第3章控制工程ppt控制系統(tǒng)的時域分析-V1.1

1、 時域分析法時域分析法是研究控制系統(tǒng)在輸入信號作用下，其輸出隨是研究控制系統(tǒng)在輸入信號作用下，其輸出隨時間變化的情況，方便分析系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，是控制時間變化的情況，方便分析系統(tǒng)的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性，是控制系統(tǒng)最基本的分析方法，也是頻域分析法和根軌跡分析法的系統(tǒng)最基本的分析方法，也是頻域分析法和根軌跡分析法的基礎?；A。時域分析包括穩(wěn)定性分析、瞬態(tài)性能分析和穩(wěn)態(tài)性能分析。時域分析包括穩(wěn)定性分析、瞬態(tài)性能分析和穩(wěn)態(tài)性能分析。解解表達式表達式曲曲 線線系統(tǒng)性能系統(tǒng)性能穩(wěn)定性穩(wěn)定性快速性快速性穩(wěn)態(tài)精度穩(wěn)態(tài)精度分析分析拉氏變換拉氏變換微方微方第第3 3章章 控制系統(tǒng)的時域分析控制系統(tǒng)的時域分析 3.1

2、 3.1 響應分析響應分析3.1 時域分析有關概念時域分析有關概念 時域分析是指分析控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應，時域分析是指分析控制系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的輸出響應，根據(jù)輸出的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。根據(jù)輸出的時域表達式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能。時域分析法具有以下特點：時域分析法具有以下特點： (1)由于時域分析是直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，所由于時域分析是直接在時間域中對系統(tǒng)進行分析的方法，所以時域分析以時域分析具有直觀和準確的優(yōu)點具有直觀和準確的優(yōu)點； (2)可以可以從響應表達式或曲線上得到系統(tǒng)時間響應從響應表達式或曲線上得到系統(tǒng)時間響

3、應的全部信息；的全部信息； (3)時域分析采用的是解析方法，過程較為繁瑣；時域分析采用的是解析方法，過程較為繁瑣； (4)難于判斷系統(tǒng)的結構和參數(shù)對動態(tài)性能的影響，進行系統(tǒng)設難于判斷系統(tǒng)的結構和參數(shù)對動態(tài)性能的影響，進行系統(tǒng)設計時一般不用時域分析法；計時一般不用時域分析法； (5)對高階系統(tǒng)進行分析時計算量很大，不易確定性能指標，必對高階系統(tǒng)進行分析時計算量很大，不易確定性能指標，必須借助于計算機實現(xiàn)。須借助于計算機實現(xiàn)。3.1.1 時域分析常用的方法時域分析常用的方法 時域時域穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析采用的是代數(shù)判據(jù)，即采用的是代數(shù)判據(jù)，即勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫勞斯穩(wěn)定性判據(jù)和赫爾維茲穩(wěn)定性判據(jù)爾維

4、茲穩(wěn)定性判據(jù)；穩(wěn)態(tài)性能分析穩(wěn)態(tài)性能分析就是通過計算就是通過計算穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差來來分析系統(tǒng)的準確性；時域響應分析采用的方法有兩種，一是分析系統(tǒng)的準確性；時域響應分析采用的方法有兩種，一是直接由微分方程求解得出，二是由傳遞函數(shù)采用拉氏反變換直接由微分方程求解得出，二是由傳遞函數(shù)采用拉氏反變換的方法求出。的方法求出。輸入信號輸入信號xi(t)象函數(shù)象函數(shù)Xi(s)Xo(s)= G(s) Xi(s)輸出的時域表達式輸出的時域表達式xo(t)3.1.2 控制系統(tǒng)有關的概念控制系統(tǒng)有關的概念Xi(s)G(s)H(s)_Xo(s) 反饋控制系統(tǒng)方塊圖反饋控制系統(tǒng)方塊圖1.閉環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞

5、函數(shù)和開環(huán)傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：)()(1)()()(sHsGsGsXsXio反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)。當反饋通道的。當反饋通道的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)H(s)=1時的系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)，此時開環(huán)傳遞函時的系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)，此時開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)G(s)。2.特征方程和特征根特征方程和特征根控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)一般可以寫成如下分式多項式的形式：)()()()(11101110sDsMasasasabsbsbsbsXsXnnnnmmmmio對于實際存在的控制

6、系統(tǒng)，滿足nm。系統(tǒng)的特征方程特征方程是閉環(huán)傳遞的分母多項式D(s)等于0所對應的方程，即D(s)=a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0。特征方程的根，即D(s)=0的解，稱為系統(tǒng)的特征根特征根。32)2(2)()(2ssssXsXio220ReIm-1-2圖3.1.2 系統(tǒng)零極點分布圖3.系統(tǒng)的零點、極點和零極點分布圖系統(tǒng)的零點、極點和零極點分布圖 零點和極點分開環(huán)零極點和閉環(huán)零極點。閉環(huán)傳遞函數(shù)中，分子多項式對應的方程M(s)= 0的解，稱為系統(tǒng)的閉環(huán)零點閉環(huán)零點；分母多項式對應的方程D(s)=0的解稱為系統(tǒng)的閉閉環(huán)極點環(huán)極點，可見閉環(huán)極點與系統(tǒng)的特征根等價。開環(huán)傳遞函數(shù)的分子多項

7、式等于0的所對應的方程的解稱為系統(tǒng)的開環(huán)零點開環(huán)零點，開環(huán)傳遞函數(shù)分母多項式等于0的所對應的方程的解稱為系統(tǒng)的開環(huán)極點開環(huán)極點。所謂零極點分布圖零極點分布圖就是在s平面上，把系統(tǒng)的零點和極點所對應的矢量的端點標注出來，零點用“”表示，極點用“”表示。若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為4.開環(huán)增益和根軌跡增益開環(huán)增益和根軌跡增益設反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)可以寫成如下標準形式：111111)()(2121sTsTsTssssKsHsGnm其中0，1，2，m，T1，T2，Tn-均為大于0的時間常數(shù)，則分子多項式中的常數(shù)K稱為開環(huán)增益稱為開環(huán)增益。 若開環(huán)傳遞函數(shù)又寫成如下標準形式：nmpspsps

