASIO杯”河南省競(jìng)賽題）20 .已知數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，分別代表-24、-10、10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行.甲的速度為4個(gè)單位/秒.（1）問多少秒后甲到A、B、C的距

13、離和為40個(gè)單位？（2）若乙的速度為6個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)相向1而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？（3）在（1）、（2）的條件下，當(dāng)甲到A、B、C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回，問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說明理由.21 .操作與探究對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以-再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移13個(gè)單位，得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P.點(diǎn)A,B在數(shù)軸上，對(duì)線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段AB,其中，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為AB如圖所示，若點(diǎn)A表示的數(shù)是與，則點(diǎn)A表示的數(shù)是;若點(diǎn)B，表示的數(shù)是2,則點(diǎn)B,表示的數(shù)是;已知線

14、段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，與點(diǎn)E重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是.2012年北京市中考題22 .一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上的原點(diǎn)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸的正方向以每前進(jìn)5個(gè)單位、后退3個(gè)單位的程序運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)P每秒前進(jìn)或后退1個(gè)單位，設(shè)人表示第n秒點(diǎn)P在數(shù)軸上的位置所對(duì)應(yīng)的數(shù)（如4=4,X5=5,X6=4）,求X2011所對(duì)應(yīng)的數(shù).2.聚焦絕對(duì)值絕對(duì)值是數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本概念，這一概念是學(xué)習(xí)相反數(shù)、有理數(shù)運(yùn)算、算術(shù)根的基礎(chǔ)；絕對(duì)值又是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，絕對(duì)值與其他知識(shí)融合形成絕對(duì)值方程、絕對(duì)值不等式、絕對(duì)信函數(shù)等，在代數(shù)式化簡(jiǎn)求值、解方程、解不等式等方面有廣泛的應(yīng)用，理解、掌握絕對(duì)值應(yīng)注意以下幾個(gè)方面：1

15、 .脫去絕對(duì)值符號(hào)是解絕對(duì)值問題的切入點(diǎn)脫去絕對(duì)值符號(hào)常用到相關(guān)法則、分類討論、數(shù)形結(jié)合等知識(shí)方法.2 .恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義從數(shù)軸上看|a|表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|a-b|表示數(shù)a、數(shù)b的兩點(diǎn)間的距離.3 .靈活運(yùn)用絕對(duì)值的基本性質(zhì)|a|至0;|aab(a1)(b1)(a2)(b2)1=|a|2=a2;|ab|=|a|，|b|;|旦|二回9*2）b|b|().+(a2005)(b2006)的值.例1已知：y=|xb|十|x20|十|xb20|其中0cb<20,b<x<20,那么y的最小值為（“華羅庚杯”香港中學(xué)競(jìng)賽題）(2)設(shè)a、b、c為整數(shù),且|a-b|+|c-

16、a|=1,求|c-a|+|a-b|+1b-c|的值.(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)試一試對(duì)于(1),由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)先導(dǎo)出a、b的值；對(duì)于(2),1寫成兩個(gè)非負(fù)整數(shù)的和的形式又有幾種可能？這是解(2)的突破口.例4閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：x(x.0),我們知道|x|=<0(x-0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代-x(x<0).數(shù)式|x+1|+|x2|時(shí)，可令：x+1=0和x2=0,分別求得x=1,x=2(稱一1,2分別為|x+1|與|x2|的零點(diǎn)值)在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x=-1和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：(1)x<-1;(

17、2)-1<x<2;(3)x至2.從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+1|十|x2|可分以下3種情況：(1)當(dāng)x<1時(shí)，原式=(x+1)(x2)=2x+1;(2)當(dāng)一1Ex<2時(shí)，原式=x+1(x2)=3;(3)當(dāng)x22時(shí)，原式=x+1+x2=2x1.-2x1(x：-1),綜上討論，原式=3(-1<x：2),2x-1(x_2).通過以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問題：(1)分別求出一+2|和|*-4|的零點(diǎn)值;(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+2|+|x-4|.(云南省中考題)試一試在閱讀理解的基礎(chǔ)上化簡(jiǎn)求值.例5(1)當(dāng)x取何值時(shí)，|x-3|有最小值？這個(gè)最小值是多少？(2)當(dāng)x取何值時(shí)，5-|x+

18、2|有最大值？這個(gè)最大值是多少？(3)求|x-4|+|x+5|的最小值.(4)求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值.分析對(duì)于(3)、(4)可先運(yùn)用零點(diǎn)分段討論法去掉絕對(duì)值符號(hào)，再求最小值；也可利用絕對(duì)值的幾何意義，即在數(shù)軸上找一表示x的點(diǎn)，使之到表示4、5的點(diǎn)(:或表示7、8、9的點(diǎn))的距離和最小.解(1)當(dāng)x=3時(shí)，原式有最小值，最小值為0.(2)當(dāng)乂=2時(shí)，原式有最大值，最大值為5.(3)當(dāng)4MxW5時(shí)，原式有最小值，最小值為1.(4)當(dāng)x=8時(shí)，原式有最小值，最小值為2.對(duì)于(3),給出另一種解法：當(dāng)x<4時(shí)，原式=(x4)(x5)=92x,最小值為1;當(dāng)4<xM5時(shí)

19、，原式=x-4-(x-5)=1,最小值為1;當(dāng)x>5時(shí)，原式=x4+x5=2x9，最小值為1.綜上所述，原式有最小值等于1.以退求進(jìn)例6少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過程是：輸人第一個(gè)整數(shù)%,只顯示不運(yùn)算，接著再輸人整數(shù)x2心后則顯示|x1-x2|的結(jié)果，此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算.現(xiàn)小明將從1到1991這1991個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸人，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為P,試求出P的最大值，并說明理由.分析先考慮輸入個(gè)數(shù)較少的情形，并結(jié)合奇偶分析調(diào)整估值，一步步求出P的最大值.解由于輸入的數(shù)都

20、是非負(fù)數(shù)，當(dāng)x,之0,x220時(shí)，|x1-x2|不超過x1、x2中最大的數(shù)，對(duì)x/0,x2之0,x320,則|%-xz|-x3|不超過工xx2、x3中最大的數(shù)，設(shè)小明輸入這1991個(gè)數(shù)的次序是x1,x2,x1991.相當(dāng)于計(jì)算：|IH|x1-x2|-x3|x1990|x1991|=P,因此P的值一x1991.另外從運(yùn)算奇偶性分析，X、x2為整數(shù)，|x1-x2|與|x1+x2|奇偶性相同，因此P與x1+x2+x1991的奇偶性相同,但為+x2+x991=1+2+1991=偶數(shù).于是斷定P宅為990,我們證明P可以取到1990.對(duì)1,2,3,4，按如下次序：|1-3|-4|-2|=0,|(4k+1)-(4k+3)|-(4k+4)|-(4k+2)|=0,對(duì)于k=0,1,2,均成立.因此，11988可按上述辦法依次輸入最后顯示結(jié)果為0,而后|1989-1990|-1991|=1990,故P的最大值為1990.數(shù)學(xué)沖浪知識(shí)技能廣場(chǎng)1 .數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，力,且|a+1|=2，則|3a+7|=.2 .已知|a|=5,|b|=3，且|ab4ba,