第五節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)ppt課件

1、非正弦周期函數(shù)非正弦周期函數(shù): :矩形波矩形波otu11 tttu0, 10, 1)(當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)分解成不同頻率正弦波逐個(gè)疊加分解成不同頻率正弦波逐個(gè)疊加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttt 7.5 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)ttusin4)( 11 Otu 2 22 2 23 23 )3sin31(sin4)(tttu Otu11 2 22 2 23 23 )5sin513sin31(sin4)(ttttu Otu11 2 22 2 23 23 )7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu Otu11 2 22 2 23 23 )9sin917sin7

2、15sin513sin31(sin4)( ttttttu )0,( tt )9sin917sin715sin513sin31(sin4)(ttttttu Otu11 2 22 2 23 23 想象是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù)想象是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù) f (t) 表示為表示為即即 10)sin()(nnntnAAtf 7.5.1 三角函數(shù)系三角函數(shù)系 10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA 10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa 令令,sinnnnAa ,cosnnnAb ,xt 稱為三角級(jí)數(shù)稱為三角級(jí)數(shù)各類正弦函數(shù)各類正弦函數(shù) 的迭加的迭加,)sin(nntnA

3、三角函數(shù)系三角函數(shù)系其中任何兩個(gè)不同其中任何兩個(gè)不同,上上的的積積分分為為零零 的函數(shù)的乘積在區(qū)間的函數(shù)的乘積在區(qū)間,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos, 1nxnxxxxx即即在在 上的正交性是指上的正交性是指: :, , 3 , 2 , 1, 0dcos1 nxnx , 3 , 2 , 1, 0dsin1 nxnx , 3 , 2 , 1, 0dcossin nmxnxmx nmnmxnxmx , 3 , 2 , 1, 0dcoscos , 3 , 2 , 1,dcos2 nxnx , 3 , 2 , 1,dsin2 nxnx 2d12 x即即上的積分不為上的積分不為0.

4、, nmnmxnxmx , 3 , 2 , 1, 0dsinsin 三角函數(shù)系中每個(gè)函數(shù)本身的平方在三角函數(shù)系中每個(gè)函數(shù)本身的平方在 7.5.2 周期為周期為 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開問題問題: f (x) : f (x) 假設(shè)能展開成三角級(jí)數(shù)假設(shè)能展開成三角級(jí)數(shù), , 是什么是什么? ?iiba , 2 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf若有若有.)1(0a求求 220 a xxfad)(10 xad20兩邊積分兩邊積分 1)dsindcos(kkkxkxbxkxa 0 0 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xd xd xd利用三角函數(shù)系

5、的正交性利用三角函數(shù)系的正交性.)2(na求求 xnxxfdcos)(dcossindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkk 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf xnxandcos2 na xnxxfandcos)(1), 3 , 2 , 1( n,cosnx兩兩邊邊同同乘乘逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分到到再再?gòu)膹?xnxadcos20利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性nk 0 0 .)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1), 3 , 2 , 1( n xnxxfdsin)(dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk nb ,sinnx兩邊同乘兩

6、邊同乘逐逐項(xiàng)項(xiàng)積積分分到到再再?gòu)膹?xnxadsin200 nk 0 利用三角函數(shù)系的正交性利用三角函數(shù)系的正交性 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann 10)sincos(2nnnnxbnxaa由系數(shù)公式所確定的三角級(jí)數(shù)由系數(shù)公式所確定的三角級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)公式傅里葉系數(shù)公式: : 稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (x)(誘導(dǎo)出誘導(dǎo)出)的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù),f (x) 10)sincos(2nnnnxbnxaa記為記為問題問題:當(dāng)當(dāng) f (x)滿足什么條件時(shí)滿足什么條件時(shí),它的

7、傅里葉級(jí)數(shù)收斂它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂? 收斂定理收斂定理7.16 (7.16 (收斂定理狄利克雷充分條件收斂定理狄利克雷充分條件) ).2)0()0( xfxf 設(shè)設(shè) f (x)是以是以 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù).假設(shè)它假設(shè)它滿足條件滿足條件: 2 在一個(gè)周期內(nèi)延續(xù)或只需有限個(gè)第一類延續(xù)在一個(gè)周期內(nèi)延續(xù)或只需有限個(gè)第一類延續(xù)點(diǎn)點(diǎn),并且至多只需有限個(gè)極值點(diǎn)并且至多只需有限個(gè)極值點(diǎn),那么那么 f (x)的傅里的傅里葉葉級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂,并且并且(1) 當(dāng)當(dāng)x 是是 f (x)的延續(xù)點(diǎn)時(shí)的延續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于 f (x);(2) 當(dāng)當(dāng)x 是是 f (x)的延續(xù)點(diǎn)時(shí)的延續(xù)點(diǎn)時(shí), 收斂于收