8、szszszsKsHsG2121*)()(K*稱為開環(huán)根軌跡增益。z1，z2，zm為系統(tǒng)的開環(huán)零點；p1，p2，pn-為系統(tǒng)的開環(huán)極點。開環(huán)增益和根軌跡增益可以進行相互轉化，二者的關系是：nmTTTKK2121*3.1.3 典型輸入信號典型輸入信號 時域響應表現(xiàn)了系統(tǒng)的動態(tài)性能。不僅取決于系統(tǒng)時域響應表現(xiàn)了系統(tǒng)的動態(tài)性能。不僅取決于系統(tǒng)本身特性（微方），還與輸入信號形式有關。本身特性（微方），還與輸入信號形式有關。 系統(tǒng)工作時，外加輸入信號是隨機的，系統(tǒng)分析和系統(tǒng)工作時，外加輸入信號是隨機的，系統(tǒng)分析和設計時，對各種系統(tǒng)性能進行比較要預先規(guī)定一些具有設計時，對各種系統(tǒng)性能進行比較要預先規(guī)定一些

9、具有特殊形式的實驗信號作為輸入，然后比較系統(tǒng)的響應。特殊形式的實驗信號作為輸入，然后比較系統(tǒng)的響應。 sXi sXo s sXsLsXLtxsXssXiooio11規(guī)定一些特殊的試驗輸入信號各種系統(tǒng)比較各種系統(tǒng)對這些試驗信號的響應典型信號的選取原則典型信號的選取原則輸入的形式應反映系統(tǒng)在工作中所響應的實際輸入；輸入的形式應反映系統(tǒng)在工作中所響應的實際輸入；輸入信號在形式上應盡可能簡單，以便于對系統(tǒng)響應輸入信號在形式上應盡可能簡單，以便于對系統(tǒng)響應的分析；的分析；應選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為應選取能使系統(tǒng)工作在最不利情況下的輸入信號作為典型輸入信號。典型輸入信號。 常用的典型實

10、驗信號常用的典型實驗信號 階躍階躍、斜坡、拋物線、脈沖、斜坡、拋物線、脈沖 正弦（頻率分析法）正弦（頻率分析法）1. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為階躍函數(shù)的拉普拉斯變換為00( )0tr tAt，( )AL Ats為單位階躍函數(shù)。為單位階躍函數(shù)。時，時，為常數(shù)，當為常數(shù)，當其中其中1 AA2. 斜坡函數(shù)斜坡函數(shù) 斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為斜坡函數(shù)的拉普拉斯變換為2( )BL tts00( )0tr tBtt，為單位斜坡函數(shù)。為單位斜坡函數(shù)。時，時，為常數(shù)，當為常數(shù)，當其中其中1 BB3.加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)拋物線函數(shù)）拉普拉斯變換為拉普拉斯變換為200( )102tr tCtt，

11、231( )2CLCtts稱稱為為單單位位加加速速度度函函數(shù)數(shù)。時時，為為常常數(shù)數(shù)，當當其其中中1 CC4. 脈沖函數(shù)脈沖函數(shù) 理想脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為理想脈沖函數(shù)的拉普拉斯變換為00( )0tthr tAthh ，或， 其中脈沖寬度為其中脈沖寬度為h，脈沖面積等于脈沖面積等于A，若對脈沖的寬度若對脈沖的寬度h取趨于取趨于零的極限，則有零的極限，則有 000)(tttr， Adttr )(當當A=1（ h 0）時，稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù)，記作）時，稱此脈沖函數(shù)為理想單位脈沖函數(shù)，記作 。 )(t ( )1Lt t05. 正弦函數(shù)正弦函數(shù) 正弦函數(shù)的拉普拉斯變換為正弦函數(shù)的拉普拉斯變

12、換為22sinAL Ats( )sinr tAt正弦信號在時域分析中一般不用，主要用于頻域分析。正弦信號在時域分析中一般不用，主要用于頻域分析。究竟采用哪種典型信號？取決于系統(tǒng)在正常工作情況下最常見的輸入信號 形式。斜坡信號 隨時間逐漸變化的輸入階躍信號 突然的擾動量、突變的輸入脈沖信號 沖擊輸入正弦信號 隨時間往復變化的輸入 3.1.4 控制系統(tǒng)的時域響應及性能指標控制系統(tǒng)的時域響應及性能指標 1. 動態(tài)動態(tài)響應響應：又稱為過渡過程或瞬態(tài)響應（過程），是：又稱為過渡過程或瞬態(tài)響應（過程），是指系指系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)到接近統(tǒng)在典型輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出量從初始狀態(tài)

13、到接近最終狀態(tài)的響應過程最終狀態(tài)的響應過程。2. 穩(wěn)態(tài)響應：是穩(wěn)態(tài)響應：是系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，當時間t趨于趨于無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式無窮時，系統(tǒng)輸出量的表現(xiàn)方式。穩(wěn)態(tài)響應又稱穩(wěn)態(tài)過程，。穩(wěn)態(tài)響應又稱穩(wěn)態(tài)過程，表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)誤差來描表征系統(tǒng)輸出量最終復現(xiàn)輸入量的程度，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。述。一、控制系統(tǒng)的時域響應一、控制系統(tǒng)的時域響應穩(wěn)態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應瞬態(tài)響應瞬態(tài)響應t txo txi二、控制系統(tǒng)的時域性能指標二、控制系統(tǒng)的時域性能指標 時域性能指標包括動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩種。時域性能指標包括動態(tài)性能指標和穩(wěn)態(tài)性能指標兩

14、種。動態(tài)性能指標動態(tài)性能指標是描述控制系統(tǒng)在典型信號輸入是描述控制系統(tǒng)在典型信號輸入(一般都用單位一般都用單位階躍信號階躍信號)作用下的過渡過程的性能指標，常用的動態(tài)性能指作用下的過渡過程的性能指標，常用的動態(tài)性能指標有上升時間、峰值時間、調整時間、超調量和振蕩次數(shù)等標有上升時間、峰值時間、調整時間、超調量和振蕩次數(shù)等幾種。幾種。響應曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時間rt響應曲線達到第一個峰值所用時間pt在響應曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分數(shù)做一個允許誤差范圍，響應曲線達到并且永遠保持在這一允許誤差范圍內所用的最小時間st10ttxopM %100oopoxxtx這些點已被確定0.05

