精華：特殊平行四邊形知識(shí)歸納和題型精講

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上八年級(jí)平行四邊形相關(guān)知識(shí)歸納和常見題型精講性質(zhì)和判定總表矩形菱形正方形的矩形菱形正方形性質(zhì)邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行，四邊相等對(duì)邊平行，四邊相等角四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等互相垂直平分，且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角互相垂直平分且相等,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角判定有三個(gè)角是直角;是平行四邊形且有一個(gè)角是直角;是平行四邊形且兩條對(duì)角線相等.四邊相等的四邊形；是平行四邊形且有一組鄰邊相等；是平行四邊形且兩條對(duì)角線互相垂直。是矩形，且有一組鄰邊相等；是菱形，且有一個(gè)角是直角。對(duì)稱性既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形一. 矩形矩形定義: 有一個(gè)角是直角的平行

2、四邊形叫做矩形(通常也叫長方形或正方形).矩形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，矩形也是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是通過對(duì)邊中點(diǎn)的直線，有兩條對(duì)稱軸；矩形的性質(zhì):(具有平行四邊形的一切特征)矩形性質(zhì)1: 矩形的四個(gè)角都是直角矩形性質(zhì)2: 矩形的對(duì)角線相等且互相平分 如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD因此可以得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半矩形的判定方法矩形判定方法1：對(duì)角錢相等的平行四邊形是矩形矩形判定方法2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形矩形判定方法3：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形矩形判定方法4： (4)對(duì)

3、角線相等且互相平分的四邊形是矩形例1已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 cm ，對(duì)角線比AD邊長4 cm求AD的長及點(diǎn)A到BD的距離AE的長 例2 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，DFAE于F，若AE=BC 求證：CEEF 例3如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上的一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上的一點(diǎn)，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周長為32cm，求AE的長例4、如圖，在 ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F(1)求證：AB=CF；(2)當(dāng)BC與AF滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFC是矩形，并說明理由 二菱形菱形定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形

4、叫做菱形【強(qiáng)調(diào)】菱形（1）是平行四邊形；（2）一組鄰邊相等菱形的性質(zhì)性質(zhì)1 菱形的四條邊都相等；性質(zhì)2 菱形的對(duì)角線互相平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的判定菱形判定方法1:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形注意此方法包括兩個(gè)條件：（1）是一個(gè)平行四邊形；（2）兩條對(duì)角線互相垂直菱形判定方法2:四邊都相等的四邊形是菱形例1 已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E 求證：AFD=CBE 例2已知：如圖ABCD的對(duì)角線AC的垂直平分線與邊AD、BC分別交于E、F求證：四邊形AFCE是菱形 例3、如圖，在 ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作AC的垂線與邊AD、B

5、C分別交于E、F，求證：四邊形AFCE是菱形.例4、已知如圖，菱形ABCD中，E是BC上一點(diǎn)，AE 、BD交于M，若AB=AE,EAD=2BAE。求證：AM=BE。 例5 （10湖南益陽）如圖，在菱形ABCD中，A=60,=4,O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEAB，垂足為E(1)求線段的長例6、（2008四川自貢）如圖，四邊形ABCD是菱形，DEAB交BA的延長線于E，DFBC，交BC的延長線于F。請(qǐng)你猜想DE與DF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想例7、（2008山東煙臺(tái)）如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD=2，E、F分別是邊AD，CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.（1）求證：BDEB

6、CF； （2）判斷BEF的形狀，并說明理由；（3）設(shè)BEF的面積為S，求S的取值范圍.三正方形正方形是在平行四邊形的前提下定義的，它包含兩層意思：有一組鄰邊相等的平行四邊形 （菱形）有一個(gè)角是直角的平行四邊形 （矩形）正方形不僅是特殊的平行四邊形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形正方形定義：有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形 正方形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)，正方形又是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是對(duì)邊中點(diǎn)的連線和對(duì)角線所在直線，共有四條對(duì)稱軸；因?yàn)檎叫问瞧叫兴倪呅?、矩形，又是菱形，所以它的性質(zhì)是它們性質(zhì)的綜合，正方形的性質(zhì)總結(jié)如下：邊：對(duì)邊平行，四邊相等；角：四個(gè)角都

7、是直角；對(duì)角線：對(duì)角線相等，互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角注意：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對(duì)角線把它分成四個(gè)全等的等腰直角三角形，這是正方形的特殊性質(zhì)正方形具有矩形的性質(zhì)，同時(shí)又具有菱形的性質(zhì)正方形的判定方法： (1)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； (2)有一組鄰邊相等的矩形是正方形 注意：1、正方形概念的三個(gè)要點(diǎn)： （1）是平行四邊形； （2）有一個(gè)角是直角； （3）有一組鄰邊相等 2、要確定一個(gè)四邊形是正方形，應(yīng)先確定它是菱形或是矩形，然后再加上相應(yīng)的條件，確定是正方形. 例1 已知：如圖，正方形ABCD中，對(duì)角線的交