8、斂于收斂定理等價(jià)于：收斂定理等價(jià)于：假設(shè)設(shè)傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為假設(shè)設(shè)傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 S(x)，01(cossin)( )2nnnaanxbnxS x 的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)為為的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)為為)(,2)0()0()(),()(xfxxfxfxfxxfxS即即那那么么設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)以以 為周期為周期, 且且 2 .0,1,0, 1)(2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxxf其傅氏級(jí)數(shù)在其傅氏級(jí)數(shù)在 處收斂于處收斂于( ). x22 ,)(上滿足狄利克雷條件上滿足狄利克雷條件在區(qū)間在區(qū)間由于由于 xf)0( f)0( f所以所以,收收斂斂于于的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn) xxf)(2)0()0

9、( ff221)1(lim xx1)1(lim x22 特別地特別地, 當(dāng)當(dāng) f (x)為奇函數(shù)時(shí)為奇函數(shù)時(shí), 它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為當(dāng)當(dāng) f (x) f (x)為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí), , 0), 3 , 2 , 1(,dsin)(2), 2 , 1 , 0(, 0nxnxxfbnann ), 3 , 2 , 1(, 0), 2 , 1 , 0(,dcos)(20nbnxnxxfann 它的傅里葉系數(shù)為它的傅里葉系數(shù)為,sin1nxbnn f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)為稱為正弦級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù); ;稱為余弦級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù). .,cos210nxaann f (x)的傅里葉級(jí)

10、數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)為周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開步驟周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開步驟:(由圖形寫出收斂域由圖形寫出收斂域; 求出第一類延續(xù)點(diǎn)求出第一類延續(xù)點(diǎn))(2) 求出傅里葉系數(shù)求出傅里葉系數(shù);(3) 寫出傅里葉級(jí)數(shù)寫出傅里葉級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于并注明它在何處收斂于 f (x). 畫出畫出 f (x)的圖形的圖形, 并驗(yàn)證能否滿足狄利克雷并驗(yàn)證能否滿足狄利克雷 收斂定理?xiàng)l件收斂定理?xiàng)l件; ,0, 0, 0,)( xxxxf解解 計(jì)算傅里葉系數(shù)計(jì)算傅里葉系數(shù) xxfad)(10 0d1 xx2 例例1 1 函數(shù)函數(shù) f (x)f (x)以以 為周為周期期, , 且且 2 3 2 3Oxy將將 f

11、(x) 展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù). f (x) 的圖象的圖象 2 xnxxfandcos)(1 0dcos1 xnxx)cos1(12 nn 02cossin1 nnxnnxx ,22 n, 0, 5 , 3 , 1 n, 6 , 4 , 2 n)1(1 12nn xnxxfbndsin)(1 0dsin1 xnxx02sincos1 nnxnnxxnn cos nn 1)1( ), 3 , 2 , 1( n xxx5cos513cos31cos2422 xxx3sin312sin21sin)(xf故故 f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)為的傅里葉級(jí)數(shù)為nxnnxnnnnsin)1()12()12

12、cos(241102 由于由于 f (x)滿足狄利克雷充分條件滿足狄利克雷充分條件,), 2, 1, 0()12(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn) kkx 2)0()0( ff).()12(xfkxx處處收收斂斂于于在在連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn) 220 由收斂定理由收斂定理 2 3 2 3Oxy的的圖圖形形)(xf和函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象2 2 3 2 3Oxy 收斂于收斂于)(xf),3,;( xx nxnnxnnnnsin)1()12()12cos(241102 (2) 將將F (x) 展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù);,(),)1(外外補(bǔ)補(bǔ)充充定定義義或或在在 ),()(,),()3(xfxF 內(nèi)內(nèi) ,)4