15、或0.02超調系統(tǒng)超調系統(tǒng) txo(t)xo()誤差tsABCDtr0.9xo()0.1xo()響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90%所用時間無超調系統(tǒng)無超調系統(tǒng)（1）上升時間）上升時間tr 響應曲線從零時刻到首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間，或：響響應曲線從零時刻到首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間，或：響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到上升到90%所需時間（無超調系統(tǒng)）所需時間（無超調系統(tǒng)）反映響應曲線上升趨勢表示響應速度指標。反映響應曲線上升趨勢表示響應速度指標。（2）峰值時間）峰值時間tp 響應曲線從響應曲線從0到達第一個峰值所需的時間。到達第一個峰值所需的時間。（3）調整時間（調節(jié)時間）調整

16、時間（調節(jié)時間）ts 在響應曲線從在響應曲線從0到達且不再超過穩(wěn)態(tài)值的到達且不再超過穩(wěn)態(tài)值的5%或或2%誤差范圍所需的最少時間。（允許誤差誤差范圍所需的最少時間。（允許誤差=0.05或或= 0.02）（4）最大超調量最大超調量% 指在系統(tǒng)響應過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百指在系統(tǒng)響應過程中，輸出量的最大值超過穩(wěn)態(tài)值的百分比分比 （5）振蕩次數(shù)）振蕩次數(shù)N：在調節(jié)時間：在調節(jié)時間ts內，內，c(t)偏離偏離c()的振蕩次數(shù)。的振蕩次數(shù)。( )( )%100%( )pc tcc穩(wěn)態(tài)性能指標穩(wěn)態(tài)性能指標用穩(wěn)態(tài)誤差表示，是系統(tǒng)的控制精度的一種度用穩(wěn)態(tài)誤差表示，是系統(tǒng)的控制精度的一種度量，通常在階

17、躍信號、斜坡信號和加速度信號作用下進行測量，通常在階躍信號、斜坡信號和加速度信號作用下進行測定或計算。在穩(wěn)態(tài)定或計算。在穩(wěn)態(tài)(時間趨于無窮大時間趨于無窮大)時，如果系統(tǒng)的輸出量不時，如果系統(tǒng)的輸出量不等于輸入量或輸入量的函數(shù)，則說明系統(tǒng)存在誤差。等于輸入量或輸入量的函數(shù)，則說明系統(tǒng)存在誤差。注：注： 上升時間、峰值時間和調節(jié)時間都表示動態(tài)過程進行的快慢程度，上升時間、峰值時間和調節(jié)時間都表示動態(tài)過程進行的快慢程度，是是快速性指標快速性指標。超調量反映動態(tài)過程振蕩激烈程度，是超調量反映動態(tài)過程振蕩激烈程度，是平穩(wěn)性指標平穩(wěn)性指標，也稱相對穩(wěn)，也稱相對穩(wěn)定性能。定性能。超調量和調節(jié)時間是反映系統(tǒng)動

18、態(tài)性能好壞的兩個最主要指標。超調量和調節(jié)時間是反映系統(tǒng)動態(tài)性能好壞的兩個最主要指標。而穩(wěn)態(tài)誤差反映了而穩(wěn)態(tài)誤差反映了系統(tǒng)的準確性系統(tǒng)的準確性。一般來說，對于控制系統(tǒng)我們總希望具有平穩(wěn)、準確和快速的性一般來說，對于控制系統(tǒng)我們總希望具有平穩(wěn)、準確和快速的性能，也就是希望超調量小一些，振蕩次數(shù)少一點，調整時間短一能，也就是希望超調量小一些，振蕩次數(shù)少一點，調整時間短一些，穩(wěn)態(tài)誤差小一些。但在后面的學習過程中就會發(fā)現(xiàn)，這些性些，穩(wěn)態(tài)誤差小一些。但在后面的學習過程中就會發(fā)現(xiàn)，這些性能往往相互矛盾，只能針對具體的系統(tǒng)而有所側重。能往往相互矛盾，只能針對具體的系統(tǒng)而有所側重。3.2 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析3

19、.2.1 穩(wěn)定的概念及穩(wěn)定的充分必要條件穩(wěn)定的概念及穩(wěn)定的充分必要條件 一、穩(wěn)定的基本概念一、穩(wěn)定的基本概念 一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)：一個系統(tǒng)受到擾動，偏離了原來的平衡狀態(tài)：當擾動取消后，這個系統(tǒng)又能當擾動取消后，這個系統(tǒng)又能夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)。夠逐漸恢復到原來的狀態(tài)。穩(wěn)定穩(wěn)定 不穩(wěn)定不穩(wěn)定擾動取消后，系統(tǒng)不能擾動取消后，系統(tǒng)不能恢復到原來的狀態(tài)?；謴偷皆瓉淼臓顟B(tài)。Mbcoodfabcde條件穩(wěn)定系統(tǒng)b、c允許偏差范圍d、e規(guī)定偏差邊界穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性的另一種定義：控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性的另一種定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏

20、差作用下，其過渡過程隨著時間的推移，作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡逐漸衰減并趨于零，具有恢復原平衡狀態(tài)的性能，則稱該狀態(tài)的性能，則稱該。否則，。否則，稱該稱該。 控制理論中所討論的穩(wěn)定性控制理論中所討論的穩(wěn)定性其實都是指其實都是指下的穩(wěn)定性下的穩(wěn)定性也就是討論也就是討論，僅存，僅存在在時的穩(wěn)定性，即時的穩(wěn)定性，即討論自由振蕩是討論自由振蕩是的還是的還是的。的。二、穩(wěn)定的二、穩(wěn)定的充分必要條件充分必要條件t tnt txit=0 txot 00iooxx- sG1 sG2 sXi sXo sN- sG1 sG2 sXi sXo sN sNbsbsbsbsXas