8、點(diǎn)為O，E是OB上的一點(diǎn)，DGAE于G，DG交OA于F求證：OE=OF 例2 已知：如圖，四邊形ABCD是正方形，分別過點(diǎn)A、C兩點(diǎn)作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直線MB、DN分別交l2于Q、P點(diǎn)求證：四邊形PQMN是正方形例3、（2008海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；（2）設(shè)AP=x, PBE的面積為y. 求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍； 當(dāng)x取何值時(shí)，y取得最大值，并求出這個(gè)最大值. ABCPDE例4（2006年河南?。┤鐖D，梯形ABCD中，A

9、DBC，AB=AD=DC，E為底邊BC的中點(diǎn)，且DEAB，試判斷ADE的形狀，并給出證明例5：（2008深圳）如圖，在梯形ABCD中，ABDC， DB平分ADC，過點(diǎn)A作AEBD，交CD的延長線于點(diǎn)E，且C2E（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形（2）若BDC30，AD5，求CD的長例題講解例一.分析：（1）因?yàn)榫匦嗡膫€(gè)角都是直角，因此矩形中的計(jì)算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計(jì)算，這是幾何計(jì)算題中常用的方法解：設(shè)AD=xcm，則對(duì)角線長（x+4）cm，在RtABD中，由勾股定理：，解得x=6 則 AD=6cm（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個(gè)基本圖形，利

10、用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個(gè)基本關(guān)系式： AEDB ADAB，解得 AE 4.8cm例二分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AFBE，則問題解決，而證明AFBE，只要證明ABEDFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形 證明： 四邊形ABCD是矩形， B=90，且ADBC 1=2 DFAE， AFD=90 B=AFD又 AD=AE， ABEDFA（AAS） AF=BE EF=EC此題還可以連接DE，證明DEFDEC，得到EFEC菱形 例1 證明：四邊形ABCD是菱形， CB=CD， CA平分BCD BCE=DCE又 CE=CE， BCECOB（SAS）

11、CBE=CDE 在菱形ABCD中，ABCD， AFD=FDCAFD=CBE例2 證明： 四邊形ABCD是平行四邊形， AEFC 1=2又 AOE=COF，AO=CO， AOECOF EO=FO 四邊形AFCE是平行四邊形又 EFAC， AFCE是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)例6、解：DEDF 證明如下：連結(jié)BD四邊形ABCD是菱形CBDABD(菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角)DFBC，DEABDFDE(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)例7 、正方形 例1 分析：要證明OE=OF，只需證明AEODFO，由于正方形的對(duì)角線垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或

12、等角的余角相等可以得到EAO=FDO，根據(jù)ASA可以得到這兩個(gè)三角形全等，故結(jié)論可得 證明： 四邊形ABCD是正方形， AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的對(duì)角線垂直平分且相等）又 DGAE， EAO+AEO=EDG+AEO=90 EAO=FDO AEO DFO OE=OF例2 分析：由已知可以證出四邊形PQMN是矩形，再證ABMDAN，證出AM=DN，用同樣的方法證AN=DP即可證出MN=NP從而得出結(jié)論證明： PNl1，QMl1， PNQM，PNM=90 PQNM， 四邊形PQMN是矩形 四邊形ABCD是正方形 BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是

13、直角） 1+2=90又 3+2=90， 1=3 ABMDAN AM=DN 同理 AN=DP AM+AN=DN+DP即 MN=PN 四邊形PQMN是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）例3 （1）證法一： 四邊形ABCD是正方形，AC為對(duì)角線， BC=DC, BCP=DCP=45. PC=PC， PBCPDC （SAS）. PB= PD， PBC=PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. ABCDPE12H （i）當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上(E與B、C不重合)時(shí)， PB=PE， PBE=PEB， PEB=PDC， PEB+PEC=PDC+PEC=180， DPE=360-(BCD+PDC+PEC)

14、=90， PEPD. ）（ii）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，PEPD.（iii）當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，如圖. PEC=PDC，1=2， DPE=DCE=90， PEPD.綜合（i）（ii）（iii）, PEPD. ABCPDEF（2） 過點(diǎn)P作PFBC，垂足為F，則BF=FE. AP=x，AC=， PC=- x，PF=FC=. BF=FE=1-FC=1-()=. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值. （1）證法二：ABCPDEFG123 過點(diǎn)P作GFAB，分別交AD、BC于G、F. 如圖所示. 四邊形ABCD是正方形， 四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，AGP和PFC都是等腰直角三角形. GD=FC=FP，GP=AG=BF，PGD=PFE=90. 又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFPPGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PEPD. （2） AP=x， BF=PG=，PF=1-. SPBE=BFPF=(). 即 (0x). . 0， 當(dāng)時(shí)，y最大值. (注：用其它方法求解參照以上標(biāo)準(zhǔn)給分.)例4 【解析】ADE是等邊三角形 理由如下：AB=CD，梯形A