13、(處處 x作作 法法收斂定理的條件收斂定理的條件, 也可展開成傅里葉級(jí)數(shù)也可展開成傅里葉級(jí)數(shù).(周期延拓周期延拓);.2)0()0( ff級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于7.5.3 函數(shù)在函數(shù)在 上的傅里葉級(jí)數(shù)上的傅里葉級(jí)數(shù), 假設(shè)假設(shè) f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定義上有定義, 并且滿足并且滿足)(2),(xF的的函函數(shù)數(shù)周周期期為為 得到一定義在得到一定義在這樣就得到這樣就得到 f (x)展開式展開式;解解, 例例2 將函數(shù)將函數(shù) 展開為展開為 xxxxxf0,0,)(傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式在拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式在 xxfad)(10 0d2xxOxy

14、2 2 因函數(shù)在區(qū)間因函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件上滿足收斂定理的條件,收斂于收斂于 f (x)., 又又 f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) xnxxfandcos)(1)1(cos22 nn 1)1(22 nn xxxf,)( 0dcos2xnxx , 6 , 4 , 2, 0, 5 , 3 , 1,42nnn xnxxfbndsin)(10 ), 2 , 1( nf (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù) 12)12cos()12(142)(nxnnxf , , x知函數(shù)的傅氏展開式為知函數(shù)的傅氏展開式為 xxx5cos513cos31cos4222 利用傅氏展開式也可求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和利用傅氏展開式也可求數(shù)項(xiàng)級(jí)

15、數(shù)的和, 0)0(,0 fx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 222513118 xxxf,)(,4131211222 8513112221 ,6141212222 22234131211 42 242 21 ,62 122 ,421 312 213 設(shè)設(shè)收斂定理的條件收斂定理的條件, 我們首先將函數(shù)我們首先將函數(shù) f (x)的定義延的定義延7.5.4 函數(shù)在函數(shù)在 上的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)上的正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù), 0 假設(shè)假設(shè) f (x)只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定義上有定義, 0 并且滿足并且滿足拓到區(qū)間拓到區(qū)間 上上,0 ,( 得到一定義在得到一定義在 上的上的,( 函數(shù)函數(shù)F(x) ,使它使它 在內(nèi)成為奇函數(shù)在內(nèi)成

16、為奇函數(shù)(偶函數(shù)偶函數(shù)), ),( 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓偶延拓). 然后將然后將F(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù), 這個(gè)級(jí)這個(gè)級(jí)數(shù)必定是正弦級(jí)數(shù)數(shù)必定是正弦級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)). (1) 奇延拓奇延拓 0),(0, 00),()(xxfxxxfxF 令令xy0 )0(,sin)(1 xnxbxfnn那么那么 f (x) 的傅里葉級(jí)的傅里葉級(jí)數(shù)數(shù):再限制再限制x在區(qū)間在區(qū)間 上上, 0 就得到就得到 f (x)展開式的展開式的正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)(余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù))展開式展開式.(2) 偶延拓偶延拓 0),(0),()(

17、xxfxxfxF 令令)0(,cos2)(10 xnxaaxfnnxy0 那么那么 f (x) 的傅里葉級(jí)的傅里葉級(jí)數(shù)數(shù):解解 (1) (1) 展開成正弦級(jí)數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù). . 0dsin)1(2xnxx)coscos1(2 nnn 0 na,22n , 5 , 3 , 1 n,2n , 6 , 4 , 2 n正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).例例3 將函數(shù)將函數(shù) 分別展開成分別展開成 xxxx3sin)2(312sin2sin)2(21 ), 0( x 0dsin)(2xnxxfbn1 1 Oxy對(duì)對(duì) f (x)進(jìn)展奇延拓進(jìn)展奇延拓,)0(1)( xxxf(2) 展開成余弦級(jí)數(shù)展開成余

18、弦級(jí)數(shù).0 nb 00d)1(2xxa2 0dcos)1(2xnxxan)1(cos22 nn xxxx5cos513cos31cos412122 , 0 xOxy 1對(duì)對(duì) f (x)進(jìn)展偶延拓進(jìn)展偶延拓,), 3 , 2 , 1( n,1)1(22 nn 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf ,lxt 先作變量代換先作變量代換 7.5.5 周期為周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)條件條件,假設(shè)周期為假設(shè)周期為2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理滿足收斂定理的的展開成傅里葉級(jí)數(shù)的方法是展開成傅里葉級(jí)數(shù)的方法是: , 將函數(shù)變換到將函數(shù)變換到再利用周期為再利用周期為 的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法, 2最后回到變量最后回到變量x, 就得到就得到 f (x)的傅里葉展開式的傅里葉展開式), 2 , 1 , 0