21、asasammmmonnnn11101110 nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsGsGsGsNsX 111011102121 nnnnmmmmoasasasabsbsbsbsX11101110 ，等效成脈沖信號，干擾信號持續(xù)時間很短 11 cossinjikrttoijjjjijxtD eeEtFt 若系統(tǒng)穩(wěn)定，則若系統(tǒng)穩(wěn)定，則 0|otxt 00ij ，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件rjjjjjjjikiijsjsesdsc11)()(00 ji，件是：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條若特征根中有一個或多個根具有若特征根中有一個或多個根具有正實部正實部，則零輸入響應將隨時間的推移而則

22、零輸入響應將隨時間的推移而發(fā)散發(fā)散，這，這樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。樣的系統(tǒng)就不穩(wěn)定。 ij，對應閉環(huán)傳遞函數(shù)對應閉環(huán)傳遞函數(shù)特征根的特征根的若特征根的實部均為若特征根的實部均為負值負值，則零輸入響應，則零輸入響應將隨時間的推移而將隨時間的推移而收斂收斂，這樣的系統(tǒng)就是，這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，它取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，而與輸取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，而與輸入入無關無關；對于純線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的；對于純線性系統(tǒng)來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定與否并不與初始偏差的大小穩(wěn)定與否并不與初始偏差的大小有關有關。 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：控

23、制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 系統(tǒng)特征方程式的根全部具有系統(tǒng)特征方程式的根全部具有負實部負實部。閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負實部閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點全部具有負實部（位于（位于左左半半s平面）。平面）。例例1系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷系系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？統(tǒng)是否穩(wěn)定？5( )(1)(6)sG sss 穩(wěn)定單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定？例例25( )(2)sG ss 不穩(wěn)定對于一階系統(tǒng)對于一階系統(tǒng)，特征方程為，特征方程為D(s)=a0s+a1=0，特征根為，特征根為s=-a1/a0，只要，只要s 小于小于0

24、，則系統(tǒng)穩(wěn)定。，則系統(tǒng)穩(wěn)定。對于二階系統(tǒng)對于二階系統(tǒng)，特征方程為，特征方程為D(s)=a0s2+a1s+a2=0，對應，對應的特征根為的特征根為0202112, 124aaaaas只要只要a2，a1，a0都大于都大于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。，則系統(tǒng)穩(wěn)定。對于三階以上的系統(tǒng)對于三階以上的系統(tǒng)，要采取下面介紹的方法進行判斷。，要采取下面介紹的方法進行判斷。3.2.2 代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)代數(shù)穩(wěn)定判據(jù) 為了避開對特征方程的直接求解，討論為了避開對特征方程的直接求解，討論特征根的分布特征根的分布，看其是否全部具有，看其是否全部具有負實部負實部，并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產生了一并以此來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這就產生了

25、一系列系列穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)。4325( )356sG ssss 一、勞斯判據(jù)一、勞斯判據(jù)穩(wěn)定的穩(wěn)定的必要必要條件：條件： 特征方程中各項系數(shù)特征方程中各項系數(shù)00 0122110 nnnnnasasasasasD系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為：穩(wěn)定的穩(wěn)定的充分充分條件：條件： 勞斯陣列勞斯陣列中第一列所有項中第一列所有項0？勞斯陣列如下：0123213n3212n75311n6420nssscccsbbbsaaaasaaaas 一直計算到最后一行算完一直計算到最后一行算完為止。然后判斷陣列中第一列為止。然后判斷陣列中第一列系數(shù)的符號，若全部系數(shù)的符號，若全部0,則系統(tǒng)則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則，第一列系

26、數(shù)穩(wěn)定；否則，第一列系數(shù)符號符號改變的次數(shù)改變的次數(shù)，就為特征方程在，就為特征方程在右半右半s平面平面的的根數(shù)根數(shù)。130211aaaaab 150412aaaaab 170613aaaaab 121311bbaabc 131512bbaabc 0122110 nnnnnasasasasasD01234sss042s33s 1 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性、系統(tǒng)特征方程為：、系統(tǒng)特征方程為：例例 034321234 sssssD解：滿足必要條件 13-23 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。個右根，個右根，有有次，次，符號改變符號改變勞斯陣列第一列勞斯陣列第一列22sD0 K必要條件：- sXi sXo

27、21sssK例例3K為何值時，系統(tǒng)穩(wěn)定 K2s1ssK2s1ssK12s1ssKsXsXio 解：解： 02323 KssssD系統(tǒng)特征方程為：系統(tǒng)特征方程為：0123ssKs2s 3 1 3K6 K60 K 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：0K0K60 有：有：符號符號滿足勞斯陣列第一列滿足勞斯陣列第一列勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：勞斯判據(jù)的兩種特殊情況：1、某一行第一個元素為零，而、某一行第一個元素為零，而其余各元素均不為零、或部其余各元素均不為零、或部分不為零；分不為零；2、某一行所有元素均為零。、某一行所有元素均為零。01234s s s 2 1 s 4 2 1 s 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：例 04s2s2s

28、ssD423442 第一列系數(shù)符號改變第一列系數(shù)符號改變兩次，系統(tǒng)有兩個右根，兩次，系統(tǒng)有兩個右根，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。404 判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性：例例 02ss2ssD523 0123ssss 2 2 1 1 02第一列系數(shù)符號無改變，第一列系數(shù)符號無改變，故系統(tǒng)沒有正實部的根。故系統(tǒng)沒有正實部的根。 2, 02s122 s223 sjssssS 行為行為0， 表明系統(tǒng)有一對共表明系統(tǒng)有一對共軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。軛虛根，所以，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 1s1s由該行的上一行元素來解決：由該行的上一行元素來解決：(1) 構成輔助多項式，并求導，用其系數(shù)代構成輔助多項式，

29、并求導，用其系數(shù)代替全為零的行；替全為零的行；(2) 可以利用輔助方程，解出這些特征根?？梢岳幂o助方程，解出這些特征根。2、某一行所有元素均為零、某一行所有元素均為零 表明在表明在 S S 平面內存在大小相等、符號相反平面內存在大小相等、符號相反的實根或共軛虛根的實根或共軛虛根S顯然，這些根的顯然，這些根的數(shù)目一定是偶數(shù)數(shù)目一定是偶數(shù)。 016s16s20s12s8s2ssD623456：例0123456sssssss 16 12 2 16 12 2 16 20 8 1 輔助多項式輔助多項式8624 ss 1 331 第一列符號全為正，第一列符號全為正，說明系統(tǒng)無右根，但有說明系統(tǒng)無右根，但

30、有共軛虛根，可由輔助方共軛虛根，可由輔助方程解出。程解出。輔助方程輔助方程08s6s24 3 8 8ss1243 求導：ss343 ：除以 04s2s22 2js2js4 . 32 . 1 1 6 80 0 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定二、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性二、利用勞斯判據(jù)看系統(tǒng)相對穩(wěn)定性 再再應應用用勞勞斯斯判判據(jù)據(jù)的的方方程程式式，代代入入系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征式式，得得到到將將，令令向向左左平平移移虛虛軸軸zzssz S0若系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在若系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量以以右右有有無無閉閉環(huán)

31、環(huán)特特征征根根平平面面試試判判斷斷系系統(tǒng)統(tǒng)在在 -s69 .156111720123ssss28 . 125120123zzzz例例3.2.9 系統(tǒng)的特征方程為系統(tǒng)的特征方程為D(s)= 2s3+11s2+17s+6=0，判斷系統(tǒng)的，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并確定特征根是否全位于穩(wěn)定性，并確定特征根是否全位于s=-1線以左。線以左。解解 (1)列勞斯列表列勞斯列表勞斯列表第一列元素符號沒有變化，因此，勞斯列表第一列元素符號沒有變化，因此，系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)進行變量代換進行變量代換s=z-1，得新的特征方程，得新的特征方程D(z)= 2z3+5z2+z-2=0。特征方程的系數(shù)不全為。特征方程的

32、系數(shù)不全為正，所以有特征根不全在正，所以有特征根不全在z左半平面左半平面(s=-1線以線以左左)，繼續(xù)列勞斯列表：，繼續(xù)列勞斯列表：勞斯列表第一列元素符號變化一次，因此有勞斯列表第一列元素符號變化一次，因此有1個個特征根位于特征根位于s=-1線以右。線以右。 實際實際D(s)= 2s3+11s2+17s+6=2(s2+5s+6)( s+0.5)=0，特征根為，特征根為-2，-3和和-0.5，與勞斯判據(jù)的，與勞斯判據(jù)的結論一致。結論一致。 右邊有沒有閉環(huán)特征根平面的判斷系統(tǒng)在例1-s 24s50s35s10s1s3 . 010000sXsX 10. 2 . 3234io 代代入入系系統(tǒng)統(tǒng)特特征征

33、式式，得得即即解解：令令1 ,1 zssz 0241501351101234 zzzz06116 234 zzzz即即不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：不滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件：特征方特征方程中各項系數(shù)程中各項系數(shù)0右右邊邊有有閉閉環(huán)環(huán)特特征征根根平平面面的的系系統(tǒng)統(tǒng)在在系系數(shù)數(shù)為為即即10 0 sz作業(yè) 3-1（1）（2）（3） 3-3 3-8傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)( )1( )( )1C ssR sTs結構圖結構圖R(s)C(s)11Ts 1T sR(s)C(s)-3.3 3.3 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析 凡是用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分母凡是用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱

34、為一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)的分母多項式為多項式為1次多項式。次多項式。 3.3.1 一階系統(tǒng)的單位階躍響應一階系統(tǒng)的單位階躍響應1( )11111( )( )111C sR sTsTsssR sssT單單位位階階躍躍信信號號111( )1(0)1tTc tLetssT 特點：特點： 按指數(shù)規(guī)律上升按指數(shù)規(guī)律上升 t t=0=0處切線斜率為處切線斜率為1/1/T 100( )11tTttdc tedtTT參數(shù)未知，可由一階系統(tǒng)單位階躍響應實驗參數(shù)未知，可由一階系統(tǒng)單位階躍響應實驗曲線確定曲線確定T( )63% ( )tTc tc txoT 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0

35、t163.2%A0.632一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線沒沒有有超超調調，非非周周期期響響應應，慣慣性性環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)亦亦稱稱非非周周期期環(huán)環(huán)節(jié)節(jié)。調整時間調整時間ts理論上：瞬態(tài)結束進入穩(wěn)態(tài)理論上：瞬態(tài)結束進入穩(wěn)態(tài) t工程上：與系統(tǒng)要求精度有關工程上：與系統(tǒng)要求精度有關 ts=4T (誤差范圍誤差范圍2%) ts=3T (誤差范圍誤差范圍5%） ts大小作為評價系統(tǒng)響應快慢的指標：調整系統(tǒng)參數(shù)大小作為評價系統(tǒng)響應快慢的指標：調整系統(tǒng)參數(shù)T提高系統(tǒng)快速性提高系統(tǒng)快速性 注：注：ts只反映系統(tǒng)特性，與輸入、輸出無關。只反映系統(tǒng)特性，與輸入、輸出無關。1/T1.00.20.40.60.80.630.870.

36、950.980.99T2T3T4T5Tc(t)t3.3.2 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應一階系統(tǒng)的單位斜坡響應22211111( )( )111/( )TTC sR sTsTsR ssssssT單單位位斜斜坡坡信信號號( )()0t Tc ttTTet TeTTTtttxtxteeetTtToi 111(1)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2) xo()=t-T，穩(wěn)態(tài)誤差ess= xi(t)- xo()=T。一階慣性環(huán)節(jié)跟蹤斜坡輸入信號時有誤差，并且時間常數(shù)T越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小，準確性越好。3.3.3 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應一階系統(tǒng)的單位脈沖響應 1 sRttr tTtcetT111 111 TssRsRsCsCT

37、1sT1 98.2%95%99.3%86.5%B0tT 2T 3T 4T 5T txoT163.2%AT1368. 03.3.4 一階系統(tǒng)的單位拋物線響應一階系統(tǒng)的單位拋物線響應3223321111( )( )111/( )1TTTC sR sTsTsssssR sssT單單位位拋拋物物線線信信號號221( )(1)02t Tc ttTtTet當時間當時間t時，系統(tǒng)輸出信號與輸入信號時，系統(tǒng)輸出信號與輸入信號之差將趨于無窮大。說明對于一階系統(tǒng)是之差將趨于無窮大。說明對于一階系統(tǒng)是不能跟蹤單位拋物線函數(shù)輸入信號的。不能跟蹤單位拋物線函數(shù)輸入信號的。 221tr (t)c(t)（t） 1（t） t

38、 tTeT11tTe11)1 (1tTeTt)1(21122tTeTTtt1. 一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應及一階系統(tǒng)對典型輸入信號的響應及響應之間關系響應之間關系3.3.5 一階系統(tǒng)的重要性質一階系統(tǒng)的重要性質一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)一階系統(tǒng)只有一個特征參數(shù)T，即其時間常數(shù)。在一定，即其時間常數(shù)。在一定的輸入信號作用下，其時間響應的輸入信號作用下，其時間響應c(t)由其時間常數(shù)惟一確由其時間常數(shù)惟一確定。定。 從表可以看出：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對從表可以看出：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于該輸入信號響應的導數(shù)；系統(tǒng)對輸入信號積

39、分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分。這一重要特性適用于任何系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分。這一重要特性適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)階次的線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng)的重要特性。線性定常系統(tǒng)的重要特性。 利用這一特點，在測試系統(tǒng)時，可以用一種信號輸入推利用這一特點，在測試系統(tǒng)時，可以用一種信號輸入推斷出幾種相應信號的響應結果，帶來很大方便。而線性時斷出幾種相應信號的響應結果，帶來很大方便。而線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特性。變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)都不具備這種特性。2. 結論結論例題例題1. 一階系統(tǒng)的單位階躍響應達穩(wěn)態(tài)值的一階系統(tǒng)的單位階躍響應達穩(wěn)態(tài)值的95%98%時，響應時間為時，響應時間為

40、答案：答案：34T 2111tx tte2.一階系統(tǒng)的單位階躍響應為 則此系統(tǒng)的脈沖響應為（ ） 221txtte答案：3. 一階系統(tǒng)輸入下列哪種信號會存在穩(wěn)態(tài)一階系統(tǒng)輸入下列哪種信號會存在穩(wěn)態(tài)誤差（誤差（ ）A.階躍信號階躍信號 B.脈沖信號脈沖信號 C. 斜坡信號斜坡信號C4. 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別如下所示，則當輸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別如下所示，則當輸入信號為單位階躍信號時，系統(tǒng)（）的輸入信號為單位階躍信號時，系統(tǒng)（）的輸出最先到達穩(wěn)定狀態(tài)。出最先到達穩(wěn)定狀態(tài)。( )1( )31sssoiXA. X( )2( )31sssoiXB. X( )2( )1sssoiXC. X( )1( )21sss

41、oiXD. XC1111111)()(sKKKKsKsKsKsXsXioKT11 . 0133KTXi(s)_Xo(s)圖3.3.6 電機調速系統(tǒng)方塊圖K例例3.3.1 某電機調速反饋控制系統(tǒng)如圖某電機調速反饋控制系統(tǒng)如圖3.3.6所示，其中所示，其中為電機為電機的時間常數(shù)，的時間常數(shù)，K為放大器的放大倍數(shù)，若希望系統(tǒng)的調整時間為放大器的放大倍數(shù)，若希望系統(tǒng)的調整時間ts=0.1s，參數(shù)，參數(shù)和和K該如何選擇？該如何選擇？解解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為： 依題意，有3T=0.1s，即故參數(shù)和K應滿足1+K=30。11s 凡是由二階微分方程描述的系統(tǒng)，稱為二階凡是由二階微分方程

42、描述的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。在控制工程中的許多系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)，系統(tǒng)。在控制工程中的許多系統(tǒng)都是二階系統(tǒng)，如電學系統(tǒng)、力學系統(tǒng)等。即使是高階系統(tǒng)，如電學系統(tǒng)、力學系統(tǒng)等。即使是高階系統(tǒng)，在簡化系統(tǒng)分析的情況下有許多也可以近似成在簡化系統(tǒng)分析的情況下有許多也可以近似成二階系統(tǒng)。因此，二階系統(tǒng)的性能分析在自動二階系統(tǒng)。因此，二階系統(tǒng)的性能分析在自動控制系統(tǒng)分析中有非常重要的地位?？刂葡到y(tǒng)分析中有非常重要的地位。 3.4 3.4 二階系統(tǒng)時域分析二階系統(tǒng)時域分析 2nn22nios2ssXsX sXi sXo sE- n2n2ss sXi sXo2nn22ns2s 振蕩角頻率振蕩角頻率無阻尼自然無阻尼

43、自然阻尼比阻尼比 n - 1Ts2sT122 二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)的數(shù)學模型二階系統(tǒng)特征方程：0222nnsss01 1 122 . 1nns0 1 22 . 1ns0 1 10 322 . 1nnjs0 0 42 . 1njs122 . 1nns特征方程的根： n 2n1j n21tg0s2n1j t1tsin11d2ten dnnnjjs 1 10 1.22 . 1欠阻尼 s1s2ssX2nn22no 此時：此時：2nn2s2scbssa t1tsin1tcos1txa,b,cdt2dtoeenn 求出：求出： 3.4.2 典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應x0(t

44、)wnttpP54 圖3-10 二階 振 蕩環(huán) 節(jié) 單位階 躍 響 應曲線2 . 04 . 06 . 08 . 0 t1tsin11txd2toen 衰減振蕩00 n2nn2 . 1j1js0 2.無阻尼 s1ssX2n22no 此時：此時：2n2sss1 t1tcos1txno xo(t)P54 圖3-13 零阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應曲線等幅振蕩01 nnnjs 1 1 3.22 . 1臨界阻尼 s1ssX2n2no 此時：此時： n12n2sbsbsa t1t1tx,ba,beettno12nn 求出：求出： txo(t)P54 圖3-11 臨 界阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響

45、應曲線不振蕩01 1 1 4.22 . 1nns過阻尼 s1sssssX212no 此時：此時： t1cbatxa,b,ceetstso21 求出：求出： 21sscssbsa xo(t)P54 圖3-12 過 阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應曲 線不振蕩動態(tài)過程更長 0 5.1s2nn2 . 1 s01負阻尼 1s1sssssX1212no 不相等正實根xo(t)0tP55 圖3-15 負 阻尼 二階 系統(tǒng) 的 單調發(fā) 散響 應單調發(fā)散 21sscssbsa t1cbatxa,b,ceetstso21 求出：求出：xo(t)0tP55 圖3-14 負 阻尼 二階 系統(tǒng) 的 發(fā) 散振 蕩響

46、應 1- 02 共軛復根001 0 5.1s2nn2 . 1 負阻尼發(fā)散振蕩 2nn22nos2ssX 此時：此時： 1sXttxii dn2nn2 . 1j1js 10 1. 22n2n2n2n1s11 t1sin1tx2nt2noen 3.4.2 3.4.2 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應二階系統(tǒng)的單位脈沖響應024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xo(t)ntnP61 圖3-22 欠阻尼二階 系統(tǒng) 的階 躍 響 應曲線1 . 03 . 05 . 07 . 00 . 1衰減振蕩 t1sin1tx2nt2noen 2n2nossX 此時：此時：n2nn2

47、. 11js 1 2. t1ttx,bbet2no12n 求出：求出： 020-0.300.30.6xontnP61 圖3-23 臨 界阻尼 和 過 阻尼 二階 系統(tǒng) 單位脈 沖 響 應曲 線111 t1ttx,bbet2no12n 求出：求出： 212nosssssX 此時：此時： 1 3.1s2nn2 . 1 21ssbssa t1batxa,beetstso21 求出：求出： 020-0.300.30.6xontnP61 圖3-23 臨 界阻尼 和 過 阻尼 二階 系統(tǒng) 單位脈 沖 響 應曲 線111 t1batxa,beetstso21 求出：求出： t1sin112ttx502nt2

48、nnoen 查拉氏變換表查拉氏變換表3.4.3 二階系統(tǒng)的單位斜坡響應二階系統(tǒng)的單位斜坡響應 2iis1sXttx dn2nn2 . 1j1js 10 1. 22nn22nos1s2ssX 此時：此時： 22n2n22n1ss1 2n2n1arctg21arctg2 其中：其中： noittxtx2)()(lim)e(t 時，當P63 圖3-24 欠阻尼二階 系統(tǒng) 單位斜坡 響 應曲 線00.511.522.533.544.5500.511.522.533.544.55n2xo(t)xi(t) 2iis1sXttx nnnjs 1 1 2.22 . 1 2221)( sssXnno此時：nnn

49、nssss212122 )( 1)22( ttttxeetntnonnnoittxtx2)()(lim)e(t時，當P63 圖3-25 臨 界阻尼二階 系統(tǒng) 單位斜坡 響 應曲線xi(t)xo(t)n2t0P63 圖3-26 過 阻尼二階 系統(tǒng) 單位斜 坡 響 應曲 線xi(t)xo(t)0tn2例題：例題：s000000j1234561、根據(jù)特征根在、根據(jù)特征根在S平面的分平面的分布，畫出單位階躍響應，并布，畫出單位階躍響應，并標出對應的序列號；標出對應的序列號；2、指出各響應屬于哪種形、指出各響應屬于哪種形式：（式：（單調衰減單調衰減 /衰減振蕩衰減振蕩 等幅振蕩等幅振蕩 /發(fā)散振蕩發(fā)散振

50、蕩 / 單調發(fā)散單調發(fā)散）s000000j123456xo(t)P54 圖3-12 過 阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應曲線1txo(t)P54 圖3-11 臨 界阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應曲線2x0(t)wnttpP54 圖3-10 二階振蕩 環(huán) 節(jié) 單位 階躍 響 應曲線3xo(t)P54 圖3-13 零阻尼二階 系統(tǒng) 單位階 躍 響 應曲 線4xo(t)0tP55 圖3-14 負 阻尼 二階 系統(tǒng) 的 發(fā) 散振 蕩響 應5xo(t)0tP55 圖3-15 負 阻尼 二階 系統(tǒng) 的 單調發(fā) 散響 應61，過阻尼，過阻尼=1，臨界阻尼，臨界阻尼01，欠阻尼，欠阻尼=0，無阻尼，無阻

51、尼-10，負阻尼，負阻尼-1，負阻尼，負阻尼 應和單位脈沖響應。試求該系統(tǒng)單位階躍響環(huán)傳遞函數(shù)為例設單位反饋系統(tǒng)的開2s1s2sG sXi sXo212ss- 222io1s1s2s1s21s1s2sXsX t1ete1tx1s11s1s1s11s1s2sXt1tx1tto22oi 則：則：、 t1tee2dtt1ete1dtxdtt1dttx2ttttoi 則：則：、 習題：3-11、3-12響應曲線從0上升到穩(wěn)態(tài)值的100%所用時間rt響應曲線達到第一個峰值所用時間pt在響應曲線的穩(wěn)態(tài)值上，用穩(wěn)態(tài)值的絕對百分數(shù)做一個允許誤差范圍，響應曲線達到并且永遠保持在這一允許誤差范圍內所用的最小時間s

52、t10ttxopM %100oopoxxtx這些點已被確定0.05或0.023.4.4 二階系統(tǒng)時域性能指標二階系統(tǒng)時域性能指標 n 2n1j n21tg0s2n1j t1tsin11d2ten dnnnjjs 1 10 22 . 1 s1s2ssX2nn22no 此時：此時：2nn2s2scbssa t1tsin1tcos1txa,b,cdt2dtoeenn 求出：求出： 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標 （1）上升時間）上升時間tr 當t=tr時，X o(tr)=1211sin()1n rtd ret sin()0d rt(12 3.)d rtKK ， ，上升時間上

53、升時間tr是是c(t)第一次達到穩(wěn)態(tài)時間第一次達到穩(wěn)態(tài)時間21rdnt 1sin11(t) x2ottdten（2）峰值時間）峰值時間tP tP處有極值，故該處導數(shù)值為處有極值，故該處導數(shù)值為022sin()cos()011nnttnd Pdd Peett峰值對應振蕩第一個周期內極大值21Pdnt 0dttdxo 令令 1sin11(t) x2ottdten st4 調整時間調整時間 2to1txe n-1 的包絡線為的包絡線為%512tes n-令令05. 0ln1n 2ns105. 0ln1t 得得 n-%212tes 若令若令 t1tsin11txd2toen ns4t ns3t t1t

54、sin11txpd2tpoepn -1-2sinsin pM3 最大超調量最大超調量 sin1121e2 1 -e21potx %100 xxtxoopo dpt 代入代入 100% 100%- e21oopopxxtxM 標準二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應指標drt dpt 100% - e21pM %24t%53tnsns l從平穩(wěn)性看，從平穩(wěn)性看，越大越好，越大越好， ， %l通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比取在0.40.8之間，之間，相應的超調量相應的超調量25%2.5%。l最佳阻尼比最佳阻尼比0.707。fsttN 2122ndftl振蕩次數(shù)振蕩

55、次數(shù) & 振蕩周期：振蕩周期：x0(t)wnttpP54 圖3-10 二階 振 蕩環(huán) 節(jié) 單位階 躍 響 應曲線2 . 04 . 06 . 08 . 0常數(shù)）常數(shù)）(1n 0246810121400.20.40.60.811.21.41.61.8wn=0.5 wn=1 wn=1.5 wn=2 阻 尼 比 =0. 2常數(shù)）常數(shù)）(2 . 0 nd SBS 2nn22nios2ssXsX 物理參數(shù)性能指標srhhppttKKKK12 . 0Mt和和系統(tǒng)的系統(tǒng)的值下，值下，和和并確定在此并確定在此值值和和確定確定欲使欲使 0.456 0.2 - 解之，得解之，得依題意，依題意，e21pM d

56、dp1t 則則依依題題意意，53. 3456. 01122dn 則則 Ks1KKsK1sssK1K11ssKsXsXh2hio 比較比較與標準二階系統(tǒng)與標準二階系統(tǒng)2222nnnss 178. 0K12K21KK5 .1253. 3Knhnh22n 48. 24t65. 01arctg1tns2ddr tFtkxtx ftxMtxMtx ftkxtF iooooooi 即：P60 圖3-20 質 量-彈簧-阻尼系統(tǒng)MFi(t)xo(t)kfMfK0.0029pt8.9N求M、k、f 的數(shù)值2nnMk,2Mf 有有關關系系： 2nn22n22ios2sk1MksMfsMkk1kfsMs1sFsX

57、 求k 的數(shù)值 s9 . 8kfsMs1sFkfsMs1sX2i2o m03. 0k9 . 8s9 . 8kfsMs1slimssXlimx20so0so 由終值定理得由終值定理得 mN29703. 09 . 8k 0.6 0.030.0029 - 解之，得解之，得e21pM96. 16 . 01221t2n2ndp smN8 .1813 .7796. 16 . 02M2fkg3 .7796. 1297kMn22n 2nnMk,2Mf 有有關關系系：誤差帶進入例系統(tǒng)如圖，試求%5t,t ,M , ,sppn 1s2s255002. 04s50s10014s50s100ss2ioXX 2 . 0

58、2T22 . 0515T25Tn2 sXi sXo450100ss02. 0-1Ts2sT122 s753ttMsp1pe2 nd-s16.03 52.7% 100% 習題：3-17、3-18 對于一般二階以上的單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)可以表示為： nmasasasbsbsbsksXsXn1n1n1nm1m1m1mio nr2qs2spsbsbsbskq1jr1k2kkk2jm1m1m1m 3.5 3.5 高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應 s1sXt1txii 設：設： sXsXsXsXiioo 則：則： q1jr1k2kkk2jm1m1m1ms2spssbsbsbsk rkkkkkkkkkqj

59、jjosspsssX12222111則可以展開成：如果其極點互不相同， 12121 1sin 1coskktkrkktkqjtpjoteteetxkkkkj經拉氏反變換，得 可見，高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應是由一些一階慣性環(huán)節(jié)和二階振蕩環(huán)節(jié)的響應函數(shù)迭加組成的。當所有極點均具有負實部時，除了，其它各項隨著t而衰減為零，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1、系統(tǒng)極點的負實部愈是遠離虛軸，則該極點對應的項在瞬態(tài)響應中衰減得愈快。反之，距虛軸最近的閉環(huán)極點對應著瞬態(tài)響應中衰減最慢的項，該極點對（或極點）對瞬態(tài)響應起主導作用，稱之為主導極點。 工程上當極點A距虛軸的距離大于5倍的極點B距虛軸的距離時，分析時可忽略極點A。2 2

60、、零點與極點之間的距離很近時，此極點對動態(tài)過程的影響可以零點與極點之間的距離很近時，此極點對動態(tài)過程的影響可以忽略。忽略。 工程上認為某極點與零點之間的距離小于他們本身到原點工程上認為某極點與零點之間的距離小于他們本身到原點距離的距離的1/10時，則極點和零點構成了偶極子，時，則極點和零點構成了偶極子，在傳遞函數(shù)中可在傳遞函數(shù)中可以把偶極子對應項消去，從而可以降低系統(tǒng)的階次，稱為偶極以把偶極子對應項消去，從而可以降低系統(tǒng)的階次，稱為偶極子相消。子相消。 高階系統(tǒng)通過合理的簡化，可以用低階系統(tǒng)近似例例3.5.1 某高階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為)6)(52(30)()(2ssssXsXio試分析其動態(tài)性能指標Mp